PERTEMUAN 2 : PERANAN KOMPUTER PADA METODE NUMERIK A. TUJUAN PEMBELAJARAN Pada pertemuan ini akan dijelaskan tentang ; Peranan Komputer Dalam Metode Numerik, Aproksimasi (Hampiran/Pendekatan) dan Teori Kesalahan / Galat / Error. Melalui.pembelajaran ini, anda diharapkan mampu: 1. menjelaskan peranan komputer pada Metode Numerik 2. mengetahui aspek-aspek yang harus diperhatikan dalam penyelesaian masalah, 3. menjelaskan kriteria algoritma yang baik, 4. mengetahui Nilai signifikan, Sumber galat, jenis-jenis galat B. URAIAN MATERI 1. Peranan Komputer Dalam Metode Numerik Dalam menyelesaikan masalah-masalah berskala besar yang melibatkan banyak variabel, ada beberapa aspek yang perlu diperhatikan ; 1. kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, 2. banyaknya operasi yang diperlukan (puluhan bahkan sampai jutaan) 3. tingkat keakuratan yang diinginkan 4. pemilihan metode yang digunakan. Apabila jumlah yang diperlukan dalam menyelesaikan masalah hanya berjumlah puluhan, maka penyelesaiannya dapat dilakukan secara manual atau menggunakan kalkulator. Cara manual tidak lagi efektif jika banyaknya/jumlah operasi yang diperlukan hingga jutaan operasi maka harus dilakukan dengan menggunakan komputer berkecepatan tinggi. Komputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik.Hal ini mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmetika seperti penjumlahan, perkalian, pembagian, plus membuat perbandingan. Sayangnya, jumlah operasi aritmetika ini umumnya sangat banyak dan berulang, sehingga perhitungan secara manual sering menjemukan. Manusia melakukan perhitungan manual ini dapat membuat kesalahan dalam melakukannya. Dalam hal ini, komputer berperanan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan. Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk memprogram. Langkahlangkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer.Program ditulis dengan bahasa pemrograman tertentu, seperti FORTRAN, PASCAL, C, C++, BASIC, dan sebagainya.Sebenarnya, menulis program numerik tidak selalu diperlukan.Di pasaran terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat digunakan.Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MathLab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, dan sebagainya.Selain itu, terdapat juga library yang berisi rutin-rutin yang siap digabung dengan program utama yang ditulis pengguna, misalnya IMSL (International Mathematical and Statistical Library) Math/Library yang berisi ratusan rutin-rutin metode numerik. Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter.Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubahubah nilai parameter. Kemajuan komputer digital telah membuat bidang metode numerik berkembang secara dramatis. Tidak ada bidang matematika lain yang mengalami kemajuan penting secepat metode numerik. Tentu saja alasan utama penyebab kemajuan ini adalah perkembangan komputer itu sendiri, dari komputer mikro sampai komputer Cray, dan kita melihat perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Tiap generasi baru komputer menghadirkan keunggulan seperti waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan perhitungan.Hal ini membuat ruang penelitian semakin terbuka luas.Tujuan utama penelitian itu adalah pengembangan algoritma numerik yang lebih baik dengan memanfaatkan keunggulan komputer semaksimal mungkin.Banyak algoritma baru lahir atau perbaikan algoritma yang lama didukung oleh komputer. Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini adalah perhitungan “waktu nyata”(real time computing), yaitu perhitungan keluaran/output dari data yang diberikan dilakukan secara simultan dengan event pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang dibutuhkan dalam mengendalikan proses kimia atau reaksi nuklir, memandu pesawat udara atau roket dan sebagainya. Karena itu, kecepatan perhitungan dan kebutuhan memori komputer adalah pertimbangan yang sangat penting. Jelaslah bahwa kecepatan tinggi, keandalan, dan fleksibilitas komputer memberikan akses untuk penyelesaian masalah praktek.Sebagai contoh, solusi sistem persamaan lanjar yang besar menjadi lebih mudah dan lebih cepat diselesaikan dengan komputer. Perkembangan yang cepat dalam metode numerik antara lain ialah penemuan metode baru, modifikasi metode yang sudah ada agar lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untuk proses perhitungan baku, pengkajian galat, dan penghilangan jebakan yang ada pada metode. Algoritma adalah merupakan sederetan(sequence) langkah logika yang diperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu seperti pemecahan masalah.Algoritma yang baik mempunyai sejumlah kriteria berikut : 1. Setiap langkah harus determinestik. 2. Proses harus berakhir setelah sejumlah berhingga langkah. 3. Hasil akhir tidak boleh tergantung kepada siapa yang menjalani algoritma tersebut. 4. Suatu algoritma tidak boleh berakhir terbuka. 5. Algoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan apapun. 