Turunan Fungsi Trigonometri Turunan ting

MODUL PERKULIAHAN
Matematika I
(Turunan)
1. Turunan Fungsi Trigonometri
dan Invers Trigonometri
2. Turunan Tingkat Tinggi
3. Turunan Fungsi Invers
4. Turunan Fungsi Lainnya
Fakultas
Program Studi
Teknik
Teknik Sipil
TatapMuka
06
Kode MK
DisusunOleh
90016
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
Abstract
Kompetensi
Modul ini membahas mengenai
turunan fungsi trigonometri dengan
inversnya, yang dinamakan siklometri,
turunan fungsi ke-n atau disebut juga
turunan tingkat tinggi yaitu turunan
kedua,
ketiga,
keempat
dan
seterusnya, serta membahas juga
mengenai turunan fungsi balikan atau
invers dan membahas turunan fungsi
lainnya seperti turunan logaritma
natural, turunan fungsi nilai euler dan
lainnya.
Diharapkan setelah membaca modul ini
mahasiswa dapat :
1. Memahami
turunan
fungsi
trigonometri dan inversnya
2. Memahamai
bagaimana
mencari turunan fungsi ke-n
3. Memahami
turunan
fungsi
invers
4. memahami
turunan
fungsi
lainnya seperti turunan fungsi
logaritma natural.
Pembahasan
1. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Berikut ini beberapa rumus turunan fungsi Trigonometri
sin cos cos sin tan sec cot csc sec sec csc csc cot 2. TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
Turunan fungsi invers trigonometri disebut juga turunan fungsi siklometri
arcsin 1
√ √1
arccos 1
√1 tan 2016
2
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
1
1 arccot arcsec arccsc PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
1
1 1
||√ 1
1
||√ 1
CONTOH SOAL
Carilah turunan dari
1.
f(x) = 3 sin x – 2 cos x
2.
f(x) = tan x
3.
f(x) = 3 sin 2x
4.
f(x) =
5.
f(x) = sin3 (4x)
!"
Penyelesaian :
1.
D(3 sin x – 2 cos x) = 3 D(sin x) – 2 D(cos x) =
2.
D(tan x) = D#
$%&
'($
)
cos *sin
sin sin *cos -+ 1
-+ 3.
3 cos x + 2 sin x
cos -+ sin sin -+ +. D(3 sin 2x) = D(6 sin x cos x)
= 6 D(sin x cos x)
= 6[sin x D(cos x) + cos x D(sin x)]
= 6 [(sin x)(- sin x) + (cos x)(cos x)]
= 6 [cos2 x – sin2x]
= 6 cos 2x
*#
4.
'($
$%&
)
$%&
/'($
0'($
!"1
/$%&
sin sin 1 cos cos +, +, cos -+ +, 1 cos 1 -+ 2016
3
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
+, -+ cos +, 1 cos 1 cos 1 cos PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
1
1 cos 5.
Dx(sin3 (4x))
Misalkan :
v = 4x dan u = sin v dan y = u3
2
2 3 5
.
.
3 5 = 3u2 . cos v. 4
= 3 sin2 (4x) . cos (4x) . 4
= 12 sin2 (4x) cos (4x)
3.
TURUNAN TINGKAT TINGGI
Operasi pendiferensialan mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi
baru f’. jika f’ sekarang kita diferensialkan, kita masih menghasilkan fungsi lain,
dinyatakan oleh f” (dibaca “f
“ dua aksen”) dan disebut turunan kedua dari f. Pada
gilirannya ia boleh diturunkan lagi, dengan demikian menghasilkan
mengha
f’’’ yang disebut
f’’’,
turunan ketiga,, dan seterusnya.
Sebagai contoh, andaikan
6
2 8 4 7 8
maka
6′
6 8 7
6′′
12 8
6′′′
12
6′′′′
0
Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi
akan nol.
2016
4
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Kita telah memperkenlakan tiga cara penulisan untuk turunan (sekarang disebut juga
turunan pertama) dari y = f(x). Mereka adalah :
?@
Dxy
f’(x)
?
