MATERI ALJABAR KELAS VII

1. PENGERTIAN BENTUK ALJABAR
Variabel adalah suatu besaran matematika
yang nilainya dapat berubah ( tidak
konstan ).
Huruf- huruf dalam aljabar digunakan sebagai pengganti angka. Bentuk aljabar sering
melibatkan angka ( disebut konstanta ), huruf ( disebut variabel ), dan operasi hitung. Hal ini
penting untuk kita ketahui dan mengerti agar penulisan singkat dalam aljabar dapat kita
gunakan untuk menyelesaikan masalah sehingga lebih mudah dipahami. Sebagai contoh :
2𝑎 berarti 2 x 𝑎 atau ( 𝑎 + 𝑎 )
𝑎
1
berarti 𝑎 ∶ 2 atau dari 𝑎
2
2
2𝑎𝑏 berarti 2 x 𝑎 x 𝑏 atau (𝑎𝑏 + 𝑎𝑏)
𝑎(−𝑏) berarti 𝑎 x (−𝑏) atau − 𝑎𝑏
(2𝑎)2 berarti 2𝑎 x 2𝑎 atau 2 x 𝑎 x 2 x 𝑎 atau 22 x 𝑎2
1
3
𝑎3 berarti √𝑎
𝑎2 − 1
berarti (𝑎 x 𝑎 − 1) ∶ 2
2
Latihan 1
1. Tulislah dengan lengkap bentuk aljabar yang sesuai dengan arti masing-masing
operasi dibawah ini.
a. 5𝑥
𝑧
b. 3
c. −2(3𝑥)2
1
d. 𝑥 2
e. 3(𝑎𝑏𝑐)2
2. Tulislah dalam bentuk aljabar yang paling sederhana untuk masing-masing bentuk
dibawah ini.
a. 𝑎 + 𝑎
b.
1
5
dari 𝑏
c. −5 x 𝑎 x 𝑏
d. 3𝑝 x 3𝑝x 3p
e. 4a x a x a
1
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
2
2. FAKTOR PERKALIAN, KOEFISIEN, KONSTANTA, SUKU DAN SUKU SEJENIS
A. Pengertian Faktor Perkalian
Bentuk aljabar 2𝑎 = 2 x 𝑎, maka 3a memiliki faktor-faktor, yaitu 2 dan a. Faktor 2
disebut faktor angka atau faktor numerik. Faktor ini sering disebut juga koefisein
dari a. Faktor a disebut faktor huruf atau faktor alfabetik. Agar lebih mengerti
perhatikan contoh-contoh berikut.
2 → faktor numerik
2𝑎2 𝑏 = 2 x 𝑎 x 𝑎 x 𝑏
𝑎2 → faktor huruf
𝑏 → faktor huruf
Jadi, faktor dari 2𝑎2 𝑏 adalah 2, 𝑎2 , dan b. Pada 𝑎2 , bilangan 2 di sebut pangkat atau
eksponen.
B. Pengertian Suku dan Suku Sejenis
Perhatikan bentuk-bentuk aljabar 2a, 3a + 6b, dan 3q – 2r – s. Bentuk-bentuk
tersebut berturut-turut disebut suku tunggal, suku dua dan suku tiga. Pemberian nama
ini bersesuaian dengan banyak suku bentuk-bentuk aljabar tersebut. Bentuk aljabar 4x
+ 3a + 6x mempunyai suku-suku 4x, 3a, dan 6x. Suku-suku 4x dan 6x memuat
variabel yang sama, yaitu x. Suku-suku tersebut diberi nama suku-suku sejenis,
sedangkan 4x dan 3a disebut suku-suku tidak sejenis.
Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut ini !
a. a dan 5b adalah suku-suku sejenis, karena:
a=1xa
a merupakan faktor huruf
5b = 5 x b
persekutuan dari b dan 5b
b. 4a + 7b + 7 + 2a + 6b + 2 + 12ab
Bentuk aljabar ini memiliki suku-suku sejenis :
4a dan 2a
7b dan 6b
7 dan 2
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
3
Contoh 1:
Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlaha, susunlah bentuk-bentuk aljabar ini
agar suku-suku sejenisnya berdekatan.
