Contoh: Struktur balok Beton Prategang Diketahui: LL = 10 kN/m' ADL = 9,3 kN/m' y 500 Parabola pkt. 2 x A 1000 C 400 100 B 10.000 10.000 Satuan panjang dalam mm 20.000 L= Titik koordinat parabola: titik A x(m) 0 y(m) 0 20 m ds' B 10 -0,4 C 20 0 h ds Dimensi penampang: b h Bahan: Beton 50 mm 50 mm b Pot. Melalui B 400 mm 1000 mm fc' = 35 MPa fci' = Baja tulangan BJ = fy = 30 24 400 MPa kN/m3 MPa Ec = Es = 25750 210000 MPa MPa Baja prategang fpy = 1500 MPa Ep = 195000 MPa fpu = 1850 MPa 2 4 D D As' = As = 981,25 mm2 1962,5 mm2 22 D Tulangan: baja tulangan atas bawah baja prategang Gaya prategang: Gaya prategang awal (initial) = Pi = Kehilangan gaya prategang: 25 25 1/2" Luas 1D1/2" = Ap = Ap1 = 2156 mm2 98 mm2 2500 kN 20% Ducting: diam. = dd = Ad = 80 mm 5024 mm2 Id = 1/64.Phi.dd^4 = 2009600 mm4 Beban: DL = berat sendiri balok ADL (plat & finishing ) = LL = 9,3 kN/m' 10 kN/m' bekerja setelah grouting bekerja setelah grouting Hitung/tentukan: 1. persamaan parabola lintasan tendon dan sudut kemiringan garis singgung di titik A dan C 2. gaya-gaya ekuivalen akibat penegangan (di titik A dan C dan di sepanjang tendon) 3. momen di tengah bentang (potongan melalui B) akibat DL, LL, ADL dan gaya prategang 4. tegangan pada beton dan baja prategang pada kondisi initial dan servis 5. momen lentur rencana dengan dan tanpa memperhitungkan baja tulangan non prategang 1. mencari persamaan parabola A*X2 + XA2 B*X + C XA 1 A 2 XB 1 B 2 XC 1 C 0 100 400 0 10 20 1 1 1 XB XC Persamaan parabola ABC: X2 Y= 0,004000 + -0,0800 A B C X = + 0 Y YA = YB YC 0 -0,4 0 = A B C = 0,004000 -0,080000 0,000000 mentukan sudut α di titik A dan C tan α= nilai y' di titik A(0,0) y'= 0,008 x y'= 0,008 0 y'= -0,08 α= -Atan + + 0,08 Jadi: tan α= nilai y' di titik C(20,0) y'= 0,008 x y'= 0,008 20 y'= 0,08 α= -Atan -0,08 -0,08 α= + + 0,08 Jadi: dititik A dg x = 0 0,07983 rad = -0,08 -0,08 α= 2. menentukan gaya ekuivalen akibat gaya prategang: Gaya prategang awal: Pi= a. dengan u = P.y" u= 8Pf / L2 = b. dengan u= Kehilangan gaya prategang (LOP) = Gaya prategang akhir (efektif): Pe = u efektif = 4,57392 0 4,57392 0 dititik C dg x=20 0,07983 rad = 2500 KN 20 KN/m 20 KN/m 20% 2000 kN 16 kN/m L= f= 20 m 0,4 m Gaya pada titik angkur A: hor. ver. Gaya pada titik angkur C: hor. ver. Cek jumlah gaya: PAH = awal 2492,038196 kN akhir (efektif) 1993,630557 kN PAV = 199,3630557 kN 159,4904446 kN PCH = awal 2492,038196 kN akhir (efektif) 1993,630557 kN PCV = 199,3630557 kN 159,4904446 kN HOR: VER: 0 0 -1,273888586 -1,01911087 OK OK ada selisih akibat pendekatan nilai u ! 