Uploaded by User76342

Bahan STK M2

advertisement
MAKALAH
SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT 2 DIMENSI
DISUSUN OLEH :
HERA RATNAWATI
18/428694/TK/47196
DEPARTEMEN TEKNIK GEODESI
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS GADJAH MADA
2019
1
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala rahmat yang diberikanNya sehingga tugas Makalah yang berjudul “Sistem Transformasi Koordinat 2 Dimensi yang
digunakan di Bidang Geodesi” ini dapat saya selesaikan. Makalah ini saya buat sebagai
kewajiban untuk memenuhi tugas.
Dalam kesempatan ini, saya menghaturkan terimakasih yang dalam kepada semua
pihak yang telah membantu menyumbangkan ide dan pikiran mereka demi terwujudnya
makalah ini. Akhirnya saran dan kritik pembaca yang dimaksud untuk mewujudkan
kesempurnaan makalah ini sangat saya hargai.
Yogyakarta, 28 Agustus 2017
Hera Ratnawati
2
DAFTAR ISI
Cover..........................................................................................................................................1
Kata Pengantar .......................................................................................................................2
Daftar isi ...................................................................................................................................3
Bab I pendahuluan .....................................................................................................................4
1.1 Latar belakang ......................................................................................................................4
1.2 Rumusan masalah ................................................................................................................5
1.3 Tujuan ................................................................................................................................. 5
Bab II Landasan Teori ............................................................................................................... 6
Bab III Pembahasan.............................. .................................................................................... 7
Bab IV Penutup ...................................................................................................................... 16
Kesimpulan ..............................................................................................................................16
Daftar pustaka ..........................................................................................................................17
3
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Rene Descartes dikenal sebagai ahlli filsafat modern pertama yang besar. Ia juga
penemu biologi modern, ahli fisika, dan matematikawan. Ia lahir di Touraine, Prancis, putra
dari seorang ahli hukum, yang lumayan kekayaannya. Ayahnya mengirimnya ke
sekolah Jeswit pada umur 8 tahun. Karena
kesehatannya yang kurang baik, Descartes
diizinkan menghabiskan waktu paginya belajar di tempat tidur, suatu kebiasaan yang
dipandangnya berguna sehingga dilanjutkannya sepanjang hidupnya. Pada umur 20 tahun, ia
mendapat gelar sarjana hukum dan selanjutnya menjalani kehidupan seorang tuan yang
terhormat, menjalani dinas militer beberapa tahun dan tinggal beberapa waktu di Paris dan
kemudian di Belanda. Ia pergi ke Swedia diundang untuk mengajari Ratu Christina, di mana ia
meninggal karena pneumonia pada tahun 1850.
Descartes menyelidiki suatu metode berfikir yang umum yang akan memberikan
perkalian pada pengetahuan dan menuju kebenaran dalam ilmu-ilmu. Penyelidikan itu
mengantarnya ke matemtika, yang ia simpulkan sebagai sarana pengembangan kebenaran di
segala bidang. Karya matematikanya yang paling berpengaruhu adalah La Geometrie, yang
diterbitkan tahun 1637. Di dalamnya ia mencoba suatu penggabungan dari geometri tua dan
patut dimuliakan dengan AlJabar yang masih bayi. Bersama dengan orang Prancis lainnya,
Pierre Fermat (1601-1665), ia diberi pujian dengan gabungan tersebut yang saat ini kita sebut
geometri analitik atau geometri koordinat. Makalah ini akan menyajikan terobosannya khusus
mengenai sistem koordinat, diantaranya sistem koordinat kartesius, koordinat polar, dan
koordinat bola.
4
1.2 RUMUSAN MASALAH
Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah
1.
2.
3.
4.
Apakah yang dimaksud dengan sistem koordinat ?
Apa saja macam-macam dari sistem koordinat ?
Apa yang dimaksud sistem koordinat 2 dimensi ?
Apa kegunaan sistem koordinat 2 dimensi dalam bidang Geodesi ?
1.3 TUJUAN
Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah di atas, adapun tujuan dari makalah
ini adalah sebagai berikut.
Memberikan pemahaman mengenai sistem koordinat secara umum.
Mendeskripsikan sistem koordinat kartesius.
3. Mendeskripsikan sistem koordinat polar.
4. Mendeskripsikan sistem koordinat 2 dimensi yang digunakan dalam bidang
Geodesi.
1.
2.
5
BAB II
LANDASAN TEORI