a. 2𝑎3 + 𝑎2 𝑏 − 5𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 − 𝑎𝑏
b. 4 − 3𝑏 + 4𝑎 + 6𝑏
Jawab :
a. 2𝑎3 + 𝑎2 𝑏 − 5𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 = 2𝑎3 − 5𝑎3 + 𝑎2 𝑏 + 3𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 − 𝑎𝑏
Suku sejenis
suku sejenis
suku sejenis
b. 4 − 3𝑏 + 4𝑎 + 6𝑏 = 4 − 3𝑏 + 6𝑏 + 4𝑎
Suku sejenis
C. Pengertian Koefisien dan Konstanta
Perhatikan bentuk aljabar 3𝑎4 + 6𝑎3 + 5𝑎2 + 7𝑎 + 8. Bilangan-bilangan 3, 6, 5, 7
dan 8 disebut koefisien dari bentuk aljabar. Dalam hal ini dapat diterangkan sebagai
berikut:
3𝑎4 mempunyai koefisien 3
7𝑎 mempunyai koefisien 7
3
6𝑎 mempunyai koefisien 6
8 merupakan konstanta
2
5𝑎 mempunyai koefisien 5
Contoh 2:
Tentukan koefisien dari 9𝑥 2 − 3𝑥 + 1
Jawab :
9𝑥 2 − 3𝑥 + 1 diubah menjadi 9𝑥 2 + (−3)𝑥 + 1.
Jadi, koefisien dari 9𝑥 2 − 3𝑥 + 1 adalah 9, -3 dan 1.
ada
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
4
Latihan 2
1. Tentukan koefisien dari a.
a. 2a
c. 4a + 1
b. –a
d. 7 + 6a + a2
2. Nyatakan soal berikut ini ke dalam bentuk penjumlahan!
a. 3a
c. 2c3
b. 4z
d. 9r
3. Nyatakan soal berikut ini ke dalam bentuk perkalian !
a. 8x2
c. a2b2c3
b. – 2x3
d. ( x + y )3
4. Diketahui bentuk aljabar 6x + 3y – 12.
a. Manakah suku pertama ? tuliskan koefisien dari x.
b. Manakah suku kedua? Tuliskan koefisien dari y.
c. Manakah konstanta ?
5. Sebutkan suku-suku sejenis dari bentuk-bentuk aljabar berikut ini.
a. 5p2 + 7q + 3p + 4q + 9
b. 6a3 – 4a2 + 7a – 2a3 + 6a – 7
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
5
3. KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR SUKU TUNGGAL
Penentuan KPK dan FPB bentuk aljabar suku tunggal tidak perlu mencari
himpunan kelipatan ataupun himpunan faktornya. Karena bentuk aljabar
merupakan bentuk faktor perkalian. Hal ini menandakan bahwa penentuan KPK
dan FPB bentuk aljabar suku tunggal akan lebih mudah dilakukan dengan cara
pemfaktoran (faktorisasi). Telah kita pelajari bahwa KPK dan FPB dengan
pemfaktoran dapat dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut :
KPK merupakan hasil perkalian dari faktor yang berbeda dan berpangkat tertinggi.
FPB merupakan hasil perkalian dari faktor yang sama dan berpangkat terendah.
Contoh 3:
Tentukan KPK dan FPB dari:
a. 2a dan 3a
b. 8x dan 36x2
c. 9p2q dan 24pq2
d. 3p2 , 10pq dan 15pq2
Jawab :
a. 2a = 2 . a
(simbol . menyatakan perkalian )
3a = 3 . a
KPK dari 2a dan 3a = 2 . 3 . a = 6a
FPB dari 2a dan 3a = a
b. 8x = 23
36x2 = 22 . 32 . x2
KPK dari 8x dan 36x2 = 22 . 32 . x2 = 72x2
FPB dari 8x dan 36x2 = 22 . x = 4x
c. 9p2q = 32 . p2 . q2
24pq2 = 23 . 3 . p . q2
KPK dari 9p2q dan 24pq2 = 23 . 32 . p2 . q2 = 72 p2 q2
FPB dari 9p2q dan 24pq2 = 3 . p . q = 3pq
d.
