BAB 10 PENGUJIAN HIPOTESIS 4.1. Pengertian Hipotesis Pernyataan atau pendapat mengenai sesuatu hal yang harus diuji kebenarannya. Hipotesis diperlukan sebagai dasar bagi suatu penelitian untuk memecahkan permasalahan. Beberapa contoh hipotesis yakni: • Produsen lampu hemat energi merek X menyatakan bahwa daya tahan lampu yang diproduksinya mencapai 6.000 jam. • Produsen rokok merek A menyatakan bahwa produknya menguasai pangsa pasar di Indonesia sebesar 70%. • Hipotesis seperti tersebut harus diuji kebenarannya dengan jalan mengumpulkan data melalui penelitian yang kemudian dianalisis dengan menggunakan metode analisis yang tepat. • Hipotesis harus dirumuskan secara jelas dan bersifat operasional. Kesalahan dalam perumusan hipotesis akan menyebabkan kesalahan dalam pengambilan keputusan (kesimpulan). 4.2. Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif a. Hipotesis Nol (H0) Disebut sebagai hipotesis statistik karena digunakan hanya dalam proses menganalisa data dengan statistik untuk membuktikan apakah diterima atau ditolak. b. Hipotesis Alternatif (H1 atau Ha atau Hi) Disebut juga dengan hipotesis kerja, yang harus dirumuskan berdasarkan teori-teori atau kemungkinannya mengarah pada suatu kebenaran. Dari kedua macam hipotesis tersebut maka kita dapat membuat suatu kesimpulan sebagai berikut: a. Bila kita menerima hipotesis nol (H0) maka kita akan menolak hipotesis alternatif (H1), sebaliknya; b. Bila kita menolak hipotesis nol (H0) maka kita akan menerima hipotesis alternatif (H1). 4.3. Langkah-langkah Pengujian Hipotesis Langkah 1: Merumuskan hipotesis Dalam merumuskan hipotesis ada beberapa hal yang perlu diperhatikan antara lain sebagai berikut: a. Harus dirumuskan secara singkat dan benar. b. Harus dengan nyata menunjukkan hubungan antara 2 atau lebih variabel. c. Harus didukung oleh teori-teori yang relevan yang dikemukan oleh para ahli. Contohnya: H0 : µ = 3.600 jam H1 : µ ≠ 3.600 jam Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi • Dalam langkah ini kita akan menentukan besarnya α (tingkat signifikansi). • Untuk menentukan besarnya α, tidak ada standar ukuran yang pasti. • Kita dapat memilih α maksimum sebesar 1% untuk penelitian-penelitian di bidang kesehatan, 5% di bidang ekonomi dan 10% untuk bidang pertanian. • Semakin kecil α maka tingkat keyakinan (confidence interval) kita semakin besar. • Berdasarkan pada tingkat signifikansi (α) yang disertai dengan adanya informasi mengenai besarnya sampel dan perumusan hipotesa alternatif (H1), kita dapat menentukan nilai tabel. • Apabila dalam H1 bertanda ≠ maka tingkat signifikansi dibagi 2 (α/2) dan digunakan untuk pengujian 2 sisi (two-tailed test). Sedangkan untuk pengujian satu sisi (one-tailed test)maka α tetap. Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian • Dalam pengujian hipotesis yang datanya berdistribusi normal, kita akan menggunakan kurva normal yang memperlihatkan daerah penerimaan maupun daerah penolakan hipotesi nol (H0). • Dalam menentukan kriteria pengujian sangat tergantung kepada perumusan dan tingkat signifikansi. Kriteria pengujian dapat dibagi menjadi 3 bentuk, yakni: a. Pengujian dua sisi b. Pengujian satu sisi kanan c. Pengujian satu sisi kiri • Bila dalam merumuskan terdapat tanda ≠ atau kalimat tidak sama maka kita akan menggunakan kriteria pengujian berbentuk dua sisi. Dalam kriteria pengujian yang berbentuk dua sisi ini maka tingkat signifikansi dibagi 2 (α/2), 12 di bagian kiri dan 12 di bagian kanan. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat gambar berikut: Langkah 4: Menghitung nilai statistik uji • Dalam langkah ini kita akan menghitung nilai statistik uji seperti Z, t, X2 ,F. Langkah 5: Kesimpulan • Langkah ini kita akan membandingkan langkah 4 dengan langkah 3 sehingga kita akan mendapatkan salah satu dari dua kemungkinan, yakni menerima H0 atau menolak H0. 4.4. Uji Hipotesis Mengenai Rata-rata Teknik pengujian ini digunakan untuk membedakan antara rata-rata yang berasal dari sampel ( X ) dengan rata-rata populasinya ( ). Uji rata-rata berdasarkan atas jumlah sampel yang digunakan dibagi menjadi 2, yakni sampel besar (n ≥ 30) dan sampel kecil (n < 30). Sampel Besar Untuk menguji rata-rata pada sampel besar digunakan uji Z dengan rumus: X − Z= S n Contoh: Kepala Rumah Sakit Bersalin A menyatakan bahwa tinggi badan bayi yang baru lahir rata-rata 50,1 Cm. Untuk membuktikan hipotesis tersebut diambil sampel secara acak sebanyak 100 bayi yang baru lahir, diperoleh tinggi badan rata-rata 49,9 Cm dengan standar deviasi 0,5 Cm. Ujilah apakah ratarata tinggi badan bayi yang baru lahir lebih rendah dari 50,1 Cm dengan tingkat keyakinan 95%. Jawab: Langkah 1: Merumuskan hipotesis Ho : µ = 50,1 H1 : µ < 50,1 Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi Kita menggunakan uji satu sisi kiri sehingga besarnya Z-tabel pada α sebesar 5% = 1,645 Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian Ho diterima bila : Zhitung ≥ -1,645 Ho ditolak bila : Zhitung < -1,645 Langkah 4: Menghitung nilai Z X − Z= S n 49,9 − 50,1 Z= 0,5 100 Z= − 0,2 0,5 10 Z= − 0,2 0,05 Z = -4 Langkah 5: Kesimpulan Karena Zhitung (-4) < Zα (-1,645) maka H0 ditolak, yang berarti rata-rata tinggi badan bayi yang baru lahir (49,9 Cm) lebih ringan secara signifikan dengan 50,1 Cm. Sampel Kecil Untuk menguji rata-rata pada digunakan uji t dengan rumus: sampel X − t= S n kecil Contoh 1: Hasil panen per hektar sawah berupa gabah kering rata-rata 8 ton. Diambil sampel sebanyak 25 hektar ternyata rata-ratanya 8,2 ton per hektar dengan standar deviasi 0,4 ton. Dengan tingkat keyakinan 95%, apakah hasil panenan rata-rata per hektar sama dengan 8 ton? Jawab: Langkah 1: Merumuskan hipotesis Ho : µ = 8 H1 : µ ≠ 8 Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi Kita menggunakan uji dua sisi α = 5% dan n = 25 maka t = t 0,025;24 = 2,064 ;n −1 2 Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian Ho diterima bila : -2,064 ≤ thitung ≤ 2,064 Ho ditolak bila : thitung > 2,064 atau thitung < - 2,064 Langkah 4: Menghitung nilai t X − t= S n 8,2 − 8 t= 0,4 25 0,2 0,2 t= = = 2,5 0,4 0,08 5 Langkah 5: Kesimpulan Karena thitung (2,5) > t0,05;25 (2,064) maka H0 ditolak, yang berarti