SISTEM KOORDINAT
Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik
pada bidang ( R 2 ) atau ruang ( R 3 ) . Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara
lain sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650), sistem koordinat kutub, sistem
koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidang (R 2), letak titik pada umumnya
dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Sedangkan pada ruang (R 3) letak
suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius, koordinat tabung dan
koordinat bola.
Untuk menjamin konsistensi dan standardisasi, perlu ada satu sistem dalam menyatakan
koordinat, hal ini terkait dengan kerangka koordinat, sistem koordinat. ¨ Pengertian kerangka
koordinat adalah suatu himpunan dari sumbu-sumbu koordinat atau bangun geometrik yang
lainnya, kepadanya posisi suatu titik ditentukan. Hubungan geometrik antara dua kerangka
koordinat dinyatakan oleh kombinasi vektor translasi yang menetapkan posisi titik nol
kerangka yang satu terhadap lainnya, dan matrik rotasi yang menyatakan orientasi kerangka
yang satu terhadap yang lainnya.
Sistem referensi merupakan definisi secara konseptual secara lengkap bagaimana
sistem koordinat ditentukan. Terkait dalam pendefinisian origin (titik pusat) dan orientasi dari
sumbu-sumbu sistem koordinat. Termasuk yang mendasari model matematika dan model fisik.
¨ Kerangka referensi merupakan realisasi praktis dari sistem referensi melalui pengukuran dan
pengamatan.
Terdapat parameter dalam sistem koordinat yaitu :
1. Lokasi Titik Nol dari Sistem Koordinat Posisi suatu titik di permukaan bumi
umumnya ditetapkan dalam/terhadap suatu sistem koordinat terestris. Titik nol dari sistem
koordinat terestris ini dapat berlokasi di titik pusat massa bumi (sistem koordinat geosentrik),
maupun di salah satu titik di permukaan bumi (sistem koordinat toposentrik).
2. Orientasi dari Sumbu-sumbu Koordinat ¨ Posisi tiga-dimensi (3D) suatu titik di
permukaan bumi umumnya dinyatakan dalam suatu sistem koordinat geosentrik. ¨ Tergantung
dari parameter-parameter pendefinisi koordinat yang digunakan, ¨ dikenal dua sistem koordinat
yang umum digunakan, yaitu sistem koordinat Kartesian (X,Y,Z) dan sistem koordinat
Geodetik (L,B,h).
3. Besaran (kartesian, curvilinear) yang digunakan untuk mendefinisikan posisi suatu
titik dalam sistem koordinat ¨ Posisi titik juga dapat dinyatakan dalam 2D, baik dalam (L,B),
ataupun dalam suatu sistem proyeksi tertentu (x,y) seperti Polyeder, Traverse Mercator (TM)
dan ¨ Universal Traverse Mercator (UTM).
6
BAB III
PEMBAHASAN
Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik
pada bidang ( R 2 ) atau ruang ( R 3 ) . Beberapa macam sistem koordinat yang kita kenal, antara
lain sistem koordinat Cartesius, sistem koordinat kutub.
Sisten Koordinat dalam Bidang (R2) / 2 Dimensi
Letak suatu titik dalam bidang dinyatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat
kutub.
1) Sistem Koordinat Cartesius
Y
x 0
y 0
x 0,
y 0
Kwadran II
Kwadran I
X
Kwadran III
Kwadran IV
x 0,
y 0
x 0,
y 0
Gambar 1
Berdasarkan Gambar 1 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbu-sumbu
koordinat X dan Y, masing-masing bidang yang dibatasi oleh bidang dinamakan kwadran, sehingga
terdapat 4 kwadran, yaitu kuadran I (x>0, y>0), kwadran II (x<0, y>0), kwadran III (x<0, y<0), dan
kwadran IV (x>0, y<0). Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka titik tersebut posisinya
dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran IV tergantung besaran x dan y. Jika letak titik P(x,y),
maka x disebut absis, y disebut ordinat dan P(x,y) disebut koordinat.
7
Misal P(x1,y1) dan terletak di kwadran I hal ini berarti x1>0 dan y 1>0
Y
P( x1 , y1 )
y1
O(0,0)
x1
X
M ( x1 ,0)
Gambar 2
Berdasarkan gambar 2 di atas, tampak suatu segitiga yaitu OPM yang salah satu sudutnya
siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras
OP2
= OM2+ MP 2
= (x1-0)2+ (y 1-0)2
= x12+ y 12
=
2
2
x1  y1
atau ditulis dengan notasi OP  x12  y 22
Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik O(0,0) dengan titik P(x 1 ,y
1)
8
Y
P ( x1 , y1 )
X
Q( x2 , y 2 )
R ( x3 , y3 )
Gambar 3
Gambar 3 di atas menunjukkan segitiga PQR yang masing-masing titik sudutnya yaitu P ( x1 , y1 )
terletak pada kuadran II, Q ( x 2 , y 2 ) terletak pada kuadran IV, R( x3 , y3 ) terletak pada kuadran III dan
jarak masing-masing titik dinyatakan oleh:
1.
PQ  ( xQ x P ) 2 ( y Q  y P ) 2
 ( x 2  x1 ) 2 ( y 2  y1 ) 2
2.
PR  ( x R x P ) 2 ( y R  y P ) 2
 ( x3 x1 ) 2 ( y 3  y1 ) 2
3.
QR  ( x R xQ ) 2 ( y R  y Q ) 2
 ( x3 x 2 ) 2 ( y 3  y1 ) 2
2) Sistem Koordinat Kutub
9
Sistem koordinat Cartesius, menyatakan bahwa letak titik pada bidang dinyatakan dengan
pasangan ( x, y ) , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbux. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan
real 
r , , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan
adalah sudut

antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)

P(r, 
)
r

O
Gambar 4
Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: 1596-1650) dalam koordinat
kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik
P(3, 3) dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik
asal O dengan sudut sebesar

radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak
3
pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula
dinyatakan dalam koordinat 
3, 3 2k , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah
ditunjukkan pula bahwa koordinat
3, 4 3pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4
(c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada
bayangan sinar OP.
P(3, 3)
P (3, 3 2k 
)
3
3
3 2k 
3
(b)
(a)
10
P(3, 4 3)
3
4 3
O
3
P 
(c)
Gambar 5
Secara umum, jika 
r , menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut
dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
r , 2k 
r , (2k 1) 
atau
dengan k bilangan bulat.
Kutub mempunyai koordinat (0, ) dengan 
sebarang bilangan.
Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub
Suatu titik P berkoordinat ( x, y ) dalam sistem koordinat Cartesius dan
(r , ) dalam sistem
koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, emikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif
juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:
Y
P( x, y ) (r , )
r
r
Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:
11
x r cos 
y r sin 
 y 
x 
arcsin  arccos 
r 
r 
r  x 2  y 2
Contoh
1) Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.
 2 

 3 


b. B5,
a. A4,


4 


5 

6 
c. C 3,
Jawab
a. x 4 cos
2 
2
3

y 4 sin
2 
2 3 .
3

Jadi, A 2,2 3 .
b. x 5 cos
 5
 2
4
2
y 5 sin
 5
 2 .
4
2
5
 5

2 , 2 .
2
 2

Jadi, dalam system koordinat Cartesius B
 5  3
 3
 6  2
c. x 3 cos
 5  3
y 3 sin   .
 6  2
3 
3
2 , .
2 
2
Jadi, C 
Apabila x 0 maka persamaan dapat dinyatakan sebagai:
r 2  x 2  y 2
 y 
arctan , x 0
 x 
12
Karena arctan
y
akan memberikan 2 nilai 
yang berbeda, 0  2 . Untuk menentukan
x
nilai 
yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II
2
2
atau IV. Apabila dipilih nilai 
yang lain, maka r  x  y .
2) Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:
a. P 4,4 
b. Q(4,4)
Penyelesaian:
a.
r  4 2 (4) 2 4 2
arctan
4
3 
7 

atau
4
4
4
Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:
r 4 2 dengan 
7 
, atau
4
r 4 2 dengan 


Jadi, P4 2 ,
b.
3 
.
4
7 
3 

atau P4 2 , .
4 
4 

r  (4) 2 4 2 4 2
arctan
4 3 
7 

atau
4
4
4
Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka:
r 4 2 dengan 
3 
, atau
4
r 4 2 dengan 