3p2 = 3 . p2
10pq = 2 . 5 . p . q
15pq2 = 3 . 5 . p . q2
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
KPK dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = 2 . 3 . 5 . p2 . q2
= 30 p2 q2
2
2
FPB dari 3p , 10pq dan 15pq = p
6
Latihan 3
1. Tentukan KPK dari :
a. 3 dan 7a
b. 18ax dan 3x2
2. Tentukan FPB dari :
a. 5ab dan 10a2b
b. 2t2s3 dan 6ts2
c. 8xy2, 20x2y dan 24xyz
d. 2ab, 3b2a dan 5a2b
c. 6k, 15kl dan 42kl2
d. 4pq2r, 5p2qr dan 6pqr2
4. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
Sebelum kita membahas operasi hitung bentuk aljabar, kita akan melihat dulu sifatsifat dasar dari aritmatika yang juga berlaku pada bentuk aljabar, seperti terlihat pada
tabel berikut.
Sifat Komutatif
Contoh
Bentuk Aljabar
3+5=5+3
a+b=b+a
3x5=5x3
ab = ba
3-5≠5-6
a - b ≠ b -a
3:5≠5:3
a/b ≠ b/a
sifat asosiatif
contoh
(3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2)
(3 x 5) x 2 = 3 x (5 x 2)
(3 - 5) - 2 ≠ 3 - (5 - 2)
(3 : 5) : 2 ≠ 3 : (5 : 2)
bentuk aljabar
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
(a - b) - c ≠ a - (b - c)
a/b : c ≠ a : b/c
sifat distributif
contoh
bentuk aljabar
(3 + 5) x 2 = 3 x 2 + 5 x 2
(a + b)c = ac + bc
3 x (5 + 2) = 3 x 5 + 3 x 2
a(b + c) = ab + ac
3 x (5 - 2) = 3 x 5 - 3 x 2
a(b - c = ab - ac
(3 - 5) x 2 = 3 x 2 - 5 x 2
(a - b)c = ac - bc
A.
Perkalian Konstanta dengan Bentuk Aljabar Bersuku Dua
Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan ataupun pengurangan pada bilangan
bulat tersebut dapat juga diterapkan untuk operasi perkalian suatu konstanta dengan
bentuk aljabar bersuku dua atau lebih.
Perhatikan contoh berikut ini :
a. 3(x + 2) = 3x + 6
b. – (3a – 4b – 5c) = - 3a + 4b + 5c
c. – k(k – 2l +4m) = -k2 + 2kl – 4km
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
7
B.
Menjumlahkan dan Mengurangkan Suku-suku Sejenis
Suatu bentuk aljabar yang mengandung suku-suku sejenis dapat disederhanakan dengan
cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis yang ada. Proses ini
dilakukan dengan sifat distributif.
Contoh 4 :
Sederhanakan bentuk berikut ini !
b2 + 2ab – 3b2 + 5ab
jawab :
b2 + 2ab – 3b2 + 5ab = (b2 – 3b2) + (2ab + 5ab) (sifat komutatif)
= (1 – 3) b2 + (2 + 5) ab (sifat distributif)
= - 2 b2 + 7ab
Adakalanya penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dilakukan secara
menurun, seperti pada cotoh berikut ini:
a. – 3 a – b + c
a + 7b – 5c
+
= (- 3 + 1) a + (- 1 + 7)b + (1 – 5)c
= - 2a + 6b + (-4)c
= - 2a + 6b – 4c
b. 5x – 4y + 3z
-5x + 4y – 3z
= [5 – (-5)]x + (- 4 – 4)y + [3 – (-3)] z
= (5 + 5)x – (4 + 4)y + (3 + 3)z
= 10x – 8y + 6z
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
8
Contoh 5 :
Sederhanakanlah !
a.
b.
5(x – 4) – 3(x + 2)
3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2)
Jawab :
a. 5(x – 4) – 3(x + 2) = 5x – 20 – 3x – 6
= (5x – 3x) – 20 – 6
= (5 – 3) x – 26
= 2x – 26
b. 3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2) = 3x2 – 15x + 12 – 7x2 + 7x + 14
= 3x2 – 7x2 – 15x + 7x + 12 + 14
= (3 – 7)x2 – (15 – 7)x + 26
= - 4x2 – 8x + 26
Latihan 4
1.
2.
3.
Gunakan sifat distributif untuk menyatakan bentuk aljabar berikut ini sebagau jumlah
atau selisih.
a. 3(x + y) = ...
b. - (y – z) = ...
Jumlahkan !
a. 10a + 3a
b. -2x2 + 5x2 - 7x2
Jumlahkan secara menurun !
a.
4a + 3b
−2𝑎−3𝑏
+
....
b. a – b + c
𝑎−𝑏+𝑐
+
....
