Analisa Sistem
Ria Asih Aryani Soemitro
SOAL 1
◼
◼
◼
◼
◼
◼
Sebuah pabrik memproduksi barang jadi sejumlah x1
dengan harga jual Rp. 10.000,Biaya produksi Rp. 3.000,Pada proses produksi terjadi limbah sebesar 2 x1,
limbah aman yang boleh langsung dibuang kesungai
adalah sebesar x2.
UPL (Unit Pengolah Limbah) mempunyai kapasitas
maksimum 10 satuan limbah dan efisiensi 80%.
Biaya pengolahan limbah Rp.600,- persatuan limbah.
Pembuangan limbah kesungai mempunyai ambang
batas sebesar 4 satuan dan biaya retribusi limbah
adalah Rp. 2.000,- persatuan limbah.
SOAL
Selesaikan dan cari solusi
optimal
dari
permasalahan
memaksimalkan
keuntungan
dari
produksi barang jadi pabrik yang
tergantung dari kendala pembuatan
Unit
Pengolahan
Limbah
(UPL)
menggunakan
penggambaran
cara
grafis.
Permodelan
X1 satuan produksi
Pabrik
2X1 satuan limbah
2X1-X2
X2
Sungai
UPL
0,2(2X1-X2)
Permodelan Matematis
◼
◼
◼
◼
◼
◼
◼
◼
◼
Keuntungan: Harga jual – Total Biaya produksi
Harga jual Rp. 10000,Biaya produksi Rp. 3000,Biaya pengolahan limbah Rp. 600,Retribusi buangan limbah Rp. 2000,-
P = 10 x1–[3 x1 + 0,6 (2 x1– x2) + 2{x2 + 0,2(2x1 – x2)}]=
5x1-x2
Batas kapasitas UPL :
2x1-x2 ≤ 10
Batasan buangan limbah langsung ke sungai :
x2 + 0,2 (2x1-x2)
0,4x1 + 0,8x2
◼
≤4
≤4
Batasan limbah yang diolah di UPL tidak negatif :
2x1-x2 ≥ 0
◼
Maka rumusan linier menjadi :
Maksimalkan z = 5x1-x2
Pembatas……
2x1-x2
≤ 10
x2+0,2(2x1-x2) ≤ 4
2x1-x2
≥0
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Jawab :
5
28
10
B
5x1 - x2 =
5x1 - x2 =
25
0
=4
x2 =
x2 =
(2,4)
2x1
-
+0
.8x
2
2x1
-
0.4
x1
5x1 - x
2
X2
7
=0
Dari persamaan-persamaan kendala dan fungsi tujuan didapat
penggambaran grafis sbb.
C (6,2)
Daerah
layak
Titik Optimal
A
D
5
Contoh solusi cara grafis
10
X1
Setelah menentukan daerah layak dan menarik garis
sejajar terhadap garis fungsi tujuan, didapat hasil optimal
apabila :
Jumlah produksi barang jadi,
x1 = 6 satuan
Jumlah limbah tanpa diolah,
x2 = 2 satuan
Nilai maksiamal
z = Rp. 28 juta
Sehingga limbah pabrik yang harus dibuang adalah sbb :
◼ Limbah pabrik yang terjadi = 2 x 6 satuan = 12 satuan
◼ Limbah pabrik yang diolah = 12 -2 = 10 satuan, setelah
diolah tinggal 0,8 x 10 = 2 satuan
◼ Limbah pabrik yang dibuang ke sungai seluruhnya = 2+2
= 4 satuan
SOAL 2
Sebuah perusahaan memproduksi panel kaca jadi untuk
digunakan sebagai daun jendela dan pintu.Perusahaan ini
memiliki 3 buah pabrik, yaitu pabrik 1 yang membuat bingkai
alumunium, pabrik 2 yang membuat bingkai kayu, dan pabrik 3
yang digunakan untuk memproduksi kaca dan merakit produk
keseluruhan. Saat ini perusahaan mendapat pesanan berupa dua
macam produk baru, yaitu pintu kaca setinggi 2 m dengan
bingkai alumunium (produk 1), dan jendela berukuran 1 m x 1.5 m
dengan bingkai kayu (produk 2). Data kapasitas dan keuntungan
per unit seperti pada tabel dibawah. Berapa banyaknya masingmasing produk harus dibuat sehingga diperoleh keuntungan yang
terbaik ?
