BAB I PENDAHULUAN Program linier merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masingmasing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Banyak cara yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan persoalan program linier, diantaranya dengan menggunakan metode grafik, simpleks, simpleks dua fase, antrian, penugasan, transportasi dan lain sebagainya. Setiap metode hanya dapat digunakan pada persoalan tertentu sesuai dengan karakteristik masing-masing metode. Seperti metode grafik yang hanya bisa digunakan untuk persoalan program linier yang hanya mempunyai dua buah variabel, apabila lebih, maka metode grafik tidak akan dapat menyelesaikannya. Sedangkan metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk menyelesaikan persoalan program linier yang mempunyai jumlah variabel dan pembatas yang banyak. Contoh persoalan program linier yang terjadi : Pemilik dari toko jual beli mesin merencanakan untuk mengadakan perluasan dengan membeli beberapa mesin baru, yaitu mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik menganggarkan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan keuntungan Rp 100.000,00 per hari dan tiap mesin bubut akan menaikkan 2 keuntungan Rp 150.000,00 per hari. Banyaknya jumlah mesin yang dapat dibeli dibatasi dengan biaya mesin dan tersedianya ruang dalam toko. Harga beli mesin dan luas tempat yang diperlukan untuk masing-masing mesin adalah sebagai berikut : Mesin Pencetak Bubut Luas Tempat ( m2 ) 15 30 Harga Beli Rp 8.000.000,00 Rp 4.000.000,00 Anggaran pembelian mesin adalah sebesar Rp 40.000.000,00, sedangkan tempat yang tersedia adalah 200 m2. Pemilik ingin mengetahui berapa banyak tiap jenis mesin yang dapat dibeli untuk memaksimumkan kenaikan keuntungan perhari. Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan metode grafik ataupun metode simpleks. Solusi yang dihasilkan dari kedua metode tersebut adalah keuntungan maksimum yang diperoleh sebanyak Rp 1.056.000,00 dengan membeli 2,22 mesin pencetak dan 5,56 mesin bubut. Namun dalam kehidupan nyata, tidaklah mungkin membeli 2,22 atau 5,56 mesin, melainkan harus membeli mesin dengan jumlah yang bulat, bukan berupa pecahan. Oleh karena itu, harus ditentukan, apakah akan membeli 2 atau 3 mesin pencetak dan 5 atau 6 mesin bubut. Pembulatan jumlah produksi yang dilakukan sangat mempengaruhi keuntungan yang diperoleh dan biaya yang dikeluarkan. Persoalan di atas harus diselesaikan sedemikian rupa sehingga solusi bilangan bulat optimal dijamin tercapai. Berdasarkan uraian di atas, diperoleh suatu rumusan masalah. Teknik apakah yang dapat digunakan untuk memperoleh solusi bilangan bulat yang optimal dari persoalan program linier ? 3 Memperhatikan masalah tersebut, penulis ingin memperkenalkan salah satu teknik yang dianggap efisien dan efektif untuk mencari solusi bilangan bulat yang optimal dari persoalan program linier, yaitu teknik Branch and Bound. Teknik ini merupakan suatu pendekatan solusi yang layak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan program linier, khususnya bilangan bulat, dengan membagi daerah solusi yang layak menjadi subset yang lebih kecil, untuk selanjutnya dilakukan evaluasi secara sistematis terhadap subset tersebut sampai solusi yang terbaik ditemukan. Dari uraian di atas, penulis mencoba untuk mengangkat teknik Branch and Bound untuk mendapatkan solusi bilangan bulat yang optimal dari persoalan program linier. 