2. Aproksimasi (Hampiran/Pendekatan) Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Contoh ; nilai pada penggaris menunjukkan pada strip / garis antara angka 59 dan 60. Jika pada kasus ini nilai signifikan = 1 maka nilainya adalah 59 atau 60. Jika pada kasus ini nilai signifikan = 0,1, maka nilainya adalah 59 atau 59,5. Metode numerik mengandung hasil pendekatan/hampiran keyakinannya ditentukan oleh angka signifikan Sebagai ilustrasi ; seseorang mengukur berat badan, berdasarkan timbangan diperoleh berat badannya adalah 62 atau 63, mungkin lebih tepatnya 63 kg. Jika untuk ketelitian data menginginkan 1 digit dibelakang koma dapat diperkirakan nilainya 62,7 kg atau 62,9 kg. Karena adanya keterbatasan timbangan kita tidak dapat memastikan tapi hanya menduga digit berikutnya, akan terasa aneh jika katakan berat badannya adalah 62, 897653657 kg Angka signifikan 1. konsep angka signifikan → keandalan sebuah nilai numerik 2. komputasi terhadap suatu bilangan → bilangan harus meyakinkan 3. Banyaknya angka signifikan → banyaknya digit tertentu yang dapat meyakinkan nilai tersebut. 4. Selain angka signifikan juga ada angka taksiran. Angka nol tidak selalu menjadi angka signifikan. Contoh : a. 0,000123 → mengandung 3 AS (nol bukan AS) b. 0,00123 → mengandung 3 AS (nol bukan AS) c. 12.300 → tidak jelas berapa AS karena masih dipertanyakan nol berarti atau tidak 5. Ketidakpastian → kepastian jika digunakan notasi ilmiah a. 1.23 x 104 → mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) b. 1,230 x 104 → mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah) c. 1,2300 x 104 → mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah) Arti penting angka signifikan ; a. AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numeric b. AS akan memberikan pengabaian dari AS sisa untuk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bias dinyatakan secara eksak karena jumlah digit yang terbatas → kesalahan pembulatan (round-off error) 3. Teori Kesalahan /Galat /Error Aspek yang penting diperhatikan dalam komputasi numerik adalah kecepatan dan keakuratan solusi dan presisi.Presisi ; mengacu pada jumlah angka signifikan yang menyataan suatu besaran, penyebaran nilai-nilai yang terbaca dari sebuah alat yang mengukur suatu perilaku fisik tertentu. Akurasi ;mengacu seberapa dekat sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap angka sebenarnya yang hendak dinyatakan inkurasi (tidak akurat). Tingkat keakuratan suatu model matematika dalam menyajikan suatu fenomena alam dapat diuji dengan membandingkan solusi beberapa eksperimen dan beberapa solusi khusus menggunakan beberapa parameter masukan.Solusi yang diperoleh merupakan solusi hampiran sehinga tentu saja akan terdapat galat (kesalahan numeric). Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Misalkan â adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisih ε = a – â disebut galat. Sebagai contoh, jika â = 10.5 adalah nilai hampiran dari a = 10.45, maka galatnya adalah ε = 0.01. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya.Sehingga dinamakan galat relatif.Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati.Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat ε seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran. Contoh: Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran. Penyelesaian: Galat = 10/3 – 3.333 = 10/3 – 3333/1000 = 1/3000 = 0.000333… Galat mutlak = ǀ0.000333…ǀ = 0.000333… Galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/1000 = 0.0001 Galat relatif hampiran = (1/3000)/3.333 = 1/9999. Terdapat banyak sumber galat, diantaranya tingkat ketelitian model matematika, sistem aritmetik komputer, dan kondisi yang digunakan untuk menghentikan proses pencarian solusi. Semua ini harus dipertimbangkan untuk menjamin ketelitian solusi akhir yang dihitung. Beberapa sumber galat pada solusi hampiran yang diperoleh dengan menggunakan suatu metode komputasi numeriK, yaitu ; 1. model matematika yang kurang teliti. 2. galat bawaan dari data masukan 3. metode penyelesaian 4. adanya pembulatan didalam melakukan operasi-operasi aritmatika atau operasioperasi jenis lain pada bilangan yang terkait, Galat dalam komputasi numerik dikelompokan menjadi ; 1. Galat manusia (human error) yaitu galat yang disebabkan oleh kekurang cermatan manusia, seperti ; kurang cermat dalam menggunakan alat ukur dan penggunaan mesin hitung/computer, kesalah dalam merumuskan model matematika, pemakaian alat ukur yang tidak akurat 2. Galat bawaan (inherent error), yaitu galat yang disebabkan oleh kesalahan hasil pengukuran, kesalahan data awal. Karena keterbatasan mesin hitung/computer dalam menyajikan suatu bilangan (data) akan menghasilkan Galat pemotongan (truncation error) dan Galat pembulatan (round-off error) 3. Galat pemotongan (truncation error), yaitu galat yang berkaitan dengan metode numerik yang dipakai. Galat ini terjadi karena adanya pemotongan deret tak berhingga yang menyatakan perhitungan nilai suatu fungsi atau nilai desimal, dan karena penghentian proses perhitungan. 4. Galat pembulatan (round-off error), yaitu galat yang berkaitan dengan penggunaan sejumlah terbatas AS C. LATIHAN SOAL / TUGAS 1. Jelaskan peranan komputerpada metode numerik 2. Sebutkkan aspek-aspek yang harus diperhatikan dalam penyelesaian masalah, 3. Bagaimanasuatu algoritma dikatakan baik ? 4. Apa yang dimaksud dengan Nilai signifikan? 5. Sebutkan Sumber galat dan jenis-jenis galat D. DAFTAR PUSTAKA Munir. Rinaldi, Metode Numerik, 2013, Informatika, Bandung Steven C. Chapra & Raymond P. Canale, Metode Numerik untuk Teknik dengan Penerapan pada Komputer Pribadi, UI-Press, Jakarta, 1991. Suryadi H.S., Pengantar Metode Numerik, Seri Diktat Kuliah, Gunadarma, 1990
