Kritik terhadap Filsafat Absolut dari Matematika 1. Perkenalan Tujuan utama bab ini adalah menjelaskan dan mengkritik yang dominan perspektif epistemologis matematika. Ini adalah pandangan absolutis itu kebenaran matematika mutlak pasti, bahwa matematika adalah satu-satunya dan mungkin itu hanya bidang pengetahuan tertentu, tidak perlu dipertanyakan dan obyektif. Ini akan menjadi kontras dengan pandangan fallibilist yang berlawanan bahwa kebenaran matematika dapat diperbaiki, dan dapat tidak pernah dianggap sebagai di atas revisi dan koreksi. Banyak yang dibuat dari perbedaan absolut-fallibilist karena, seperti yang ditunjukkan selanjutnya , pilihan mana dari dua perspektif filosofis ini yang diadopsi adalah mungkin faktor yang paling penting epistemologis yang mendasari pengajaran matematika . 2. Filsafat Matematika Filsafat matematika merupakan cabang ilmu filsafat yang tugasnya merefleksikan pada , dan menjelaskan sifat matematika. Ini adalah kasus khusus dari tugas epistemologi yang menjelaskan pengetahuan manusia secara umum. Filosofi dari matematika alamat pertanyaan seperti: Apa dasar untuk matematika pengetahuan ? Apa sifat kebenaran matematika? Apa yang menjadi ciri kebenaran dari matematika? Apa pembenaran untuk pernyataan mereka? Mengapa kebenaran dari matematika kebenaran yang diperlukan? Pendekatan epistemologi yang diadopsi secara luas, adalah mengasumsikan bahwa pengetahuan ada di mana saja bidang diwakili oleh seperangkat proposisi, bersama dengan seperangkat prosedur untuk memverifikasi mereka, atau memberikan jaminan atas pernyataan mereka. Atas dasar ini, pengetahuan matematika terdiri dari seperangkat proposisi bersama dengan proposisi mereka bukti . Karena pembuktian matematis didasarkan pada nalar saja, tanpa sumber lain data empiris , pengetahuan matematika dipahami sebagai yang paling pasti dari semuanya pengetahuan . Secara tradisional, filsafat matematika memandang tugasnya sebagai memberikan landasan bagi kepastian pengetahuan matematika. Itu adalah, menyediakan sistem di mana pengetahuan matematika dapat diterapkan secara sistematis menetapkan kebenarannya. Ini tergantung pada asumsi yang secara luas diadopsi , secara implisit jika tidak secara eksplisit. Anggapan Peran filosofi matematika adalah memberikan yang sistematis dan mutlak fondasi yang aman untuk pengetahuan matematika, yaitu untuk kebenaran matematika. 1 Asumsi ini merupakan dasar dari foundationism, doktrin yang berfungsi sebagai Filsafat matematika adalah memberikan dasar-dasar tertentu untuk matematika pengetahuan . Foundationisme terikat dengan pandangan absolutis matematika pengetahuan , karena menganggap tugas membenarkan pandangan ini menjadi pusat filsafat matematika. 3. Sifat Pengetahuan Matematika Secara tradisional, matematika dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu. Euclid mendirikan struktur logis yang luar biasa hampir 2.500 tahun yang lalu di Elements, yang sampai akhir abad kesembilan belas dijadikan paradigma membangun kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan bentuk Elemen dalam karyanya Principia, dan Spinoza dalam Etika nya , untuk memperkuat klaim mereka secara sistematis menjelaskan kebenaran. Jadi matematika telah lama diambil sebagai sumber yang paling banyak pengetahuan tertentu yang diketahui umat manusia. Sebelum menyelidiki hakikat pengetahuan matematika, pertama-tama diperlukan untuk mempertimbangkan sifat pengetahuan secara umum. Jadi kita mulai dengan bertanya, apakah itu pengetahuan ? Pertanyaan tentang apa yang merupakan pengetahuan terletak di jantungnya filsafat , dan pengetahuan matematika memainkan peran khusus. Standar jawaban filosofis untuk pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah keyakinan yang dibenarkan. Lebih tepatnya , pengetahuan preposisional terdiri dari proposisi yang diterima (yaitu, diyakini), asalkan ada dasar yang memadai yang tersedia untuk menegaskannya (Sheffler, 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949). Pengetahuan diklasifikasikan atas dasar penegasannya. A priori pengetahuan terdiri dari proposisi yang ditegaskan atas dasar alasan saja, tanpa bantuan pengamatan dunia. Di sini alasan terdiri dari penggunaan logika deduktif dan arti istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Di Sebaliknya , pengetahuan empiris atau a posteriori terdiri dari proposisi yang ditegaskan di dasar pengalaman, yaitu berdasarkan pengamatan terhadap dunia (Woozley, 1949). Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan apriori , karena terdiri dari proposisi ditegaskan atas dasar alasan saja. Alasan termasuk logika deduktif dan definisi yang digunakan, dalam hubungannya dengan himpunan matematika yang diasumsikan aksioma atau postulat, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Jadi Kritik terhadap Filsafat Absolut 5 yang dasar pengetahuan matematika, yang merupakan alasan untuk menyatakan kebenaran dari proposisi matematika, terdiri dari bukti deduktif. Bukti proposisi matematika adalah urutan akhir pernyataan yang terbatas dalam proposisi, yang memenuhi properti berikut. Setiap pernyataan adalah aksioma diambil dari aksioma yang telah ditetapkan sebelumnya, atau diturunkan oleh aturan kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang terjadi sebelumnya dalam urutan. Istilah 'set of aksioma 'dipahami secara luas, untuk memasukkan pernyataan apa pun yang diterima ke dalam a bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma, postulat dan definisi. Contoh diberikan oleh bukti berikut dari pernyataan '1 + 1 = 2' di sistem aksiomatik Aritmatika Peano. Untuk bukti ini kami membutuhkan definisi dan aksioma s0 = 1, s1 = 2, x + 0 = x, x + sy = s (x + y) dari Aritmatika Peano, dan logika aturan inferensi P (r), r = t P (t); P (v) P (c) (di mana r, t; v; c; dan P (t) berkisar istilah ; variabel; konstanta; dan proposisi dalam istilah t, dan ' ' menandakan implikasi logis). 2 Berikut ini adalah bukti 1 + 1 = 2: x + sy = s (x + y), 1 + sy = s ( 1 + y), 1 + s0 = s (1 + 0), x + 0 = x, 1 + 0 = 1, 1 + s0 = s1, s0 = 1, 1 + 1 = s1, s1 = 2, 1 + 1 = 2. Penjelasan dari bukti ini adalah sebagai berikut. s0 = 1 [D1] dan s1 = 2 [D2] adalah definisi konstanta 1 dan 2, masing-masing, dalam Aritmatika Peano, x + 0 = x [A1] dan x + sy = s (x + y) [A2] adalah aksioma Aritmatika Peano. P (r), r = t P ( t) [R1] dan P ( v) P (c) [R2], dengan simbol seperti yang dijelaskan di atas, merupakan aturan logika inferensi. Pembenaran pembuktian pernyataan demi pernyataan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1.1. Bukti ini menetapkan '1 + 1 = 2' sebagai item pengetahuan atau kebenaran matematika, menurut analisis sebelumnya, karena bukti deduktif memberikan yang sah surat perintah untuk menegaskan pernyataan tersebut. Lebih jauh lagi itu adalah pengetahuan apriori , karena itu ditegaskan atas dasar alasan saja. Namun, apa yang telah belum jelas adalah alasan untuk asumsi dibuat sebagai bukti. Asumsi yang dibuat terdiri dari dua jenis: matematika dan logika asumsi . Asumsi matematis yang digunakan adalah definisi (D1 dan D2) dan yang aksioma (A1 dan A2). Asumsi logis adalah aturan inferensi yang digunakan (R1 dan R2), yang merupakan bagian dari teori bukti yang mendasari, dan sintaks yang mendasari yang bahasa formal. Tabel 1.1: Bukti 1 + 1 = 2 dengan justifikasi Filsafat Pendidikan Matematika 6 Pertama-tama kami mempertimbangkan asumsi matematika. Definisi, menjadi eksplisit definisi , tidak bermasalah, karena pada prinsipnya dapat dieliminasi. Setiap kemunculan istilah yang didefinisikan 1 dan 2 dapat diganti dengan apa yang disingkatnya (s0 dan ss0, masing-masing). Hasil dari menghilangkan definisi ini adalah singkatannya bukti : x + sy = s (x + y), s0 + sy = s (s0 + y), s0 + s0 = s (s0 + 0), x + 0 = x, s0 + 0 = s0, s0 + s0 = ss0; membuktikan 's0 + s0 = ss0', yang mewakili '1 + 1 = 2'. Meskipun definisi eksplisit adalah pada prinsipnya dapat dihilangkan , itu tetap merupakan kenyamanan yang tidak diragukan lagi, belum lagi bantuan untuk berpikir, untuk mempertahankan mereka. Namun, dalam konteks sekarang kami prihatin mengurangi asumsi seminimal mungkin, untuk mengungkap asumsi yang tidak dapat direduksi yang menjadi dasar pengetahuan matematika dan pembenarannya. Jika definisi tidak eksplisit, seperti dalam induktif asli Peano definisi penjumlahan (Heijenoort, 1967), yang diasumsikan di atas sebagai aksioma, dan bukan sebagai definisi, maka definisi tersebut pada prinsipnya tidak akan dapat dihilangkan. Di dalam kasus masalah dasar definisi, yaitu asumsi yang menjadi sandarannya, adalah analog dengan aksioma. Aksioma dalam pembuktian tidak dapat dihilangkan. Mereka harus diasumsikan sebagai kebenaran aksiomatik yang terbukti sendiri, atau hanya mempertahankan status tidak dapat dibenarkan, tentatif asumsi , diadopsi untuk memungkinkan pengembangan teori matematika di bawah pertimbangan . Kami akan kembali ke poin ini. Asumsi logis, yaitu aturan inferensi (bagian dari pembuktian keseluruhan teori ) dan sintaksis logis, diasumsikan sebagai bagian dari logika yang mendasari, dan are bagian dari mekanisme yang dibutuhkan untuk penerapan akal. Jadi logika diasumsikan sebagai sebuah yayasan bermasalah untuk pembenaran pengetahuan. Singkatnya, kebenaran matematika dasar '1 + 1 = 2', bergantung padanya pembenaran atas bukti matematis. Ini pada gilirannya tergantung pada asumsi sejumlah pernyataan matematika dasar (aksioma), serta logika yang mendasarinya. Secara umum, pengetahuan matematika terdiri dari pernyataan yang dibenarkan oleh bukti, yang bergantung pada aksioma matematika (dan logika yang mendasari). Penjelasan tentang pengetahuan matematika ini pada dasarnya adalah yang telah ada diterima selama hampir 2.500 tahun. Presentasi awal dari pengetahuan matematika, seperti itu sebagai Elemen Euclid, berbeda dari akun di atas hanya dalam derajat. Di Euclid, sebagai di atas , pengetahuan matematika dibentuk oleh deduksi logis dari teorema-teorema dari aksioma dan postulat (yang kami sertakan di antara aksioma). Yang mendasari logika dibiarkan tidak ditentukan (selain pernyataan dari beberapa aksioma tentang hubungan kesetaraan ). Aksioma tidak dianggap sebagai asumsi yang diadopsi sementara, diadakan hanya untuk pembangunan teori yang sedang dipertimbangkan. Aksioma adalah dianggap kebenaran dasar yang tidak membutuhkan pembenaran, di luar diri mereka sendiri bukti (Blanche, 1966). 3 Karena itu, akun mengklaim memberikan tertentu dasar untuk pengetahuan matematika. Karena karena bukti logis melestarikan kebenaran dan aksioma yang diasumsikan adalah kebenaran yang terbukti dengan sendirinya, maka setiap teorema yang diturunkan darinya harus juga kebenaran (alasan ini implisit, tidak eksplisit dalam Euclid). Namun, klaim ini adalah tidak lagi diterima karena aksioma Euclid dan dalil-dalil yang tidak dianggap menjadi kebenaran yang mendasar dan tak terbantahkan, tidak ada satupun yang dapat disangkal atau disangkal tanpa menimbulkan kontradiksi. Faktanya, penolakan dari beberapa dari mereka, terutama Kritik terhadap Filsafat Absolut 7 yang Paralel Postulat, hanya mengarah ke badan-badan lain pengetahuan geometrik (noneuclidean geometri ). Di luar Euclid, pengetahuan matematika modern mencakup banyak cabang yang bergantung pada asumsi kumpulan aksioma yang tidak dapat diklaim kebenaran universal dasar , misalnya, aksioma teori grup, atau teori himpunan (Maddy, 1984). 4. Pandangan Absolutis dari Pengetahuan Matematika Pandangan absolut dari pengetahuan matematika adalah bahwa ia terdiri dari dan kebenaran yang tak tertandingi . Menurut pandangan ini, pengetahuan matematika dibuat dari kebenaran mutlak, dan mewakili alam yang unik pengetahuan tertentu, terlepas dari logika dan pernyataan yang benar berdasarkan arti istilah, seperti 'Semua bujangan yang belum menikah'. Banyak filsuf, baik modern maupun tradisional, memegang pandangan absolut pengetahuan matematika . Demikian menurut Hempel: yang validitas matematika berasal dari ketentuan yang menentukan yang berarti dari konsep-konsep matematika, dan bahwa proposisi matematika karena itu pada dasarnya 'benar menurut definisi'. (Feigl dan Sellars, 1949, halaman 225) Pendukung lain dari kepastian matematika adalah AJAyer yang mengklaim mengikuti . Sedangkan generalisasi ilmiah dengan mudah diakui sebagai kesalahan, itu kebenaran matematika dan logika tampaknya setiap orang perlu dan pasti . Kebenaran logika dan matematika adalah proposisi analitik atau tautologi . Kepastian proposisi apriori bergantung pada fakta bahwa proposisi tersebut memang benar tautologi . Sebuah proposisi [adalah] tautologi jika analitik. Sebuah proposisi adalah analitik jika benar semata-mata berdasarkan makna konsituennya simbol , dan karena itu tidak dapat dikonfirmasi atau disangkal oleh fakta apa pun pengalaman . (Ayer, 1946, halaman 72, 77 dan 16, masing-masing). Metode deduktif memberikan jaminan untuk pernyataan matematika pengetahuan . Alasan untuk mengklaim bahwa matematika (dan logika) memberikan secara mutlak Oleh karena itu, pengetahuan tertentu , yaitu kebenaran, adalah sebagai berikut. Pertama-tama, pernyataan dasar digunakan dalam bukti dianggap benar. Aksioma matematika diasumsikan benar, untuk yang tujuan mengembangkan sistem yang sedang dipertimbangkan, definisi matematika adalah benar dengan fiat , dan aksioma logis diterima sebagai benar. Kedua, aturan logis Filsafat Pendidikan Matematika 8 kesimpulan melestarikan kebenaran, yaitu mereka tidak mengizinkan apa pun kecuali kebenaran untuk disimpulkan kebenaran . Atas dasar dua fakta tersebut, setiap pernyataan termasuk dalam bukti deduktif nya kesimpulan, benar. Jadi, karena teorema matematika semuanya ditetapkan melalui bukti deduktif , semuanya adalah kebenaran tertentu. Ini merupakan dasar dari klaim banyak filsuf bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran tertentu. Pandangan absolut tentang pengetahuan matematika didasarkan pada dua jenis asumsi : matematika, tentang asumsi aksioma dan definisi , dan logika tentang asumsi aksioma, aturan inferensi dan bahasa formal serta sintaksnya. Ini adalah asumsi lokal atau mikro. Ada juga kemungkinan asumsi global atau makro, seperti apakah deduksi logis cukup untuk menetapkan semua kebenaran matematika. saya harus selanjutnya berpendapat bahwa