4.
jika A = a + 3b, B = 2a – 3b + c, dan C = 5a + 2b – 4c. tentukan :
a. A + B + C
b. 2[(- B + 2C) – A]
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
9
5.
Tentukan bentuk yang paling sederhana dari bentuk-bentuk berikut ini.
a. 4(a + 3) + 2(3a – 1)
b. 3(3x – 4y) + 2(2x + y)
C. Perkalian dan Pembagian Antar bentuk Aljabar
Pada saat kita melakukan perkalian dan pembagian antar bentuk aljabar, terlebih dahulu
lakukan pengelompokkan koefisien, kemudian kelompokkan variabel-variabel yang
sama. Tuliskan variabel dalam urutan abjad dan pangkat dalam urutan kecil ke besar.
Untuk diingat : operasi dalam variabel harus diselesaikan terlebih dahulu.
CONTOH 6 :
Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana !
a. 2ab(-3bc)
b. [24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2]
Jawab :
a. 2ab(-3bc) = 2 × (-3) × a × b × b × c
= -6 × a × b2 × c
= -6ab2c
b. [24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2] =
=
−26𝑎2 𝑏3 (𝑐−𝑑)3
−26
−6
−6𝑎𝑏(𝑑−𝑐)2
×
𝑎2
𝑎
×
𝑏2
𝑏
×
(𝑐−𝑑)3
[−(𝑐−𝑑)]2
= -4 × a × b × (c – d)
= -4ab2(c - d)
2
dalam praktek kita sering menjumpai bentuk-bentuk aljabar yang agak rumit, seperti (a +
b)2, (a – b)2, (a + b)(a – b), ataupun (a + b)(p + q + r). Berikut ini akan kita uraikan
bentuk-bentuk aljabar di atas satu per satu.
Bentuk I: (a +b)2
Bentuk diatas dapat dijabarkan sebagai berikut :
(a + b)2 = (a + b) × (a + b)
= a × (a + b) + b × (a + b)
= (a × a) + (a ×b) + (b × a) + (b × b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Kesimpulan : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
10
Bentuk II:
(a – b)2
Bentuk diatas dapat dijabarkan sebagai berikut :
(a - b)2 = (a - b) × (a - b)
= a × (a - b) + b × (a - b)
= (a × a) - (a ×b) - (b × a) - (b × b)
= a2 - ab - ab + b2
= a2 - 2ab + b2
Kesimpulan : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Bentuk III:
(a + b) (a – b)
Bentuk diatas dapat dipaparkan sebagai berikutn:
(a + b) × (a – b) = a × (a – b) + b × (a – b)
= (a × a) – (a × b) + (b × a) - (b × b)
= a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
Kesimpulan : (a + b) × (a – b) = a2 – b2
Bentuk IV:
(a + b) (p + q + r)
Penjabaran bentuk diatas dapat dupaparkan sebagai berikut :
(a + b) (p + q + r) = a × (p + q+ r) + b × (p + q + r)
= (a × p) + (a × q) + (a × r) + (b × p) + (b × q) + (b × r)
= ap + aq + ar + bp + bq + br
Kesimpulan : (a + b) (p + q + r) = ap + aq + ar + bp + bq + br
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
11
Contoh 7:
Uraikanlah !
a. (x2 – 4)2
b. (x – y + 2) (x – y + 3)
Jawab :
a. (x2 – 4)2
= (x2 – 4) (x2 – 4)
= (x2 × x2) – (x2
× 4) – (4 × x2) + ( 4 × 4)
= x4 – 4x2 – 4x2 + 16
= x4 – 8x2 + 16
b. (x – y + 2) (x – y + 3) = x2 – xy + 3x – xy + y2 – 3y + 2x – 2y + 6
= x2 – xy – xy + 3x + 2x + y2 – 3y – 2y + 6
= x2 – 2xy + 5x + y2 – 5y +6
Latihan 5
1. Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana.
a. 2 × 4p
b. 5pqr × 6pr2
2. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.
a. (x + 5) × ( x – 5)
b. (5a + 5) × (7b – 7)
3. Bila A = x – 2, B = -2x + 1, dan C = 3x + 4, tentukanlah:
a. A + B – C
c. A × C
5. SUBSTITUSI PADA BENTUK ALJABAR
Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang
bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
COTOH 8:
a. Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.
b. Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2 – xy + 3y2.