Jadi, Q4 2 ,
7 
.
4
3 
7 

atau Q4 2 ,
.
4 
4 

13
3) Nyatakan persamaan r 2a sin ke dalam sistem koordinat Cartesius.
Jawab
Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:
r 2 2a (r sin )
Selanjutnya, karena r 2  x 2  y 2 dan r sin  y maka:
x 2  y 2 2ay
 x 2  y 2 2ay 0,
yaitu persamaan lingkaran dengan pusat (0, a) dan jari-jari a .
4) Nyatakan x 2 4 y 2 16 ke dalam system koordinat kutub.
Penyelesaian: Dengan substitusi x r cos dan y r sin maka diperoleh:
r 2 cos 2 4r 2 sin 2 16
r 2 (1 3 sin 2 
) 16.
 Penggunaan Sistem Koordinat 2 Dimensi yang digunakan di Bidang Geodesi
Selain digunakan untuk mempresentasikan posisi titik pada peta, juga digunakan dalam
Sistem Informasi Geografi (GIS) merupakan metoda sajian terpadu, maka semua data masukan
spasial maupun tabular harus berupa data terpadu. Artinya, kesatuan Sistim Koordinat untuk
data spasial, kesatuan ID untuk data tabular, kesatuan dalam me-manage data untuk sasaran
informasi tersebut agar dapat dimanfaatkan secara maksimal. Fungsi Sistim Proyeksi dan
transformasi sangat memegang peranan sangat penting.
Transformasi koordinat digunakan untuk merelasikan sistem koordinat tanah dengan
peta atau layer data atau untuk meng-adjust suatu layer data sedemikian rupa
sehingga layer tersebut dapat di-overlay-kan secara tapat di ataslayer(s) yang lain. Prosedur
yang digunakan untuk mengaplikasikan koreksi ini disebut dengan istilah registrasi – beberapa
layer yang berbeda diregistrasikan terhadap sistem koordinat bersama atau terhadap salah satu
layer yang dianggap sebagai peta dasar (standard). Layer(s) yang mencakup area yang sama
harus diregistrasi sedemikian rupa sehingga setiap lokasi yang terdapat di
dalam overlay memiliki koordinat (peta) yang sama. Di bidang pengolahan citra dan
penginderaan jauh, sering kali, proses registrasi terhadap suatu citra dilakukan dengan bantuan
citra lain (citra referensi) yang telah memiliki koordinat bumi (atau koordinatnya telah
14
dianggap benar) – registrasi citra. Walaupun demikian, jika tujuan prosesnya hanya sekedar
untuk ‘mendatarkan’ geometri citra (tetapi masih belum dapat menghapus distorsi akibat
pergeseran relief topografi) dan tidak memerlukan citra referensi, tetapi memerlukan titik-titik
kontrol tanah (GCPs), maka prosesnya sering disebut sebagai rektifikasi
15
BAB IV
PENUTUP
KESIMPULAN
Sistem
koordinat
Kartesius digunakan
untuk
menentukan
tiap
titik dalam bidang dengan
menggunakan
dua bilangan yang
biasa
disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut. Untuk mendefinisikan koordinat
diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan
panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut. Sedangkan , dalam sistem
koordinat kutub, koordinat suatu titik didefinisikan sebagai fungsi dari arah dan jarak titik
ikatnya.
16
DAFTAR PUSTAKA
https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8
&ved=0ahUKEwi4_reklv3VAhWJLY8KHWLFB2cQFgguMAE&url=http%3A%2F%2Frep
o.unnes.ac.id%2Fdokumen%2Fastrodb%2Fdoc%2FTransformasi%2520Sistem%2520Koordi
nat.doc&usg=AFQjCNFz9xn1XLl-A-GN26ZqSb4bPqrkAA
http://www.scribd.com/doc/195723206/Transformasi-Datum-Dan-Koordinat#scribd
http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/20568/1/Appendix.pdf
https://dwipurnomoikipbu.wordpress.com/
http://share.its.ac.id/pluginfile.php/29928/mod_resource/content/1/STK2013_Kuliah2_Sistem
%20Koordinat.pdf
17
Download