bab-6-transformasi-laplace

BAB VI
TRANSFORMASI LAPLACE
6.1 Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F (t ) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)
dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
`
L{F (t )}   e st F (t )dt  f ( s)
0
L{F (t )} adalah
Karena
integral tidak wajar dengan batas atas di tak
hingga (  ) maka
`
L{F (t )}   e  st F (t )dt  f ( s)
0
p
 Lim  e  st F (t )dt
p 
0
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen
untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak
ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya
W(t), G(t), Y(t)
dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan
dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} =
g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
interval 0  t  N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi
Laplace f(s) ada untuk setiap s > 
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace
beberapa fungsi sederhana.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo127
No.
F (t )
L{F (t )}
1.
1
1
,s  0
s
2.
t
1
,s  0
s2
3.
t2
2
,s  0
s3
4.
tn
n!
n = 0,1,2,3,….
s n 1
,s  0
5.
e
6.
at
sin at
1
,s  0
sa
a
,s  0
s  a2
2
7.
cos at
s
,s  0
s  a2
2
8.
sinh at
a
,s  a
s  a2
2
9.
cosh at
s
,s  a
s  a2
2
10.
t cos at
s2  a
(s 2  a 2 ) 2
11.
t sin at
2a
s
(s  a 2 ) 2
2
Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh
transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:
1. F (t )  1
`
L{F (t )}   e  st 1  f ( s)
0
p
 Lim  e  st dt
p 
0
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo128
p
 1

 lim  e  st 
p 
 s
0
1
1 

 lim    0 
p 
se 
 se
0

1
s
1
s
 f (s )
2. F (t )  t
`
L{F (t )}   e  st t dt
0
p
 
1
 lim  t.  d e  st
p 
s
0
p
1
  lim te  st   e  st dt
s p
0
p
1
1


  lim te  st  e  st 
p


s
s

0
p
1
1
1 

 
  lim  pe  sp  e  sp   0e 0  e 0 
p


s
s
s 0

 
1
1 

  0  0   0  
s
s 

1
1
  0  
s
s

3.
1
s2
F (t )  e at
`
L{F (t )}   e  st t e at dt
0
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo129
p
 lim  e ( s a )t dt
p 
0



1
lim e ( s  a )t
s  a p 

 1
1
1 
lim 


 ( s  a) p  e ( s a )  e ( s a ) 0 

1
sa
p
0
4. F (t )  sin at

L{F (t )}   e  st sin at dt
0
p
 Lim  e  st 
p 
0
1
d (cos at )
a
p

 1

1
 st

 Lim  cos at.e   cos atd (e  st ) 
a
a
p  
0
0
p

 1

s
 Lim  cos at.e  st    cos at.e  st dt 

p  
a
p
 a
0
p

 1

s  st 1
 st
 Lim  cos at.e   e . d (sin at ) 
p 
a0
a
 a
0
p
p
 1

s
 Lim  cos at.e  st  2 (e  st sin at   sin at.d (e  st ) 
p 
a
0
 a
0
p
p
 1

s
 Lim  cos at.e  st  2 (e  st sin at   sin at.  se  st ) 
p 
a
0
 a
0
p
2 p
 1

s
s
 st
 st
 Lim  cos at.e  2 e sin at  2  sin at.se  st ) 
p 
a
a 0
 a
0
p
a2  1
s
 st
 st 
 Lim 2
  cos at.e  2 sin at.e 
2
p  a  s
a
 a
0
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo130
a 2  cos at s. sin at 
 2
 2 st 

a  s 2  a.e st
a .e 

a2
a2  s2

 1

 0  0     0  
 a



a2
a2  s2
1
 
a

a
a  s2
2
5. F (t )  cos at

L{F (t )}   e  st cos at dt
0
p
 Lim  e  st
p 
0
1
d (sin at )
a
p

1

1
 st
 Lim sin at.e   sin atd (e  st ) 
p 
a
0
a
0
p

1

s
 Lim sin at.e  st   sin at.e  st dt 

p   a
a
p

0
p

1

s
1
 Lim sin at.e  st   e  st . d ( cos at ) 
p  a
a0
a

0
p
p
1

s  st
 st

 Lim sin at.e  2 (e ( cos at )    cos at.d (e  st ) 
p 
a
0
a
0
p
p
1

s
 Lim sin at.e  st  2 (e  st cos at )   cos at.  se  st dt ) 
p 
a
0
a
0
p
p
1

s
s2
 Lim sin at.e  st  2 (e  st cos at )  2  cos at.e  st ) 

p   a
a
a 0

0
 Lim
p 
a2
s2  a2
p
s
1
 st
 st 
 sin at.e  2 cos at.e 
a
a
0
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo131
a 2  sin at s. cos at 
 2
 2 st 

s  a 2  a.e st
a .e 

a2
s2  a2

s

 0  0   0  2
a



 

a2  s 
 2
 
s  a2  a2 

a
s  a2
2
Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0  t  N dan eksponensial berorde 
untuk t > N, maka
transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s >  .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah
CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi
transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak
dipenuhi.
6.2 Metode Transformasi Laplace
Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara
yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut
adalah:
a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.
Metode ini berkaitan langsung dengan definisi