bahwa hasil panenan per hektar sawah berupa gabah kering rata-ratanya berbeda secara signifikan dengan 8 ton. Contoh 2: Pengalaman beternak ayam jenis New Jersey Red menunjukkan bahwa rata-rata berat badan ayam pada usia 5 bulan adalah 4,35 pound. Dalam upaya untuk menaikkan berat badan ayam, suatu bahan tambahan khusus dicampurkan ke dalam makanan ayam. Berat suatu sampel yang terdiri dari 10 ekor ayam berusia 5 bulan adalah (dalam pound): 4,41 4,37 4,33 4,35 4,30 4,39 4,36 4,38 4,40 4,39 Pada tingkat keyakinan 95% (α = 5%), apakah bahan makanan tambahan tersebut telah menaikkan berat badan ayam secara signifikan? Jawab: Langkah 1: Merumuskan hipotesis Ho : µ = 4,35 H1 : µ > 4,35 Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi Kita menggunakan uji satu sisi kanan α = 5% dan n = 10 maka t ; n − 1 = t0,05;9 =1,833 Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian Ho diterima bila : thitung ≤ 1,833 Ho ditolak bila : thitung > 1,833 Langkah 4: Menghitung nilai t Langkah 5: Kesimpulan Karena thitung (1,678) < t0,05;9 (1,833) maka H0 diterima, yang berarti bahwa bahan makanan tambahan tersebut tidak dpat menaikkan berat badan ayam secara signifikan. 4.5. Uji Hipotesis Perbedaan Dua Mean Untuk Sampel Independen Sampel Besar Untuk melakukan pendugaan perbedaan dua mean dari sampel independent pada sampel besar (n1+n2≥ 30 ) digunakan rumus sebagai berikut: Z= X1 − X 2 S12 S 22 + n1 n2 Contoh: Kita ingin membandingkan penghasilan per hari yang diperoleh tukang ojek dan tukang becak yang terdapat di kabupaten X. Diambil sampel random sebanyak 30 orang tukang ojek memiliki penghasilan rata-rata Rp 40.000 dengan standar deviasi Rp 2.000. Sedangkan tukang becak diambil sampel random 40 orang dengan pengahasilan ratarata Rp 28.000 dengan standar deviasi Rp 1.000. Dengan tingkat kepercayaan 95%, ujilah apakah penghasilan rata-rata per hari yang diperoleh tukang ojek lebih tinggi daripada tukang becak? Jawab: Langkah 1: Merumuskan hipotesis Ho : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2 Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi Kita menggunakan uji satu sisi kanan α = 5% maka Z = Z 0,05 =1,645 Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian Ho diterima bila : Zhitung ≤ 1,645 Ho ditolak bila : Zhitung > 1,645 Langkah 4: Menghitung nilai Z Langkah 5: Kesimpulan Karena Zhitung (30,157) > Z0,05 (1,645) maka H0 ditolak, yang berarti bahwa penghasilan rata-rata per hari yang diperoleh tukang ojek lebih tinggi daripada tukang becak secara signifikan. Sampel Kecil Apabila n < 30 (n1+n2<30), maka untuk menguji perbeaan dua rata-rata sampel independen kita akan menggunakan uji t dengan rumus: t= (X1 − X 2 ) (n − 1 )S 2 + (n − 1 )S 2 1 1 2 2 n1 + n2 − 2 1 + 1 n n 2 1 Contoh 1: Rata-rata waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan studi strata satu (S-1) di dua fakultas pada Universitas X dengan indeks prestasi minimal 3,00, yakni 50 bulan pada fakultas ekonomi dengan standar deviasi 1 bulan yang diambil dari sampel sebanyak 15 orang dan 70 bulan pada fakultas kedokteran dengan standar deviasi 3 