Matriks SMK

MATRIKS
Kompetensi Dasar: 3.15 Menerapkan operasi matriks dalam menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan matriks
4. 15 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks
A. PENGERTIAN MATRIKS
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom
yang ditempatkan dalam kurung biasa atau kurung siku. Matriks bisa berbentuk persegi
atau persegi panjang. Bilangan-bilangan pembentuk matriks disebut elemen matriks. Jika
banyak baris pada sebuah matriks = m, dan banyak kolomnya = n, maka matriksnya disebut
berordo atau berukuran m x n.
C
Contoh:
B. ORDO MATRIKS
Ordo atau ukuran matriks menunjukkan banyaknya baris dan kolom di dalam
matriks. Ordo biasa dinotasikan sebagai ∑ baris x kolom. Perhatikan contoh berikut.
Catatan:
Ordo 2 x 3 artinya memiliki 2 baris dan 3
kolom (perhatikan panah biru untuk baris
dan panah merah untuk kolom)
Untuk ordo 3 x 3 artinya memiliki 3 baris
dan 3 kolom.
C. TRANSPOSE MATRIKS
Transpose matriks merupakan bentuk operasi matriks di mana susunan baris diubah
menjadi kolom, sedangkan bagian kolom diubah menjadi baris. Baris ke-n diubah menjadi
kolom ke-n atau kolom ke-m diubah menjadi baris ke-m. Jika matriks D di atas dijadikan
transpose matriks D, notasi yang digunakan adalah DT. Untuk lebih jelasnya, perhatikan
contoh berikut.
1 2 3
𝐷 = (4 5 6)
7 8 9
Baris
Kolom
1 4 7
𝐷 = (2 5 8)
3 6 9
𝑇
Baris berubah
jadi kolom
Kolom berubah
jadi baris
Berdasarkan transpose matriks di atas, kita bisa melihat bahwa elemen baris ke-1,
yaitu 1, 2, 3, dituliskan pada kolom ke-1, elemen baris ke-2, yaitu 4, 5, 6, dituliskan pada
kolom ke-2, dan begitu seterusnya. Dengan demikian, transpose matriks bisa mengubah
ordo matriks jika jumlah baris dan kolomnya tidak sama.
Beberapa Sifat Matriks Transpose:
(i)
(A+B)T = AT + BT
(ii)
(AT) = A
(iii) k(AT) = (kA)T
(iv) (AB)T = BT AT
D. MATRIKS SAMA
Suatu matriks dikatakan sama jika matriks-matriks tersebut memiliki ordo yang
sama dan setiap elemennya terletak pada baris dan kolom yang sama. Jika suatu matriks
sama, otomatis setiap elemen yang seletak nilainya sama.
Perhatikan contoh soal berikut:
Contoh Soal
Diketahui dua matriks sebagai berikut:
𝐷=(
2𝑎
2 3
),𝐸 = (
1 4
𝑐+1
𝑏−3
) , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐷 = 𝐸
𝑑−5
Tentukan nilai dari a, b,c, dan d!
Pembahasan:
Untuk mencari nilai a, b,c, dan d, kita harus tahu bahwa matriks D = E, sehingga elemen
seletak nilainya pasti sama.
𝑑1,1 = 𝑒1,1 ⇒ 2 = 2𝑎 → 𝑎 = 1
𝑑1,2 = 𝑒1,2 ⇒ 3 = 𝑏 − 3 → 𝑏 = 6
𝑑2,1 = 𝑒2,1 ⇒ 1 = 𝑐 + 1 → 𝑐 = 0
𝑑2,2 = 𝑒2,2 ⇒ 4 = 𝑑 − 5 → 𝑑 = 9
Dari perhitungan di atas, diperoleh nilai a = 1, b = 6, c = 0, dan d = 9.
Jadi, nilai a, b,c, dan d berturut-turut adalah 1, 6, 0, dan 9.
E. OPERASI MATRIKS
1. Penjumlahan matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang
mempunyai ukuran (ordo) yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah matriks-matriks
berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij ) dimana (cij ) = (aij ) +(bij ) atau
[A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij ) = (aij ) +(bij )
Contoh:
3
4
𝐴= (
0 2
1
),𝐵 = (
),
1 3
2
1 0
1 0
𝐶=(
2
)
5
Maka:
3+0 1+2
0 2
3
3 1
)+(
)=(
)=(
4+1 2+3
1 3
5
4 2
𝐴+𝐵 =(
1 0
3 1
)+(
1 0
4 2
𝐴+𝐶 =(
3
)
5
2
)
5
A + C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan B mempunyai
ukuran yang tidak sama.
2. Pengurangan matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat
dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya
berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.
Contoh:
3 4
0 2
𝐴=(
),𝐵 = (
)
4 5
3 4
maka
3
𝐴−𝐵 =(
4
4
0 2
3−0 4−2
3
)−(
)=(
)=(
5
3 4
4−3 5−4
1
2
)
1
3. Perkalian matriks
Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain.
a. Perkalian Matriks dengan bilangan bulat
Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian
tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali
antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan
bilangan r, maka 𝑟. 𝐴 = (𝑟. 𝑎𝑖𝑗 ).
Contoh:
1 4
Jika (2 5) dan bilangan r = 2, maka:
3 6
1
𝑟 × 𝐴 = 2 × (2
3
4
2.1
)
(
=
5
2.2
6
2.3
2.4
2
)
(
=
2.5
4
2.6
6
8
10)
12
Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan
atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut
sifat-sifat perkaliannya:
-
r(A + B) = rA + rB
-
r(A – B) = rA – rB
b. Perkalian dua matriks
Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika
jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan
suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman
dengan matriks B, sehingga:
Elemen-elemen matriks 𝐶(𝑚 × 𝑠) merupakan penjumlahan dari hasil kali elemenelemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:
Misalkan matriks A (a, b, c, d) berukuran 2 x 2 dikalikan dengan matriks B
(e, f, g, h) berukuran 2 x 2, sehingga rumusnya akan menjadi:
Perkalian antar matriks
lihat baris pertama dikali
kolom pertama, dan baris
kedua dikali kolom kedua
Syarat dua matriks dapat dioperasikan perkalian yaitu banyak kolom
matriks pertama harus sama dengan banyak baris matriks kedua, sebagai berikut:
Contoh:
3
1) dan 𝐵 = ( ) maka
1
3
𝐴 × 𝐵 = (3 2 1) × ( ) = ((3 × 3) +
1
1) 𝐴 = (3 2
(2 × 1) + (1 × 0))
2) A= (
3 2 1
3
) dan B=( )
1 2 1
1
(3 × 3)
𝐴×𝐵 = (
(1 × 3)
maka
(2 × 1) (1 × 0)
11
)=( )
(2 × 1) (1 × 0)
5
1 2
5
) dan B = (
3 4
7
3) Diketahui matriks A = (
6
).
8
Tentukan hasil dari matriks 𝐴 × 𝐵 =?
Jawaban:
1 2
5
)×(
3 4
7
𝐴×𝐵 =(
=(
(1 × 5) + (2 × 7)
(3 × 5) + (4 × 7)
6
)
8
(1 × 6) + (2 × 8)
)
(3 × 6) + (4 × 8)
5 + 14
6 + 16
)
15 + 28 18 + 32
= (
=(
19
43
22
)
50
Ingat!
Perkalian matriks adalah dengan
menjumlahkan perkalian antara
baris dan kolom.
Beberapa Hukum Perkalian Matriks:
2. Hukum Distributif, A x (B + C) = AB + AC
3. Hukum Assosiatif, A x (B x C) = (A x B) x C
4. Tidak Komutatif, A x B  B x A
5. Jika A x B = 0, maka beberapa kemungkinan
(i) A = 0 dan B = 0
(ii) A = 0 atau B = 0
(iii) A  0 dan B  0
6. Bila A x B = A x C, belum tentu B = C
Jangan Lupa Di Baca Di Catat Dan Dipahami!
No yang bisa dihubungi untuk bertanya terkait materi
WA: +6285750884467 (Deka Wahyuni)
Jangan lupa disertai Nama, Kelas dan Pertanyaan nya.