4 BAB II MATERI PENDUKUNG 2.1 Metode Simpleks Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif (pengulangan), yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrem yang optimum. Secara matematis, permasalahan program linier dapat ditulis sebagai berikut : Maks. atau min. : z c1 x1 c2 x2 ... cn xn Berdasarkan : a11 x1 a12 x 2 .... a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 .... a 2 n x n b2 . . . a m1 x1 a m 2 x 2 .... a mn x n bm xi 0, i 1,2,...n Jika kita defenisikan : a11 a12 ... a1n x1 b1 a b 21 a 22 ... a 2 n x2 2 . . . A ; X ; B . . . . . . x n bm a m1 a m 2 ... a mn Maka pembatas dari model tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk sistem persamaan AX B 5 2.1.1. Langkah-langkah Penyelesaian Berikut ini langkah-langkah penyelesaian persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks : a. Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua c n x n digeser ke ruas kiri persamaan. Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda . Ketidaksamaan ini harus diubah menjadi kesamaan. Caranya dengan menambahkan slack variable, yaitu variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran atau kapasitas yang merupakan batasan. Slack variable ini adalah xn1 , xn 2 , . . . , x n m . b. Menyusun persaman-persamaan di dalam tabel Setelah fungsi tujuan dan batasan diubah, kemudian disusun ke dalam tabel, dalam bentuk simbol seperti tampak pada tabel berikut : Tabel Simpleks dalam Bentuk Simbol Variabel Dasar Z x n 1 xn2 . . . xnm Z x1 x2 ... xn x n 1 xn2 ... xnm NK 1 0 -c1 a11 -c2 a12 ... ... -cn a1n 0 1 0 0 ... ... 0 0 0 b1 0 . a 21 . . . a m1 a 22 . . . am2 ... . a2n 0 . 1 . ... . 0 . . . . . . . . . 0 0 ... 1 b2 . . . bm . . 0 . . . . . ... a mn Keterangan : m = jenis batasan-batasan sumber/fasilitas yang tersedia 6 n = jenis batasan-batasan kegiatan yang menggunakan sumber/fasilitas tersebut i = nomor setiap sumber/fasilitas yang tersedia (1 sampai dengan m) j = nomor setiap jenis kegiatan yang menggunakan sumber/fasilitas (1 sampai dengan n) x j = tingkat kegiatan ke-j a ij = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran/output kegiatan j bi = banyaknya sumber/fasilitas yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (1 sampai dengan m) Z = nilai yang dioptimalkan Cj = kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan kegiatan ( x j ) dengan satu satuan/unit/merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan ke-j terhadap nilai Z NK = nilai yang berada di sebelah kanan tanda sama dengan c. Memilih kolom kunci Cara menentukan kolom kunci adalah dengan memilih kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan. d. Menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks tiap-tiap baris ditentukan dengan cara membagi nilainilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris dengan kolom kunci, atau : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci 7 e. Memilih baris kunci Baris kunci adalah baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. f. Menentukan angka kunci Angka kunci adalah angka yang termasuk dalam kolom kunci dan juga termasuk pada baris kunci dinamakan angka kunci. g. Mengubah nilai-nilai baris kunci Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci. h. Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sebagai berikut : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) i. Melanjutkan perbaikan-perbaikan / perubahan-perubahan Ulangi langkah-langkah perbaikan mulai langkah ke-c sampai langkah ke-f untuk memperbaiki tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama (baris fungsi tujuan) tidak ada lagi yang bernilai negatif. 