masing-masing asumsi ini melemahkan klaim kepastian pengetahuan matematika . Pandangan absolut dari pengetahuan matematika menemui masalah di awal abad kedua puluh ketika sejumlah antinomies dan kontradiksi diturunkan dalam matematika (Kline, 1980; Kneebone, 1963; Wilder, 1965). Dalam serangkaian publikasi Gottlob Frege (1879, 1893) didirikan sejauh ini formulasi logika matematika paling ketat yang dikenal saat itu, sebagai fondasi untuk pengetahuan matematika. Russell (1902), bagaimanapun, mampu menunjukkan bahwa Frege sistem tidak konsisten. Masalahnya terletak pada Hukum Dasar Kelima Frege, yang memungkinkan a disetel untuk dibuat dari perluasan konsep apa pun, dan untuk konsep atau properti untuk diterapkan ke set ini (Furth, 1964). Russell menghasilkan paradoksnya yang terkenal oleh mendefinisikan properti 'tidak menjadi elemen itu sendiri. Hukum Frege mengizinkan perpanjangan properti ini untuk dianggap sebagai satu set. Tapi kemudian himpunan ini merupakan elemen dari dirinya sendiri jika, dan hanya jika, tidak; sebuah kontradiksi. Hukum Frege tidak bisa dibatalkan tanpa melemahkan sistemnya secara serius, namun tidak dapat dipertahankan. Kontradiksi lain juga muncul dalam teori himpunan dan teori fungsi . Temuan semacam itu, tentu saja, memiliki implikasi besar bagi pandangan absolutis pengetahuan matematika . Karena jika matematika pasti, dan semua teorema pasti yakin , bagaimana kontradiksi (yaitu, kepalsuan) berada di antara teorema? Sejak disana tidak ada kesalahan tentang munculnya kontradiksi ini, pasti ada sesuatu salah dalam dasar matematika. Hasil dari krisis ini adalah pengembangan sejumlah sekolah yang bertujuan untuk filsafat matematika adalah untuk menjelaskan sifat pengetahuan matematika dan untuk membangunnya kembali kepastian . Tiga aliran utama dikenal sebagai logikaisme, formalisme dan konstruktivisme (menggabungkan intuitionism). Prinsip dari aliran pemikiran ini yang tidak sepenuhnya dikembangkan sampai abad kedua puluh, tapi Korner (1960) menunjukkan bahwa akar filosofis mereka dapat ditelusuri kembali setidaknya sejauh Leibniz dan Kant. A. Logika Logika adalah aliran pemikiran yang menganggap matematika murni sebagai bagian dari logika. Itu pendukung utama pandangan ini adalah G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), Kritik terhadap Filsafat Absolut 9 ANWhitehead dan R.Carnap (1931). Di tangan Bertrand Russell, klaim logikaisme menerima rumusan yang paling jelas dan eksplisit. Ada dua klaim: 1 Semua konsep matematika pada akhirnya dapat direduksi menjadi logika konsep , asalkan ini diambil untuk memasukkan konsep teori himpunan atau beberapa sistem dengan kekuatan serupa, seperti Teori Jenis Russell. 2 Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan inferensi dari logika saja. Tujuan dari klaim ini jelas. Kalau semua matematika bisa diungkapkan secara murni istilah logis dan dibuktikan dari prinsip logis saja, lalu kepastian pengetahuan matematika dapat direduksi menjadi logika. Logika dianggap memberikan fondasi tertentu untuk kebenaran, selain dari upaya yang terlalu ambisius untuk diperluas logika , seperti Hukum Kelima Frege. Demikian jika dijalankan, program logikais akan memberikan dasar logis tertentu untuk pengetahuan matematika, membangun kembali kepastian absolut dalam matematika. Whitehead dan Russell (1910–13) mampu menetapkan yang pertama dari dua klaim tersebut melalui rantai definisi. Namun logikaisme gagal pada klaim kedua. Matematika membutuhkan aksioma non-logis seperti Aksioma Tak Terhingga (himpunan semua alam nomor tak terbatas) dan Aksioma of Choice (produk Cartesian dari keluarga himpunan yang tidak kosong itu sendiri tidak kosong). Russell sendiri mengungkapkannya sebagai berikut. Tetapi meskipun semua proposisi logis (atau matematis) dapat diungkapkan sepenuhnya dalam hal konstanta logis bersama dengan variabel, itu bukan kasus itu, sebaliknya, semua proposisi yang dapat diekspresikan dengan cara ini adalah logis . Sejauh ini kami telah menemukan kriteria yang diperlukan tetapi belum cukup proposisi matematika . Kami telah cukup mendefinisikan karakter file ide primitif dalam hal semua ide matematika dapat didefinisikan, tetapi bukan dari proposisi primitif dari mana semua proposisi matematika bisa disimpulkan . Ini adalah masalah yang lebih sulit tidak belum diketahui apa jawaban lengkap. Kita dapat mengambil aksioma tak terhingga sebagai contoh proposisi yang, meskipun dapat diucapkan dalam istilah logis, tidak dapat ditegaskan dengan logika jadilah benar. (Russell, 1919, halaman 202–3, penekanan asli) Jadi tidak semua teorema matematika dan karenanya tidak semua kebenaran matematika bisa diturunkan dari aksioma logika saja. Ini berarti bahwa aksioma matematika adalah tidak dapat dihilangkan demi orang-orang yang memiliki logika. Teorema matematika bergantung pada serangkaian asumsi matematika yang tidak dapat direduksi . Memang, matematika penting aksioma adalah independen, dan mereka atau negasinya dapat diadopsi, tanpa inkonsistensi (Cohen, 1966). Dengan demikian klaim kedua dari logikaisme dibantah Untuk mengatasi masalah ini Russell mundur ke versi yang lebih lemah dari logikaisme yang disebut 'if-thenism', yang menyatakan bahwa matematika murni terdiri dari pernyataan implikasi yang berupa 'A T'. Menurut pandangan ini, seperti sebelumnya, kebenaran matematika adalah ditetapkan sebagai teorema dengan bukti logis. Masing-masing teorema (T) ini menjadi Filsafat Pendidikan Matematika 10 akibatnya dalam pernyataan implikasi. Konjungsi aksioma matematika (A) digunakan dalam pembuktian dimasukkan ke dalam pernyataan implikasi sebagai miliknya anteseden (lihat Carnap, 1931). Demikian semua asumsi matematis (A) yang menjadi landasannya yang Teorema (T) tergantung sekarang dimasukkan ke dalam bentuk baru dari teorema (AT), meniadakan kebutuhan aksioma matematika. Kecerdasan ini sama dengan pengakuan bahwa matematika adalah suatu hipotesis yang bersifat hipotetis sistem , di mana konsekuensi dari kumpulan aksioma yang diasumsikan dieksplorasi, tanpa menegaskan kebenaran yang diperlukan mereka. Sayangnya, perangkat ini juga menyebabkan kegagalan, karena tidak semua kebenaran matematika, seperti 'aritmatika Peano konsisten,' dapat diekspresikan dengan cara ini sebagai pernyataan implikasi, seperti pendapat Machover (1983). Keberatan kedua, yang berlaku terlepas dari validitas kedua ahli logika tersebut klaim , merupakan dasar utama untuk penolakan formalisme. Ini milik Godel Teorema Ketidaklengkapan, yang menetapkan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu pengurangan berhasil aksioma matematika untuk logika masih tidak akan cukup untuk derivasi semua kebenaran matematika . Keberatan ketiga yang mungkin menyangkut kepastian dan keandalan yang mendasarinya logika . Hal ini tergantung pada asumsi yang tidak diperiksa dan, seperti yang akan diperdebatkan, tidak dapat dibenarkan. Dengan demikian program logika mereduksi kepastian matematika pengetahuan logika gagal pada prinsipnya. Logika tidak memberikan kepastian dasar untuk pengetahuan matematika. B. Formalisme Dalam istilah populer, formalisme adalah pandangan bahwa matematika adalah formal yang tidak berarti permainan dimainkan dengan tanda di atas kertas, mengikuti aturan. Jejak filosofi formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan Bishop Berkeley, tetapi dalam mayor pendukung formalisme adalah David Hilbert (1925), awal J. von Neumann (1931) dan H. Curry (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan matematika ke dalam sistem formal yang tidak ditafsirkan . Melalui metamathematics terbatas tapi bermakna yang sistem formal itu harus terbukti cukup untuk matematika, dengan mendapatkan padanan formal dari semua kebenaran matematika, dan aman untuk matematika , melalui pembuktian konsistensi. Tesis formalis terdiri dari dua klaim. 1 Matematika murni dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak ditafsirkan, di mana yang kebenaran matematika diwakili oleh teorema formal. 2 Keamanan sistem formal ini dapat didemonstrasikan dalam hubungannya dengan kebebasan dari ketidakkonsistenan, melalui meta-matematika. Teorema Ketidaklengkapan Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan bahwa program itu bisa tidak terpenuhi. Teorema pertamanya menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari Aksioma Peano (atau himpunan aksioma rekursif yang lebih besar). Kritik terhadap Filsafat Absolut 11 Hasil teori-bukti ini telah dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan Harrington, yang versi Teorema Ramsey benar tetapi tidak dapat dibuktikan di Peano Aritmatika (Barwise, 1977). Teorema Ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus yang diinginkan, bukti konsistensi membutuhkan meta-matematika yang lebih kuat daripada sistem yang akan dijaga, yang dengan demikian bukan merupakan pengaman sama sekali. Misalnya untuk membuktikan konsistensi Peano Aritmatika membutuhkan semua aksioma dari sistem itu dan selanjutnya asumsi , seperti prinsip induksi transfinite atas ordinal yang dapat dihitung (Gentzen, 1936). Program formalis, jika berhasil, akan memberikan dukungan untuk pandangan absolut tentang kebenaran matematika. Untuk bukti formal, berdasarkan konsistensi sistem matematika formal , akan memberikan batu ujian untuk matematika kebenaran . Namun, terlihat bahwa kedua klaim formalisme tersebut telah dibantah. Tidak semua kebenaran matematika dapat direpresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan selanjutnya, sistem itu sendiri tidak dapat dijamin aman. C. Konstruktivisme Untaian konstruktivis dalam filsafat matematika dapat ditelusuri kembali ke paling tidak sejauh Kant dan Kronecker (Korner, 1960). Program konstruktivis adalah salah satunya merekonstruksi pengetahuan matematika (dan mereformasi matematika praktek ) untuk menjaganya dari kehilangan makna, dan dari kontradiksi. Untuk Untuk tujuan ini , konstruktivis menolak argumen non-konstruktif seperti bukti Cantor bahwa bilangan real tidak terhitung, dan hukum logika dari tengah yang dikecualikan. Konstruktivis paling terkenal adalah intuitionist LEJBrouwer (1913) dan A. Heyting (1931, 1956). Baru-baru ini ahli matematika E.Bishop (1967) telah melakukannya yang konstruktivis memprogram jauh, dengan merekonstruksi sebagian besar dari Analisis, dengan cara konstruktif. Berbagai bentuk konstruktivisme masih tumbuh subur hingga saat ini, seperti dalam karya ahli intuisi filosofis M. Dummett (1973, 1977). Konstruktivisme mencakup berbagai macam pandangan yang berbeda, dari ultra-intuitionists (A. Yessenin-Volpin), melalui apa yang dapat disebut sebagai intuisi filosofis yang ketat (LEJBrouwer), intuisi tengah (A. Heyting dan awal H. Weyl), intuitionists logis modern (A. Troelstra) ke kisaran yang lebih atau kurang liberal konstruktivis termasuk P. Lorenzen, E.Bishop, G. Kreisel dan P. Martin-Lof. Ahli matematika ini memiliki pandangan yang sama bahwa matematika klasik mungkin tidak aman, dan bahwa itu perlu dibangun kembali dengan metode dan penalaran 'konstruktif'. Konstruktivis mengklaim bahwa kebenaran matematika dan keberadaan objek matematika harus ditetapkan dengan metode konstruktif. Artinya itu konstruksi matematika diperlukan untuk menetapkan kebenaran atau keberadaan, sebagai lawan metode yang mengandalkan bukti dengan kontradiksi. Untuk pengetahuan konstruktivis harus didirikan melalui bukti konstruktif, berdasarkan logika konstruktivis terbatas, dan yang arti dari matematika hal / benda terdiri dari prosedur formal dengan yang mereka bangun. Meskipun beberapa konstruktivis berpendapat bahwa matematika adalah pelajaran Filsafat Pendidikan Matematika 12 proses konstruktif dilakukan dengan pensil dan kertas, tampilan yang lebih ketat dari intuitionists , dipimpin oleh Brouwer, adalah bahwa matematika terjadi terutama dalam pikiran, dan matematika tertulis itu nomor dua. Salah satu konsekuensi dari itu adalah Brouwer menganggap semua aksiomatisasi logika intuitionistik tidak lengkap. Refleksi bisa selalu mengungkap lebih lanjut aksioma-aksioma yang benar secara intuitif dari logika intuitionistik, dan karenanya bisa tidak pernah dianggap sebagai bentuk akhir. Intuitionism mewakili filosofi konstruktivis yang paling dirumuskan sepenuhnya matematika . Dua klaim yang dapat dipisahkan dari intuitionism dapat dibedakan, yang mana Dummett mengartikan tesis positif dan negatif. Yang positif adalah efek cara intuitionistic menafsirkan pengertian matematika dan operasi logis adalah koheren dan sah satu , bahwa matematika intuitif membentuk tubuh teori yang dapat dipahami. Tesis negatif menyatakan bahwa cara klasik menafsirkan pengertian matematika dan operasi logis tidak koheren dan tidak sah, bahwa matematika klasik, meskipun mengandung, dalam bentuk yang terdistorsi, banyak nilai , bagaimanapun, karena berdiri tidak dapat dipahami. (Dummett, 1977, halaman 360). Di area terlarang di mana ada bukti klasik dan konstruktivis dari suatu hasil, yang terakhir seringkali lebih disukai karena lebih informatif. Padahal bukti eksistensi klasik mungkin hanya menunjukkan kebutuhan logis dari keberadaan, keberadaan yang konstruktif bukti menunjukkan bagaimana membangun objek matematika yang keberadaannya ditegaskan. Ini memberi kekuatan pada tesis positif, dari sudut pandang matematika. Namun, tesis negatif jauh lebih problematis, karena tidak hanya gagal menjelaskan tubuh substansial dari matematika klasik non-konstruktif, tetapi juga menyangkal validitasnya. Para konstruktivis belum menunjukkan bahwa ada masalah yang tak terhindarkan menghadapi matematika klasik atau yang tidak koheren dan tidak valid . Memang matematika klasik murni dan terapan telah pergi dari kekuatan menjadi kekuatan sejak program konstruktivis diusulkan. Karena itu, negatif tesis intuitionism ditolak. Masalah lain untuk pandangan konstruktivis, adalah bahwa beberapa dari hasil-hasilnya adalah tidak konsisten dengan matematika klasik. Jadi, misalnya, bilangan real kontinum , sebagaimana didefinisikan oleh para intuisi, dapat dihitung. Ini bertentangan dengan klasik hasil bukan karena ada kontradiksi yang melekat, tetapi karena definisi bilangan real berbeda. Pengertian konstruktivis seringkali memiliki arti yang berbeda dari yang sesuai gagasan klasik. Dari perspektif epistemologis, baik tesis positif maupun negatif intuitionism cacat. Para intuisi mengklaim memberikan dasar tertentu untuk mereka versi kebenaran matematika dengan menurunkannya (secara mental) dari aksioma-aksioma tertentu secara intuitif, menggunakan metode pembuktian yang aman secara intuitif. Pandangan ini mendasari pengetahuan matematika secara eksklusif pada keyakinan subjektif. Tapi kebenaran mutlak (yang diklaim oleh para intuisi menyediakan ) tidak dapat didasarkan pada keyakinan subjektif saja. Juga tidak ada jaminan itu intuisi para intuisi yang berbeda tentang kebenaran dasar akan sama, karena memang tidak. Kritik terhadap Filsafat Absolut 13 Intuitionism mengorbankan sebagian besar matematika dengan imbalan menenangkan jaminan bahwa apa yang tersisa dibenarkan oleh kami 'primordial intuition ' (Urintuition) . Tetapi intuisi bersifat subjektif, dan bukan intersubjektif cukup untuk mencegah para intuisi berbeda tentang apa yang 'primordial' mereka intuisi harus menjadi dasar matematika. (Kalmar, 1967, halaman 190). Dengan demikian, tesis positif intuitionism tidak memberikan landasan tertentu bahkan sebagian dari pengetahuan matematika. Kritik ini meluas ke bentuk lain dari konstruktivisme yang juga mengklaim mendasarkan kebenaran matematika konstruktif pada a dasar asumsi konstruktivis yang terbukti dengan sendirinya. Tesis negatif intuitionisme (dan konstruktivisme, jika dianut), mengarah ke penolakan yang tidak beralasan atas pengetahuan matematika yang diterima, di alasan bahwa itu tidak dapat dipahami. Tapi matematika klasik bisa dimengerti. Ini berbeda dari matematika konstruktivis sebagian besar dalam asumsi yang menjadi dasarnya. 