L{F (t )}   e  st F (t )dt
0
p
 Lim  e  st F (t )dt
p 
0
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo132
Contoh

L{F (t )}   e  st F (t )dt
0
p
 lim  e  st tdt
p 
0
p
1
 lim  t.  d (e  st )
p 
s
0
p
1
  lim te  st   e  st dt
s p
0
p
1
1


  lim te  st  e  st 
p


s
s

0
1
1
  0  
s
s

1
s2
 f (s )
b. Metode Deret
Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
F (t )  a0  a1t  a 2 t 2  a3t 3  ...

  ant n
n 0
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan
transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
L{F (t )}  L{a0 }  L{a1t}  L{a 2 t 2 }  L{a3t 3 }  ...

ao a1 2!a2
  3  ...
s s2
s

n! a n
, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > 
n 1
n0 s

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo133
c. Metode Persamaan differensial
Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang
dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parameter
e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema
yang ada.
f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah
ditetapkan.
6.3
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat
tersebut antara lain:
a) Sifat linear
Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F1 (t ) dan F2 (t )
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masingmasing f1 (s) dan f 2 ( s) , maka:
L{c1 F1 (t )  c2 F2 (t )}  c1 f1 (s)  c2 f (s)
Bukti:

L{c1 F (t ) c 2 F2 (t )}   e  st {c1 F1 (t )  c2 F2 (t )}dt
0


0
0
  e  st c1 F1 (t )dt   e  st c1 F2 (t )dt
p

 c1  e F1 (t )dt  c2  e  st F2 (t )dt
 st
0
0
 c1 f1 (s)  c2 f 2 (s)
1. L{5t  3}  L{5t  3a}  L{5t}  L{3}
 5 L{t}  3L{1}
5
1
1
3
2
s
s
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo134

5 3

s2 s
2. L{6 sin 2t  5 cos 2t}  L{6 sin 2t}  L{5 cos 2t}
 6 L{sin 2t}  5L{cos 2t}
6

2
s
5 2
s 4
s 4
2
12  5s
s2  4
3. L{( t 2  1) 2 }  L{t 4  2t 2  1}
 L{t 4 }  L{2t 2 }  L{1}
 L{t 4 }  2L{t 2 }  L{1}


4!
s
4 1
 2!  1
 2 21  
s  s
24 4 1
 
s5 s3 s
4. L{4e 5t  6t 2  3 sin 4t  2 cos 2t}
 L{4e 5t }  L{6t 2 }  L{3 sin 4t}  L{2 cos 2t}
 

 4L e 5t  6L t 2  3Lsin 4t  2Lcos 2t
4

1
2
4
s
6 3 3 2
2 2
s 5
s
s 4
s 4
4
12
12
2s
 3 2
 2
s 5 s
s  16 s  4
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí
berikut.
1. F (t )  2t 2  e t t
2. F (t )  6 sin 2t  cos 2t
3. F (t )  (sin t  cos t ) 2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo135
1
4. F (t )  cosh 3t  sinh t
2
5. F (t )  2t  2
3
6. F (t )  (sin t  3) 2
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F (t )}  f (s) maka L{e 2t F (t )}  f (s  a)
Bukti
`
Karena L{F (t )}   e  st F (t )dt  f ( s) , maka
0
`
L{e F (t )}   e  st e at F (t )dt
at
0

  e ( s a )t F (t )dt
0
 f (s  a)
Contoh:
1. Tentukan L{e 3t F (t )} jika L{F (t )}  f ( s)
Menurut sifat 2 di atas, L{e at F (t )}  f ( s  a)
Maka L{e 3t F (t )}  f s  (3)
 f ( s  3)
s
2. Tentukan L{e 2t F (t )}, jika L{F (t )}  f  
a
Menurut sifat 2 di atas, L{e at F (t )}  f ( s  a)
s
 s 2
Karena L{F (t )}  f  , maka L{e 2t F (t )}  f 

a
 a 
 s 2
 f  
a a
3. Tentukan L{e t F (t )} jika L{cos 2t} 
s
s 4
2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo136
s
maka menurut sifat translasi pertama
s 4
Karena L{cos 2t} 
2
L{e t F (t )}  f (s  1)
L{e t F (t )} 

s 1
( s  1) 2  4
s 1
s  2s  5
2
4. Tentukan L{e 2t (3 cos 6t  5 sin 6t )}
Me6nurut sifat linear,
L{e 2t (3 cos 6t  5 sin 6t )}  L{e 2t (3 cos 6t )}  L{e 2t (5 sin 6t )}
 3L{2t cos 6t}  5L{e 2t sin 6t} }
Karena L{cos 6t} 
s
6
dan L{sin 6t}  2
s  36
s  36
2
maka menurut sifat translasi
3L{2t cos 6t}  3 f (s  2)
3
( s  2)
,
( s  2) 2  36
dan
5L{2t sin 6t}  5
6
(s  2
sehingga
L{e L{e  2t (3 cos 6t  5 sin 6t )}  3