3. menghitung gaya-gaya dalam: DL (berat sendiri balok) ADL LL 9,6 kN/m 9,3 kN/m 10 kN/m Pada potongan di tengah bentang (titik B): Akibat beban: DL ADL Gaya aksial 0 0 Momen 480 465 LL 0 500 Cek dengan metoda potongan di ttk B: Gaya Aksial = P.cos q = Awal: Momen = P.cosq . e = Gaya Aksial = P.cos q = Efektif: Momen = P.cosq . E = Pi 2500 -1000 2500 -1000 2000 -800 Pe 2000 kN -800 kNm kN kNm kN kNm OK. OK. jadi moment di tengah bentang akibat DL, LL, ADL, serta prategang adalah MB, awal = 480-1000 = -520 kNm MB, akhir = 480 +465 +500 -800 = 645 kNm 4. Tegangan yang terjadi pada potongan B.: Section properties: Brutto: Ac yc,t yc,b Ic = b.h = =1/2.h =h-yc,t = 500 mm = 500 mm =1/12.b.h 3 Ad =1/4πd(duct) An =Ac - Ad 2 400000 mm2 = 3,33333E+10 mm4 = 0 mm2 = 394976 mm2 Netto: yn,t = Ac*1/2h-Ad*dp An 494,91 mm dp = 900 mm yn,b = h-yn,t (yc,t-yn,t) 2 2 (dp-yn,t) = 505,09 mm = 25,887 mm2 = 164096,210 mm2 1 1 bh3 bh.( yc, t yn, t ) 2 .d 4 Ad .( dp yn, t ) 2 12 64 In= In= = Ideal (transformasi): np = 3,334369E+10 mm4 Ep/Ec 7,57 d= ns = Es/Ec 8,16 ds' = At = Ac + (np-1).Ap + (ns-1).As Ac*1/2h+(np-1)Ap*dp+(ns-1)As*d+(ns-1)As*d' 520,28 At ytb = h-Yt,t 479,72 bh.(yc,t-yi,t)^2 164562423,3 (n-1).Ap.(dp-yi,t)^2 2043242653 1 3 bh bh.(yc,t yn,t)2 (n 1).Ap.(dp yn,t)2 12 Ii = 50 435234,5218 mm2 yt,t = Ii= 950 mm mm mm4 mm4 IAp diabaikan tambahkan As dan As' !! 3,554114E+10 mm4 a). Pada keadaan initial: c ,t 0,25 (-) (+) (-) + Pi An Tegangan beton: tepi atas= = = tepi bawah = = M Pi yn In -Pi/Ac -6,25 1,47 (tarik) -Pi/ac -6,25 -14,13 (desak) (+ ata + (-) f ci' (+) (- M DL y n In + + MPa = MPa c ,b 0,60 f Mpi.ynt/In 14,84 0 , 25 ' f 0 , 60 f = MDL.ynt/In 7,12 MPa 1,37 MPa --> tidak memenuhi syarat! + + = MDL.ynb/In 7,27 18,00 --> OK! ci Mpi.ynb/In 15,15 ' ci ' ci Tegangan baja: posisi baja prategang pd Pot. Netto : ynp = dp -ynt = 405,09 mm akibat langsung dari penegangan/penarikan: Pi/Ap= 1159,55 akibat beban (DL) : MDL.ynp/In = 5,83 Tegangan baja prategang = 1165,39 < 0.82 fpy = 1230,00 MPa MPa MPa MPa MPa MPa OK < 0.74 fpu = b). Pada keadaan service: 1369,00 MPa OK c ,t 0,45atau 0,60 f ' c (-) (+) (-) + + (-) Pe An tepi bawah= = = atau (+) (+) M DL yn M ADL M LL yi In Ii c ,t = = (-) + (+) M Pe y n In Tegangan beton: tepi atas= (-) c ,b 0,5 f ' c M Pe yn ,t M DL y n ,t M ADL M LL yi ,t Pe An In In Ii -5,0636 -14,4405 (desak) c ,b -5,0636 3,11 (tarik) 