4 Jadi konstruktivisme bersalah atas apa yang dianalogikan dengan Kesalahan Tipe I dalam statistik, yaitu penolakan pengetahuan yang valid. 5. Kekeliruan Absolutisme Kita telah melihat bahwa sejumlah filosofi matematika absolut telah gagal menetapkan kebutuhan logis dari pengetahuan matematika. Masing-masing dari tiga sekolah dari pemikiran logicism, formalisme dan intuitionism (bentuk yang paling jelas diucapkan dari konstruktivisme ) mencoba memberikan dasar yang kuat untuk kebenaran matematika, dengan memperolehnya dengan bukti matematis dari alam kebenaran yang terbatas tetapi aman. Di setiap Jika ada peletakan dasar yang aman dari calon kebenaran absolut. Untuk Logika , formalis dan intuitionist ini terdiri dari aksioma-aksioma logika, secara intuitif prinsip tertentu meta-matematika, dan aksioma yang terbukti dengan sendirinya dari 'primordial intuisi ', masing-masing. Masing-masing set aksioma atau prinsip ini diasumsikan tanpa demonstrasi . Oleh karena itu masing-masing tetap terbuka untuk menantang, dan dengan demikian untuk keraguan. Selanjutnya masing-masing sekolah menggunakan logika deduktif untuk menunjukkan kebenaran dari teorema matematika dari basis mereka diasumsikan. Akibatnya ketiganya aliran pemikiran gagal untuk menetapkan kepastian mutlak dari kebenaran matematika. Untuk logika deduktif hanya mengirimkan kebenaran, tidak memasukkannya, dan kesimpulan dari a bukti logis paling pasti adalah premis terlemah. Dapat dikatakan bahwa upaya ketiga sekolah tersebut juga gagal memberikan landasan untuk berbagai kebenaran matematika calon dengan cara ini. Untuk sebagai Godel Teorema ketidaklengkapan pertama menunjukkan, bukti tidak cukup untuk menunjukkan semua kebenaran. Jadi ada kebenaran matematika yang tidak ditangkap oleh sistem sekolah-sekolah ini. Fakta bahwa tiga aliran pemikiran dalam filsafat matematika memiliki gagal untuk menetapkan kepastian pengetahuan matematika tidak menyelesaikan masalah umum . Masih mungkin ditemukan alasan lain untuk menegaskan kepastian kebenaran matematika. Kebenaran mutlak dalam matematika masih tetap a pengantar xiv matematika juga memiliki pengaruh yang kuat pada cara matematika diajarkan (Davis, 1967; Cooney, 1988; Ernest, 1988b, 1989c). Satu studi berpengaruh menyimpulkan: Konsistensi yang diamati antara konsepsi yang dianut guru matematika dan cara mereka biasanya menyajikan konten dengan kuat menunjukkan bahwa pandangan, keyakinan dan preferensi guru tentang matematika jangan mempengaruhi praktik instruksional mereka. Thompson (1984, halaman 125) Masalah-masalah seperti itu merupakan pusat filsafat pendidikan matematika, dan telah hasil praktis yang penting untuk pengajaran dan pembelajaran matematika. 3. Buku ini Bagian pertama buku ini membahas filosofi matematika. Ini berisi baik a kritik terhadap pendekatan yang ada, dan filosofi baru matematika. Untuk meskipun yang paradigma tradisional sedang diserang, novel dan ide-ide menjanjikan di Zeitgeist telah belum disintesis. Konstruktivisme sosial ditawarkan untuk mengisi kekosongan ini. Bagian kedua mengeksplorasi filosofi pendidikan matematika. Itu menunjukkan bahwa banyak aspek pendidikan matematika bersandar pada asumsi filosofis yang mendasari. Dengan mengungkap beberapa di antaranya, tujuannya adalah untuk memberikan alat penting ke tangan guru dan peneliti. Catatan 1 Ambiguitas yang sistematis harus diberi isyarat. The filsafat matematika adalah bidang keseluruhan penyelidikan filosofis ke dalam sifat matematika. Sebaliknya, sebuah filosofi matematika adalah khususnya akun atau pandangan sifat matematika. Secara umum, arti ini ditandai dengan yang menggunakan artikel yang pasti atau tidak terbatas (atau bentuk jamak), masing-masing. 2 Harus disebutkan bahwa sikap yang lebih negatif terhadap matematika dikaitkan dengan pandangan (B) dari siswa SMP. Kritik terhadap Filsafat Absolut 15 postulat , definisi, dan penalaran logis) untuk menggantikan kebenaran absolut sudut pandang. (Stabler, 1955, halaman 24). Apa yang kita sebut matematika murni adalah, oleh karena itu, deduktif hipotetis sistem . Aksioma-aksiomanya berfungsi sebagai hipotesis atau asumsi, yang menghibur atau dipertimbangkan untuk proposisi yang mereka maksud. (Cohen dan Nagel, 1963, halaman 133). [W] e hanya dapat menggambarkan aritmatika, yaitu menemukan aturannya, bukan memberikan dasar mereka . Dasar seperti itu tidak dapat memuaskan kita, karena alasan itu harus diakhiri kadang - kadang dan kemudian mengacu pada sesuatu yang tidak dapat lagi didirikan. Hanya konvensi yang paling akhir. Apa pun yang terlihat seperti yayasan sebenarnya , sudah tercemar dan tidak boleh memuaskan kita. (Waismann, 1951, halaman 122). Pernyataan atau proposisi atau teori dapat dirumuskan dalam asersi yang mungkin benar dan kebenarannya dapat dikurangi, melalui derivasi dengan proposisi primitif. Upaya untuk membangun (bukan mengurangi ) dengan cara ini kebenaran mereka mengarah pada kemunduran yang tak terbatas. (Popper, 1979, ekstrak dari tabel di halaman 124). Kritik di atas menentukan pandangan absolut tentang matematika. Namun, itu benar mungkin untuk menerima kritik tanpa mengadopsi filosofi fallibilist matematika . Untuk itu dimungkinkan untuk menerima bentuk deduktivisme hipotetis yang menyangkal kebenaran dan kemungkinan kesalahan yang mengakar dalam matematika. Seperti itu sebuah posisi memandang aksioma hanya sebagai hipotesis dari mana teorema matematika disimpulkan secara logis, dan relatif terhadap teorema yang pasti. Di Dengan kata lain , meskipun aksioma matematika bersifat tentatif, logika dan penggunaan logika untuk menurunkan teorema dari aksioma menjamin pengembangan yang aman matematika , meskipun dari dasar yang diasumsikan. Bentuk kaum absolut yang melemah ini posisinya menyerupai 'if thenism' Russell dalam strateginya mengadopsi aksioma tanpa baik bukti atau biaya untuk keamanan sistem. Namun absolutis yang melemah ini posisi didasarkan pada asumsi yang membuatnya terbuka untuk kritik fallibilist. 6. Kritik Fallibilis terhadap Absolutisme Argumen sentral terhadap pandangan absolut dari pengetahuan matematika bisa jadi dielakkan oleh pendekatan deduktif-hipotetis. Namun, di luar masalah tersebut dari asumsi kebenaran aksioma, pandangan absolut menderita lebih besar kelemahan . Yang pertama menyangkut logika yang mendasari pembuktian matematis beristirahat . Pembentukan kebenaran matematika , yaitu deduksi teorema dari sekumpulan aksioma, membutuhkan asumsi lebih lanjut, yaitu aksioma dan aturan kesimpulan logika itu sendiri. Ini adalah asumsi non-sepele dan tidak dapat dihilangkan, dan Filsafat Pendidikan Matematika 16 yang argumen di atas (yang irreducibility akhir dari asumsi pada nyeri dari setan lingkaran ) berlaku sama untuk logika. Jadi kebenaran matematika bergantung pada logika esensial sebagai serta asumsi matematika. Tidaklah mungkin untuk hanya menambahkan semua asumsi logika ke himpunan asumsi matematika , mengikuti strategi deduktif hipotetis 'jika-kemudian'. Karena logika memberikan kanon inferensi yang benar dengan yang dalilnya matematika diturunkan. Memuat semua asumsi logis dan matematis ke dalam Bagian ' hipotetis ' tidak meninggalkan dasar untuk bagian 'deduktif' dari metode ini. Deduksi menyangkut 'inferensi yang benar', dan ini pada gilirannya didasarkan pada gagasan tentang kebenaran ( pelestarian nilai kebenaran). Tapi apa dasar dari kebenaran logis? Itu tidak bisa berpijak pada bukti, di atas lingkaran setan yang menyakitkan, jadi itu harus diasumsikan. Tapi apapun asumsi tanpa dasar yang kuat, baik diturunkan melalui intuisi, konvensi , makna atau apapun, bisa salah. Singkatnya, kebenaran matematika dan bukti bersandar pada deduksi dan logika. Tapi logika sendiri tidak memiliki fondasi tertentu. Itu juga bertumpu pada asumsi yang tidak dapat direduksi. Jadi ketergantungan pada deduksi logis meningkatkan kumpulan asumsi yang kebenaran matematis bersandar, dan ini tidak dapat dinetralkan oleh strategi 'jika-maka'. Anggapan lebih lanjut dari pandangan absolut adalah bahwa matematika pada dasarnya bebas dari kesalahan. Karena inkonsistensi dan absolutisme jelas tidak sesuai. Tapi ini tidak bisa dibuktikan. Matematika terdiri dari teori-teori (misalnya, teori kelompok, teori kategori ) yang dipelajari dalam sistem matematika, berdasarkan kumpulan asumsi (aksioma). Untuk menetapkan bahwa sistem matematika aman (yaitu, konsisten), untuk sistem apa pun kecuali yang paling sederhana, kami terpaksa memperluas kumpulan asumsi yang sistem (Godel Kedua Ketidaklengkapan Teorema, 1931). Karena itu kami harus asumsikan konsistensi sistem yang lebih kuat untuk menunjukkan bahwa sistem yang lebih lemah. Kita Oleh karena itu tidak dapat mengetahui bahwa ada kecuali sistem matematika paling remeh yang aman, dan kemungkinan kesalahan dan inkonsistensi harus selalu ada. Keyakinan akan keamanan dari matematika harus didasarkan baik pada alasan empiris (tidak ada kontradiksi memiliki belum ditemukan dalam sistem matematika kami saat ini) atau pada iman, tidak ada yang menyediakan yang dasar tertentu yang absolutisme membutuhkan. Di luar kritik ini, ada masalah lebih lanjut yang menyertai penggunaan pembuktian sebagai sebuah dasar untuk kepastian dalam matematika. Hanya bukti deduktif yang sepenuhnya formal yang bisa berfungsi sebagai jaminan kepastian dalam matematika. Tetapi bukti seperti itu hampir tidak ada. Jadi absolutisme membutuhkan penyusunan kembali matematika informal menjadi deduktif formal sistem , yang memperkenalkan asumsi lebih lanjut. Masing-masing asumsi berikut adalah suatu kondisi yang diperlukan untuk kepastian seperti dalam matematika. Masing-masing, dikatakan, adalah asumsi absolut yang tidak beralasan . Asumsi A Bukti yang diterbitkan matematikawan sebagai waran untuk menegaskan teorema dapat, di prinsip , diterjemahkan ke dalam bukti formal yang sepenuhnya ketat. Bukti informal yang diterbitkan matematikawan umumnya cacat, dan oleh tidak ada cara yang sepenuhnya dapat diandalkan (Davis, 1972). Menerjemahkannya menjadi formal yang ketat Kritik terhadap Filsafat Absolut 17 pembuktian adalah tugas non-mekanis yang utama. Ini membutuhkan kecerdikan manusia untuk menjembatani kesenjangan dan untuk memperbaiki kesalahan. Sejak total formalisasi matematika tidak mungkin dilakukan out , apa nilai klaim bahwa bukti informal dapat diterjemahkan ke dalam formal bukti 'pada prinsipnya'? Itu adalah janji yang tidak terpenuhi, bukan alasan untuk kepastian. Total kekakuan adalah cita-cita yang belum tercapai dan bukan kenyataan praktis. Karena itu, kepastian tidak bisa didapatkan diklaim sebagai bukti matematis, bahkan jika kritik sebelumnya diabaikan . Asumsi B Bukti formal yang ketat dapat diperiksa kebenarannya. Sekarang ada bukti informal yang tidak dapat diperiksa secara manusiawi, seperti Appel-Haken (1978) bukti teorema empat warna (Tymoczko, 1979). Diterjemahkan sepenuhnya bukti formal yang ketat ini akan lebih lama. Jika ini tidak mungkin disurvei oleh seorang ahli matematika, atas dasar apa mereka dapat dianggap mutlak benar ? Jika bukti seperti itu diperiksa oleh komputer, jaminan apa yang dapat diberikan itu yang lunak dan perangkat keras yang dirancang benar-benar sempurna, dan bahwa perangkat lunak berjalan dengan sempurna dalam praktik? Mengingat kompleksitas hardware dan software sepertinya tidak masuk akal bahwa ini dapat diperiksa oleh satu orang. Selanjutnya pemeriksaan tersebut melibatkan elemen empiris (yaitu, apakah itu berjalan sesuai dengan desain?). Jika di cek dari bukti-bukti formal yang tidak dapat dilakukan, atau memiliki unsur empiris, maka klaim dari kepastian yang mutlak harus dilepaskan (Tymoczko, 1979). Asumsi C Teori matematika dapat secara valid diterjemahkan ke dalam set aksioma formal. Formalisasi teori matematika intuitif dalam seratus tahun terakhir (misalnya, logika matematika, teori bilangan, teori himpunan, analisis) telah menyebabkan tak terduga masalah mendalam , karena konsep dan bukti berada di bawah pengawasan yang semakin tajam, selama upaya untuk menjelaskan dan merekonstruksi mereka. Formalisasi yang memuaskan dari yang sisa matematika tidak dapat diasumsikan bermasalah. Sampai ini formalisasi yang dilakukan tidak mungkin untuk menegaskan dengan pasti bahwa hal itu dapat dilakukan dilakukan dengan benar . Tetapi sampai matematika diformalkan, ketelitiannya, yaitu a kondisi yang diperlukan untuk kepastian, jauh dari ideal. Asumsi D Konsistensi representasi ini (dalam asumsi C) dapat diperiksa. Seperti yang kita ketahui dari Teorema Ketidaklengkapan Godel, ini menambah secara signifikan beban asumsi yang mendasari pengetahuan matematika. Jadi tidak ada jaminan keamanan mutlak . Masing-masing dari keempat asumsi ini menunjukkan di mana masalah selanjutnya dalam membangun kepastian pengetahuan matematika mungkin muncul. Ini bukan masalah yang memprihatinkan Filsafat Pendidikan Matematika 18 yang sebenarnya diasumsikan dari dasar pengetahuan matematika (yaitu, dasar asumsi ). Sebaliknya ini adalah masalah dalam mencoba untuk mengirimkan kebenaran yang dianggap asumsi ini untuk sisa pengetahuan matematika dengan cara deduktif bukti , dan dalam menetapkan keandalan metode. 