Jawab :
a. Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh
5 – 2m = 5 – 2(3)
=5–6
= –1
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
12
b. Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh
2x2 – xy + 3y2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2
= 2(16) – (–12) + 3(9)
= 32 + 12 + 27
= 71
Latihan 6
1. Sustitusikan a = 4 untuk menghitung nilai dari :
a. a + 3
b. 2a2 : 4
2. Jika a = 2, b = -3, c = 0, p = 5 dan q = - 7, hitunglah nilai dari:
a. abcpq
b. (p – q)2 – a2b
3. jika a = -3, b = 2, dan c = -5, hitunglah nilai dari:
a. (-10a + 10b + 10c) × (c – a + b)
b. (3a2b + 2ab – 3a2c) × (a2 + c – b2)
4. Bila m = 1,6 dan n = 3,8 hitunglah nilai dari masing-masing bentuk aljabar berikut ini.
a. 5m + n
b. 2m2 – 3n + 1
c. (2m2 – 4n) : (2m – 1)
6. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
Dalam perhitungan sehari-hari sering dijumpai persoalan yang pemecahannya
menggunakan matematika. Mula-mula soal itu diterjemahkan ke dalam model
matematika lalu dirumuskan menjadi benuk aljabar ataupun persamaan matematika
sehingga mudah diselesaikan.
Contoh 9 :
Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia ayah tiga kali
usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya.
Jawab :
Misalkan: umur ayah = x;
umur anak = y
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
13
sehingga diperoleh persamaan
x = 4y ..................................... (i)
x + 5 = 3(y + 5) ...................... (ii)
Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh
x + 5 = 3(y + 5)
œ 4y + 5 = 3(y + 5)
œ 4y + 5 = 3y + 15
œ 4y – 3y = 15 – 5
y = 10
Untuk y = 10, maka x = 4y
x = 4 × 10
x = 40
Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10 tahun.
Latihan 7
1. Tiga tahun yang lalu jumlah umur seorang ayah beserta anak kembarnya diketahui 35
tahun. Jika pada saat itu umur ayahnya 29 tahun, berapa tahunkah umur anak
kembarnya sekarang?
2. Fulla membeli 15 ekor ayam dengan harga Rp 15.000,00/ ekor. Kemudian dijual
dengan keuntungan Rp 2.000,00/ ekor. Berapa harga penjualan seluruh ayam?
3. Diketahui luas persegi panjang ABCD adalah 50 cm2 dan panjangnya adalah dua kali
dari lebarnya. Hitunglah keliling persegi panjang ABCD itu?
4. Diana ingin membeli sebuah pisau pemotong kertas dan sebuah gunting lipat. Harga
pisau itu Rp 1.500,00 lebih mahal dibandingkan harga sebuah gunting lipat. Apabila
untuk membeli 4 buah gunting lipat dan 2 pisau diperlukan Rp 18.000,00 tentukan
harga sebuah gunting lipat dan sebuah pisau ?
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
14
7. PECAHAN BENTUK ALJABAR
Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi
hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar,
yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk
aljabar.
𝑎 4
3𝑎
Misalnya 2 , 𝑝 , 7𝑏𝑐 ,
𝑚+3
𝑛
dan
𝑥2
𝑥+𝑦
A. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan
penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya
tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat
dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan
FPB dari keduanya.
CONTOH 10:
Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y ≠ 0.
a.
3𝑥
6𝑥 2 𝑦
b.
4𝑥 2 𝑦𝑧 3
2𝑥𝑦 2
Jawab :
a. FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga
3𝑥
3𝑥
1
∶
=
2
6𝑥 𝑦 3𝑥
2𝑥𝑦
Jadi, bentuk sederhana dari
3𝑥
6𝑥 2 𝑦
1
adalah 2𝑥𝑦
b. FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga
4𝑥 2 𝑦𝑧 3 2𝑥𝑦
2𝑥𝑧 3
∶
=
2𝑥𝑦 2
2𝑥𝑦
𝑦
Jadi bentuk sederhana dari
4𝑥 2 𝑦𝑧 3
2𝑥𝑦 2
adalah
2𝑥𝑧 3
𝑦
B. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan pengurangan
Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan
dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya,
kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga
masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK
dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
15
operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh
berikut.
Contoh 11.
Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar berikut.
a.
1
2𝑝
5
+ 3𝑞
b.
𝑚+2
𝑚
−
𝑛−1
𝑛
Jawab :
a.