2.1.2. Bentuk-bentuk Penyimpangan Pada penyelesaian persoalan program linier yang menggunakan metode simpleks, terdapat beberapa penyimpangan dari bentuk standar, diantaranya adalah sebagai berikut : 8 a. Batasan dengan tanda sama dengan (=) Batasan dari persoalan program linier yang bertanda sama dengan (=) harus diubah agar sesuai dengan bentuk standar, sehingga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks. Caranya adalah dengan menambahkan variabel buatan (artivicial variable) yang bernilai positif, yang dilambangkan dengan x n 1 , xn 2 , … Sebelum variabel buatan masuk, batasan sudah berbentuk persamaan, setelah variabel buatan masuk, masih berbentuk persamaan. Akibatnya, timbul syarat agar tetap sesuai dengan persamaan semula, maka variabel buatan harus bernilai nol (0). Variabel buatan yang ditambahkan hanya merupakan syarat supaya algoritma metode simpleks dapat berjalan. Sebagai usaha agar variabel buatan segera bernilai nol (0), maka disusunlah fungsi tujuan baru dengan bentuk z z M x n 1 dimana M adalah bilangan positif yang sangat besar tapi tak terhingga. Dengan demikian diharapkan agar variabel buatan segera keluar dari kolom variabel dasar karena koefisiennya bernilai negatif yang sangat besar. b. Minimasi Fungsi tujuan dari persoalan program linier yang bersifat minimasi harus diubah menjadi maksimasi, agar sesuai dengan bentuk standar, yaitu maksimasi., sehingga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks. Caranya adalah dengan mengganti tanda positif dan negatif pada fungsi tujuan, sebagai berikut : 9 n Minimumkan Z c j x j berubah menjadi : j 1 n Maksimumkan Z c j x j j 1 Contoh : Minimumkan : Z 3x1 5x2 diubah menjadi : Maksimumkan: Z 3x1 5x2 c. Fungsi pembatas bertanda lebih dari atau sama dengan ( ) Bila suatu fungsi pembatas bertanda , maka harus diubah menjadi agar sesuai dengan bentuk standar dengan pembata bertanda , sehingga metode simpleks dapat berjalan. Hal ini dilakukan dengan jalan mengubah tanda tiap-tiap koefisien dari positif menjadi negatif dan sebaliknya. Selanjutnya, pertidaksamaan diubah menjadi persamaan (bertanda =) dengan menambahkan slack variable, agar dapat diselesaikan dengan metode simpleks. d. Bagian kanan persamaan bertanda negatif Bila di bagian kanan persamaan bertanda negatif, maka harus diubah menjadi positif, kemudian ditambah dengan variabel buatan (artivicial variable). Variabel buatan yang ditambahkan haruslah bernilai positif. 2.2 Program Linier Relaksasi Program linier relaksasi adalah bentuk program linier yang diperoleh dengan mengabaikan pembatas bilangan bulat. Contoh : Pemilik dari toko jual 10 beli mesin merencanakan untuk mengadakan perluasan dengan membeli beberapa mesin baru, yaitu mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik menganggarkan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan keuntungan Rp 100.000,00 per hari dan tiap mesin bubut akan menaikkan keuntungan Rp 150.000,00 per hari. Banyaknya jumlah mesin yang dapat dibeli dibatasi dengan biaya mesin dan tersedianya ruang dalam toko. Harga beli mesin dan luas tempat yang diperlukan untuk masing-masing mesin adalah sebagai berikut : Luas Tempat ( m2 ) 15 30 Mesin Pencetak Bubut Harga Beli Rp 8.000.000,00 Rp 4.000.000,00 Anggaran pembelian mesin adalah sebesar Rp 40.000.000,00, sedangkan tempat yang tersedia adalah 200 m2. Pemilik ingin mengetahui berapa banyak tiap jenis mesin yang dapat dibeli untuk memaksimumkan kenaikan keuntungan perhari. Pada persoalan di atas, tidak akan mungkin membeli mesin pencetak dan mesin bubut dengan jumlah pecahan. Oleh karena itu, model matematis untuk persoalan diatas adalah : Memaksimumkan : z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 15x1 30 x2 200 x1 , x 2 0 ; x1 , x 2 bilangan bulat Program linier relaksasi dari model matematis pada persoalan program linier di atas adalah : Maksimumkan: z 100.000 x1 150.000 x2 11 Berdasarkan : (1) 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 (2) 15x1 30 x 2 200 (3) x1 , x 2 0 12 BAB III PEMBAHASAN Teknik Branch and Bound merupakan teknik solusi untuk persoalan program linier yang mengharuskan variabelnya berupa bilangan