11Matrks

Matriks
Merupakan suatu susunan angka yang berbentuk segi empat. Angka-angka dalam susunan tersebut
disebut Anggota dalam matriks. Ukuran Matriks dinyatakan oleh jumlah basis dan jumlah kolom yang
terdapat di dalamnya
 a11
a
A   21
 

am1
a12
a22

am 2
 a1n 
 a2 n 
  

 amn 
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen
yang seletak sama.
Penjumlahan Matriks
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari
penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo
berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k
kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh
dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh
dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang
berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C =
[ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
Matrix multiplication
A(3x2) B(2x3) =C(3x3)
A(2x2) B(2x3) =C(2x3)
2 2 3 3 1  10 8 6
 3 1  2 1 2  11 10 5

 
 

10
11
8
10
6
5
f(x)
math and trigonometry
mmult
masukkan matrik
Tindis pada perkalian
Shift+control+enter
Schematic depiction of the matrix product AB of two matrices A and B.
Multiplication of two matrices is well-defined only if the number of columns of the left matrix is the same
as the number of rows of the right matrix. If A is an m-by-n matrix and B is an n-by-p matrix, then their
matrix product AB is the m-by-p matrix whose entries are given by
where 1 ≤ i ≤ m and 1 ≤ j ≤ p.[7] For example (the highlighted entry 1 in the product is calculated as the
product 1 · 1 + 0 · 1 + 2 · 0 = 1):
Matrix multiplication satisfies the rules (AB)C = A(BC) (associativity), and (A+B)C = AC+BC as well
as C(A+B) = CA+CB (left and right distributivity), whenever the size of the matrices is such that the
various products are defined.[8] The product AB may be defined without BA being defined, namely if A
and B are m-by-n and n-by-k matrices, respectively, and m ≠ k. Even if both products are defined, they
need not be equal, i.e. generally one has
AB ≠ BA,
i.e. matrix multiplication is not commutative, in marked contrast to (rational, real, or complex) numbers
whose product is independent of the order of the factors. An example for two matrices not commuting
with each other is:
, whereas
The identity matrix In of size n is the n-by-n matrix in which all the elements on the main diagonal are
equal to 1 and all other elements are equal to 0, e.g.
It is called identity matrix because multiplication with it leaves a matrix unchanged: MIn = ImM = M for
any m-by-n matrix M.
Besides the ordinary matrix multiplication just described, there exist other less frequently used operations
on matrices that can be considered forms of multiplication, such as the Hadamard product and the
Kronecker product.
Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari
yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
ditranspose menjadi
MatriksA=
AT =
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)T)T = A
2. (A + B)T = AT + BT dan (A − B)T = AT − BT
3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar
4. (AB)T = BTAT
Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks
bujursangkar.
Contoh, kita ambil matriks A2x2
A=
determinan
detA = ad - bc
matrik A,
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
Jika A =
Pertama buat
M11 =
tentukan determinan A
minor dari a11
= det M11 = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka
kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 =
= detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A=
maka determinan dari matriks A tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det( A)  a11
a22
a23
a32
a33
 a12
a21
a23
a31
a33
 a13
a21
a22
a31
a32
det(A) =
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A=
tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det( A)  1
5 4
2 1
2
4 4
3 1
3
4 5
3 2
= 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
Mencari determinan dengan cara Sarrus
A=
,
determinan matrik A:
detA = (aei + bfg + cdh) - (ceg+ afh + bdi)
Matriks Balikan (Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers
dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka
dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular).
Apabila A dan B adalah matriks se ordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers
dan (AB) − 1 = B − 1A − 1
Adj (A) = Kof A yang ditranpose
a b 

c d 
Matriks A = 
dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus
Contoh 1:
Matriks
A=
dan
B=
AB =
=
I = matriks identitas)
BA =
=
I = matriks identitas
Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)
Contoh 2:
Matriks
A=
dan B =
AB =
=
BA =
=
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3:
Matriks
A=
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
Contoh 4:
Matriks
A=
B=
AB =
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
,
,
Maka
Ini membuktikan bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
Tanda Kof A
 a
A    d
 g
b c
 e  f 
 h  i 
3 2  1
A  1 6
3 
2  4 0 
C23 = -{(3x-4)-(2x2)}=
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 , C12 = 6 , C13 = -16
C21 = 4
C22 = 2
C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
=
 6 3

