LIMIT FUNGSI ALJABAR

LIMIT FUNGSI ALJABAR
By: Qonitah Sofira Matondang, S.Pd
Kompetensi Dasar
(1) Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan
fungsi rasional) Secara intuitif dan sifat - sifatnya, serta
menentukan eksistensinya.
(2) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit
fungsi aljabar
LIMIT FUNGSI ALJABAR I
(1) pengertian limit, limit kiri, dan limit kanan;
(2) cara menyelesaikan
pemfaktoran;
limit
menggunakan
metode
(3) sifat-sifat limit dan cara menyelesaikan masalah limit
menggunakan sifat tersebut
Definisi Limit Fungsi Aljabar
Limit fungsi f(x) adalah suatu nilai yang didekati oleh
fungsi f(x) jika x mendekati suatu nilai tertentu.
Misal untuk x mendekati a maka f(x) mendekati L.
Notasi:
Fungsi
lim 𝒇 𝒙 = 𝑳
𝒙→𝒂
Nilai
Limit
𝑥 menuju 𝑎
Dibaca: Jika x mendekati a maka
f(x) mendekati L
Note:
Suatu fungsi memiliki limit
jika:
𝒍𝒊𝒎− 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇(𝒙)
𝒙→𝒂
Limit
kiri
𝒙→𝒂
Limit
kanan
Contoh Fungsi yang Memiliki Nilai Limit
Selidiki nilai limit dari
𝑥 2 −4
𝑥−2
apabila 𝑥 mendekati 2
Penyelesaian
𝑥 2 −4
lim
𝑥→2 𝑥−2
=⋯
↓
Mendekati 2 dari kiri
Mendekati 2 dari kanan
x
1,8
1,9
1,99
1,999
2
2,0001
2,001
2,01
2,1
f(x)
3,8
3,9
3,99
3,999
0
0
4,0001
4,001
4,01
1,4
f(x) mendekati 4
f(x) mendekati 4
𝑥 2 −4
𝒙→𝟐 𝑥−2
Berdasarkan tabel di atas, 𝒍𝒊𝒎−
𝑥 2 −4
lim
𝑥→2 𝑥−2
=4
𝑥 2 −4
𝒙→𝟐 𝑥−2
= 𝒍𝒊𝒎+
= 𝟒 , berarti nilai
Contoh Fungsi yang Tidak Memiliki
Nilai Limit
Selidiki nilai limit dari
𝑥 2 +4
𝑥−2
apabila 𝑥 mendekati 2
Penyelesaian
𝑥 2 +4
lim
𝑥→2 𝑥−2
=⋯
↓
Mendekati 2 dari kiri
Mendekati 2 dari kanan
x
1,8
1,9
1,99
1,999
2
2,0001
2,001
2,01
2,1
f(x)
-36,2
-76,1
-796
-7.966
(-)
limit
80.004
8.004
804
84
f(x) mendekati 4
Berdasarkan tabel di atas,
ada
f(x) mendekati 4
𝑥 2 +4
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐− 𝑥−2
≠
𝑥 2 +4
𝒍𝒊𝒎
,
𝒙→𝟐+ 𝑥−2
berarti
𝑥 2 +4
lim
𝑥→2 𝑥−2
tidak
Menyelesaikan Limit Menggunakan Cara
Pemfaktoran
Masih ingatkah kamu cara menyelesaikan persamaan kuadrat
menggunakan cara pemfaktoran?
Jika diketahui suatu persamaan kuadrat adalah 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,
maka langkah menyelesaikan pers. Kuadrat menggunakan cara
pemfaktoran adalah:
1. Cari dua buah bilangan yang hasil perkaliaannya kali ac
2. Cari dua buah bilangan yang hasil penjumlahan sama dengan b
3. Masukkan nilai tersebut ke bentuk pemfaktoran
• Untuk koef 𝑥 2 = 1 bentuk pemfaktorannya: (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)
𝑝
• Untuk koef 𝑥 2 ≠ 1 bentuk pemfaktorannya: 𝑎 𝑥 + 𝑎
𝑞
𝑥+𝑎
Menyelesaikan Limit Menggunakan Cara
Pemfaktoran
Jika kalian masih ingat, tentukan pemfaktoran berikut ini
1. 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
2. 2𝑥 2 − 𝑥 − 15 = 0
Contoh Menentukan Pemfaktoran untuk 𝑥 = 1
Tentukan pemfaktoran dari 𝑥 2 − 5𝑥 + 6
Penyelesaian:
Berdasarkan per. Kudrat di atas, maka nilai a = 1, b = -5, dan c = 6.
