PERSAMAAN UMUM BIDANG MAKALAH Disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Geometri Analitik yang diampu oleh: Dr. Siti Lailiyah Oleh: (D078011) 1. 2. Nurul Izza (D04218010) 3. Wahyu Tri Cahyani (D04218016) 4. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL SURABAYA 2019 KATA PENGANTAR Puji syukur kami ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesikan Makalah sebagai tinjauan atas diskusi yang telah kami selesaikan yang berjudul “Persamaan Umum Bidang” dengan baik. Makalah ini disusun guna memenuhi tugas Geometri Analitik dan juga dapat menambah pengetahuan penulis dan pembaca. Kami juga mengucapkan banyak terima kasih kepada Ibu Siti Lailiyah M.Si selaku dosen pengampu yang telah memberikan ilmu kepada kami, keluarga yang senantiasa mendoakan kesuksesan kami. Berikut juga temanteman mahasiswa program studi pendidikan matematika kelas yang telah memberikan dukungan dan masukan dalam menyelesaikan makalah ini. Dalam penulisan makalah ini, kami sadari masih banyak kekurangan dan kelemahannya, baik dari segi penulisan dan juga materi. Oleh karena itu, kami mengharapkan kritik dan saran dari pembaca serta dosen matakuliah Geometri Analitik guna sebagai pembelajaran dan perbaikan kedepannya. Surabaya, 25 November 2019 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari serangkaian pernyataan tentang titik - titik, garis - garis, dan bidang - bidang, dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda – benda padat. Geometri dimulai dari istilah - istilah yang tidak terdefinisikan, definisi - definisi, aksioma - aksioma, postulat - postulat dan selanjutnya teorema - teorema. Berdasarkan sejarah, geometri telah mempunyai banyak penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah, pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain sebagainya. Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah tak terdefinisikan yang menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Misalnya adalah perpotongan dari dua bidang akan menghasilkan sebuah garis yang terletak pada dua bidang yang saling berpotongan. Kubus, balok dan lain sebagainya merupakan kumpulan dari bidang – bidang. Dari contoh di atas dapat dipahami bahwa garis dan bidang merupakan faktor dasar geometri, tentunya dengan tidak melupakan bahwa titik juga merupakan dasar dari geometri. Sebuah bidang dapat dianggap sebagai kumpulan titik yang jumlahnya tak terhingga yang membentuk permukaan rata yang melebar ke segala arah sampai tak terhingga. 1.2 Rumusan Masalah 1. Apa itu persamaan umum bidang? 2. Bagaimana rumus umum persamaan bidang? 3. Bagaimana penyelesaian persamaan bidang jika melalui tiga titik? 1.3 Tujuan 1. Mengetahui persamaan umum bidang. 2. Mengetahui rumus persamaan umum bidang. 3. Mengetahui penyelesaian persamaan bidang jika melalui tiga titik. BAB II PEMBAHASAN A.PERSAMAAN UMUM BIDANG Misal r = (x, y, z) adalah vektor dari titik asal ke titik P(x, y, z). Misal r0(x0, y0, z0) adalah vektor dari titik asal ke titik P0(x0, y0, z0) dan misal n(a,b,c) adalah vektor normal tegak lurus terhadap bidang. Maka, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 𝑛⃗ . PoP 𝑛⃗ . (r-r0) = 0 (a, b, c) . ((x, y, z) – (x0, y0, z0)) = 0 (a, b, c) . (x-x0, y-y0, z-z0) = 0 a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 ax – ax0 + by – by0 + cz – cz0 = 0 ax + by + cz + (– ax0 – by0 – cz0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 Sehingga, Persamaan Umum Bidang adalah Ax + By + Cz + D = 0 Contoh : 1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (3, -1, 7) dan vektor n = (4, 2, -5) ! Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus persamaan umum bidang : a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 4(x-3) + 2(y+1) – 5(z-7) = 0 4x – 12 + 2y + 2 – 5z + 35 = 0 4x + 2y – 5z + 25 = 0 2. Tentukan persamaan bidang yang melalui (0,0,0) dan mempunyai vektor normal (1,2,3) Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus persamaan umum bidang : a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 1(𝑥 − 0) + 2(𝑦 − 0) + 3(𝑧 − 0) = 0 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0 3. Tentukan persamaan bidang yang melalui (2,-1,1) dan mempunyai vektor normal (2,-1,1) Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus persamaan umum bidang : a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 2(𝑥 − 2) − 1(𝑦 + 1) + 1(𝑧 − 1) = 0 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 6 = 0 B.BIDANG MELALUI TIGA TITIK Jika diketahui tiga titik 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) dan 𝐶(𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ), maka persamaan bidang yang melalui ketiga titik tersebut dapat ditentukan menggunakan determinan dari matriks berikut: 𝑥 − 𝑥1 |𝑥2 − 𝑥1 𝑥3 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1 𝑧2 − 𝑧1 | = 0 𝑧3 − 𝑧1 Contoh : 1. Tentukan persamaan bidang melalui tiga titik (1, 4, -5), (-2, 3, 4) dan (3, -2, 1). Penyelesaian: X1= 1 y1= 4 X2= -2 y2= 3 X3= 3 z1= -5 z2= 4 y3= -2 z3= 1 Dengan menggunakan 𝑥−1 𝑦−4 𝑧+5 𝑥−1 𝑦−4 |−2 − 1 3 − 4 4 + 5| = 0 ⟺ | −3 −1 2 −6 3 − 1 −2 − 4 1 + 5 𝑧+5 9 |=0 6 Setelah dihitung determinan matriks sehingga diperoleh 48𝑥 + 36𝑦 + 20𝑧 − 92 = 0 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Berdasarkan penjelasan diatas dapat kita simpulkan bahwa rumus Persamaan Umum Bidang adalah : Ax + By + Cz + D = 0 Sebuah bidang dapat dikontruksikan dengan cara: Melalui tiga buah titik yang tidak segaris,melalui sebuah garis dan sebuah titik diluar garis.Melalui dua buah garis yang sebidang atau dua buah garis yang berpotongan dan dua buah garis yang sejajar Perbedaan perkalian titik (dot product) dengan perkalian silang ( cross product) yaitu kalau perkalian titik (dot product), dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif. Sedangkan perkalian silang (cross product), dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif. DAFTAR PUSTAKA https://caridokumen.com/download/kel-amp-persamaan-bdang-rata_5a449c4fb7d7bc7b7a72f3f4_pdf https://www.academia.edu/9794275/kel_and_persamaan_bdang_rata