bulan yang diambil dari sampel sebanyak 12 orang. Dengan tingkat keyakinan 95 %, apakah rata-rata waktu yang diperlukan untuk menjadi sarjana kedokteran lebih lama dibandingkan dengan menjadi sarjana ekonomi? Jawab Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian Ho diterima bila : Zhitung ≤ 1,708 Ho ditolak bila : Zhitung > 1,708 Langkah 4: Menghitung nilai t Langkah 5: Kesimpulan Karena thitung (24,289) > t0,05;25 (1,708) maka H0 ditolak, yang berarti bahwa rata-rata waktu yang dibutuhkan untuk menjadi sarjana kedokteran lebih lama secara signifikan dibandingkan untuk menjadi sarjana ekonomi. Contoh 2: Sebuah sampel tentang nilai ujian mata kuliah Statistik yang diberikan kepada mahasiswa pria dan wanita adalah sebagai berikut: Mahasiswa Pria Wanita 72 81 69 67 98 90 66 78 85 81 76 80 79 76 80 77 Pada tingkat kepercayaan 95% (α = 5%), apakah ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata nilai mahasiswa pria dan wanita ? Jawaban: Langkah 1: Merumuskan hipotesis Ho : µP = µW H1 : µP ≠ µW Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi Kita menggunakan uji dua sisi: α = 5% np= 9 nw= 7 maka : : t ; n p + nw − 2 2 t 0,05 2 ;9 + 7 − 2 = t 0,025;14 = 2,145 Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian Ho diterima bila : -2,145 ≤ thitung ≤ 2,145 Ho ditolak bila : thitung < -2,145 atau thitung > 2,145 Langkah 4: Menghitung nilai t Perhitungan standar deviasi untuk nilai mahasiswa pria Rata-rata Sampel X P ( X P − X P ) ( X P − X P ) 2 1 72 2 69 3 98 4 66 5 85 6 76 7 79 8 80 9 77 Jumlah 702 -6 -9 20 -12 7 -2 1 2 -1 0 36 XP XP = 81 NP 400 720 144 X P = 9 = 78 49 Standar deviasi 4 ( X P − X P )2 1 SP = N P −1 4 1 720 SP = = 90 = 9,4868 720 9 −1 Perhitungan standar deviasi untuk nilai mahasiswa wanita Rata-rata Sampel XW 1 81 2 67 3 90 4 78 5 81 6 80 7 76 Jumlah 553 ( X W − X W ) ( XW − XW ) 2 2 -12 11 -1 2 1 -3 0 4 144 121 1 4 1 9 284 XW = XW NW 284 XW = = 79 7 Standar deviasi ( XW − XW ) 2 SW = NW − 1 284 SW = = 7 −1 47,3333 = 6,8799 Nilai t t= t= t= t= (X P −X W ) (n − 1 )S 2 + (n − 1 )S 2 P P W W n +n −2 P W 1 1 + n P nW ( 78 − 79 ) ( 9 − 1 )(9,4868) 2 + ( 7 − 1 )(6,8799) 2 9+7−2 1 1 + 9 7 −1 ( 8 )(90) + ( 6 )(47,3333) (0,1111 + 0,1429 ) 14 −1 (71,7143 )(0,2540 ) t= −1 720 + 284 (0,2540 ) 14 −1 t= t= 4,2677 18,2132 −1 t= −1 1.004 (0,2540 ) 14 t = -0,234 Langkah 5: Kesimpulan Karena thitung (-0,234) lebih besar dari -2,145 dan lebih kecil dari 2,145, atau berada pada interval -0,145 ≤ thitung ≤ 2,145 (t0,025;14=± (±2,145), maka H0 diterima, yang berarti bahwa nilai rata-rata mata kuliah Statistik mahasiswa pria dan mahasiswa wanita tidak berbeda secara signifikan. 