7. Pandangan Fallibilist Pandangan absolut tentang pengetahuan matematika telah menjadi subjek yang parah, dan saya pandangan , kritik yang tak terbantahkan. 6 Penolakannya mengarah pada penerimaan fallibilist lawan pandangan pengetahuan matematika. Ini adalah pandangan bahwa kebenaran matematika bisa salah dan yg dpt diperbaiki , dan tidak pernah dapat dianggap sebagai revisi luar dan koreksi. Fallibilist tesis dengan demikian memiliki dua bentuk ekivalen, satu positif dan satu negatif. Bentuk negatif menyangkut penolakan absolutisme: pengetahuan matematika bukanlah kebenaran mutlak, dan tidak tidak memiliki validitas mutlak. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat diperbaiki dan selalu terbuka untuk revisi. Di bagian ini saya ingin menunjukkan itu dukungan untuk sudut pandang fallibilist, dalam satu bentuk atau lainnya, jauh lebih luas daripada yang mungkin telah seharusnya. Berikut ini adalah pilihan dari berbagai ahli logika, ahli matematika dan filsuf yang mendukung sudut pandang ini: Dalam makalahnya 'A renaissance of empircism in the Filsafat matematika', Lakatos mengutip dari karya-karya Russell, Fraenkel, Carnap, Weyl, von Neumann, Bernays, Gereja, Godel, Quine, Rosser, Curry, Mostowski dan Kalmar (a daftar yang mencakup banyak ahli logika utama abad kedua puluh) untuk didemonstrasikan pandangan umum mereka tentang 'ketidakmungkinan kepastian penuh' dalam matematika , dan dalam banyak kasus, kesepakatan mereka yang dimiliki oleh pengetahuan matematika sebuah dasar empiris, yang melibatkan penolakan absolutisme. (Lakatos, 1978, halaman 25, kutipan dari R. Carnap) Sekarang jelaslah bahwa konsep tubuh yang sempurna dan diterima secara universal dari penalaran-matematika megah 1800 dan kebanggaan manusia adalah sebuah ilusi besar. Ketidakpastian dan keraguan tentang masa depan matematika telah menggantikan kepastian dan kepuasan dari masa lalu… Keadaan matematika saat ini adalah ejekan dari yang sampai sekarang mengakar dan kebenaran yang terkenal dan kesempurnaan logika matematika. (Kline, 1980, halaman 6) Tidak ada sumber pengetahuan yang otoritatif, dan tidak ada 'sumber' sangat andal. Semuanya diterima sebagai sumber inspirasi, termasuk 'intuisi'… Tapi tidak ada yang aman, dan kita semua bisa salah. (Popper, 1979, halaman 134) Saya ingin mengatakan bahwa dimana surveyability tidak ada, yaitu dimana disana Ada ruang untuk keraguan apakah apa yang kita miliki adalah hasil dari ini substitusi , buktinya dihancurkan. Dan tidak dalam beberapa hal yang konyol dan tidak penting cara yang tidak ada hubungannya dengan sifat pembuktian. Kritik terhadap Filsafat Absolut 19 Atau: logika sebagai dasar matematika tidak berfungsi, dan untuk menunjukkan ini sudah cukup meyakinkan bahwa bukti logis berdiri dan jatuh dengan nya kekuatan geometris …. Kepastian logis dari bukti — saya ingin mengatakan — tidak melampaui batas kepastian geometris mereka . (Wittgenstein, 1978, halaman 174–5) Sebuah teori Euclidean dapat diklaim benar; teori kuasi-empiris— di terbaik-untuk menjadi baik-dikuatkan, tetapi selalu bersifat terkaan. Juga, di a Teori euclidean pernyataan dasar yang benar di 'atas' deduktif sistem (biasanya disebut 'aksioma') membuktikan, sebagaimana adanya, sisa dari sistem; di sebuah teori kuasi-empiris , pernyataan dasar (benar) dijelaskan oleh yang lain dari sistem ... Matematika adalah kuasi-empiris (Lakatos, 1978, halaman 28–29 & 30) Tautologi memang benar, tetapi matematika tidak. Kami tidak tahu apakah aksioma aritmatika konsisten; dan jika tidak, ada khususnya teorema aritmatika mungkin palsu. Oleh karena itu, teorema ini adalah bukan tautologi. Mereka adalah dan harus selalu tetap tentatif, sementara a tautologi adalah disangkal tak terbantahkan ... [T] dia ahli matematika merasa harus menerima matematika sebagai benar, bahkan meskipun dia hari ini kehilangan kepercayaan pada kebutuhan logisnya dan ditakdirkan untuk selamanya mengakui kemungkinan yang mungkin bahwa seluruh kainnya mungkin tiba-tiba runtuh dengan mengungkapkan kontradiksi diri yang menentukan. (Polanyi, 1958, halaman 187 dan 189) Doktrin bahwa pengetahuan matematika adalah apriorisme matematika apriori telah diartikulasikan dengan berbagai cara selama refleksi tentang matematika… Saya akan menawarkan gambaran tentang pengetahuan matematika yang menolak pendahuluan matematika ... alternatif untuk matematika apriorisme — empirisme matematis — belum pernah diberikan detailnya artikulasi . Saya akan mencoba memberikan akun yang hilang. (Kitcher, 1984, halaman 3–4) [Pengetahuan matematika menyerupai pengetahuan empiris — yaitu, kriteria dari kebenaran dalam matematika seperti halnya dalam fisika adalah keberhasilan ide-ide kami di praktik , dan pengetahuan matematika itu dapat dikoreksi dan tidak mutlak. (Putnam, 1975, halaman 51) Masuk akal untuk mengusulkan tugas baru untuk filsafat matematika: bukan untuk mencari kebenaran yang tak terbantahkan tetapi untuk memberikan penjelasan tentang pengetahuan matematika sebagai itu benar-benar — bisa salah, bisa diperbaiki, tentatif dan berkembang, seperti halnya setiap jenis lainnya dari pengetahuan manusia. (Hersh, 1979, halaman 43) Mengapa tidak dengan jujur mengakui kesalahan matematis, dan mencoba mempertahankan martabat dari keliru pengetahuan dari skeptisisme sinis, bukan delude Filsafat Pendidikan Matematika 20 diri kita sendiri bahwa kita akan dapat memperbaiki robekan terbaru yang tidak terlihat pada kain dari intuisi 'pamungkas' kami. (Lakatos, 1962, halaman 184) 8. Kesimpulan Penolakan absolutisme seharusnya tidak dilihat sebagai pengusiran matematika dari yang Taman Eden, ranah kepastian dan kebenaran. 'Kehilangan kepastian' (Kline, 1980) tidak mewakili hilangnya pengetahuan. Ada analogi yang mencerahkan dengan perkembangan fisika modern. Umum Teori Relativitas membutuhkan pelepasan kerangka acuan universal yang absolut dalam mendukung perspektif relativistik. Dalam Teori Kuantum, Ketidakpastian Heisenberg Prinsip berarti pengertian tentang pengukuran posisi yang ditentukan dengan tepat dan momentum partikel juga harus dilepaskan. Tapi yang kita lihat di sini adalah bukan hilangnya pengetahuan tentang bingkai dan kepastian absolut. Sebaliknya kita melihat pertumbuhannya dari pengetahuan, membawa dengan itu realisasi dari batas-batas apa yang dapat diketahui. Relativitas dan Ketidakpastian dalam fisika mewakili kemajuan besar dalam pengetahuan, kemajuan yang membawa kita ke batas pengetahuan (selama teorinya dipertahankan ). Demikian juga dalam matematika, karena pengetahuan kita menjadi lebih baik dan dasar kita mempelajari lebih lanjut tentang dasarnya, kami telah menyadari bahwa pandangan absolut adalah idealisasi , mitos. Ini mewakili kemajuan dalam pengetahuan, bukan mundur dari masa lalu kepastian . Taman Eden yang absolut tidak lain adalah surga orang bodoh. Catatan 1 Dalam bab ini, untuk kesederhanaan, definisi kebenaran dalam matematika dianggap tidak bermasalah dan tidak ambigu. Sedangkan dibenarkan sebagai asumsi yang menyederhanakan, karena tidak ada argumen dari Bab ini bertumpu pada ambiguitas gagasan ini, makna konsep kebenaran dalam matematika telah berubah seiring waktu. Kita dapat membedakan antara tiga konsep terkait kebenaran yang digunakan dalam matematika : (a) Ada pandangan tradisional tentang kebenaran matematika, yaitu bahwa kebenaran matematika adalah a pernyataan umum yang tidak hanya menjelaskan dengan benar semua contohnya di dunia (seperti halnya a generalisasi empiris yang benar ), tetapi harus benar untuk contoh-contohnya. Tersirat dalam tampilan ini adalah asumsi bahwa teori matematika memiliki interpretasi yang dimaksudkan, yaitu beberapa idealisasi dunia. (b) Ada pandangan modern tentang kebenaran pernyataan matematika relatif terhadap latar belakang teori matematika : pernyataan dipenuhi oleh beberapa interpretasi atau model teori. Menurut pandangan ini (dan yang berikut), matematika terbuka untuk banyak interpretasi, yaitu, kemungkinan dunia. Kebenaran hanya terdiri dari menjadi benar (yaitu, puas, mengikuti Tarski, 1936) di salah satu dunia yang mungkin ini. (c) Ada pandangan modern tentang kebenaran logis atau validitas relatif pernyataan matematika ke teori latar belakang: pernyataan dipenuhi oleh semua interpretasi atau model teori. Jadi pernyataan itu benar di semua kemungkinan dunia ini. Kebenaran dalam pengertian (c) dapat ditetapkan dengan deduksi dari teori latar belakang sebagai himpunan aksioma. Untuk sebuah teori yang diberikan, kebenaran dalam arti (c) adalah subset (biasanya subset yang tepat) dari kebenaran dalam arti (b). Kritik terhadap Filsafat Absolut 21 Ketidaklengkapan muncul (seperti yang dibuktikan Godel, 1931) dalam kebanyakan teori matematika karena ada kalimat benar dalam arti (b) (yaitu memuaskan) yang tidak benar dalam arti (c). Jadi tidak hanya konsep kebenaran memiliki banyak arti, tetapi juga matematika yang krusial Masalah bergantung pada ambiguitas ini. Di luar ini, pandangan matematika modern tentang kebenaran berbeda dari pandangan matematika tradisional tentang kebenaran (a), dan pengertian istilah sehari-hari, yang menyerupai itu. Karena dalam arti yang naif, kebenaran adalah pernyataan yang secara akurat menggambarkan suatu keadaan urusan — hubungan — dalam beberapa bidang wacana. Dalam pandangan ini, istilah yang mengekspresikan kebenaran nama objek dalam ranah wacana, dan pernyataan secara keseluruhan menggambarkan keadaan yang sebenarnya dari urusan, hubungan yang memegang antara denotasi dari istilah. Ini menunjukkan bahwa konsep kebenaran yang digunakan dalam matematika tidak lagi memiliki arti yang sama dengan keduanya sehari-hari , gagasan kebenaran yang naif, atau padanannya (a) seperti yang digunakan dalam matematika, di masa lalu (Richards, 1980, 1989). Konsekuensi dari ini adalah masalah tradisional dalam membangun yang tak terbantahkan dasar kebenaran matematika telah berubah, karena definisi kebenaran yang digunakan telah berubah. Di Khususnya untuk mengklaim bahwa pernyataan itu benar dalam arti (b) jauh lebih lemah daripada indera (a) atau (c). '1 + 1 = 1' adalah benar dalam arti (b) (itu puas dalam aljabar Boolean, tetapi tidak dalam arti (a) yang mengasumsikan standar Interpretasi Peano). 2 Agar pembuktiannya akurat, bahasa formal L untuk Aritmatika Peano harus ditentukan secara lengkap. L adalah kalkulus predikat orde pertama dalam bentuk variabel bebas terkuantifikasi secara universal. Sintaks dari L will tentukan seperti biasa suku dan rumus L, rumus 'P (r)' pada suku 'r', dan hasil 'P (t)' dari mengganti istilah 't' untuk kejadian Y di 'P (r)' (kadang-kadang ditulis P (r) [r / t]). Itu harus juga disebutkan bahwa bentuk modern dari Aksioma Peano diadopsi di atas (lihat, sebagai contoh, Bell dan Machover, 1977), yang tidak secara harfiah berarti Peano (Heijenoort, 1967). 3 Sarjana percaya bahwa dalil kelima Euclid tidak dianggap sebagai bukti diri seperti yang lain. Itu adalah kurang tegas, dan lebih seperti proposisi (teorema) dari dalil (itu adalah kebalikan dari proposisi I 17). Euclid tidak menggunakannya sampai proposisi I 29. Karena alasan ini, selama berabadabad, banyak Upaya untuk membuktikan posulat tersebut dilakukan termasuk upaya Sacchieri untuk membuktikannya dengan reductio ad absurdam berdasarkan penyangkalannya (Eves, 1953). 4 Perlu dicatat bahwa kalkulus predikat klasik dapat diterjemahkan ke dalam logika intuitionist di a cara konstruktif yang menjaga deducibility (lihat Bell dan Machover, 1977). Ini berarti bahwa semua file Teorema matematika klasik yang dapat diekspresikan dalam kalkulus predikat dapat direpresentasikan sebagai teorema intuisi . Dengan demikian matematika klasik tidak dapat dengan mudah diklaim sebagai matematika secara intuitif tidak bisa dimengerti . (Perhatikan bahwa prosedur terjemahan terbalik secara intuisi tidak dapat diterima, karena itu menggantikan '-P' dengan 'P', dan '- (x) -P' oleh '(Ex) P', membaca-, (x), dan (Ex) sebagai 'tidak', 'untuk semua x' dan ' disana ada x ', masing-masing). 5 Beberapa pembaca mungkin merasa bahwa pernyataan membutuhkan pembenaran. Untuk apa ada jaminan yang sah pengetahuan matematika selain demonstrasi atau pembuktian? Jelas perlu mencari yang lain alasan untuk menyatakan bahwa pernyataan matematika itu benar. Akun utama kebenaran adalah teori korespondensi kebenaran, teori koherensi kebenaran (Woozley, 1949), pragmatis teori kebenaran (Dewey, 1938) dan kebenaran sebagai konvensi (Quine, 1936; Quinton, 1963). Kita bisa dulu menolak koherensi dan teori kebenaran pragmatis sebagai tidak relevan di sini, karena ini tidak diklaim yang sebenarnya dapat dibenarkan benar-benar. Teori korespondensi dapat ditafsirkan dengan baik secara empiris atau non-empiris, untuk mengatakan bahwa kebenaran matematika dasar menggambarkan keadaan yang sebenarnya baik di dunia atau di alam abstrak. Tapi kemudian kebenaran matematika dibenarkan secara empiris atau intuitif, masing-masing, dan tidak ada alasan yang berfungsi sebagai jaminan pasti pengetahuan . Teori kebenaran konvensional menegaskan bahwa pernyataan matematika dasar adalah benar berdasarkan yang arti dari istilah di atasnya. Tetapi fakta bahwa aksioma mengungkapkan apa yang kita inginkan atau yakini istilah yang berarti tidak membebaskan kita dari keharusan untuk menganggapnya, bahkan jika kita hanya menetapkannya dengan fiat . Melainkan sebuah pengakuan bahwa kita hanya harus mengasumsikan proposisi dasar tertentu. Luar ini , untuk mengatakan bahwa aksioma kompleks seperti yang ada pada teori himpunan Zermelo-Fraenkel adalah benar berdasarkan yang arti dari istilah konstituen tidak didukung. (Maddy, 1984, memberikan penjelasan tentang settheoretik aksioma dalam penggunaan saat ini yang oleh imajinasi tidak dianggap benar). Kita harus menganggap aksioma-aksioma ini sebagai definisi implisit dari istilah-istilah konstituennya, dan itu jelas kita harus mengasumsikan aksioma untuk melanjutkan dengan teori himpunan. Filsafat Pendidikan Matematika 22 6 Kritik terhadap absolutisme dapat digunakan untuk mengkritik bab ini, sebagai berikut. Jika tidak ada pengetahuan, termasuk matematika pasti bagaimana pernyataan yang didasarkan sederhana dari bab ini menjadi benar? Bukankah pernyataan bahwa tidak ada kebenaran yang merugikan diri sendiri? Jawabannya adalah bahwa pernyataan dan argumen dari bab ini tidak berpura-pura menjadi kebenaran, tapi akun yang masuk akal. Dasar untuk menerima kebenaran matematika, meskipun tidak sempurna, yang jauh lebih tegas daripada argumen bab ini. (Argumen dapat dipertahankan secara analogi dengan cara Ayer, 1946, membela Prinsip Verifikasi.) A Critique of Absolutist Philosophies of Mathematics 1. Introduction The main purpose of this chapter is to expound and criticize the dominant epistemological perspective of mathematics. This is the absolutist view that mathematical truth is absolutely certain, that mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge. This is to be contrasted with the opposing fallibilist view that mathematical truth is corrigible, and can never be regarded as being above revision and correction. Much is made of the absolutist-fallibilist distinction because, as is shown subsequently, the choice of which of these two philosophical perspectives is adopted is perhaps the most important epistemological factor underlying the teaching of mathematics. 