( s  2)
6
5
2
( s  2)  36
( s  2) 2  36
3s  24
s  4s  40
2
Soal
Tentukan transformasi Laplace fungsi
1) F (t )  et sin 2 t
2) F (t )  (1  te t ) 3
t
3) F (t )  (3 sinh 2t  5 cosh 2t )
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo137
4) F (t )  (t  2) 2 e t
5) F (t )  e 2t sinh 2t  cosh 3t 
6) F (t )  e  t (1  2t )
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
 F (t  a), untuk t  a
Jika L{F (t )}  f ( s) dan G (t )  
0, untuk t  a
maka
L{G(t )}  e  as f (s)
Bukti

L{( G(t )}   e  st G(t )dt
0
a

0
a
  e  st G(t )dt   e  st G(t )dt
a

  e (0)dt   e  st F (t  a)dt
0
 st
a

  e  st F (t  a)dt
a
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga


a
0
 st
s (u  a )
F (u )du
 e F (t  a)dt   e

 e as  e  su F (u )du
0
 e  as f (s)
Contoh
2
2

cos(t  3 ), t  3
Carilah L{F (t )} jika F (t )  
0, t  2

3
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo138
Menurut definisi transformasi Laplace

L{F (t )}   e  st F (t )dt
0
2 / 3

 st
 e (0)dt 

0
e

 st
cos(t  2 / 3)dt
2 /3

  e  s (u  2 / 3) cosudu
0
e
 2s / 3

e
 su
cos udu
0

se 2s / 3
s2 1
d. Sifat pengubahan skala
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L{F (at )} 
1 s
f 
a a
Bukti
Karena

L{F (t )}   e  st F (t )dt
0
maka

L{F (at )}   e  st F (at )dt
0
Misal u  at maka du  adt sehingga dt 
du
a

Menurut definisi L{F (at )   e  st F (at )dt
0

 e
0
s
u  
a
F (u )
du
a
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo139
s
1   u
  e  a  F (u )du
a

1 s
f 
a a
Contoh:
1. Jika L{F (t )} 
6
 f (s)
( s  2) 3
maka L{F (3t )} 


1 s
f( )
3 3
6
s

3  2 
3

3
6.9
( s  6) 3
Soal:
(t  1) 2 , t  1
1. Hitunglah L{F (t )} jika F (t )  
0,0  t  1
s2  s 1
2. Jika L{F (t )} 
, carilah L{F (2t )}
(2s  1) 2 ( s  1)
3. Jika L{F (t )} 
e 1/ s
, carilah L{e t F (3t )}
s
Jawab
e 1 / s
Karena L{F (t )} 
 f ( s), maka menurut sifat 4 diperoleh
s
L{F (3t )} 
1
3
s
f 
3

3
1e s
Sehingga L{F (3t )} 
3 s
3
3
1 
 e s
s
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo140
 f (s )
Berdasarkan sifat Jika L{F (t )}  f ( s)
maka L{e at F (t )}  f ( s  a) (sifat 2)
Maka L{e t F (3t )}  f (s  1)
3

1

e ( S 1)
( s  1)
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L{F ' (t )}  sf ( s)  F (0)

Karena Karena L{F (t )}   e  st F (t )dt  f ( s) , maka
0

L{F ' (t )}   e  st F ' (t )dt
0

  e  st dF (t )
0
p

  st


  e F (t )   F (t )d (e  st ) 
0

0

  F (0)  s  e  st F (t )dt
0
 sf ( s)  F (0)
Jika L{F ' (t )}  sf ( s)  F (0) maka L{F ' ' (t )}  s 2 f (s)  sF (0)  F ' ( s)
Bukti

L{F ' ' (t )}   e  st F " (t )dt
0

  e  st d ( F ' (t ))
0



  e  st F ' (t )   F ' (t )d (e  st ) 
0


Kalkulus Integral:Dwi Purnomo141



  e  st F ' (t )  s  F ' (t )e  st dt 
0



 e  st F ' (t )  s(sf (s)  F (0))

 s 2 f ( s)  sF (0)  F ' (0)
Dengan cara yang sama diperoleh

L{F ' ' ' (t )}   e  st F ' ' ' (t )dt
0

  e  st d ( F ' ' (t ))
0



  e  st F ' ' (t )   F ' ' (t )d (e  st ) 
0



  st


  e F ' ' (t )  s  e  st F ' ' (t )dt 
0



  st


 e F ' ' (t )  s e F ' (t )   F ' (t )d (e  st ) 
0


 st
 s 3 f (s)  s 2 F (0)  sF ' (0)  F ' ' (0)
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan
bahwa, jika
L{F (t )}  f ( s)
maka
L{F ( n ) (t )}  sf (s)  s n1 F (0)  s n2 F ' (0)  ...  sF ( n2) (0)  F ( n1) (0)
Contoh soal
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan,
tunjukkan bahwa
L{sin at} 
a
 f (s)
s  a2
2
Misal F (t )  sin at diperoleh F ' (t )  a cos at , F ' ' (t )  a 2 sin at
sehingga L{sin at}  
1
L{F ' ' (t )
a2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo142
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan
diperoleh
 1 
L{sin at}    2 sf ( s)  sF (0)  F ' (0)  f
 a 