4.6. Uji Hipotesis Perbedaan Dua Mean Untuk Sampel Berpasangan Untuk menguji hipotesis perbedaan dua mean dari sampel berpasangan digunakan rumus: D t= SD Dimana: (D − D ) SD = n −1 2 D D= n S D = SD n Contoh: Kita ingin mengetahui apakah pemberian kredit kepada para pengusaha kecil dapat meningkatkan keuntungan mereka dibandingkan dengan sebelum menerima kredit tersebut. Diambil sampel random sebanyak 10 orang pemgusaha kecil yang menerima kredit untuk diwawancarai. Hasilnya adalah sebagai berikut (dalam ribuan rupiah): Pengusaha Kecil Adi Susi Rini Tono Eka Ririn Bima Joko Sigit Lusi Keuntungan per tahun (Rp juta) Sesudah Sebelum 300 260 580 500 400 340 310 250 300 250 200 160 300 250 400 360 260 200 390 350 Pada tingkat kepercayaan 95% (α = 5%), apakah pemberian kredit tersebut dapat meningkatkan keuntungan kepada para pengusaha kecil ? Jawaban: Langkah 1: Merumuskan hipotesis Ho : µSesudah = µSebelum H1 : µSesudah > µSebelum Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi Kita menggunakan uji satu sisi kanan α = 5% dan n = 10 maka : : =t = 1,833 ; n − 1 0,05;9 t Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian Ho diterima bila : thitung ≤ 1,833 Ho ditolak bila : thitung > 1,833 Langkah 4: Menghitung nilai t Rata-rata D 520 D= = = 52 n 10 Standar deviasi (D − D ) SD = n −1 2 1.560 SD = = 173,3333 = 13,1656 10 − 1 Standard error of mean SD SD = n Nilai t 13,1656 13,1656 S = = = 4,1633 D 3.1623 10 D 52 t= = = 12,490 SEM 4,1633 Langkah 5: Kesimpulan Karena thitung (12,490) lebih besar t0,05;14 (1,833) maka ditolak, yang berarti bahwa rata-rata keuntungan para pengusaha kecil setelah memperoleh kredit meningkat secara signifikan. 4.7. Uji Hipotesis Mengenai Proporsi Pengujian hipotesis mengenai proporsi dapat dilakukan dengan mempergunakan proporsi rumus: x p = p−P p = proporsi sampel Z= n P(1 − P) P = proporsi populasi (proporsi n yang dihipotesiskan) Contoh: Di suatu perguruan tinggi diduga bahwa 60% mahasiswanya memiliki sepeda motor. Apakah dugaan ini benar apabila dalam sampel acak 150 mahasiswa terdapat 105 orang diantaranya memiliki sepeda motor? Gunakan tingkat keyakinan 95%. Jawaban: Langkah 1: Merumuskan hipotesis Ho : P = 0,60 H1 : P ≠ 0,60 Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi Kita menggunakan uji dua sisi α = 5% n = 150 maka : : Z = Z 0,05 = Z 0,025 = 1,96 2 2 Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian H0 diterima bila : -1,96 ≤ Zhitung ≤ 1,96 H0 ditolak bila : Zhitung ≤ -1,96 atau Zhitung > 1,96 Langkah 4: Menghitung nilai Z Langkah 5: Kesimpulan Karena Zhitung (2,5) > Zα/2 (1,96) maka H0ditolak, yang berarti proporsi mahasiswa yang memiliki sepeda motor lebih besar dari 60% secara signifikan. 4.8. Uji Hipotesis Perbedaan Dua Proporsi Untuk menguji hipotesis perbedaan dua proporsi digunakan rumus sebagai berikut: p1 − p2 Z= SEM Dimana: SEM = standard error of mean 1 1 SEM = Pg Q g + n n 2 1 p1 = proporsi sampel pertama p2 = proporsi sampel kedua pg = proporsi gabungan x1 p1 = n1 x1 + x2 Pg = n1 + n2 p2 = x2 n2 Q g = 1 − Pg X1 = jumlah katagori tertentu pada sampel pertama X2 = jumlah katagori tertentu pada sampel kedua n1 = jumlah sampel pertama n2 = jumlah sampel kedua Contoh Anton sebagai salah satu calon kepala daerah Di kabupaten X dalam pemilihan kepala daerah yang sedang dilaksanakan. Diambil 2 kecamatan sebagai sampel ternyata di Kecamatan A Anton memperoleh suara sebanyak 60.000 dari 80.000 pemilih dan di Kecamatan B memperoleh suara sebanyak 54.000 dari 75.000 pemilih. Dengan tingkat keyakinan 98%, apakah ada