2. The Philosophy of Mathematics The philosophy of mathematics is the branch of philosophy whose task is to reflect on, and account for the nature of mathematics. This is a special case of the task of epistemology which is to account for human knowledge in general. The philosophy of mathematics addresses such questions as: What is the basis for mathematical knowledge? What is the nature of mathematical truth? What characterises the truths of mathematics? What is the justification for their assertion? Why are the truths of mathematics necessary truths? A widely adopted approach to epistemology, is to assume that knowledge in any field is represented by a set of propositions, together with a set of procedures for verifying them, or providing a warrant for their assertion. On this basis, mathematical knowledge consists of a set of propositions together with their proofs. Since mathematical proofs are based on reason alone, without recourse to empirical data, mathematical knowledge is understood to be the most certain of all knowledge. Traditionally the philosophy of mathematics has seen its task as providing a foundationfor the certainty of mathematical knowledge. That is, providing a system into which mathematical knowledge can be cast to systematically establish its truth. This depends on an assumption, which is widely adopted, implicitly if not explicitly. Assumption The role of the philosophy of mathematics is to provide a systematic and absolutely secure foundation for mathematical knowledge, that is for mathematical truth.1 This assumption is the basis of foundationism, the doctrine that the function of the philosophy of mathematics is to provide certain foundations for mathematical knowledge. Foundationism is bound up with the absolutist view of mathematical knowledge, for it regards the task of justifying this view to be central to the philosophy of mathematics. 3. The Nature of Mathematical Knowledge Traditionally, mathematics has been viewed as the paradigm of certain knowledge. Euclid erected a magnificent logical structure nearly 2,500 years ago in his Elements, which until the end of the nineteenth century was taken as the paradigm for establishing truth and certainty. Newton used the form of the Elements in his Principia, and Spinoza in his Ethics, to strengthen their claims to systematically expound truth. Thus mathematics has long been taken as the source of the most certain knowledge known to humankind. Before inquiring into the nature of mathematical knowledge, it is first necessary to consider the nature of knowledge in general. Thus we begin by asking, what is knowledge? The question of what constitutes knowledge lies at the heart of philosophy, and mathematical knowledge plays a special part. The standard philosophical answer to this question is that knowledge is justified belief. More precisely, that prepositional knowledge consists of propositions which are accepted (i.e., believed), provided there are adequate grounds available for asserting them (Sheffler, 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949). Knowledge is classified on the basis of the grounds for its assertion. A priori knowledge consists of propositions which are asserted on the basis of reason alone, without recourse to observations of the world. Here reason consists of the use of deductive logic and the meanings of terms, typically to be found in definitions. In contrast, empirical or a posteriori knowledge consists of propositions asserted on the basis of experience, that is, based on the observations of the world (Woozley, 1949). Mathematical knowledge is classified as a priori knowledge, since it consists of propositions asserted on the basis of reason alone. Reason includes deductive logic and definitions which are used, in conjunction with an assumed set of mathematical axioms or postulates, as a basis from which to infer mathematical knowledge. Thus A Critique of Absolutist Philosophies 5 the foundation of mathematical knowledge, that is the grounds for asserting the truth of mathematical propositions, consists of deductive proof. The proof of a mathematical proposition is a finite sequence of statements ending in the proposition, which satisfies the following property. Each statement is an axiom drawn from a previously stipulated set of axioms, or is derived by a rule of inference from one or more statements occurring earlier in the sequence. The term ‘set of axioms’ is conceived broadly, to include whatever statements are admitted into a proof without demonstration, including axioms, postulates and definitions. An example is provided by the following proof of the statement ‘1+1=2’ in the axiomatic system of Peano Arithmetic. For this proof we need the definitions and axioms s0=1, s1=2, x+0=x, x+sy=s(x+y) from Peano Arithmetic, and the logical rules of inference P(r), r=tP(t); P(v)P(c) (where r, t; v; c; and P(t) range over terms; variables; constants; and propositions in the term t, respectively, and ‘’ signifies logical implication).2 The following is a proof of 1+1=2: x+sy=s(x+y), 1+sy=s(1+y), 1+s0=s(1+0), x+0=x, 1+0=1, 1+s0=s1, s0=1, 1+1=s1, s1=2, 1+1=2. An explanation of this proof is as follows. s0=1[D1] and s1=2[D2] are definitions of the constants 1 and 2, respectively, in Peano Arithmetic, x+0=x[A1] and x+sy=s(x+y)[A2] are axioms of Peano Arithmetic. P(r), r=tP(t)[R1] and P(v)P(c)[R2], with the symbols as explained above, are logical rules of inference. The justification of the proof, statement by statement as shown in Table 1.1. This proof establishes ‘1+1= 2’ as an item of mathematical knowledge or truth, according to the previous analysis, since the deductive proof provides a legitimate warrant for asserting the statement. Furthermore it is a priori knowledge, since it is asserted on the basis of reason alone. However, what has not been made clear are the grounds for the assumptions made in the proof. The assumptions made are of two types: mathematical and logical assumptions. The mathematical assumptions used are the definitions (D1 and D2) and the axioms (A1 and A2). The logical assumptions are the rules of inference used (R1 and R2), which are part of the underlying proof theory, and the underlying syntax of the formal language. Table 1.1: Proof of 1+1=2 with justification The Philosophy of Mathematics Education 6 We consider first the mathematical assumptions. The definitions, being explicit definitions, are unproblematic, since they are eliminable in principle. Every occurrence of the defined terms 1 and 2 can be replaced by what it abbreviates (s0 and ss0, respectively). The result of eliminating these definitions is the abbreviated proof: x+sy=s(x+y), s0+sy=s(s0+y), s0+s0=s(s0+0), x+0=x, s0+0=s0, s0+s0=ss0; proving ‘s0+s0=ss0’, which represents ‘1+1=2’. Although explicit definitions are eliminable in principle, it remains an undoubted convenience, not to mention an aid to thought, to retain them. However, in the present context we are concerned to reduce assumptions to their minimum, to reveal the irreducible assumptions on which mathematical knowledge and its justification rests. If the definitions had not been explicit, such as in Peano’s original inductive definition of addition (Heijenoort, 1967), which is assumed above as an axiom, and not as a definition, then the definitions would not be eliminable in principle. In this case the problem of the basis of a definition, that is the assumption on which it rests, is analogous to that of an axiom. The axioms in the proof are not eliminable. They must be assumed either as selfevident axiomatic truths, or simply retain the status of unjustified, tentative assumptions, adopted to permit the development of the mathematical theory under consideration. We will return to this point. The logical assumptions, that is the rules of inference (part of the overall proof theory) and the logical syntax, are assumed as part of the underlying logic, and are part of the mechanism needed for the application of reason. Thus logic is assumed as an unproblematic foundation for the justification of knowledge. In summary, the elementary mathematical truth ‘1+1=2’, depends for its justification on a mathematical proof. This in turn depends on assuming a number of basic mathematical statements (axioms), as well as on the underlying logic. In general, mathematical knowledge consists of statements justified by proofs, which depend on mathematical axioms (and an underlying logic). This account of mathematical knowledge is essentially that which has been accepted for almost 2,500 years. Early presentations of mathematical knowledge, such as Euclid’s Elements, differ from the above account only by degree. In Euclid, as above, mathematical knowledge is established by the logical deduction of theorems from axioms and postulates (which we include among the axioms). The underlying logic is left unspecified (other than the statement of some axioms concerning the equality relation). The axioms are not regarded as temporarily adopted assumptions, held only for the construction of the theory under consideration. The axioms are considered to be basic truths which needed no justification, beyond their own self evidence (Blanche, 1966).3 Because of this, the account claims to provide certain grounds for mathematical knowledge. For since logical proof preserves truth and the assumed axioms are self-evident truths, then any theorems derived from them must also be truths (this reasoning is implicit, not explicit in Euclid). However, this claim is no longer accepted because Euclid’s axioms and postulates are not considered to be basic and incontrovertible truths, none of which can be negated or denied without resulting in contradiction. In fact, the denial of some of them, most notably A Critique of Absolutist Philosophies 7 the Parallel Postulate, merely leads to other bodies of geometric knowledge (noneuclidean geometry). Beyond Euclid, modern mathematical knowledge includes many branches which depend on the assumption of sets of axioms which cannot be claimed to be basic universal truths, for example, the axioms of group theory, or of set theory (Maddy, 1984). 4. The Absolutist View of Mathematical Knowledge The absolutist view of mathematical knowledge is that it consists of certain and unchallengeable truths. According to this view, mathematical knowledge is made up of absolute truths, and represents the unique realm of certain knowledge, apart from logic and statements true by virtue of the meanings of terms, such as ‘All bachelors are unmarried’. Many philosophers, both modern and traditional, hold absolutist views of mathematical knowledge. Thus according to Hempel: the validity of mathematics derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially ‘true by definition’. (Feigl and Sellars, 1949, page 225) Another proponent of the certainty of mathematics is A.J.Ayer who claims the following. Whereas a scientific generalisation is readily admitted to be fallible, the truths of mathematics and logic appear to everyone to be necessary and certain. The truths of logic and mathematics are analytic propositions or tautologies. The certainty of a priori propositions depends on the fact that they are tautologies. A proposition [is] a tautology if it is analytic. A proposition is analytic if it is true solely in the virtue of the meaning of its consistituent symbols, and cannot therefore be either confirmed or refuted by any fact of experience. (Ayer, 1946, pages 72, 77 and 16, respectively). The deductive method provides the warrant for the assertion of mathematical knowledge. The grounds for claiming that mathematics (and logic) provide absolutely certain knowledge, that is truth, are therefore as follows. First of all, the basic statements used in proofs are taken to be true. Mathematical axioms are assumed to be true, for the purposes of developing that system under consideration, mathematical definitions are true by fiat, and logical axioms are accepted as true. Secondly, the logical rules of The Philosophy of Mathematics Education 8 inference preserve truth, that is they allow nothing but truths to be deduced from truths. On the basis of these two facts, every statement in a deductive proof, including its conclusion, is true. Thus, since mathematical theorems are all established by means of deductive proofs, they are all certain truths. This constitutes the basis of the claim of many philosophers that mathematical truths are certain truths. This absolutist view of mathematical knowledge is based on two types of assumptions: those of