Masing-masing disebut, cara penulisan aksen,
aksen cara penulisan d, dan cara penulisan Leibniz.
Leibniz
Terdapat
dapat sebuah variasi dari cara penulisan aksen – yakni, y’ – yang kadang kala akan kita
pakai juga. Semua cara penulisan ini mempunyai perluasan utnuk turunan tingkat tinggi,
seerti diperlihatkan dalam bagan dibawah ini. Khususnya perhatikan cara penulisan Leibniz,
yang walaupun ruwet – kelihatannya paling cocok untuk Leibniz. Yang, menurutnya, lebih
wajar dari pada menuliskan
?
?
?@
#? )
sebagai
?1@
? 1
Penulisan
Penulisan
f’
y’
Pertama
f’(x)
y’
DxY
Kedua
f’’(x)
y’’
*2
Ketiga
f’’’(x)
y’’’
*82
Keempat
f’’’’(x)
y’’’’
*A2
Kelima
f(5)(x)
y(5)
*B2
Keenam
f(6)(x)
y(6)
*C2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ke-n
f(n)(x)
y(n)
*" 2
" 2
"
Derivatif
2016
5
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Penulisan D
Penulisan
Leibniz
2
2
8 2
8
A 2
A
B 2
B
C 2
C
CONTOH SOAL :
1.
y = 6x3 + 12x2 + 5x + 2 , tentukan
2.
y = sin 2x , tentukan
?D@
? D
?E@
? E
Penyelesaian :
y = 6x3 + 12x2 + 5x + 2
1.
2
18 24 5
2
36 24
8 2
8
36
2. y = sin 2x
2
2 cos 2
2
4 sin 2
8 2
8
8 cos 2
A 2
A
16 sin 2
KECEPATAN DAN PERCEPATAN
Dalam modul-4
4 sebelumnya, kita memakai pengertian kecepatan sesaatuntuk memotivasi
definisi turunan. Kita akan mengkaji ulang pengertian ini dengan memakai sebuah contoh.
2016
6
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Juga, sejak saat ini kita akan memakai kata tunggal kecepatan sebagai ganti istilah
kecepatan sesaat yang lebih tidak praktis.
CONTOH :
Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisi s-nya memenuhi,
s = 2t2 – 12t + 8,, dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam detik. Tentukan kecepatan
benda bilamana t = 1 dan t = 6.
6 Kapan kecepatannya 0? kapan ia positif?
Penyelesaian:
Jika kita memakai lambang v(t) untuk kecepatan pada saat t, maka
5
+
4 12
jadi,
51
41 12
8 H/.,J
56
46 12
12 H/.,J
Kecepatan 0 bilamana 4 12
0 , yaitu, pada saat t = 3. Kecepatan positif bilamana
4 12 > 0, atau pada saat t > 3. Semua ini diperlihatkan secara skema dalam gambar di
bawah ini.
t = 6,, s = 8, v = -12
t = 3,
s = -10,
v=0
-10
t = 1, s = -2, v = -8
-5
0
t = 0, s = 8, v = -12
5
10
Tentu saja, benda tersebut bergerak sepanjang sumbu-s,
sumbu , bukan pada jalur di atasnya.
Tetapi jalur kita memperlihatkan apa yang terjadi pada benda itu. Jika t = 0 dan t = 3,
kecepatan negatif; benda bergerak ke kiri (mundur). Pada saat t = 3 ia “diperlambat” ke
kecepatan nol, kemudian mulai bergerak ke kanan bila kecepatannya positif. Jadi,
kecepatan negatif bersesuaian dengan gerakan benda itu ke arah berkurangnya s;
kecepatan positif bersesuaian dengan gerakan benda itu ke arah bertambahnya s.
2016
7
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
Terdapat perbedaan teknis antara perkataan kecepatan (velocity)
(
) dengan laju (speed).