11,8742 MPa -7,1245 -14,1265 0 , 45 f c' = MPa 15,75 --> OK! MPa Pe M Pe yn ,b M DL yn ,b M ADL M LL yi ,b An In In Ii -12,1183 MPa 7,2710 0 ,5 13,0251 = f c' MPa 2,958 MPa tdk memenuhi syarat! Tegangan baja: posisi baja prategang pd Pot. Netto : ynp = dp -ynt = 405,09 mm posisi baja prategang pd Pot. Ideal : yip = dp - yit = 379,72 mm akibat langsung dari penegangan/penarikan: Pe/Ap= 927,64 akibat beban (DL) : MDL.ynp/In = 5,83 akibat beban (ADL) : MADL.yip/Ii = 4,97 akibat beban (LL) : MLL.yip/Ii = 5,34 Tegangan baja prategang = 943,79 Tidak ada batas ijin maks. MPa MPa MPa MPa MPa 5. Kuat rencana lentur: a. Tanpa memperhitungkan baja tulangan non prestressed: cek syarat SNI fpe≥0.5 fpu 0.5fpu = 925 Mpa fpe = 927,64 Mpa fpy/fpu = 0,81 γp = 0,55 (syarat SNI) ρ=AS/Ac = 0,0049063 ρ'=As'/Ac = 0,0024531 ω=ρfy/fc' = 0,0560714 ≥0.5 fpu ok Tanpa tulg non-prestress 0 0 0 ω'=ρ'fy/fc' ρp=Ap/Ac = = = = = β1 d dp ρp.fpu/fc' 0,0280357 0,00539 0,800 utk fc'=35 > 28 ! 950 mm 900 mm d/dp.(ω-ω') = = p fps= f pu 1 1 fps f pu d ' p fc ' dP = 1487,64 Mpa 0 0 0,2849 0,029593254 Dari syarat lentur murni: Cc=Tp Tp = Ap.fps = 3207357,90 0.85fc'.a.b = 3207357,90 a = 269,53 Mn=Tp.(dp-1/2a) Mn = 2454389142 = 2454,39 ΦMn= = 2208,95 0 N N mm Cek et = c= 336,907 mm et = 0,00501 > 0,005 digunakan f = 0,9 Nmm kNm kNm > Mu = 1,2MDL&ADL+1,6 MLL = 1934 kNm OK b. Dengan memperhitungkan baja tulangan non prestressed: syarat: f p pu d ' ≥ 0.17 fc ' dP f pu d p ' fc ' dP 0.15*dp d' fps = fps = = p f pu 1 1 = = 135 mm 50 ≤ 0.15dp 0,314 ≥ 0.17 ok ok f pu d ' p fc ' dP 1450,003893 MPa Syarat lentur murni: Cc + Cs = Tp + Ts Asumsi: tulangan non prategang As dan As' sudah leleh, gunakan fy. Ts = As. fy = 785000 N Cs = As'.fy = 392500 N c Tp = Ap . fps = 3126208,392 N Cc = Tp + Ts - Cs Cc = 0.85fc'.a.b = 3518708,39 N a = 295,69 mm c= a/β1 = 369,612 mm cek regangan tulangan non pre-stress εy = 0,0019048 0.003 cs cc Ts1 Ts2 ε tul tekan ε tul tarik = = 0,0025942 leleh 0,0047108 leleh OK, asumsi benar. < 0,005, dg interpolasi didapat f = 0,876 Menghitung kapasitas momen Gaya Cc Cs Tp Ts N 3,519E+06 3,925E+05 3,126E+06 7,850E+05 lengan (mm) 1/2h-1/2a 352,16 1/2h-d' 450 dp-1/2h 400 d-1/2h 450 Σ moment Moment Nmm 1,24E+09 1,77E+08 1,25E+09 3,53E+08 3,02E+09 Nmm 3019,49 kNm ΦMn= 2644,767 kNm > Mu = 1,2MDL&ADL+1,6 MLL = 1934 Kesimpulan: TIDAK memenuhi syarat, karena pd cek tegangan (initial maupun service) teg. tarik yg terjadi melebihi tegangan yang diijinkan. kNm OK.