1  2
a

s 2
 s (0)  a 
2 
2
a  s a


1
a2
 as 2

 2
 a 
2
s a


1
a2
 as 2  as 2  a 3 


s2  a2



a
s  a2
2
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
t
 f (s)
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L  F (u )du  
s
0

Bukti:
t
Misal G(t )   F (u )du maka G ' (t )  F (t ) dan G (0)  0
0
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
L{G ' (t )}  L{F (t )}
 sL{G (t )}  G{0}  f ( s)
 sL{G (t )}  f ( s)
 L{G (t )} 
f (s)
s
t
 f (s)
Jadi diperoleh L  F (u )du  
s
0

Contoh
 t sin u 
du 
1. Carilah L 
0 u

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo143
Misal F (t ) 
sin t
t
Maka L{F (t )}  arctan
1
s
Sehingga menurut sifat transformasi di atas
 t sin u  f ( s ) 1
1
L 
du  
 arctan
s
s
s
0 u

 t sin u  1
1
du   arctan
2. Buktikan L 
s
0 u
 s
Bukti:
t
sin u
du maka F (0)  0
u
0
Misal F (t )  
F ' (t ) 
sin t
dan tF ' (t )  sin t
t
Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
L{tF ' (t )}  L{sin t} 

1
s 1
2
d
1
sf ( s)   2
ds
s 1
 sf ( s)   
1
ds
s 1
2
 sf ( s)   arctan s  C
Menurut teorema harga awal, Lim sf ( s )  lim F (t )  F (0)  0
s 
Sehingga diperoleh c 
t 0

.
2
1
1
Jadi sf ( s )  arctan
s
s
 cos u  ln s 2  1
du  
3. Buktikan L 
2s
t u

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo144
Bukti:

Misal F (t )  
t
cos t
cos u
atau t{F ' (t )}   cos t
du maka F ' (t )  
t
u
L{tF ' (t )}  L{ cos t}
 1 d sf (s)  F (0)  
ds
sf ( s )  

s
s
d 
atau   sf ( s )  2
s 1
s 1
 ds 
2
s
ds
s 1
2


1
ln s 2  1  c
2
Menurut teorema harga akhir, lim sf ( s)  lim F (t )  0, sehingga c = 0.
s 0
t 0
ln( s 2  1)
1
2
Jadi sf ( s )  ln s  1  0 atau f ( s) 
2
2s


g. Perkalian dengan t n
dn
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L{t F (t )  (1)
f ( s)  (1) f ( n ) ( s)
n
ds
n
n
Bukti.

Karena
f ( s)   e  st F (t )dt
maka
menurut
aturan
Leibnitz
untuk
0
menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:


df
d 
 f ' ( s )    e  st F (t )dt 
ds
ds  0


  st
e F (t )dt
s
0


   te  st F (t )dt
0

  e  st {tF (t )}dt
0
  L{tF (t )}
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo145
Jadi L{tF (t )}  
df
  f ' ( s)
ds
Contoh
1. Tentukan L{t sin at}
Jawab
L{sin at} 
a
, maka menurut sifat perkalian dari pangkat
s  a2
2
t n diperoleh
d n f ( s)
, sehingga
L{tF (t )}   1
ds n
n
L{t sin at}  (1)

d  a 


ds  s 2  a 2 
2as
(s  a 2 ) 2
2
2. Tentukan L{t 2 cos at}
Menurut sifat di atas, L{t 2 cos at}  (1) 2
d2  s 


ds 2  s 2  a 2 

d  a2  s2 


ds  ( s 2  a 2 ) 2 

2 s 3  6a 2 s
(s 2  a 2 ) 3
h. Sifat pembagian oleh t

 F (t ) 
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L
   f (u )du
 t  0
Bukti:
Misal G (t ) 
F (t )
maka F (t )  tG(t )
t
Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian,
maka diperoleh bentuk
f (s)  
L{F (t )}  L{tG(t )} atau f ( s )  
d
L{G (t )}
ds
atau
dg
ds
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo146
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh
dg
 f ( s)    ds .
s
g ( s )    f (u )du


  f (u )du
s

 F (t ) 
Jadi L
   f (u )du
 t  0
Soal-soal
1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a. F (t )  t cos 2t
b. F (t )  t sin 3t
c. F (t )  t (3 sin 2t  2 cos 5t )
d. F (t )  t 2 sin t
e. F (t )  (t 2  3t  2) sin 3t
f.
F (t )  t 3 cos t
g. F (t )  t sin 2 t
t 2 ,0  t  1
2) Jika F (t )  
0, t  1
Carilah L{F ' ' (t )}
2t ,0  t  1
3) Diketahui F (t )  
t , t  1
a. carilah L{F (t )}
b. carilah L{F ' (t )}
c. apakah L{F ' (t )}  sf ( s)  F (0) berlaku untuk kasus ini

4) Tunjukkan bahwa  te3t sin tdt 
0
3
50
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo147
5) Tunjukkan bahwa
t
 1
L    (u 2  u  e u )du   L{t 2  t  e t }
0
 s
6) Perlihatkan bahwa
 e  at  e bt 
sb
a. L
  ln
t
sa