(
kecepatan (velocity)) mempunyai sebuah tanda yang dihubungkan dengannya; mungkin
positif atau negatif. Laju didefinisikan sebagai nilai mutlak kecepatan. Jadi, dalam contoh di
atas, laju pada saat t = 1 adalah |8| = 8 cm/detik. Pengukur dalam kebanyakan kendaraan
adalah pengukur laju (speedometer
speedometer); ia selalu memberikan nilai-nilai tak-negatif.
negatif.
Sekarang kita ingin memberikan tafsiran fisik mengenai turunan kedua
?1 ?S 1
?
. Tentu saja ini
hanya turunan pertama dari kecepatan. Jadi, ia mengukur laju perubahan kecepatan
terhadap
erhadap waktu, yang dinamakan percepatan. Jika dinyatakan oleh a,, maka
2
5
Dalam kasus di atas, s = 2t2 – 12t + 8, jadi,
+
5
4 12
+
4
ini berarti bahwa kecepatan bertambah dengan suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm/detik
setiap detik, yang kita tuliskan sebagai 4 cm/detik/detik atau 4 cm/detik2.
4. TURUNAN FUNGSI INVERS
Misalkan fungsi f kontinu dan satu-satu
satu
pada selang I = Df dengan aturan y = f(x), x ∈ I,
dan inversnya adalah x = f-1(y), y ∈ Rf. Jika fungsi f terdiferensialkan pada I dengan
f’(x) ≠ 0 pada I,, maka fungsi f-1 juga terdiferensialkan pada Rf, dan aturan turunannya
ditentukan oleh
K0LL N
2016
8
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
O
L
KP Q
,
atau
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
RQ
RN
L
RN
RQ
CONTOH SOAL :
1. Tentukan Turunan dari Invers fungsi
6 0 2
2
7
2
7
O
, atau
dP ?
?@
e_
ef
g
bisa juga kita invers kan dulu fungsi nya baru setelah itu kita turunkan
y = 7x, maka x = 1/7 y
?
sehingga 6 0 2 O
?@
g
2. Tentukan Turunan dari Invers fungsi
2 8 5
2
Penyelesaian
2
f 0 y
O
D @0B
X
YZ
2016
[\
[]
9
C 1
#
6 ?
, atau
VP W
dimana , YW
?@
2 8 5 , sehingga
YW
[\
[]
YZ
@0B
B /8
)
1
_`a b/D
C^#
) c
1
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
C 1
sehingga
C#
_`a 1/D
)
1
@0B 0/8
C
#
)
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
5. TURUNAN FUNGSI LAINNYA
y = f(x)
RN
RQ
.
.
. i(
)
(ln ) ln ln j()
log m 2016
10
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
jO (). i(
1
O
j ()
j()
1
ln PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
)
SOAL QUIZ PERTEMUAN KE-6
KE (MODUL-6)
Soal Essay
1. Tentukan turunan dari y = x2 sin x
n
2. Jika f(x) = sin x cos 3x,
3x maka tentukan f ' # ).
C
3. Tentukan turunan dari invers fungsi y = 3x5 – 7
4. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian
sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh
+
8 12 36 30
di sini s diukur dalam meter dan t dalam detik.
(a) Kapan kecepatan nya 0?
(b) Kapan percepatannya positif?
2016
11
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
DaftarPustaka
1. ____. e-paper. https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_of_trigonometric_functions
2. ____. e-paper. http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2015/04/soal-dan-jawabanhttp://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2015/04/soal
turunan-fungsi-trigonometri.html
trigonometri.html
3. ____.
e-paper.
https://www.scribd.com/doc/263646665/makalah
https://www.scribd.com/doc/263646665/makalah-turunan-tingkat-
tinggi-dan-turunan-fungsi
fungsi-implisit
4. ____. e-paper. http://www.math.ubc.ca/~feldman/m200/formulae.pdf
5. Martono, Koko, Drs, M.Si. 1999. Kalkulus.. ITB Bandung. Penerbit Erlangga.
6. Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri Analitis. Jilid 1.
1
Jakarta. Penerbit Erlangga.
2016
12
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id