1
2𝑝
5
+ 3𝑞
=
1×3𝑞
2𝑝 ×3𝑞
=
3𝑞
6𝑝𝑞
=
3𝑞+10𝑝
6𝑝𝑞
+
5×2𝑝
3𝑞×2𝑝
10𝑝
+ 6𝑝𝑞
b.
𝑚+2
𝑚
=
𝑛(𝑚+2)
𝑚(𝑛−1)
−
𝑚×𝑛
𝑛×𝑚
=
𝑚𝑛+2𝑛
𝑚𝑛
=
𝑚𝑛−𝑚𝑛+2𝑛+𝑚
𝑚𝑛
=
2𝑛+𝑚
𝑚𝑛
−
𝑛−1
𝑛
−
(𝑚𝑛−𝑚)
𝑚𝑛
b. Perkalian dan pembagian
Ingat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapat dinyatakan sebagai
berikut.
𝑎
𝑐
𝑎𝑐
× 𝑑 = 𝑏𝑑 ; untuk b, d ≠ 0
𝑏
Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.
Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers (operasi kebalikan)
dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa membagi dengan
suatu pecahan sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan
tersebut.
𝑎∶
𝑏
𝑐 𝑎𝑐
=𝑎 × =
untuk 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0
𝑐
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
1
𝑎
∶𝑐=
× =
untuk 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0
𝑏
𝑏
𝑐
𝑏𝑐
𝑎 𝑐
𝑎
𝑐 𝑎𝑑
∶ =
× =
untuk ≠ 0, 𝑐 ≠ 0
𝑏 𝑑
𝑏
𝑑 𝑏𝑐
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
16
Contoh 12:
Tentukan hasil perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar berikut.
4
3𝑎
×
𝑎𝑏
2
a.
4
3𝑎
×
𝑎𝑏
2
=
4 ×𝑎𝑏
3𝑎 ×2
b.
4𝑝
3𝑞
∶
2𝑞
9𝑝
=
4𝑝
3𝑞
a.
b.
4𝑝
3𝑞
2𝑞
9𝑝
∶
Jawab :
=
4𝑎𝑏
6𝑎
9𝑝
× 2𝑞 =
=
4𝑏
6
=
2𝑏
3
36𝑝2
6𝑞2
=
6𝑝2
𝑞2
a. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar
Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal
ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar.
𝑎 1 𝑎
( ) =
𝑏
𝑏
𝑎 2 𝑎 𝑎 𝑎2
( ) = × = 2
𝑏
𝑏 𝑏 𝑏
3
𝑎
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎3
( ) = × × = 3
𝑏
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎𝑛
( ) = × × × …× = 𝑛
𝑏
𝑏 𝑏 𝑏
𝑏 𝑏
Sebanyak n kali
CONTOH 13 :
Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut:
3𝑥 3
5𝑝+3 2
)
2
a. ( 2 )
b. (
Jawab :
3𝑥 3
a. ( 2 ) =
3𝑥
2
×
3𝑥
2
×
3𝑥
2
5𝑝+3 2
)
2
=
5𝑝+3
2
×
5𝑝+3
2
b. (
27𝑥3
8
(5𝑝 + 3)(5𝑝 + 3)
2
2
25𝑝 + 15𝑝 + 15𝑝 + 9
=
2
2
25𝑝 + 30𝑝 + 9
=
2
=
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
=
17
Latihan 8
1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentuk aljabar berikut.
a.
2𝑝𝑞
, 𝑝, 𝑞 ≠ 0
4𝑝𝑞 2
3𝑥 2 +15𝑦−𝑦𝑧
b.
𝑥𝑦𝑧
, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 0
2. Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar berikut.
a.
3
𝑝
𝑞
+2
b.
2𝑥
𝑦
+
4𝑥𝑦−2
9𝑦 2
3. Tentukan hasil perkalian dan pembagian pecahan aljabar berikut.
a.
9𝑚𝑛
4𝑘
×
6𝑘𝑛2
3𝑚2
b.
16𝑎2 𝑏
5𝑐
∶
8𝑎𝑏 2
3𝑐 2
4. Selesaikan operasi perpangkatan pecahan aljabar berikut.
2𝑥 2
4𝑥
a. ( 3 )
3
b. (− 4𝑥 2 )
1 2
c. ( 𝑦 + 𝑦)
3
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
2𝑎
1 2
d. ( 3 + 𝑏2 )