2
2
 cos at  cos bt  1 s  b
b. L  

ln

2
2
t

 2 s a
7) Tunjukkan bahwa:
 1 1  u u  1
1
du   ln 1 
a. L   
s
0 u
 s
t1
 t
 f ( s )
b. Jika L{F (t )}  f ( s) maka L  dt1  F (u )du   2
s
 0

0
6.4 Transformasi Laplace Invers
Definisi
Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika
L{F (t )}  f ( s) maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s).
Secara simbolis ditulis F (t )  L1{ f ( s)} . L1 disebut operator transformasi
Laplace invers.
Contoh.
1
 1 
1
2t
2t
1. Karena L 
  e maka L e  
s2
s  2


s
 s 
1
2. Karena L  2
  cos t 3e maka L cos t 3  2
s 3
 s  3
1
 sinh at 
 1  sinh at

3. Karena L  2
maka L1 
 2
2 
2
a
s  a 
 a  s a
Ketunggalan Transformasi Laplace Invers
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo148
Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)}
Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan
transformasi Laplace yang sama.
Contoh
0 untuk t  1
F1 (t )  e 3t dan F2 (t )   3t
e untuk t  1
Mengakibatkan L1{F1 (t )}  L1{F2 (t )} 
1
s3
Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi
Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat
memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus
fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.
Teorema Lerch
Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagiansebagaian dalam setiap selang berhingga 0  t  N
dan eksponensial
berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu
L1  f (s)  F (t ) , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita
selalu menganggap ketunggalan di atas.
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers
beberapa fungsi sederhana dibawah ini.
Nomor
f(s)
L1{ f ( x)}  F (t )
1.
1
s
1
2.
1
s2
t
3.
1
s
, n  0,1,2,3,...
n 1
4.
1
sa
5.
1
s  a2
2
tn
n!
e at
sin at
a
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo149
6.
s
s  a2
1
2
s  a2
cos at
2
7.
8.
s
s  a2
s2  a2
(s 2  a 2 ) 2
sinh at
a
cosh at
2
9.
t cos at
6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers
Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:
1) Sifat Linear
Misal c1 dan c2 adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan f1 ( s) dan
f 2 ( s) berturut-turut adalah transformasi Laplace dari F1 (t ) dan F2 (t ) ,
maka:
L1{c1 F1 (t )  c2 F2 (t )}  L1{c1 F1 (t )}  L1{c2 F2 (t )}
 L1{c1 F1 (t )}  L1{c2 F2 (t )}
 c1 L1{F1 (t )}  c2 L1{F2 (t )}
 c1 f1 (s)  c2 f 2 (s)
Contoh
 3s  12 
1  3s 
1  12 
L1  2
L  2
 L  2

 s 9 
s  9
s  9
1 
 s 
1 
 3L1  2
  12 L  2

s  9
s  9
 3 cos 3t  12
sin 3t
3
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L1{ f (s)}  F (t ) maka L1{ f (s  a)}  e at F (t )
Contoh



1
1
 1  sinh 3t
1 
2t sinh 3t
L1  2
maka L1  2

L 
e
2
t
3
s  9
 ( s  2s  13 
 ( s  2)  9 
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo150
3) Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L1{ f (s)}  F (t ) maka
F (t  a), untuk t  a
L1{e as f ( s)}  
 0, untuk t  a
Contoh
 1 
L1  2
  sin t maka
 s  1


  3s  sin( t  ), untuk t 

 e
 
3
3
L1  2

 s  9  0, untuk t  

 
3
4) Sifat pengubahan skala
Jika L1{ f (s)}  F (t ) maka L1{ f (ks)} 
1 t
F 
k k
Contoh
3s  1  t 
 s 
1 
Karena L1  2
  cos t maka diperoleh L 
  cos 
2
 s  1
 (3s)  1 3  3 
5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan
d n

Jika L1{ f (s)}  F (t ) maka L1{ f ( n ) ( s)}  L1 
f ( s)  (1) n t n F (t )
 ds

Contoh
Karena
L1
 2 
L1  2
  sin 2t
s  4
dan
d  2 
 4s
maka diperoleh
 2
 2
ds  s  4  ( s  4) 2
d  2 
 4s 
1 
  (1) n t n sin 2t  t sin 2t
 2
  L  2
2 
ds  s  4 
 ( s  4) 
6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan

 F (t )
Jika L1{ f (s)}  F (t ) maka L1  f (u )du  
t
s

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo151
Contoh
 1
 1 1  1
1  1 1 t
Karena L1 
 L  
   e maka
 3s( s  1)  3  s s  1 3 3
 1
 1  1  e t
1
du   
diperoleh L1   
 0 3u 3(u  1)  3  t