bulat. Prinsip yang mendasari teknik ini adalah bahwa total set solusi yang fisibel dapat dibagi menjadi subset-subset solusi yang lebih kecil. Subset-subset ini selanjutnya dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi yang terbaik ditemukan. Teknik Branch and Bound pada persoalan program linier digunakan bersama-sama dengan metode simpleks. Teknik ini menggunakan suatu diagram yang terdiri dari node dan cabang (branch) sebagai suatu kerangka dalam proses pemerolehan solusi optimal. Masing-masing node memuat solusi program linier relaksasi sesuai dengan fungsi tujuan dan batasannya. Node pertama akan memuat solusi program linier relaksasi dari persoalan yang diberikan. Node kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya memuat solusi program linier relaksasi dari persoalan yang diberikan ditambah dengan batasan yang terdapat pada masing-masing cabangnya. 3.1 Algoritma Teknik Branch and Bound Langkah-langkah penggunaan teknik Branch and Bound adalah sebagai berikut : a. Dapatkan solusi simpleks optimal dari program linier relaksasi yang bersangkutan. 13 b. Solusi yang dihasilkan pada langkah a dinyatakan sebagai batas atas (upper bound) dan pembulatan ke bawah sebagai batas bawah (lower bound) pada node 1 c. Pilihlah variabel dengan pecahan yang terbesar untuk pencabangan (branch). Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini. Hasilnya adalah sebuah batasan dan sebuah batasan . d. Ciptakan dua node baru, satu dengan batasan dan satu dengan batasan e. Selesaikan model program linier relaksasi dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node f. Solusi simpleks relaksasi adalah merupakan batas atas pada tiap node, dan solusi bilangan bulat maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah merupakan batas bawah g. Jika proses ini menghasilkan solusi bilangan bulat fisibel dengan nilai batas atas pada akhir node mana saja, maka solusi bilangan bulat optimal telah tercapai. Jika tidak muncul solusi bilangan bulat fisibel, lakukan pencabangan dari node dengan batas atas terbesar 3.2 Contoh Penerapan Persoalan : Pemilik dari toko jual beli mesin merencanakan untuk mengadakan perluasan dengan membeli beberapa mesin baru, yaitu mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik menganggarkan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan keuntungan Rp 100.000,00 per hari dan tiap mesin bubut akan menaikkan 14 keuntungan Rp 150.000,00 per hari. Banyaknya jumlah mesin yang dapat dibeli dibatasi dengan biaya mesin dan tersedianya ruang dalam toko. Harga beli mesin dan luas tempat yang diperlukan untuk masing-masing mesin adalah sebagai berikut : Mesin Pencetak Bubut Luas Tempat ( m2 ) 15 30 Harga Beli Rp 8.000.000,00 Rp 4.000.000,00 Anggaran pembelian mesin adalah sebesar Rp 40.000.000,00, sedangkan tempat yang tersedia adalah 200 m2. Pemilik ingin mengetahui berapa banyak tiap jenis mesin yang dapat dibeli untuk memaksimumkan kenaikan keuntungan perhari. Penyelesaian : Model matematis untuk persoalan diatas adalah : Memaksimumkan : z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 15x1 30 x2 200 x1 , x 2 0 ; x1 , x 2 bilangan bulat Langkah 1. Mencari solusi optimal dari program linier relaksasi yang bersangkutan Persoalan di atas diubah menjadi program linier relaksasi sehingga : Maksimumkan: z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : (1) 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 (2) 15x1 30 x 2 200 15 (3) x1 , x 2 0 Persoalan yang telah dinyatakan dalam bentuk model matematis seperti di atas diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yaitu : a. mengubah fungsi tujuan dan batasan Batasan (1) harus ditambah dengan sebuah slack variable x3, sehingga : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 x3 40.000.000 Batasan (2) harus ditambah dengan sebuah slack variable x4, sehingga : 15x1 30 x2 x4 200 Fungsi tujuan diubah menjadi : z 100.000 x1 150.000 x2 0 b. menyusun persamanan-persamaan di dalam tabel Fungsi tujuan dan batasan yang telah diubah disusun dalam tabel simpleks berikut: Tabel A. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 1 Varibel x2 z x1 x3 Dasar z 1 -100.000 -150.000 0 x3 0 8.000.000 4.000.000 1 x4 0 15 30* 0 x4 NK Indeks 0 0 1 0 40.000.000 200 10 6,67 c. memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 2 dengan nilai -150.000. d. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : 16 Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 40.000.000 : 4.000.000 = 10 Indeks baris x4 = 200 : 30 = 6,67 e. memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 4, maka baris x4 dinyatakan sebagai baris kunci. f. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 30, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. g. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x4 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (30) Kolom x1 baris x4 = 15 : 30 = 0,5 Kolom x2 baris x4 = 30 : 30 = 1 Kolom x3 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom x4 baris x4 = 1 : 30 = 0,033 Kolom NK baris x4 = 200 : 30 = 6,67 h. mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) -150.000 Koefisien -100.000 0,5 -25.000 -150.000 1 0 0 0 0 0 0,33 6,67 0 49.500 1.000.500 Baris lama Nilai baru Baris kunci - 17 Baris fungsi x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) 4.000.000 8.000.000 4.000.000 0,5 1 6.000.000 0 1 0 40.000.000 0 0,33 6,67 1 -1.320.000 13.320.000 - Baris lama Nilai baru Baris kunci Koefisien i. melanjutkan perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan Karena kolom kunci adalah kolom x2 dan baris kunci adalah baris x4, maka x2 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x4, sehingga tabel A akan berubah menjadi : Tabel B. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 1 Varibel x1 z x2 x3 x4 Dasar z 1 -25.000 0 0 49.500 x3 0 6.000.000* 0 1 -1.320.000 x2 0 0,5 1 0 0,033 NK Indeks 1.000.500 13.320.000 6,67 2,22 13,34 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 1 dengan nilai -25.000. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 13.320.000 : 6.000.00 = 2,22 Indeks baris x2 = 6,67 : 0,5 = 13,34 18 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 3, maka baris x3 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 6.000.000, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x3 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (6.000.000) Kolom x1 baris x3 = 6.000.000 : 6.000.000 = 1 Kolom x2 baris x3 = 0 : 6.000.000 = 0 Kolom x3 baris x3 = 1 : 6.000.000 = 0,00000017 = 0 Kolom x4 baris x3 = -1.320.000 : 6.000.000 = -0,22 Kolom NK baris x3 = 13.320.000 : 6.000.000 = 2,22 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) -25.000 -25.000 1 0 Koefisien 0 0 0 0 0 0 49.500 -0,22 44.000 1.000.500 2,22 1.056.000 - Baris lama Nilai baru Baris kunci 19 Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) 0,5 0,5 1 0 1 0 1 0 0 0 0,033 -0,22 0,143 6,67 2,22 5,56 Baris lama Nilai baru Baris kunci - Koefisien Karena kolom kunci adalah kolom x1 dan baris kunci adalah baris x3, maka x1 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x3, sehingga tabel B akan berubah menjadi : Tabel C. Solusi Optimal Simpleks Relaksasi pada Node 1 Varibel Z x1 x2 x3 x4 NK Dasar Z 1 0 0 0 44.000 1.056.000 x1 0 1 0 0 -0,22 2,22 x2 0 0 1 0 0,143 5,56 Indeks Pada tabel C, seluruh eleman pada baris fungsi tujuan telah bernilai positif. Hal ini berarti bahwa perbaikan yang dilakukan sudah merupakan hasil optimal, sehingga tidak perlu lagi dilakukan upaya