mathematics, concerning the assumption of axioms and definitions, and those of logic concerning the assumption of axioms, rules of inference and the formal language and its syntax. These are local or microassumptions. There is also the possibility of global or macro-assumptions, such as whether logical deduction suffices to establish all mathematical truths. I shall subsequently argue that each of these assumptions weakens the claim of certainty for mathematical knowledge. The absolutist view of mathematical knowledge encountered problems at the beginning of the twentieth century when a number of antinomies and contradictions were derived in mathematics (Kline, 1980; Kneebone, 1963; Wilder, 1965). In a series of publications Gottlob Frege (1879, 1893) established by far the most rigorous formulation of mathematical logic known to that time, as a foundation for mathematical knowledge. Russell (1902), however, was able to show that Frege’s system was inconsistent. The problem lay in Frege’s Fifth Basic Law, which allows a set to be created from the extension of any concept, and for concepts or properties to be applied to this set (Furth, 1964). Russell produced his well-known paradox by defining the property of ‘not being an element of itself. Frege’s law allows the extension of this property to be regarded as a set. But then this set is an element of itself if, and only if, it is not; a contradiction. Frege’s Law could not be dropped without seriously weakening his system, and yet it could not be retained. Other contradictions also emerged in the theory of sets and the theory of functions. Such findings have, of course, grave implications for the absolutist view of mathematical knowledge. For if mathematics is certain, and all its theorems are certain, how can contradictions (i.e., falsehoods) be among its theorems? Since there was no mistake about the appearance of these contradictions, something must be wrong in the foundations of mathematics. The outcome of this crisis was the development of a number of schools in the philosophy of mathematics whose aims were to account for the nature of mathematical knowledge and to re-establish its certainty. The three major schools are known as logicism, formalism and constructivism (incorporating intuitionism). The tenets of these schools of thought were not fully developed until the twentieth century, but Korner (1960) shows that their philosophical roots can be traced back at least as far as Leibniz and Kant. A. Logicism Logicism is the school of thought that regards pure mathematics as a part of logic. The major proponents of this view are G.Leibniz, G.Frege (1893), B.Russell (1919), A Critique of Absolutist Philosophies 9 A.N.Whitehead and R.Carnap (1931). At the hands of Bertrand Russell the claims of logicism received the clearest and most explicit formulation. There are two claims: 1 All the concepts of mathematics can ultimately be reduced to logical concepts, provided that these are taken to include the concepts of set theory or some system of similar power, such as Russell’s Theory of Types. 2 All mathematical truths can be proved from the axioms and rules of inference of logic alone. The purpose of these claims is clear. If all of mathematics can be expressed in purely logical terms and proved from logical principles alone, then the certainty of mathematical knowledge can be reduced to that of logic. Logic was considered to provide a certain foundation for truth, apart from over-ambitious attempts to extend logic, such as Frege’s Fifth Law. Thus if carried through, the logicist programme would provide certain logical foundations for mathematical knowledge, reestablishing absolute certainty in mathematics. Whitehead and Russell (1910–13) were able to establish the first of the two claims by means of chains of definitions. However logicism foundered on the second claim. Mathematics requires non-logical axioms such as the Axiom of Infinity (the set of all natural numbers is infinite) and the Axiom of Choice (the Cartesian product of a family of non-empty sets is itself non-empty). Russell expressed it himself as follows. But although all logical (or mathematical) propositions can be expressed wholly in terms of logical constants together with variables, it is not the case that, conversely, all propositions that can be expressed in this way are logical. We have found so far a necessary but not a sufficient criterion of mathematical propositions. We have sufficiently defined the character of the primitive ideas in terms of which all the ideas of mathematics can be defined, but not of the primitive propositions from which all the propositions of mathematics can be deduced. This is a more difficult matter, as to which it is not yet known what the full answer is. We may take the axiom of infinity as an example of a proposition which, though it can be enunciated in logical terms, cannot be asserted by logic to be true. (Russell, 1919, pages 202–3, original emphasis) Thus not all mathematical theorems and hence not all the truths of mathematics can be derived from the axioms of logic alone. This means that the axioms of mathematics are not eliminable in favour of those of logic. Mathematical theorems depend on an irreducible set of mathematical assumptions. Indeed, a number of important mathematical axioms are independent, and either they or their negation can be adopted, without inconsistency (Cohen, 1966). Thus the second claim of logicism is refuted To overcome this problem Russell retreated to a weaker version of logicism called ‘if-thenism’, which claims that pure mathematics consists of implication statements of the form ‘A T’. According to this view, as before, mathematical truths are established as theorems by logical proofs. Each of these theorems (T) becomes the The Philosophy of Mathematics Education 10 consequent in an implication statement. The conjunction of mathematical axioms (A) used in the proof are incorporated into the implication statement as its antecedent (see Carnap, 1931). Thus all the mathematical assumptions (A) on which the theorem (T) depends are now incorporated into the new form of the theorem (A T), obviating the need for mathematical axioms. This artifice amounts to an admission that mathematics is an hypotheticodeductive system, in which the consequences of assumed axiom sets are explored, without asserting their necessary truth. Unfortunately, this device also leads to failure, because not all mathematical truths, such as ‘Peano arithmetic is consistent,’ can be expressed in this way as implication statements, as Machover (1983) argues. A second objection, which holds irrespective of the validity of the two logicist claims, constitutes the major grounds for the rejection of formalism. This is Godel’s Incompleteness Theorem, which establishes that deductive proof is insufficient for demonstrating all mathematical truths. Hence the successful reduction of mathematical axioms to those of logic would still not suffice for the derivation of all mathematical truths. A third possible objection concerns the certainty and reliability of the underlying logic. This depends on unexamined and, as will be argued, unjustified assumptions. Thus the logicist programme of reducing the certainty of mathematical knowledge to that of logic failed in principle. Logic does not provide a certain foundation for mathematical knowledge. B. Formalism In popular terms, formalism is the view that mathematics is a meaningless formal game played with marks on paper, following rules. Traces of a formalist philosophy of mathematics can be found in the writings of Bishop Berkeley, but the major proponents of formalism are David Hilbert (1925), early J.von Neumann (1931) and H.Curry (1951). Hilbert’s formalist programme aimed to translate mathematics into uninterpreted formal systems. By means of a restricted but meaningful metamathematics the formal systems were to be shown to be adequate for mathematics, by deriving formal counterparts of all mathematical truths, and to be safe for mathematics, through consistency proofs. The formalist thesis comprises two claims. 1 Pure mathematics can be expressed as uninterpreted formal systems, in which the truths of mathematics are represented by formal theorems. 2 The safety of these formal systems can be demonstrated in terms of their freedom from inconsistency, by means of meta-mathematics. Kurt Godel’s Incompleteness Theorems (Godel, 1931) showed that the programme could not be fulfilled. His first theorem showed that not even all the truths of arithmetic can be derived from Peano’s Axioms (or any larger recursive axiom set). A Critique of Absolutist Philosophies 11 This proof-theoretic result has since been exemplified in mathematics by Paris and Harrington, whose version of Ramsey’s Theorem is true but not provable in Peano Arithmetic (Barwise, 1977). The second Incompleteness Theorem showed that in the desired cases consistency proofs require a meta-mathematics more powerful than the system to be safeguarded, which is thus no safeguard at all. For example, to prove the consistency of Peano Arithmetic requires all the axioms of that system and further assumptions, such as the principle of transfinite induction over countable ordinals (Gentzen, 1936). The formalist programme, had it been successful, would have provided support for an absolutist view of mathematical truth. For formal proof, based in consistent formal mathematical systems, would have provided a touchstone for mathematical truth. However, it can be seen that both the claims of formalism have been refuted. Not all the truths of mathematics can be represented as theorems in formal systems, and furthermore, the systems themselves cannot be guaranteed safe. C. Constructivism The constructivist strand in the philosophy of mathematics can be traced back at least as far as Kant and Kronecker (Korner, 1960). The constructivist programme is one of reconstructing mathematical knowledge (and reforming mathematical practice) in order to safeguard it from loss of meaning, and from contradiction. To this end, constructivists reject non-constructive arguments such as Cantor’s proof that the Real numbers are uncountable, and the logical Law of the Excluded Middle. The best known constructivists are the intuitionists L.E.J.Brouwer (1913) and A. Heyting (1931, 1956). More recently the mathematician E.Bishop (1967) has carried the constructivist programme a long way, by reconstructing a substantial portion of Analysis, by constructive means. Various forms of constructivism still flourish today, such as in the work of the philosophical intuitionist M.Dummett (1973, 1977). Constructivism includes a whole range of different views, from the ultra-intuitionists (A.Yessenin-Volpin), via what may be termed strict philosophical intuitionists (L.E.J.Brouwer), middle-of-the-road intuitionists (A.Heyting and early H.Weyl), modern logical intuitionists (A.Troelstra) to a range of more or less liberal constructivists including P.Lorenzen, E.Bishop, G.Kreisel and P.Martin-Lof. These mathematicians share the view that classical mathematics may be unsafe, and that it needs to be rebuilt by ‘constructive’ methods and reasoning. Constructivists claim that both mathematical truths and the existence of mathematical objects must be established by constructive methods. This means that mathematical constructions are needed to establish truth or existence, as opposed to methods relying on proof by contradiction. For constructivists knowledge must be established through constructive proofs, based on restricted constructivist logic, and the meaning of mathematical terms/objects consists of the formal procedures by which they are constructed. Although some constructivists maintain that mathematics is the study of The Philosophy of Mathematics Education 12 constructive processes performed with pencil and paper, the stricter view of the intuitionists, led by Brouwer, is that mathematics takes place primarily in the mind, and that written mathematics is secondary. One consequence of that is that Brouwer regards all axiomatizations of intuitionistic logic to be incomplete. Reflection can always uncover further intuitively true axioms of intuitionistic logic, and so it can never be regarded as being in final form. Intuitionism represents the most fully formulated constructivist philosophy of mathematics. Two separable claims of intuitionism can be distinguished, which Dummett terms the positive and the negative theses. The positive one is to the effect that the intuitionistic way of construing mathematical notions and logical operations is a coherent and legitimate one, that intuitionistic mathematics forms an intelligible body of theory. The negative thesis is to the effect that the classical way of construing mathematical notions and logical operations is incoherent and illegitimate, that classical mathematics, while containing, in distorted form, much of value, is, nevertheless, as it stands unintelligible. (Dummett, 1977, page 360). In restricted areas where there are both classical and constructivist proofs of a result, the latter is often preferable as more informative. Whereas a classical existence proof may merely demonstrate the logical necessity of existence, a constructive existence proof shows how to construct the mathematical object whose existence is asserted. This lends strength to the positive thesis, from a mathematical point of view. However, the negative thesis is much more problematic, since it not only fails to account for the substantial body of non-constructive classical mathematics, but also denies its validity. The constructivists have not demonstrated that there are inescapable problems facing classical mathematics nor that it is incoherent and invalid. Indeed both pure and applied classical mathematics have gone from strength to strength since the constructivist programme was proposed. Therefore, the negative thesis of intuitionism is rejected. Another problem for the constructivist view, is that some of its results are inconsistent with classical mathematics. Thus, for example, the real number continuum, as defined by the intuitionists, is countable. This contradicts the classical result not because there is an inherent contradiction, but because the definition of real numbers is different. Constructivist notions often have a different meaning from the corresponding classical notions. From an epistemological perspective, both the positive and negative theses of intuitionism are flawed. The intuitionists claim to provide a certain foundation for their version of mathematical truth by deriving it (mentally) from intuitively certain axioms, using intuitively safe methods of proof. This view bases mathematical knowledge exclusively on subjective belief. But absolute truth (which the intuitionists claim to provide) cannot be based on subjective belief alone. Nor is there any guarantee that different intuitionists’ intuitions of basic truth will coincide, as indeed they do not. A Critique of Absolutist Philosophies 13 Intuitionism sacrificed large parts of mathematics in exchange for the soothing reassurance that what remained was justified by our ‘primordial intuition’ (Urintuition). But intuition is subjective, and not intersubjective enough to prevent intuitionists from differing about what their ‘primordial intuitions’ should enshirine as the basis of mathematics. (Kalmar, 1967, page 190). Thus the positive thesis of intuitionism does not provide a certain foundation for even a subset of mathematical knowledge. This criticism extends to other forms of constructivism which also claim to base constructive mathematical truth on a foundation of self-evident constructivist assumptions. The negative thesis of intuitionism (and of constructivism, when it is embraced), leads to the unwarranted rejection of accepted mathematical knowledge, on the grounds that it is unintelligible. But classical mathematics is intelligible. It differs from constructivist mathematics largely in the assumptions on which it is based. 