`

7) Sifat perkalian dengan s n
Jika L1{ f (s)}  F (t ) maka L1{sf ( s)}  F ' (t )
Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika
f(t)  0 , sehingga
L1{sf ( s)  F (0)}  F ' (t )
 L1{sf (s)}  F ' (t )  F (0) (t ) dengan  (t ) adalah fungsi delta Dirac atau
fungsi impuls satuan.
Contoh
 5 
arena L1  2
  sin 5t dan sin 5t  0 maka
 s  25 
 5s  d
L1  2
  (sin 5t )  5 cos 5t
 s  25  dt
8) Sifat pembagian dengan s
 f ( s) 
Jika maka L 
   F (u )du
 s  0
1
t
Jadi pembagian dengan s berakibat mengakibatkan integral F(t) dari 0
sampai dengan t.
Contoh
 2 
Karena L1  2
  sin 2t maka diperoleh
s  4

 t
2
1
1

L1  2
   sin 2u du   cos 2u   cos 2t  1
2
0 2
 s( s  4)  0
t
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo152
9) Sifat konvolusi
Jika L1{ f (s)}  F (t ) dan L1{g ( s)}  G(t ) maka
t
L1{ f ( s) g ( s)}   F (u )G(t  u )du  F * G
0
F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya
dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.
Contoh
 1 
 4t
1  1 
2t
Karena L1 
e
  e dan L 
s

2
s

4





 t  4 u 2 ( t u )
1
maka diperoleh L 
du  e 2t  e 4t
  e e
 ( s  4)( s  2)  0
1
6.6 Metode Transformasi Laplace Invers
Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara,
sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode
yang dapat digunakan, antara lain:
1) Metode pecahan parsial
Setiap fungsi rasional
P( s )
, dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak
Q( s )
(polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya
ditulis
jumlah
dari
fungsi
rasional
yang
P( s )
dapat
Q( s )
mempunyai
bentuk
A
As  B
atau
dan seterusnya, r  1,2,3,....
r
2
(as  b)
(as  bs  c) r
Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial
 P( s) 
maka dapat ditentukan L1 

 Q( s ) 
Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahanpecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas
persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo153
Contoh
 3s  16 
1. Tentukan L1  2

s  s  6
Jawab
3s  16 
 3s  16 
1 
L1  2
L 

s  s  6
 ( s  2)( s  3) 
3s  16
A
B


( s  2)( s  3) s  2 s  3

A( s  3)  B( s  2)
s2  s  6

( A  B) s  (2 B  3 A)
s2  s  6
atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat
A = -2 dan B = 5
 3s  16 
5 
1   2
L1 

L 

 s  2 s  3
 ( s  2)( s  3) 
 2 
1  5 
 L1 
 L 

s  4
 s  3
 2e 4t  5e 3t


s 1
2. Tentukan L1 

2
 ( s  3)( s  2s  2) 
Jawab


s 1
Bs  C 
1  A
L1 
 2
L 

2
 ( s  3)( s  2s  2) 
 s  3 ( s  2s  2) 
A
Bs  C
A( s 2  2s  2)  ( Bs  C )( s  3)
 2

s  3 s  2s  2
( s  3)( s 2  2s  2)
As 2  2 As  2 A  Bs 2  (3B  C ) s  3C
`
( s  3)( s 2  2s  2)
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo154

  ( A  B) s 2  (2 A  3B  C ) s  (2 A  3C ) 
s 1



2
( s  3)( s 2  2s  2)
 ( s  3)( s  2s  2)  

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1
Atau A = 
4
1
4
, B = , dan C =
5
5
5
4
1 
 4

s



s

1

1
5  5
5 
Akhirnya diperoleh L1 
L 

2
2
 ( s  3)( s  2 s  2) 
 s  3 ( s  2 s  2) 


4
1 
 4

s


5    4 L1  1   4  ( s  1) 
L1  5  25





5  s  3  5  ( s  1) 2  1
 s  3 ( s  2 s  2) 


4
4
  e 3t  e t cos t
5
5
2) Metode Deret
Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang
diberikan oleh
f ( s) 
ao a1 a2 a3
 
  ...
s s2 s3 s4
Maka
dibawah
persyaratan-persyaratan
yang
sesuai
kita
dapat
menginversi suku demi suku untuk memperoleh
a 2 t 2 a3 t
F (t )  ao  a1t 

 ...
2!
3!
Contoh
  1s 
e 
Tentukan L1 

 s 


Jawab
  1s 
1
1
e  1  1

 3  ...

  1  
2
3! s

 s  s  s 2! s


1
1
1 1


 ...
=  2 
3
4
2! s
3! s
s s

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo155
  12 s 
1
1
1
e 

1  1
Sehingga L1 

 ...
L   2 
3
4
2! s
3! s
s s

 s 


 1 t 
t2
t3
+ ...

12 2 2 12 2 2 32
3) Metode persamaan diferensial
4) Turunan terhadap statu parameter
5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema
6) Penggunaan tabel
7) Rumus inversi kompleks
8) Rumus Penguraian Heaviside
Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan
derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang
berbeda yaitu  k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka
 P( s)  n P( k )  k t
L1 
e

Q
(
s
)
Q
'
(

)
k

1


k
Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:
Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda  1 ,  2 ,  3 , ...
,  n maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh
Ak
An
A1
A2
P( s )
.....(1)


 ... 