• Langkah 1:
p
… × ⋯ = 𝑎𝑐 → ⋯ × ⋯ = 6
1
2
-1 -2
• Langkah 2:
6
3
-6 -3
q
… + ⋯ = 𝑎𝑐 → ⋯ + ⋯ = −5
• Langkah 3:
𝑥 + 𝑝 𝑥 + 𝑞 = 𝑥 + −2 𝑥 + −3 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
Contoh Menentukan Pemfaktoran untuk x ≠ 1
Tentukan pemfaktoran dari 2𝑥 2 −𝑥 − 15 = 0
Penyelesaian:
Berdasarkan per. Kudrat di atas, maka nilai a = 2, b = --1, dan c = -15.
• Langkah 1:
-1 -2 -3 -5 1
2
3
5
… × ⋯ = 𝑎𝑐 → ⋯ × ⋯ = −30
• Langkah 2:
30 15 10 6 -30 -15 -10 -6
… + ⋯ = 𝑎𝑐 → ⋯ + ⋯ = −1
• Langkah 3:
𝑝
𝑎 𝑥+𝑎
𝑞
5
𝑥+𝑎 =2 𝑥+2
𝑥+
−6
2
= (2𝑥 + 5)(𝑥 − 3)
p
q
Contoh Soal
Menyelesaikan Limit Menggunakan Cara Pemfaktoran
Tentukan nilai
𝑥 2 −5𝑥+6
lim 2
𝑥→2 𝑥 +2𝑥−8
Penyelesaian:
𝑥 2 − 5𝑥 + 6
(𝑥 − 3)
1
𝑥−3 𝑥−2
lim
= lim
=−
= lim
𝑥→2 𝑥 2 + 2𝑥 − 8
𝑥→2 (𝑥 + 4)
𝑥→2 (𝑥 + 4)(𝑥 − 2)
6
Menyelesaikan Limit Menggunakan Cara
Merasionalkan Bentuk Akar
Masih ingatkah kamu cara merasionalkan bentuk akar?
Cara merasionalkan penyebut pecahan berbentuk akar adalah
sebagai barikut:
1. Pecahan berbentuk
𝑎
𝑏
→
𝑎
𝑏
2. Pecahan berbentuk
𝑐
𝑎+ 𝑏
→
𝑐
𝑎+ 𝑏
×
3. Pecahan berbentuk
𝑐
𝑎− 𝑏
→
𝑐
𝑎− 𝑏
×
4. Pecahan berbentuk
𝑐
𝑎+ 𝑏
×
→
𝑏
𝑏
𝑐
𝑎+ 𝑏
6. Pecahan berbentuk
𝑎+ 𝑏
𝑐
→
𝑎+ 𝑏
𝑐
×
𝑎− 𝑏
𝑐
𝑎− 𝑏
𝑎− 𝑏
7. Pecahan berbentuk
𝑎− 𝑏
𝑐
→
𝑎− 𝑏
𝑐
×
𝑎+ 𝑏
𝑐
𝑎+ 𝑏
𝑎+ 𝑏
8. Pecahan berbentuk
×
𝑎− 𝑏
𝑎− 𝑏
𝑎+ 𝑏
𝑐+ 𝑑
→
𝑎+ 𝑏
𝑐+ 𝑑
×
𝑎+ 𝑏
𝑎− 𝑏
Contoh Soal Menyelesaikan Limit Menggunakan
Cara Merasionalkan Bentuk Akar
Jika kalian masih ingat, rasionalkan bentuk pecahan berikut ini
1.
3− 4𝑥+1
𝑥−2
Contoh Soal
Menyelesaikan Limit Menggunakan Cara Merasionalkan
Bentuk Akar
3− 4𝑥+1
𝑥→2 𝑥−2
Tentukan nilai lim
Penyelesaian:
3 − 4𝑥 + 1
3 − 4𝑥 + 1 3 + 4𝑥 + 1
= lim
×
𝑥→2
𝑥→2
𝑥−2
𝑥−2
3 + 4𝑥 + 1
lim
= lim
𝑥→2 (𝑥
= lim
9 − (4𝑥 − 1)
− 2) × 3 + 4𝑥 + 1
𝑥→2 (𝑥
−4(𝑥 − 2)
− 2) × 3 + 4𝑥 + 1
=−
2
3