perbedaan proporsi yang memilih Anton di kedua kecamatan tersebut? Jawaban: Langkah 1: Merumuskan hipotesis H0 : PA = PB H1 : PA ≠ PB Langkah 2: Menentukan tingkat signifikansi Kita menggunakan uji dua sisi α = 2% dengan sampel besar maka : : Z = Z 0,02 = Z 0,01 = 2,326 2 2 Langkah 3: Menentukan kriteria pengujian Ho diterima bila : -2,326 ≤ Zhitung ≤ 2,326 Ho ditolak bila : Zhitung ≤ -2,326 atau Zhitung > 2,326 Langkah 4: Menghitung nilai Z XA = 60.000 XB = 54.000 nA = 80.000 nB = 75.000 Langkah 5: Kesimpulan Karena Zhitung (13,636) > Z0,01 (2,326) maka H0 ditolak, yang berarti proporsi pemilih yang memilih Anton sebagai kepala daerah Kabupaten X antara Kecamatan A dan Kecamatan B berbeda secara signifikan. Latihan Soal 1 Diambil sampel secara acak mengenai tinggi badan mahasiswa sebanyak 50 orang diperoleh rata-rata 162 Cm dengan standar deviasi 5 Cm. a. Roni mempunyai tinggi badan 176 Cm. Dengan tingkat keyakinan 98%, apakah tinggi badan Roni termasuk ke dalam rata-rata tinggi badan mahasiswa yang dijadikan sebagai sampel tersebut? b. Rina mempunyai tinggi badan 151 Cm. Dengan tingkat keyakinan 98%, apakah tinggi badan Dinda termasuk ke dalam rata-rata tinggi badan mahasiswa yang dijadikan sebagai sampel tersebut? c. Berapakah besarnya standard error of mean? 0k Latihan Soal 2 Sampel acak dari dua populasi mengenai rata-rata nilai siswa di suatu daerah perkotaan. Pada populasi pertama diambil sampel secara acak sebanyak 30 siswa diperoleh nilai rata-rata sebesar 92 dengan standar deviasi sebesar 4. Sedangkan pada populasi yang kedua diambil sampel secara acak sebanyak 40 diperoleh nilai rata-rata sebesar 87 dan standar deviasi sebesar 2. Dengan tingkat keyakinan 95%, apakah ada perbedaan nilai rata-rata sampel dari kedua populasi tersebut? Latihan Soal 3 Suatu perusahaan taxi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya. Untuk mengetahui perbedaan kedua merek tersebut dilakukan suatu percobaan dengan menggunakan 12 buah ban dari masing-masing merek. Ban digunakan sampe aus. Hasilnya: rata-rata jarak tempuh ban merek A sejauh 44 Km dengan standar deviasi 4.000 Km, sedangkan rata-rata jarak tempuh ban merek B sejauh 48.000 Km dengan standar deviasi 5.000 Km. Dengan tingkat keyakinan 98%, ban merek manakah yang akan dipilih? Latihan Soal 4 Bila hanya ada dua merek rokok yaitu X dan Y, diambil sampel sebanyak 220 perokok terdapat 65 orang yang lebih menyukai merek X dan 25 orang dari 160 perokok di daerah lain lebih menyukai merek Y. Dengan tingkat keyakinan 98%, apakah ada perbedaan proporsi yang menyukai kedua merek rokok tersebut? Latihan Soal 6 Sebuah sampel sebanyak 10 pengeluaran rumah tangga yang dialkasikan untuk konsumsi per hari di Desa A sebelum dan sesudah kenaikan harga BBM sebagai berikut (dalam ribuan rupiah): RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sebelum Sesudah 40 45 45 52 40 46 47 55 50 60 45 52 40 45 43 50 40 46 48 55 Dengan tingkat keyakinan 95%, apakah ada perbedaan secara signifikan pengeluruan konsumsi rata-rata per hari rumah tangga di Desa A sebelum dan sesudah kenaikan harga BBM?