 4 0
 2 1
Kof A  
 4 0
 2 1
 6 3

1 3
2 0
3 1

2 0
3 1

1 3





4
2 
1 6 
1
2
3

2
3
6
4
2
-{(3x-4)-(2x2)}=16
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi
 12 4 12 
adj( A)   6
2  10
 16 16 16 
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = ((12x2x16)+(4x-10x-16)+(12x16x6)-(………………………)=64
0,1875
0,09375
-0,25
0,0625
0,03125
0,25
0,1875
-0,15625
0,25
Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur
lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D − 1=
DD − 1 = D − 1D = I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
Dk=
Contoh :
A=
maka
A5=
Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga
bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi
yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
Matriks segitiga bawah
Teorema
Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas
adalah segitiga bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas
adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas
adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A=
Inversnya adalah
A − 1=
Matriks yang tidak bisa di invers
B=
Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT
Contoh matriks simetris
Trace Matriks
2 3 4
A  1 2 5
4 2 1 
2 3 1
Trace A  1 2 0  5
0 2 1
Teorema
Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
AT adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)T = BTAT = BA
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :
(A − 1)T = (AT) − 1 = A – 1
Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.
Produk AAT dan ATA
(AAT)T = (AT)TAT = AAT dan (ATA)T = AT(AT)T = ATA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
1  2 4 
A

3 0  5
lalu
ATA =
=
AAT =
=
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA juga bisa di inverse
Rank Matriks
Rank matriks adalah jumlah maksimum dari vektor baris atau vektor kolom yang linier
independen. Rank matriks ditentukan dari dimensi bujur sangkar dimana vektor baris atau
kolomnya tidak bernilai nol. Jika determinan matriks bujur sangkar tidak sama dengan 0 maka
rank-nya adalah ordo dari matriks bujur sangkar tersebut.
Rank matriks digunakan untuk menentukan apakah suatu matriks singular atau nonsingular.
Misalkan matriks A adalah matriks bujur sangkar berukuran n×n, maka matriks A dikatakan
matriks singular apabila rank matriks A kecil dari n (rank(A) < n). Matriks A dikatakan matriks
non-singular apabila rank matriks A sama dengan n (rank(A) = n).
Contoh
Tentukan rank dari matriks D di bawah ini dengan menggunakan metode eliminasi gauss.
Jawab:
3 1 2 1 1 / 3 2 / 3 1 1 / 3 2 / 3 1 1 / 3 2 / 3  1 0 1 
2 1 1 ~ 1 1 / 2 1 / 2  ~ 0  1 / 6 1 / 6  ~ 0 1 / 3  1 / 3 ~ 0 1  1

 
 
 
 

Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Syarat-syarat
Nilai dan Vektor Eigen itu memiiki beberapa syarat yang
harus dipenuhi, yaitu:
1  2 4 
( A  I )  

3 0  5
Ax  x
Ax  x  0
tidak memiliki invers atau det
( A  I ) x  0
(I  A) x  0
det( A  I )  0
Contoh soal:
Matriks 2x2
Contoh soal:
Matriks 2x2
Soal:
Diketahui matriks:
1. Di. Diketahui matriks
A=
10 / 31 10 
 7
17 / 21
3
26

12 / 27 25 / 41 2 
B =
Hitung
27 10
1
C=  21 28 26
17
41 39
166
622


143
a. Ax B
b. A-1 x B
c. (Ax C-1) +C
d. Det C + det B
e. (C T A) T
2. Tentukan nilai M, jika
X=
 1 10 1 
21 2 26


17 41 3 
M  I  X ( X T X ) 1 X T
1 / 2 0 1 / 2
3. Tenrtukan nilai T, jika , W  1 / 3 1 / 3 1 / 3
 1
0
0 
T  tr[(W T  W )W ] Dimana, tr= Trace (matrix)
4.
1  2
Diketahui matriks A  

1 4 
Tentukan nilai Eigen dari matriks A
5.Buktikan (AB)T = BTAT jika
1  2
 2  2
A
dan B  


1 4 
2 4 