4 Thus constructivism is guilty of what is analogous to a Type I Error in statistics, namely the rejection of valid knowledge. 5. The Fallacy of Absolutism We have seen that a number of absolutist philosophies of mathematics have failed to establish the logical necessity of mathematical knowledge. Each of the three schools of thought logicism, formalism and intuitionism (the most clearly enunciated form of constructivism) attempts to provide a firm foundation for mathematical truth, by deriving it by mathematical proof from a restricted but secure realm of truth. In each case there is the laying down of a secure base of would-be absolute truth. For the logicists, formalists and intuitionists this consists of the axioms of logic, the intuitively certain principles of meta-mathematics, and the self-evident axioms of ‘primordial intuition’, respectively. Each of these sets of axioms or principles is assumed without demonstration. Therefore each remains open to challenge, and thus to doubt. Subsequently each of the schools employs deductive logic to demonstrate the truth of the theorems of mathematics from their assumed bases. Consequently these three schools of thought fail to establish the absolute certainty of mathematical truth. For deductive logic only transmits truth, it does not inject it, and the conclusion of a logical proof is at best as certain as the weakest premise. It can be remarked that all three schools’ attempts also fail to provide a foundation for the full range of would-be mathematical truths by these means. For as Godel’s first Incompleteness theorem shows, proof is not adequate to demonstrate all truths. Thus there are truths of mathematics not captured by the systems of these schools. The fact that three schools of thought in the philosophy of mathematics have failed to establish the certainty of mathematical knowledge does not settle the general issue. It is still possible for other grounds to be found for asserting the certainty of mathematical truth. Absolute truth in mathematics still remains a Introduction xiv mathematics also have a powerful impact on the way mathematics is taught (Davis, 1967; Cooney, 1988; Ernest, 1988b, 1989c). One influential study concluded: The observed consistency between the teachers’ professed conceptions of mathematics and the way they typically presented the content strongly suggests that the teachers’ views, beliefs and preferences about mathematics do influence their instructional practice. Thompson (1984, page 125) Such issues are central to the philosophy of mathematics education, and have important practical outcomes for the teaching and learning of mathematics. 3. This book The first part of the book treats the philosophy of mathematics. It contains both a critique of existing approaches, and a new philosophy of mathematics. For although the traditional paradigm is under attack, the novel and promising ideas in the Zeitgeist have not yet been synthesized. Social constructivism is offered to fill this vacuum. The second part explores the philosophy of mathematics education. It shows that many aspects of mathematics education rest on underlying philosophical assumptions. By uncovering some of them, the aim is to put a critical tool into the hands of teachers and researchers. Notes 1 A systematic ambiguity should be signalled. The philosophy of mathematics is the overall field of philosophical inquiry into the nature of mathematics. In contrast, a philosophy of mathematics is a particular account or view of the nature of mathematics. In general, these meanings are signalled by the use of the definite or indefinite article (or the plural form), respectively. 2 It should be mentioned that a more negative attitude to mathematics was associated with view (B) of the SMP students. A Critique of Absolutist Philosophies 15 postulates, definitions, and logical reasoning) to replace the absolute truth point of view. (Stabler, 1955, page 24). What we have called pure mathematics is, therefore a hypothetico-deductive system. Its axioms serve as hypotheses or assumptions, which are entertained or considered for the propositions they imply. (Cohen and Nagel, 1963, page 133). [W]e can only describe arithmetic, namely, find its rules, not give a basis for them. Such a basis could not satisfy us, for the very reason that it must end sometime and then refer to something which can no longer be founded. Only the convention is the ultimate. Anything that looks like a foundation is, strictly speaking, already adulterated and must not satisfy us. (Waismann, 1951, page 122). Statements or propositions or theories may be formulated in assertions which may be true and their truth may be reduced, by way of derivations to that of primitive propositions. The attempt to establish (rather than reduce) by these means their truth leads to an infinite regress. (Popper, 1979, extract from table on page 124). The above criticism is decisive for the absolutist view of mathematics. However, it is possible to accept the criticism without adopting a fallibilist philosophy of mathematics. For it is possible to accept a form of hypothetico-deductivism which denies the corrigibility and the possibility of deep-seated error in mathematics. Such a position views axioms simply as hypotheses from which the theorems of mathematics are logically deduced, and relative to which the theorems are certain. In other words, although the axioms of mathematics are tentative, logic and the use of logic to derive theorems from the axioms guarantee a secure development of mathematics, albeit from an assumed basis. This weakened form of the absolutist position resembles Russell’s ‘if thenism’ in its strategy of adopting axioms without either proof or cost to the system’s security. However this weakened absolutist position is based on assumptions which leave it open to a fallibilist critique. 6. The Fallibilist Critique of Absolutism The central argument against the absolutist view of mathematical knowledge can be circumvented by a hypothetico-deductive approach. However, beyond the problem of the assumed truth of the axioms, the absolutist view suffers from further major weaknesses. The first of these concerns the underlying logic on which mathematical proof rests. The establishment of mathematical truths, that is the deduction of theorems from a set of axioms, requires further assumptions, namely the axioms and rules of inference of logic itself. These are non-trivial and non-eliminable assumptions, and The Philosophy of Mathematics Education 16 the above argument (the ultimate irreducibility of assumptions on pain of a vicious circle) applies equally to logic. Thus mathematical truth depends on essential logical as well as mathematical assumptions. It is not possible to simply append all the assumptions of logic to the set of mathematical assumptions, following the ‘if-thenist’ hypothetico-deductive strategy. For logic provides the canons of correct inference with which the theorems of mathematics are derived. Loading all logical and mathematical assumptions into the ‘hypothetico’ part leaves no basis for the ‘deductive’ part of the method. Deduction concerns ‘correct inference’, and this in turn is based on the notion of truth (the preservation of truth value). But what then is the foundation of logical truth? It cannot rest on proof, on pain of a vicious circle, so it must be assumed. But any assumption without a firm foundation, whether it be derived through intuition, convention, meaning or whatever, is fallible. In summary, mathematical truth and proof rest on deduction and logic. But logic itself lacks certain foundations. It too rests on irreducible assumptions. Thus the dependence on logical deduction increases the set of assumptions on which mathematical truth rests, and these cannot be neutralized by the ‘if-thenist’ strategy. A further presumption of the absolutist view is that mathematics is fundamentally free from error. For inconsistency and absolutism are clearly incompatible. But this cannot be demonstrated. Mathematics consists of theories (e.g., group theory, category theory) which are studied within mathematical systems, based on sets of assumptions (axioms). To establish that mathematical systems are safe (i.e., consistent), for any but the simplest systems we are forced to expand the set of assumptions of the system (Godel’s Second Incompleteness Theorem, 1931). We have therefore to assume the consistency of a stronger system to demonstrate that of a weaker. We cannot therefore know that any but the most trivial mathematical systems are secure, and the possibility of error and inconsistency must always remain. Belief in the safety of mathematics must be based either on empirical grounds (no contradictions have yet been found in our current mathematical systems) or on faith, neither providing the certain basis that absolutism requires. Beyond this criticism, there are further problems attendant on the use of proof as a basis for certainty in mathematics. Nothing but a fully formal deductive proof can serve as a warrant for certainty in mathematics. But such proofs scarcely exist. Thus absolutism requires the recasting of informal mathematics into formal deductive systems, which introduces further assumptions. Each of the following assumptions is a necessary condition for such certainty in mathematics. Each, it is argued, is an unwarranted absolutist assumption. Assumption A The proofs that mathematicians publish as warrants for asserting theorems can, in principle, be translated into fully rigorous formal proofs. The informal proofs that mathematicians publish are commonly flawed, and are by no means wholly reliable (Davis, 1972). Translating them into fully rigorous formal A Critique of Absolutist Philosophies 17 proofs is a major, non-mechanical task. It requires human ingenuity to bridge gaps and to remedy errors. Since the total formalization of mathematics is unlikely to be carried out, what is the value of the claim that informal proofs can be translated into formal proofs ‘in principle’? It is an unfulfilled promise, rather than grounds for certainty. Total rigor is an unattained ideal and not a practical reality. Therefore certainty cannot be claimed for mathematical proofs, even if the preceding criticisms are discounted. Assumption B Rigorous formal proofs can be checked for correctness. There are now humanly uncheckable informal proofs, such as the Appel-Haken (1978) proof of the four colour theorem (Tymoczko, 1979). Translated into fully rigorous formal proofs these will be much longer. If these cannot possibly be surveyed by a mathematician, on what grounds can they be regarded as absolutely correct? If such proofs are checked by a computer what guarantees can be given that the software and hardware are designed absolutely flawlessly, and that the software runs perfectly in practice? Given the complexity of hardware and software it seems implausible that these can be checked by a single person. Furthermore, such checks involve an empirical element (i.e., does it run according to design?). If the checking of formal proofs cannot be carried out, or has an empirical element, then any claim of absolute certainty must be relinquished (Tymoczko, 1979). Assumption C Mathematical theories can be validly translated into formal axiom sets. The formalization of intuitive mathematical theories in the past hundred years (e.g., mathematical logic, number theory, set theory, analysis) has led to unanticipated deep problems, as the concepts and proofs come under ever more piercing scrutiny, during attempts to explicate and reconstruct them. The satisfactory formalization of the rest of mathematics cannot be assumed to be unproblematic. Until this formalization is carried out it is not possible to assert with certainty that it can be carried out validly. But until mathematics is formalized, its rigour, which is a necessary condition for certainty, falls far short of the ideal. Assumption D The consistency of these representations (in assumption C) can be checked. As we know from Godel’s Incompleteness Theorem, this adds significantly to the burden of assumptions underpinning mathematical knowledge. Thus there are no absolute guarantees of safety. Each of these four assumptions indicates where further problems in establishing certainty of mathematical knowledge may arise. These are not problems concerning The Philosophy of Mathematics Education 18 the assumed truth of the basis of mathematical knowledge (i.e., the basic assumptions). Rather these are problems in trying to transmit the assumed truth of these assumptions to the rest of mathematical knowledge by means of deductive proof, and in establishing the reliability of the method. 