Q( s ) s   1 s   2
s k s n
Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s-  k ) dan mengambil s   k
dengan menggunakan aturan L’Hospital diperoleh
s k 
P( s )
( s   k )  lim P( s)

s  k Q( s )
s  k
 Q( s ) 
Ak  lim
s k 
 lim P( s) lim 

s  k
s  k
 Q( s ) 
s k 
 P( k ). lim 

s  k
 Q( s ) 
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo156
 P( k )
1
...
Q' ( s )
Sehingga (1) dapat ditulis sebagai
P( k ) 1
P( n )
P( 2 )
P(s) P(1 )
1
1
1

.

.
 ... 

.
Q(s) Q' (1 ) s  1 Q' ( 2 ) s   2
Q' ( k ) s   k Q' ( n ) s   n
dengan demikian
P( k )
P( n )
P( 2 )
 P( s ) 
1
1
1
1 
1  P( 1 )
L1 
.

.
 ... 
.
 ... 
.
L 

Q' ( k ) s   k
Q' ( n ) s   n 
 Q( s ) 
 Q' ( 1 ) s   1 Q' ( 2 ) s   2
1  P(
 P( 1 )
1  1  P( 2
1 
1
k
L1 
.
.
.
 L 
  ....  L 
Q
'
(

)
s


Q
'
(

)
s


Q
'
(

s

k
1
1
2
2 
k





1 
1  P( n )
.
  ...  L 


 Q' ( n ) s   n 
P( k )  k t
P( n )  nt
P( 1 ) 1t P( 2 )  2t
.e 
.e  ... 
.e  ... 
.e
Q' ( 1 )
Q' ( 2 )
Q' ( k )
Q' ( n )
P( k )  k t
e
k 1 Q' ( k )
n

9) Fungsi Beta
Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai
1
B(m,n) =  u m1 (1  n) n1 du a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:
0
1. B(m, n) 
 ( m)  ( n )
 ( m  n)

2.
2
 sin
2 m 1
 cos 2 m1  d 
0
1
(m)(n)
B(m, n) 
2
2(m  n)
Soal-soal
1. Tentukan,
 12 
a. L1 

4  s 
 2s  5 
b. L1  2

s  9
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo157
 3s  8 4s  24 
 2
c. L1  2

 s  4 s  16 


7 
 3s  2
d. L1  5 

3s  2 

2
 s

 s 
e. L1 
3
 (s  1) 
 3s  14 
f. L1  2

 s  4s  8 
 8s  20 
g. L1  2

 s  12s  32 
 s  1
h. L1  3 
 s 2 
 5s  2 
i. L1  2

 3s  4 s  8 

s
4 s  24 

j. L1 

5
2
 ( s  4) 2 s  16 


s 1
k. L1  2
2
 ( s  2s  2) 


1
l. L1 

2
 ( s  4)( s  4) 
 1

m. L1  2
3
 ( s  1) 
2. Buktikan bahwa:
 3s  16 
2t
 2t
a. L1  2
  5e  2e
s

s

6


3 t 1 t
 2s  1 
b. L1  3
  1 e  e
2
2
s  s
s 1

 1 t 2 1  2 t 3
c. L1  2
 e  e
2
 6s  7 s  2  2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo158


11s 2  2  5
3 t
2t
t
d. L1 
  5e  e 2  2e
2
 ( s  2)( 2s  1)( s  1) 
 27  12s 
 4t
e. L1 
  3e  3 cos(3t )
2
(
s

4
)(
s

9


 s 2  16s  24  1
f. L1  4
  sin( 4t )  cos( 2t )  sin( 2t )
2
 s  20s  64  2

 1
s 1
4 3t
g. L1 
  4 cos t  3 sin t   e
2
5
 ( s  3)( s  2s  2)  5
3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa
 2s  11 
a. L1 

 ( s  2)( s  3) 


19s  27
b. L1 

 ( s  2)( s  1)( s  3) 
 2s 2  6s  5 
c. L  3

2
 ( s  6s  11s  6 
1


2s 2
d. L1 

 ( s  1)( s  2)( s  3) 
6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial
a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu
persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Misal ditentukan persamaan diferensial
d 2Y
dY
p
 qY  F ( x) atau Y ' ' pY ' qY  F ( x) dengan p,q adalah konstanta
dx
dx
dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan
Y’(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan.
Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan
cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo159
selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh
persamaan Aljabar LY ( x)  y(s) .
Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi
Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers
amaan diferensial tingkat tinggi.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.
1) Y ' 'Y  x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan
diferensial diperoleh
L{Y "Y}  LY " LY   L{x}
Menurut sifat (5) transformasi Laplace