Selesaikan dengan cara grafis.
Kapasitas yang digunakan per unit
ukuran produksi
Produk 1
Produk 2
Pabrik 1
Pabrik 2
Pabrik 3
1
0
3
0
2
2
Keuntungan
per unit
30
50
Kapasitas yang
dapat digunakan
4
12
18
JAWAB :
Rumusan program linier :
Masksimumkan z = 3x1 + 5x2
Pembatas
x1 ≤4
2x2 ≤12
3x1+ 2x2 ≤18
x1,x2 ≥0
10
1
3x
x2
+2
8
Titik optimum ( x1 = 2 , x2 = 6)
6
E
x1
2x2
D
4
Daerah
layak
C
2
A
B
2
4
6
8
z = 3x1 + 5x2
Titik D sebagai titik optimum
10
x1
Solusi grafis untuk persoalan minimalisasi
Contoh :
PT. Auto Indah memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil
sedan dan truk. Untuk dapat meraih konsumen berpenghasilan
tinggi, perusahaan ini memutuskan untuk melakukan promosi
dalam dua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara
olah raga. Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta
pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara
olahraga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta
pemirsa pria. Biaya promosi pada acara hiburan adalah 5 juta
rupiah/menit, sedangkan pada acara olahraga biayanya adalah 10
juta/menit. Jika perusahaan menginginkan promosinya disaksikan
oleh sedikitnya 28 juta pemirsa wanita dan sedikitnya oleh 24 juta
pemirsa pria, bagaimanakah strategi promosi itu sebaiknya?
Jawaban :
◼
Variabel keputusan :
X1 = lamanya promosi dalam acara liburan hiburan
X2 = lamanya promosi dalam acara liburan olah raga
◼
Formulasi persoalan :
Minimumkan z = 5 x1 + 10x2
Berdasarkan
7x1 + 2x2 ≥ 28
2x1 + 12x2 ≥ 24
X1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Solusi untuk persoalan PT. Auto Indah
x2
14
B
12
Daerah fisibel tidak terbatas
(unbounded)
10
Daerah
fisibel
8
Titik Optimum : E
Solusi optimum x=3,6 ; x=1,4
z=32
6
4
Z
2
E
D
A
2
C
4
6
8
10
12
14
x1
Kasus - kasus
Dua contoh soal yang telah dibahas dengan cara grafis di
atas mempunyai hanya satu solusi optimal. Akan kita lihat
berikut ini bahwa ada persoalan programa linier yang
mempunyai kasus-kasus seperti :
1.
2.
3.
Mempunyai solusi optimal yang tidak terbatas, biasa disebut
juga mempunyai solusi alternatif atau bersolusi optimal
banyak.
Tidak mempunyai solusi fisibel atau persoalan programa linier
yang infisibel.
Mempunyai ruang solusi yang tidak terbatas, yaitu kasus
dimana ada titik- titik pada daerah fisibel dengan harga z
yang sangat besar ( pada persoalan maksimasi )
Solusi alternatif atau solusi optimal banyak
Contoh :
Maksimumkan z= 3x1 + 2x2
berdasarkan ( 1/40 ) x1 + (1/60) x2 ≤ 1
( 1/50 ) x1 + (1/50) x2 ≤ 1
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Solusi grafis dari persolan di atas adalah :
x2
60 B
50 D
Garis z sejajar dengan AB
sehingga setiap titik pada segmen
garis AE adalah titik optimum
40
E
30
20
10
F
Z
C
A
10
20
30
40
50
Solusi alternatif
60
x1
Persoalan programa linier dengan ruang solusi
yang tidak terbatas (unbounded)
Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak
terbatas sehingga nilai fungsi tujuan dapat
meningkat / menurun secara tidak terbatas. Pada
umumnya, kasus ini terjadi kesalahan dalam
memformulasikan persoalan.
Contoh :
Maksimumkan
berdasarkan
z= 2x1 - x2
x1 - x2 ≤ 1
2x1 + x2 ≥ 6
X1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Solusi grafis dari persolan ini adalah :
x2
B
6 D
5
4
3
Z
2
E
1
A
1
C
2
3
4
5
6
Ruang solusi tidak terbatas
x1
Persoalan programa linier tanpa solusi fisibel
Dalam hal ini daerah fisibelnya kosong sehingga
dengan sendirinya tidak ada solusi optimal.
Contoh :
Maksimumkan z= 3x1 + 2x2
berdasarkan
( 1/40 ) x1 + (1/60)x2 ≤ 1
( 1/50 ) x1 + (1/50)x2 ≤ 1
x1 ≥ 30
x2 ≥ 20
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Solusi grafis dari persolan ini adalah :
x2
60 B
F
50 D
Tidak ada ruang fisibel sehingga
tidak ada solusi optimal
40
30
20
G
H
10
E
10
20
30
A
40
C
50
60
Tidak ada ruang fisibel
x1
Latihan Soal:
◼
Dengan metoda grafis dan Simplex,
selesaikan persoalan berikut:
◼ Maksimumkan: z = 5 x1 + 2 x2
◼ Kendala:
x1 x2 1
◼
2 x1 + x2 9
◼
- 3 x1 + 2 x2 3
◼
x1 ≥ 0, x2≥ 0
◼
Dengan metoda grafis dan Simplex,
selesaikan persoalan berikut:
◼ Maksimumkan: z = 3 x1 + x2
◼ Kendala: x1 – 2 x2 ≤ 10
◼
2 x1 + x2 ≤ 24
◼
x1 – x2 ≤ 5
◼
x1 ≥ 0, x2≥ 0
◼
Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape
recorder dan amplifier yang prosesnya dilakukan di
dua unit yaitu pengetesan dan perakitan. Setiap tape
recorder memerlukan 2 jam perakitan dan 2 jam
pengetesan; sedangkan setiap amplifier memerlukan
4 jam perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu yang
tersedia di unit pengetesan adalah 48 jam/minggu;
dan di unit perakitan adalah 72 jam/minggu.
Keuntungan tiap tape recorder adalah Rp. 25000,dan tiap amplifier adalah Rp. 50000,-. Bagaimana
formulasi persoalan diatas agar dapat ditentukan
strategi
produksi
terbaik
yang
memberikan
keuntungan maksimum.
◼
Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape recorder dan
amplifier yang prosesnya dilakukan di dua unit yaitu pengetesan
dan perakitan. Setiap tape recorder memerlukan 2 jam
perakitan dan 2 jam pengetesan; sedangkan setiap amplifier
memerlukan 4 jam perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu
yang tersedia di unit pengetesan adalah 48 jam/minggu; dan di
unit perakitan adalah 72 jam/minggu. Jumlah produksi kedua
barang tidak boleh lebih dari 20 perminggu. Keuntungan tiap
tape recorder adalah Rp. 25000,- dan tiap amplifier adalah Rp.
50000,-. Bagaimana formulasi persoalan diatas agar dapat
ditentukan strategi produksi terbaik yang memberikan
keuntungan maksimum.
◼
Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape recorder dan
amplifier yang prosesnya dilakukan di dua unit yaitu pengetesan
dan perakitan. Setiap tape recorder memerlukan 2 jam
perakitan dan 2 jam pengetesan; sedangkan setiap amplifier
memerlukan 4 jam perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu
yang tersedia di unit pengetesan adalah 48 jam/minggu; dan di
unit perakitan adalah 72 jam/minggu. Selisih jumlah produksi
tape recorder dan amplifier
tidak boleh lebih dari 20
perminggu. Keuntungan tiap tape recorder adalah Rp. 25000,dan tiap amplifier adalah Rp. 50000,-. Bagaimana formulasi
persoalan diatas agar dapat ditentukan strategi produksi terbaik
yang memberikan keuntungan maksimum.