7. The Fallibilist View The absolutist view of mathematical knowledge has been subject to a severe, and in my view, irrefutable criticism.6 Its rejection leads to the acceptance of the opposing fallibilist view of mathematical knowledge. This is the view that mathematical truth is fallible and corrigible, and can never be regarded as beyond revision and correction. The fallibilist thesis thus has two equivalent forms, one positive and one negative. The negative form concerns the rejection of absolutism: mathematical knowledge is not absolute truth, and does not have absolute validity. The positive form is that mathematical knowledge is corrigible and perpetually open to revision. In this section I wish to demonstrate that support for the fallibilist viewpoint, in one form or the other, is much broader than might have been supposed. The following is a selection from the range of logicians, mathematicians and philosophers who support this viewpoint: In his paper ‘A renaissance of empiricism in the philosophy of mathematics’, Lakatos quotes from the later works of Russell, Fraenkel, Carnap, Weyl, von Neumann, Bernays, Church, Godel, Quine, Rosser, Curry, Mostowski and Kalmar (a list that includes many of the key logicians of the twentieth century) to demonstrate their common view concerning ‘the impossibility of complete certainty’ in mathematics, and in many cases, their agreement that mathematical knowledge has an empirical basis, entailing the rejection of absolutism. (Lakatos, 1978, page 25, quotation from R.Carnap) It is now apparent that the concept of a universally accepted, infallible body of reasoning—the majestic mathematics of 1800 and the pride of man—is a grand illusion. Uncertainty and doubt concerning the future of mathematics have replaced the certainties and complacency of the past…The present state of mathematics is a mockery of the hitherto deeprooted and widely reputed truth and logical perfection of mathematics. (Kline, 1980, page 6) There are no authoritative sources of knowledge, and no ‘source’ is particularly reliable. Everything is welcome as a source of inspiration, including ‘intuition’… But nothing is secure, and we are all fallible. (Popper, 1979, page 134) I should like to say that where surveyability is not present, i.e., where there is room for a doubt whether what we have really is the result of this substitution, the proof is destroyed. And not in some silly and unimportant way that has nothing to do with the nature of proof. A Critique of Absolutist Philosophies 19 Or: logic as the foundation of mathematics does not work, and to show this it is enough that the cogency of logical proof stands and falls with its geometrical cogency…. The logical certainty of proofs—I want to say—does not extend beyond their geometrical certainty. (Wittgenstein, 1978, pages 174–5) A Euclidean theory may be claimed to be true; a quasi-empirical theory— at best—to be well-corroborated, but always conjectural. Also, in a Euclidean theory the true basic statements at the ‘top’ of the deductive system (usually called ‘axioms’) prove, as it were, the rest of the system; in a quasi-empirical theory the (true) basic statements are explained by the rest of the system…Mathematics is quasi-empirical (Lakatos, 1978, pages 28–29 & 30) Tautologies are necessarily true, but mathematics is not. We cannot tell whether the axioms of arithmetic are consistent; and if they are not, any particular theorem of arithmetic may be false. Therefore these theorems are not tautologies. They are and must always remain tentative, while a tautology is an incontrovertible truism… [T]he mathematician feels compelled to accept mathematics as true, even though he is today deprived of the belief in its logical necessity and doomed to admit forever the conceivable possibility that its whole fabric may suddenly collapse by revealing a decisive self-contradiction. (Polanyi, 1958, pages 187 and 189) The doctrine that mathematical knowledge is a priori mathematical apriorism has been articulated many different ways during the course of reflection about mathematics…I shall offer a picture of mathematical knowledge which rejects mathematical apriorism…the alternative to mathematical apriorism—mathematical empiricism—has never been given a detailed articulation. I shall try to give the missing account. (Kitcher, 1984, pages 3–4) [Mathematical knowledge resembles empirical knowledge—that is, the criterion of truth in mathematics just as much as in physics is success of our ideas in practice, and that mathematical knowledge is corrigible and not absolute. (Putnam, 1975, page 51) It is reasonable to propose a new task for mathematical philosophy: not to seek indubitable truth but to give an account of mathematical knowledge as it really is—fallible, corrigible, tentative and evolving, as is every other kind of human knowledge. (Hersh, 1979, page 43) Why not honestly admit mathematical fallibility, and try to defend the dignity of fallible knowledge from cynical scepticism, rather than delude The Philosophy of Mathematics Education 20 ourselves that we shall be able to mend invisibly the latest tear in the fabric of our ‘ultimate’ intuitions. (Lakatos, 1962, page 184) 8. Conclusion The rejection of absolutism should not be seen as a banishment of mathematics from the Garden of Eden, the realm of certainty and truth. The ‘loss of certainty’ (Kline, 1980) does not represent a loss of knowledge. There is an illuminating analogy with developments in modern physics. General Relativity Theory requires relinquishing absolute, universal frames of reference in favour of a relativistic perspective. In Quantum Theory, Heisenberg’s Uncertainty Principle means that the notions of precisely determined measurements of position and momentum for particles also has had to be given up. But what we see here are not the loss of knowledge of absolute frames and certainty. Rather we see the growth of knowledge, bringing with it a realization of the limits of what can be known. Relativity and Uncertainty in physics represent major advances in knowledge, advances which take us to the limits of knowledge (for so long as the theories are retained). Likewise in mathematics, as our knowledge has become better founded and we learn more about its basis, we have come to realize that the absolutist view is an idealization, a myth. This represents an advance in knowledge, not a retreat from past certainty. The absolutist Garden of Eden was nothing but a fool’s paradise. Notes 1 In this chapter, for simplicity, the definition of truth in mathematics is assumed to be unproblematic and unambiguous. Whilst justified as a simplifying assumption, since none of the arguments of the chapter hinge on the ambiguity of this notion, the meaning of the concept of truth in mathematics has changed over time. We can distinguish between three truth-related concepts used in mathematics: (a) There is the traditional view of mathematical truth, namely that a mathematical truth is a general statement which not only correctly describes all its instances in the world (as does a true empirical generalisation), but is necessarily true of its instances. Implicit in this view is the assumption that mathematical theories have an intended interpretation, namely some idealization of the world. (b) There is the modern view of the truth of a mathematical statement relative to a background mathematical theory: the statement is satisfied by some interpretation or model of the theory. According to this (and the following) view, mathematics is open to multiple interpretations, i.e., possible worlds. Truth consists merely in being true (i.e., satisfied, following Tarski, 1936) in one of these possible worlds. (c) There is the modern view of the logical truth or validity of a mathematical statement relative to a background theory: the statement is satisfied by all interpretations or models of the theory. Thus the statement is true in all of these possible worlds. Truth in sense (c) can be established by deduction from the background theory as an axiom set. For a given theory, truths in a sense (c) are a subset (usually a proper subset) of truths in sense (b). A Critique of Absolutist Philosophies 21 Incompleteness arises (as Godel, 1931, proved) in most mathematical theories as there are sentences true in sense (b) (i.e., satisfiable) which are not true in sense (c). Thus not only does the concept of truth have multiple meanings, but crucial mathematical issues hinge upon this ambiguity. Beyond this, the modern mathematical view of truth differs from the traditional mathematical view of truth (a), and the everyday sense of the term, which resembles it. For in a naive sense truths are statements which accurately describe a state of affairs—a relationship—in some realm of discourse. In this view, the terms which express the truth name objects in the realm of discourse, and the statement as a whole describes a true state of affairs, the relationship that holds between the denotations of the terms. This shows that the concept of truth employed in mathematics no longer has the same meaning as either the everyday, naive notion of truth, or its equivalent (a) as was used in mathematics, in the past (Richards, 1980, 1989). The consequence of this is that the traditional problem of establishing the indubitable foundations of mathematical truth has changed, as the definition of truth employed has changed. In particular to claim that a statement is true in sense (b) is much weaker than senses (a) or (c). ‘1+1=1’ is true in sense (b)(it is satisfied in Boolean algebra, but not in sense (a) which assumes the standard Peano interpretation). 2 For the proof to be rigorous, a formal language L for Peano Arithmetic should be specified in full. L is a first-order predicate calculus in universally quantified free variable form. The syntax of L will specify as usual the terms and formulas of L, the formula ‘P(r)’ in the term ‘r’, and the result ‘P(t)’ of substituting the term ‘t’ for the occurrences of Y in ‘P(r)’ (sometimes written P(r)[r/t]). It should also be mentioned that a modernised form of the Peano Axioms is adopted above (see, for example, Bell and Machover, 1977), which is not literally that of Peano (Heijenoort, 1967). 3 Scholars believe that Euclid’s fifth postulate was not considered to be as self-evident as the others. It is less terse, and more like a proposition (a theorem) than a postulate (it is the converse of proposition I 17). Euclid does not use it until proposition I 29. For this reason, over the ages, many attempts to prove the posulate were made including Sacchieri’s attempt to prove it by reductio ad absurdam based on its denial (Eves, 1953). 4 It is worth remarking that the classical predicate calculus is translatable into intuitionist logic in a constructive way that preserves deducibility (see Bell and Machover, 1977). This means that all the theorems of classical mathematics expressible in the predicate calculus can be represented as intuitionistic theorems. Thus classical mathematics cannot easily be claimed to be intuitionistically unintelligible. (Note that the reverse translation procedure is intuitionistically unacceptable, since it replaces ‘-P’ by ‘P’, and ‘-(x)-P’ by ‘(Ex)P’, reading-, (x), and (Ex) as ’not’, ‘for all x’ and ‘there exists x’, respectively). 5 Some readers may feel that assertion requires justification. What valid warrant can there be for mathematical knowledge other than demonstration or proof? Clearly it is necessary to find other grounds for asserting that mathematical statements are true. The principal accounts of truth are the correspondence theory of truth, the coherence theory of truth (Woozley, 1949), the pragmatic theory of truth (Dewey, 1938) and truth as convention (Quine, 1936; Quinton, 1963). We can first dismiss the coherence and pragmatic theories of truth as irrelevant here, since these do not claim that truth can be warranted absolutely. The correspondence theory can be interpreted either empirically or non-empirically, to say that basic mathematical truths describe true states of affairs either in the world or in some abstract realm. But then the truths of mathematics are justified empirically or intuitively, respectively, and neither grounds serve as warrants for certain knowledge. The conventional theory of truth asserts that basic mathematical statements are true by virtue of the meanings of the terms therein. But the fact that the axioms express what we want or believe terms to mean does not absolve us from having to assume them, even if we simply stipulate them by fiat. Rather it is an admission that we simply have to assume certain basic propositions. Beyond this, to say that complex axioms such as those of Zermelo-Fraenkel set theory are true by virtue of the meanings of the constituent terms is not supportable. (Maddy, 1984, gives an account of settheoretic axioms in current use which by no stretch of the imagination are considered true). We must regard these axioms as implicit definitions of their constituent terms, and it is evident we must assume the axioms to proceed with set theory. The Philosophy of Mathematics Education 22 6 The critique of absolutism can be used to criticize this chapter, as follows. If no knowledge, including mathematics is certain how can the modestly founded assertions of this chapter be true? Is not the assertion that there is no truth self-defeating? The answer is that the assertions and arguments of this chapter do not pretend to be the truth, but a plausible account. The grounds for accepting the truths of mathematics, imperfect as they are, are far firmer than the arguments of the chapter. (The argument can be defended analogously to the way Ayer, 1946, defends the Principle of Verification.)