L F ( n ) (t )  s n L{F (t )}  s n1 F (0)  s n2 F " (0)  ....  sF n2 (0)  F n1 (0) , sehingga
 {s 2 L{Y }  sY (0)  Y ' (0)}  L{Y }  L( x)
 ( s 2 y  s  2)  y 
 ( s 2  1) y 
 y
1
s2
1
 ( s  2)
s2
1
s2
 2
2
s ( s  1) s  1
2
=
1
1
s
2
 2
 2
 2
2
s
s 1 s 1 s 1
=
1
s
3
 2
 2
2
s
s 1 s 1
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
s
3 
1
Y  L1  2  2
 2

s  1 s  1
s
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo160
1
 s  1  3 
 L1  2   L1  2
 L  2

s 
 s  1
 s  1
 x  cos x  3sin x
Untuk pemeriksaan jawab di atas
Y  1  cos x  3sin x
Y '   sin x  3 cos x
Y ' '   cos x  3sin x
Y ' 'Y   cos x  3sin x  x  cos x  3sin x  x dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2
2) Y ' '3Y '2Y  4e 2 x dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan
diferencial diperoleh
LY "3Y '2Y   L{4e 2x }
Menurut sifat (5) transformasi Laplace


L F ( n ) (t )  s n f (s)  s n1 F (0)  s n2 F " (0)  ....  sF n2 (0)  F n1 (0) , sehingga
LY "3Y '2Y   L{4e 2x }
 {s 2 L{Y }  sY (0)  Y ' (0)}  3sL{Y }  Y (0)  2L{Y }  L(4e 2 x )
 {s 2 y  3s  5}  3{sy  3}  2 y 
 ( s 2  3s  2) y 
y
4
s2
4
 3s  14
s2
4
3s  14
 2
( s  3s  2)( s  2) s  3s  2
2
 3s 2  20s  24

( s  1)( s  2) 2

7
4
4


s  1 s  2 ( s  2) 2
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo161
 7
4
4 
Y  L1 


2
 s  1 s  2 ( s  2) 
  7  1  4  1  4 
 L1 
 L 
 L 
2 
 s  1
s  2
 ( s  2) 
 7e x  4e 2 x  4 xe2 x
b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel
Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian
persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan
diferensial
yang
berbentuk x nY ( n) ( x)
sehingga
transformasi
Laplace


dm
diperoleh L x mY ( n ) ( x)  (1) m m L Y ( n ) ( x) 
ds






Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace
Jika L{F (t )}  f ( s) maka L{t n F (t )}   1
n
dn
f ( s)   1 f ( n ) ( s)
n
ds
Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut
Tentukan selesaian persamaan diferensial
1) xY' '2Y ' xY  0 dengan Y(0) = 1 dan Y(  )= 0
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan
diperoleh:
LxY"2Y ' xY  L0
 LxY" L2Y ' LxY  0
 (1)1
 1


d 2
d
s y  sY (0)  Y ' (0)  2( sy  Y (0))  (1)1 ( y )  0
ds
ds


d 2
d
s y  s  1  2( sy  1)  (1)1 ( y )  0
ds
ds
dy
dy


 2sy  s 2
 1  0  2( sy  1)  (1)
0
ds
ds


Kalkulus Integral:Dwi Purnomo162
 2sy  s 2 y'1  2sy  2  y'  0
 (s 2  1) y'  1
 y'  
1
( s  1)
2
Diperoleh y   
1
ds   arctan s  C
( s  1)
2
Karena y  0 bila s   kita dapatkan c 
y

2
 arctan s  arctan

, sehingga
2
1
s
1  sin t

Akhirnya didapat Y  L arctan  
, hal ini memenuhi Y(  ) =0
s
t

2) Y ' ' xY 'Y  1 , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan
diperoleh:
LY " xY 'Y   L
1
 LY " LxY' LY   L
1


 s 2 y  sY (0)  Y ' (0)  (1)1


 s 2 y  s.1  2 

d
1
{sy  Y (0)}  y 
ds
s
d
( sy  1)  y  0
ds

 s 2 y  s  2  ( y  sy ' )  y ' 
 sy '( s 2  1) y  s  2 
1
s
1
s
Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu
derajat satu dan dapat diubah menjadi:
1
2 1

 y ' s   y  1   2
s
s s


Faktor integral persamaan di atas adal e
  s 
1
 ds

1
 e2
s 2  2 ln s
1
 s 2e 2
s2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo163
1
s
d  2 2 s2   2 1  2 2
 s e y   1   2  s e
Maka
 
ds 
s s 

2
s2
s
1
2 1
Sehingga y  e y  (1   2 ) s 2 e 2 ds
s
s s
s2
1 2
c
  2  2 e2
s s
s
Akhirnya diperoleh y  1  2t
Soal-soal
Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut:
1) Y ' xY'Y  0 dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 1
2) xY ' '(1  2 x)Y '2Y  0 dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2
3) xY ' '( x  1)Y 'Y  0 dengan Y(0) = 5 dan Y(  ) = 0
4) Y ' 'Y '4xY  0 dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 0
5) Y”+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7
6) Y”-3Y’+2Y=4x+12e  x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo164
c) Persamaan Diferensial Simultan
d) Persamaan Diferensial Parsial
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo165
Soal-soal
Tentukan selesaian dari persamaan berikut:
1) Y”+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7
2) Y”-3Y’+2Y=4x+12e  x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo166
8) Transformasi fungsi periodic
9) Sifat f(s) bila s  
10) Teorema harga awal
11) Teorema harga akhir
12) Perluasan dari teorema harga awal
13) Perluasan dari teorema harga akhir
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo167