Pertemuan 6 Fungsi Elementer

Fungsi Linear
¾ Fungsi linear w = f (z) = cz + d dengan c = a + bi = | c | cis a dan d konstanta
kompleks adalah komposisi w3 D w2 D w1 dengan w1 = (cisa ) z (rotasi (0,a)),
w2 = | c | z (dilatasi (0,| c |)), dan w3 = z + d (translasi menurut vektor d)
w1
w3
w2
z 6 (cisa ) z 6 c | (cisa ) | z 6 cz + d
R(0,a )
D (0,|c|)
Tr (d)
cz
¾ Contoh Untuk fungsi w = f ( z) = (1+ i) z + (3 + 2i) dengan z = 2 + i diperoleh
w = f (2 + i) = (1+ i)(2 + i) + (3 + 2i) = 2 + 3i + i 2 + 3 + 2i = 4 + 5i .
Perhatikan proses geometrinya, fungsi w = f ( z) = (1+ i) z + (3 + 2i) dapat ditulis sebagai w = w3 D w2 D w1 dengan w1 = (cis 14p ) z (rotasi (0, 14p )), w2 = 2 z
(dilatasi (0, 2)), dan w3 = z + (3 + 2i) (translasi menurut vektor (3,2))
w1
w3
w2
1
z 1 (cis 4p ) z
R(0, 4p )
D (0, 2)
6
6 (1 + i) z 6 (1 + i) z + (3 + 2i)
w1
2 + i 1 (cis 14p )(2 + i) = 12
R(0, 4p )
6
Tr (3,2)
w2
w3
D (0, 2)
Tr (3,2)
2(1+3i) 6 1+3i 6 (1 + 3i) + (3 + 2i) = 4 + 5i
v
y
4 + 5i
1
2
2+i
0
2+i
x
Rotasi (0, 14p )
1 + 3i
1 + 3i
2(1 + 3i)
1
2
2(1 + 3i)
0
Dilatasi (0, 2)
Translasi (3,2)
u
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
Fungsi Kebalikan
1
¾ Fungsi w = f (z) = z , z π 0 dinamakan transformasi kebalikan. Fungsi f anali-
tik di setiap z π 0 dengan w¢ = 1
1
z2
1
, | w | = | z | , dan arg w = -arg z.
x - yi
1 z
¾ Dari w = z = z ◊ z = 2 2 diperoleh bentuk f (z) = u(x,y) + v (x,y) i dari w,
x +y
u = u (x,y) =
x
x + y2
dan v = v(x, y) = -
2
y
x + y2
2
Contoh Pemetaan oleh Fungsi Kebalikan
1
¾ Tentukan peta lingkaran | z | = 2 dan cakram | z | £ 2 oleh pemetaan w = z .
1
Karena | w | = | z | , maka peta dari ling-
v
y
2
1
w= z
1
|z| = 2
| w| =
|z| < 2
-2
-½
2 x
0
karan | z | = 2 oleh w = z adalah ling1
karan | w | = 2 .
| w | > 12
0
1
2
u
½
1
1
Jika | z | £ 2, maka | w | = | z | ≥ 2 , jadi
1
peta dari cakram | z | £ 2 oleh w = z
1
adalah region | w | ≥ 2.
-2
1
¾ Tentukan peta garis y = 1 dan region y ≥ 1 oleh pemetaan w = z .
y
1
v
Dari u =
w= z
y >1
u
-½
-1 u + v + v = 0
2
0
x
dan v = -
y
,
x + y2
2
maka
untuk y = 1 diperoleh
0
y=1
x
x + y2
2
2
u=
x
x +1
2
dan v = -
1
.
x +1
2
Eliminasi x dari kedua persamaan ini
untuk mencari kaitan antara u dan v,
x2
1
x2 + 1
1
+
=
= -v .
2
2
2
2
2
2 = 2
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
x +1
1
Jadi peta garis y = 1 oleh w = z adalah lingkaran u 2 + v 2 + v = 0. Karena untuk y ≥ 1
1
1
berlaku | z | ≥ 1, maka | w | = | z | £1 . Jadi peta y ≥ 1 oleh w = z adalah u 2 + v 2 + v £ 0.
u 2 + v2 =
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
Fungsi Bilinear
az + b
¾ Fungsi w = f (z) = cz + d , ad - bc π 0 , a, b, c, dan d konstanta kompleks dina-
makan transformasi bilinear.
¾ Karena fungsi f dapat ditulis dalam bentuk
d d b
b d
ad - bc
1
az + b a ( z + c - c + a ) a a ( - a + c ) a a ( ac ) a ad - bc
w = cz + d =
=
◊
=
◊
=
◊
,
c c z+d
c c cz + d
c
c
cz + d
c ( z + dc )
( c)
(c )
1
maka w = w3 Dw2 D w1 dengan w1 = cz + d , w2 = z , dan w3 = -
ad - bc
a
z
+
, yac
c
itu w komposisi dari fungsi linear, kebalikan, dan linear, dengan
( )
1
w3(w2 (w1(z))) = w3(w2 (cz + d )) = w3 cz + d = z -i
¾ Ilustrasi Karena w = z + i =
z + i - 2i
z +i
ad - bc 1
◊ cz + d
c
a
+ c =w.
2i
= 1 - z + i , maka w = w3 Dw2 D w1, dengan
1
w1 = z + i, w2 = z , w3 = - 2iz + 1 , dan
( )
1
1
w3(w2 (w1(z))) = w3(w2 (z +i )) = w3 z + i = - 2i◊ z + i + 1 =
-2i + z + i z - i
= z +i =w.
z +i
Contoh Pemetaan oleh Fungsi Bilinear Tunjukkan bahwa peta separuh biz -i
dang Im z ≥ 0 oleh transformasi w = z + i adalah cakram satuan | w | £ 1.
¾ Berdasarkan ilustrasi sebelumnya,
w1
w
w2
3
1
1
z -i
z 6 z +i 6 z + i
6 - 2i◊ z + i + 1 = z + i .
1
w1 = z + i
w3 =-2iz +1
w2 = z
Jadi prosesnya adalah Im z ≥ 0 digeser 1 satuan ke atas, dibalik menjadi cakram 0,- 12 berjari-jari 12 , dirotasikan 0,- 12p , dibesarkan dua kali, dan di-
(
)
(
)
geserkan 1 satuan ke kanan. (tiga proses terakhir oleh fungsi w3 = - 2iz + 1 )
¾ Proses geometrinya sebagai berikut.
y
v
|w| £ 1
Im z ≥ 0
0
u
1
0
x
translasi (0,1)
0
-1
0
kebalikan w = 1/ z
fungsi linear w = - 2iz +1
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
Fungsi Eksponen
¾ Akan dirancang fungsi eksponen kompleks w = f (z) = e z sehingga sifat eksponen real dapat dipertahankan. Syarat yang harus dipenuhi fungsi f adalah
(1) f analitik pada ^ dan memenuhi f ¢(z) = f (z) = e z "z Œ^ .
(2) e z = e x jika z = x + yi Œ\ .
¾ Tulislah fungsinya f (z) = u (x,y) + v(x,y) i dengan f ¢(z) = u x (x,y) + vx (x,y) i .
Syarat (1) f ¢(z) = f (z) memberikan u = u x dan v = vx .
1
2
u = ux
dan
v = vx
CR
u = e xj ( y)
j ( y) = ?
v x = -u y
v = -u y
CR
1
u yy = -v y = - u x = - u
u yy = e xj ¢¢( y)
e xj ¢¢( y) = -e xj ( y)
j ¢¢( y) + j ( y) = 0
j ( y) = A cos y + B sin y, A, B Œ\
u = e x (A cos y + B sin y) = u (x, y)
j ( y)
CR
2
u y = e x (- A sin y + B cos y) = -vx = -v
v = e x (A sin y - B cos y) = v(x, y)
\ f (z) = e z = u (x,y) + v(x, y) i = e x (A cos y + B sin y) + e x (A sin y - B cos y) i
¾ Carilah konstanta A dan B dengan syarat (2) e z = e x jika z = x + yi Œ\ .
Karena z = x + yi Œ\, maka y = 0. Gantikan ke persamaan terakhir,
diperoleh e x = Ae x - Be x i = e x (A - Bi) , Karena hubungan berlaku "x Œ\ ,
maka A = 1 dan B = 0. Jadi rancangan untuk e z haruslah
w = f (z) = e z = e x + yi = e x cos y + ie x sin y = e x cis y = e x◊ e yi.
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
Sifat Fungsi Eksponen
(1) Fungsi f (z) = e z analitik pada ^ dengan f ¢(z) = e z.
(2) Jika z = x + yi, maka |e z| = e x dan arg e z = y + 2np , n Œ] .
(3) Perkalian dan pembagian: e z1 ◊ e z2 = e z1 + z2 dan e z1 / e z2 = e z1 - z2 "z1, z2 Œ^ .
(4) Fungsi f (z) = e z periodik dengan periode 2p i.
(5) Untuk setiap w terdapat tak hingga banyaknya z Œ^ 'e z = w.
(6) Daerah asal f (z) = e z adalah D f = ^ dan daerah nilainya R f = ^ - {0}.
(7) Invers dari w = f (z) = e z adalah z = g (w) = ln r + f i, w = r ef i , -p < f £ p .
Bukti
(1) Dari f (z) = e z = e x cos y + ie x sin y diperoleh u = e x cos y dan v = e x sin y. Ka-
rena u x = e x cos y, u y = - e x sin y, vx = e x sin y, dan v y = e x cos y memenuhi CR
u x = v y dan u y = -vx , dan u x , u y , vx , v y kontinu pada \ 2, maka f analitik pada
^ dengan f ¢(z) = u x + vx i = e x cos y + ie x sin y = e x (cos y + i sin y) = e z. „
(2) Dari e z = e x cos y + ie x sin y diperoleh |e z | = e 2 x cos 2 y + e 2 x sin 2 y = e x dan
dari e z = e x (cos y + i sin y) diperoleh arg e z = y + 2np , n Œ] .„
(3) Untuk e z1 = e x1 ◊ e y1i dan e z2 = e x2 ◊ e y2i diperoleh
e z1 ◊ e z2 = (e x1 ◊ e y1i ) ◊ (e x2 ◊ e y2i ) = (e x1 ◊ e x2 ) ◊ (e y1i◊ e y2i ) = e x1+ x2 ◊ e(y1+ y2 )i = e z1+ z2 . „
e z1
e z2
=
e x1 ◊ e y1 i
e x2 ◊ e y2 i
=
e x1 e y1 i
◊
e x2 e y2 i
= e x1- x2 ◊ e(y1- y2)i ) = e x1+ x2 ◊ e(y1+ y2)i = e z1- z2 . „
(4) Karena f (z + 2p i) = e z + 2p i = e z◊ e 2p i = e z (cos2p + i sin 2p ) = e z = f (z), maka f
adalah fungsi periodik dengan periode 2p i. „
(5) Tulislah z = x + yi dan w = r ef i , -p < f £ p . Agar e z = w dipenuhi, maka da-
ri e x◊ e yi = r ef i diperoleh r = e x (x = ln r) dan y = f + 2np , n Œ] . Jadi terdapat
z = ln r + (f + 2np )i, n Œ] yang memenuhi e z = w dengan banyaknya z tak
hingga. „
(6) Karena f (z) = e z = e x cos y + ie x sin y berlaku untuk sebarang z, maka dae-
rah asal f adalah D f = ^ . Karena w = e z = r ef i dengan r = e x > 0, maka daerah nilai f adalah R f = ^ - {0}.
„
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
(7) Karena f (g (w)) = f (ln r + f i) = eln r + f i = eln r ◊ ef i = r ef i = w dan g ( f (z)) =
g (e z ) = ln|e z| + Arg e z i = ln e x + yi = x + yi = z , maka invers dari w = f (z) = e z
adalah z = g (w) = ln r + f i, w = r ef i , -p < f £ p .
„
Diagram Pemetaan Fungsi Eksponen
y
v
bidang-z
5p
bidang-w
w = f (z) = e z
f (ln r + f i) = w
z + 4p i
w = r ef i
3p
z + 2p i
p
f
r
z = ln r + f i
ln r
0
-p
f
x
z - 2p i
0
u
g(w) = ln r + f i
Contoh yang Terkait dengan Fungsi Eksponen
¾ Tentukan semua bilangan kompleks z yang memenuhi e z = -1 .
Misalkan z = x + yi dan tulislah -1 = ep i. Akan ditentukan x dan y sehingga
e z = e x◊e yi = ep i. Dari kesamaan ini, e x = 1 dan y = p + 2np , n Œ] , yang menghasilkan x = 0 dan y = p + 2np , n Œ] . Jadi z = (2n +1)p , n Œ] .
2
2
¾ Buktikan | e z | £ e| z| "z Œ^.
2
Misalkan z = x + yi, maka z 2 = x 2 + y 2 + 2 xyi. Akibatnya e z = e x
2
hingga | e z | = e x
2
- y2
£ ex
2
+ y2
2
- y2
◊ e 2 xyi , se-
2
= e| z| . „
¾ Buktikan | e -2 z | < 1 ¤ Re z > 0.
Misalkan z = x + yi, maka e -2 z = e -2 x - 2yi = e -2 x◊ e -2yi , sehingga | e -2 z| = e -2 x.
Akibatnya
1
| e -2 z| < 1 ¤ e -2 x < 1 ¤ 2 x < 1 ¤ e2 x > 1 ¤ x > 0
e
¤ Re z > 0. „
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
Fungsi Trigonometri
¾ Dasar Perluasan deret pangkat fungsi eksponen xŒ\ ke bilangan imajiner
ix, deret kosinus, dan deret sinus dari xΠ\ menghasilkan rumus Euler
(1) eix = cos x + i sin x .
Ganti peranan x oleh -x, maka diperoleh
(2) e - ix = cos x - i sin x .
Jumlah dan selisih dari (1) dan (2) memberikan
1
1
cos x = 2 (eix + e - ix ), x Π\ dan sin x = 2i (eix - e - ix ), x Π\ .
Jika x diganti ix, maka diperoleh kaitan fungsi trigonometri dan hiperbolik.
1
cos ix = 2 (e - x + e x ) = cosh x, x Œ\ .
dan
sin ix = 2i (e - x - e x ) = 2 i (e x - e - x ) = i sinh x, x Œ\ .
1
1
¾ Definisi fungsi trigonometri kompleks Fungsi trigonometri kompleks didefinisikan dengan mempertahankan sifat di atas.
cos z = 2 (eiz + e - iz ), z Œ^
sin z = 2i (eiz - e - iz ), z Œ^ .
Fungsi trigonometri lainnya didefinisikan seperti trigonometri real, yaitu
1
sin z
cos z
1
dan
1
1
tan z = cos z , cot z = sin z , sec z = cos z , dan csc z = sin z .
¾ Turunan kosinus dan sinus
(
(
)
)) =
• dz cos z = dz 2 (eiz + e - iz ) = 2 (ieiz - ie - iz ) = - 2i (eiz - e - iz ) = - sin z .
d
d 1
1
1
iz
- iz
iz
- iz
• dz sin z = dz 2i (eiz - e - iz
(
ie
+
ie
)
=
(
e
+
e
) = cos z .
2i
2
• Fungsi w = cos z dan w = sin z analitik pada ^ (fungsi entire).
• Fungsi w = cos z dan w = sin z adalah fungsi periodik dengan periode 2p,
sama dengan periode dari pembentuknya w = eiz dan w = e - iz.
d
d
1
1
1
¾ Fenomena untuk bagian real dan imajiner kosinus dan sinus Andaikan
rumus kosinus dan sinus jumlah dua sudut berlaku untuk fungsi kompleks,
maka dengan menggunakan cos iy = cosh y dan sin iy = i sinh y diperoleh
cos z = cos(x +iy) = cos x cos iy - sin x sin iy = cos x cosh y - i sin x sinh y
sin z = sin(x +iy) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x cosh y + i cos x sinh y .
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
¾ Bagian real dan imajiner kosinus dan sinus
cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y dan sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
Bukti Untuk z = x + iy diperoleh
cos z = 2 (eiz + e - iz ) = 2 (e - y + ix + e y - ix ) = 2 (e - y (cos x +i sin x) + e y (cos x -i sin x))
1
1
1
= (cos x)◊ 2 (e y + e - y ) - i (sin x)◊ 2 (e y - e - y ) = cos x cosh y - i sin x sinh y. „
1
1
sin z = 2i (eiz - e - iz ) = 2i (e - y + ix - e y - ix ) = 2i (e - y (cos x +i sin x) - e y (cos x -i sin x))
1
1
1
= (sin x)◊ 2 (e y + e - y ) + i (cos x)◊ 2 (e y - e - y ) = sin x cosh y + i cos x sinh y. „
1
1
¾ Modulus kosinus dan sinus
|cos z | = cos 2 x + sinh 2 y
dan
|sin z | = sin 2 x + sinh 2 y
Bukti Gunakan bagian real dan imajiner kosinus dan sinus, maka untuk
z = x + iy diperoleh
|cos z |2 = cos 2 x cosh 2 y + sin 2 x sinh 2 y = cos 2 x (1+ sinh 2 y) + (1- cos 2 x)sinh 2 y
= cos 2 x + sinh 2 y fi |cos z | = cos 2 x + sinh 2 y .
„
dan
|sin z |2 = sin 2 x cosh 2 y + cos 2 x sinh 2 y = sin 2 x (1+ sinh 2 y) + (1-sin 2 x)sinh 2 y
= sin 2 x + sinh 2 y fi |sin z | = sin 2 x + sinh 2 y .„
¾ Nilai nol kosinus dan sinus
cos z = 0 ¤ z = (n + 2)p
1
dan sin z = 0 ¤ z = np , n Œ]
Bukti Untuk z = x + iy diperoleh
cos z = 0 ¤ |cos z |2 = 0 ¤ cos 2 x + sinh 2 y = 0 ¤ cos x = 0dan sinh y = 0
¤ x = (n + 2)p dan y = 0 ¤ z = (n + 2)p , n Œ] . „
1
1
sin z = 0 ¤ |sin z |2 = 0 ¤ sin 2 x + sinh 2 y = 0 ¤ sin x = 0dan sinh y = 0
¤ x = np dan y = 0 ¤ z = np , n Œ] . „
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
¾ Sifat lain fungsi trigonometri
• Fungsi w = tan z dan w = sec z analitik pada ^ kecuali di titik singular
1
d
d
z = (n + 2)p , n Œ] dengan dz tan z = sec 2 z dan dz sec z = sec z tan z.
• Fungsi w = cot z dan w = csc z analitik pada ^ kecuali di titik singular
d
d
z = np , n Œ] dengan dz cot z = - csc 2 z dan dz csc z = -csc z cot z.
• Fungsi trigonometri dari (-z) diperoleh dari definisinya, kita mempunyai
cos (-z) = cos z sin (-z) = -sin z tan (-z) = -tan z,
cot (-z) = -cot z sec (-z) = sec z
csc (-z) = -csc z.
2
2
2
2
2
• cos z + sin z = 1, sec z = 1 + tan z , csc z = 1 + cot 2 z .
• cos (z1+ z2 ) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2 , sin (z1+ z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 .
• sin 2z = 2sin z cos z , cos 2z = cos 2 z - sin 2 z = 2cos 2 z - 1 = 1 - 2sin 2 z .
• sin (2p + z) = sin (2p - z) = cos z , sin (z +p ) = - sin z , cos (z +p ) = - cos z
1
1
Contoh yang Terkait dengan Fungsi Trigonometri
¾ Jika z = x + iy , buktikan |sinh y | £ |sin z | £ cosh y.
Karena |sin z | 2 = sin 2 x + sinh 2 y ≥ sinh 2 y , maka |sinh y | £ |sin z | . Kemudian,
karena |sin z | 2 = sin 2 x + sinh 2 y £ 1 + sinh 2 y = cosh 2 y , maka |sin z | £ cosh y.
Gabungkan, jadi terbuktilah |sinh y | £ |sin z | £ cosh y. „
¾ Tentukan semua bilangan kompleks z yang memenuhi cos z = 2.
Misalkan z = x + iy kemudian gunakan bentuk eksponen untuk kosinus dan
selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh.
cos z = 2 (eiz + e - iz ) = 2
1
e +e
iz
- iz
=4
(eiz ) 2 + 1 = 4 eiz
(e ) - 4e + 1 = 0
iz 2
e =
iz
Catatan
iz
4 + 16 - 4
2
= 2± 3
Karena 2 - 3 =
Dari eiz = e - y + ix = e - y cos x + ie - y sin x = 2 ± 3 diperoleh e - y cos x = 2 ± 3 dan e - y sin x = 0. Dari sini, cos x > 0 dan sin x = 0, sehingga x = 2np, nŒ].
Akibatnya cos x = 1 dan e - y = 2 ± 3 , sehingga
y = - ln (2 ± 3) . Jadi solusinya adalah
z = 2np - i ln (2 ± 3), n Œ]
1
,
2+ 3
maka ln (2 - 3) = ln
1
= - ln (2 + 3) ,
2+ 3
hingga solusi di atas dapat ditulis sebagai z = 2np ± i ln (2 + 3), n Œ] .
se-
Bagian Ketiga: Fungsi Kompleks Elementer
Fungsi Hiperbolik
¾ Definisi fungsi hiperbolik kompleks Fungsi hiperbolik kompleks didefinisikan sama seperti fungsi hiperbolik real.
1
1
cosh z = 2 (e z + e - z ), z Œ^ dan sinh z = 2 (e z - e - z ), z Œ^ .
sinh z
cosh z
1
1
tanh z = cosh z , coth z = sinh z , sech z = cosh z , dan csch z = sinh z .
¾ Kaitan kosinus dan sinus hiperbolik dengan trigonometri kompleks
1
• cosh iz = 2 (eiz + e - iz ) = cos z
• cos iz = 2 (ei (iz ) + e - i (iz ) ) = 2 (e - z + e z ) = cosh z
1
1
• sinh iz = 2 (eiz - e - iz ) = 2i (eiz - e - iz ) = i sin z
1
i
• sin iz = 2i (ei (iz ) - e - i (iz ) ) = 2 (e z - e - z ) = i sinh z
i
1
¾ Turunan kosinus dan sinus hiperbolik
(
)
( (e - e )) =
• dz cosh z = dz 2 (e z + e - z ) = 2 (e z - e - z ) = sinh z .
d 1
d
1
• dz sinh z = dz 2 z - z
(e z + e - z ) = cosh z .
2
• Fungsi w = cosh z dan w = sinh z analitik pada ^ (fungsi entire).
• Fungsi w = cosh z dan w = sinh z adalah fungsi periodik dengan periode
2p i, sama dengan periode dari pembentuknya w = e z dan w = e - z.
d 1
d
1
¾ Fenomena untuk bagian real dan imajiner kosinus dan sinus hiperbolik
Andaikan rumus kosinus dan sinus hiperbolik jumlah dua sudut berlaku
untuk fungsi kompleks, maka dengan menggunakan sifat cosh iy = cos y
dan sinh iy = i sin y diperoleh
cosh z = cos(x +iy) = cosh x cosh iy + sinh x sinh iy = cosh x cos y + i sinh x sin y
sinh z = sinh(x +iy) = sinh x cosh iy + cosh x sinh iy = sinh x cos y + i cosh x sin y .
¾ Bagian real dan imajiner kosinus dan sinus hiperbolik
cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y dan sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y
Bukti Untuk z = x + iy diperoleh
cosh z = 2 (e z + e - z ) = 2 (e x + iy + e - x - iy ) = 2 (e x (cos y +i sin y) + e - x (cos y -i sin y))
1
1
1
= 2 (e x + e - x ) cos y + i ◊ 2 (e x - e - x )sin y = cosh x cos y + i sinh x sin y.
1
1
„