perbaikan. Nilai optimal yang dihasilkan adalah fungsi tujuan z yang maksimum yaitu 1.056.000 dengan x1 2,22 dan x2 5,56 . Langkah 2. Mennyatakan solusi persoalan program linier relaksasi sebagai batas atas (upper bound) dan pembulatan ke bawah sebagai batas bawah (lower bound) pada node 1 Dari tabel C solusi optimal simpleks relaksasi pada node 1, diperoleh: a. batas atas 1.056.000 dengan x1 2,22 dan x2 5,56 b. batas bawah 950.000 dengan x1 2 dan x2 5 20 Langkah 3. Memilih variabel dengan pecahan yang terbesar untuk pencabangan (branch) dan menciptakan dua batasan baru Pada langkah 2, diketahui bahwa x1 memiliki pecahan sebesar 0,22 dan x2 memiliki pecahan sebesar 0,56. Bagian pecahan x2 lebih besar dari x1. Oleh karena itu, x2 akan menjadi variabel yang diberi cabang sehingga diperoleh dua batasan baru yang dikembangkan dari x2, yaitu : x2 5 dan x2 6 . Langkah 4. Menciptakan dua node baru, satu dengan batasan dan satu dengan batasan Berdasarkan langkah 3, maka diperoleh dua node baru, seperti tampak pada gambar berikut : BA = 1.056.000 ( x1 2,22 , x2 5,56 ) BB = 950.000 ( x1 2 , x2 5 ) x2 5 Node 1 1.056.000 x2 6 Node 2 Node 3 Langkah 5. Menyelesaikan model program linier relaksasi dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node NODE 2 Maksimumkan: z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : (1) 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 (2) 15x1 30 x 2 200 (3) x2 5 (4) x1 , x 2 0 21 Persoalan yang telah dinyatakan dalam bentuk model matematis seperti di atas diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yaitu : a. mengubah fungsi tujuan dan batasan Batasan (1) harus ditambah dengan sebuah slack variable x3, sehingga : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 x3 40.000.000 Batasan (2) harus ditambah dengan sebuah slack variable x4, sehingga : 15x1 30 x2 x4 200 Batasan (3) harus ditambah dengan sebuah slack variable x5 , sehingga : x 2 x5 5 Fungsi tujuan diubah menjadi : z 100.000 x1 150.000 x2 0 b. menyusun persamanan-persamaan di dalam tabel Fungsi tujuan dan batasan yang telah diubah disusun dalam tabel simpleks berikut: Tabel A. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 2 Varibel z x1 x2 x3 x4 Dasar z 1 -100.000 -150.000 0 0 x3 0 8.000.000 4.000.000 1 0 x4 0 15 30 0 1 x5 0 0 1* 0 0 x5 NK Indeks 0 0 0 1 0 40.000.000 200 5 10 6,67 5 c. memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 2 dengan nilai -150.000. 22 d. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 40.000.000 : 4.000.000 = 10 Indeks baris x4 = 200 : 30 = 6,67 Indeks baris x5 = 5 : 1 = 5 e. memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 5, maka baris x5 dinyatakan sebagai baris kunci. f. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. g. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x5 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x5 = 0 : 1 = 0 Kolom x2 baris x5 = 1 : 1 = 1 Kolom x3 baris x5 = 0 : 1 = 0 Kolom x4 baris x5 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x5 = 1 : 1 = 1 Kolom NK baris x5 = 5 : 1 = 5 23 h. mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -100.000 -150.000 0 0 0 0 Nilai baru -150.000 0 1 0 0 1 5 Baris kunci -100.000 0 0 0 150.000 750.000 - Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 8.000.000 4.000.000 0 1 8.000.000 0 4.000.000 1 0 1 0 0 0 1 0 -4.000000 40.000.000 5 20.000.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 15 0 15 Koefisien 30 1 0 30 0 0 0 1 0 1 0 1 -30 200 5 50 - Nilai baru Baris kunci i. melanjutkan perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan Karena kolom kunci adalah kolom x2 dan baris kunci adalah baris x5, maka x2 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x5, sehingga tabel A akan berubah menjadi : Tabel B. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 2 Varibel Dasar z x3 x4 x2 z 1 0 0 0 x1 -100.000 8.000.000* 15 0 x2 x3 X4 x5 NK Indeks 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 150.000 -4.000.000 -30 1 750.000 20.000.000 50 5 2,5 3,33 24 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 1 dengan nilai -100.000. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 20.000.000 : 8.000.00 = 2,5 Indeks baris x4 = 50 : 15 = 3,33 Indeks baris x2 = 5 : 0 = memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 3, maka baris x3 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 8.000.000, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x3 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (8.000.000) Kolom x1 baris x3 = 8.000.000 : 8.000.000 = 1 Kolom x2 baris x3 = 0 : 8.000.000 = 0 Kolom x3 baris x3 = 1 : 8.000.000 = 0,0000001 = 0 25 Kolom x4 baris x3 = 0 : 8.000.000 = 0 Kolom x5 baris x3 = -4.000.000 : 8.000.000 = -0,5 Kolom NK baris x3 = 20.000.000 : 6.000.000 = 2,5 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) -100.000 -100.000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 150.000 -0,5 100.000 750.000 2,5 1.000.000 - Baris lama Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) 15 15 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -30 -0,5 -22,5 50 2,5 12,5 Baris lama - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -0,5 1 5 2,5 5 Baris lama - Nilai baru Baris kunci Koefisien Karena kolom kunci adalah kolom x1 dan baris kunci adalah baris x3, maka x1 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x3, sehingga tabel B akan berubah menjadi : 26 Tabel C. Solusi Optimal Simpleks Relaksasi pada Node 2 Varibel z x1 x2 x3 x4 x5 Dasar z 1 0 0 0 0 100.000 x1 0 1 0 0 0 -0,5 x4 0 0 0 0 1 -22,5 x2 0 0 1 0 0 1 NK 1.000.000 2,5 12,5 5 Pada tabel C, seluruh eleman pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi yang benilai negatif. Hal ini berarti bahwa perbaikan yang dilakukan sudah merupakan hasil optimal, sehingga tidak perlu lagi dilakukan upaya perbaikan. Nilai optimal yang dihasilkan adalah fungsi tujuan z yang maksimum yaitu 1.000.000 dengan x1 2,5 dan x2 5 . Dari tabel C solusi optimal simpleks relaksasi pada node 2, diperoleh: a. batas atas 1.000.000 dengan x1 2,5 dan x2 5 b. batas bawah 950.000 dengan x1 2 dan x2 5 NODE 3 Maksimumkan: z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : (1) 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 (2) 15x1 30 x 2 200 (3) x2 6 (4) x1 , x 2 0 Persoalan yang telah dinyatakan dalam bentuk model matematis seperti di atas diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yaitu : Indeks 27 a. mengubah fungsi tujuan dan batasan Batasan (1) harus ditambah dengan sebuah slack variable x3, sehingga : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 x3 40.000.000 Batasan (2) harus ditambah dengan sebuah slack variable x4, sehingga : 15x1 30 x2 x4 200 Batasan (3) harus diubah menjadi : x2 6 ---- dikalikan dengan (-1) x2 x5 6 …… ditambahkan slack variable x5 x2 x5 6 ...... dikalikan dengan (-1) Karena x5 bernilai negatif, maka bukanlah variabel dasar, sehingga ditambah artivicial variable x6 , maka : perlu x2 x5 x6 6 Dengan memperhatikan perubahan fungsi tujuan karena batasan (3), maka fungsi tujuan diubah menjadi : z 100.000 x1 150.000 x2 M x6 0 Untuk mengubah agar nilai x 6 pada batasan menjadi 0, maka dilakukan pengurangan-pengurangan sebagai berikut : 1 -100.000 -150.000 0 0 1 1 -100.000 -150.000-M Sehingga fungsi tujuan menjadi : -M 0 0 0 0 0 0 0 -1 M M 1 0 0 6 -6M z 100.000 x1 150.000 M x2 Mx5 6M b. menyusun persamanan-persamaan di dalam tabel Fungsi tujuan dan batasan yang telah diubah disusun dalam tabel simpleks berikut: 28 Tabel A. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 3 Variabel Dasar z x3 x4 z x1 1 0 0 -100.000 8.000.000 15 x6 0 0 x2 x3 x4 x5 x6 NK Indeks -150.000-M 4.000.000 30 0 1 0 0 0 1 M 0 0 0 0 0 -6M 40.000.000 200 10 6,67 1* 0 0 -1 1 6 6 c. memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 2 dengan nilai -150.000-M. d. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 40.000.000 : 4.000.000 = 10 Indeks baris x4 = 200 : 30 = 6,67 Indeks baris x6 = 6 : 1 = 6 e. memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x6 , maka baris x6 dinyatakan sebagai baris kunci. f. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. 29 g. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x6 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x2 baris x6 = 1 : 1 = 1 Kolom x3 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x4 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x6 = -1 : 1 = -1 Kolom x6 baris x6 = 1 : 1 = 1 Kolom NK baris x6 = 6 : 1 = 6 h. mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) -100.000 -150.000-M -150.000-M 0 1 -100.000 0 0 0 0 Baris lama Nilai baru Baris kunci 0 M 0 -6M 0 -1 1 6 0 -150.000 150.00+M 900.000 - Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) 8.000.000 4.000.000 1 4.000.000 0 1 0 8.000.000 0 1 Koefisien Baris lama 0 0 0 40.000.000 Nilai baru 0 -1 1 6 Baris kunci 0 4.000.000 -4.000.000 16.000.000 - 30 Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 15 30 0 1 0 0 200 Nilai baru 30 0 1 0 0 -1 1 6 Baris kunci 15 0 0 1 30 -30 20 Koefisien - i. melanjutkan perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan Karena kolom kunci adalah kolom x2 dan baris kunci adalah baris x6 , maka x2 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x6 , sehingga tabel A akan berubah menjadi : Tabel B. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 3 Variabel Dasar z x3 x4 x2 Z x1 x2 x3 x4 X5 x6 NK Indeks 1 0 0 0 -100.000 8.000.000 15 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 -150.000 4.000.000 30* -1 150.000+M -4.000.000 -30 1 900.000 16.000.000 20 6 4 0,67 -6 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 5 dengan nilai -150.000. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 16.000.000 : 4.000.00 = 4 31 Indeks baris x4 = 20 : 30 = 0,67 Indeks baris x2 = 6 : -1 = -6 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x4, maka baris x4 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 30, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x4 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (30) Kolom x1 baris x4 = 15 : 30 = 0,5 Kolom x2 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom x3 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom x4 baris x4 = 1 : 30 = 0,033 Kolom x5 baris x4 = 30 : 30 = 1 Kolom x6 baris x6 = -30 : 30 = -1 Kolom NK baris x4 = 20 : 30 = 0,67 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) 32 -100.000 0 -150.000 0,5 0 -25.000 0 0 0 - 150.000 0 0,033 1 0 4.950 0 150.000+M -1 M 900.000 0,67 1.000.500 - Baris lama Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 8.000.000 4.000.000 0,5 6.000.000 0 0 0 1 0 4.000.000 0 0,033 1 1 -132.000 0 -4.000.000 -1 0 16.000.000 0,67 13.320.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0 0 -1 1 6 Nilai baru -1 0,5 0 0 0,033 1 -1 0,67 Baris kunci 0,5 1 0 0,033 0 0 6,67 - Koefisien Karena kolom kunci adalah kolom x5 dan baris kunci adalah baris x4, maka x5 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x4, sehingga tabel B akan berubah menjadi : Tabel C. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 3 Variabel Dasar z x3 x5 x2 z x1 x2 x3 x4 X5 x6 NK Indeks 1 0 0 0 -25.000 6.000.0000 0,5* 0,5 0 0 0 1 0 1 0 0 4.950 -132.000 0,033 0,033 0 0 1 0 M 0 -1 0 1.000.500 13.320.000 0,67 6,67 2,22 1,34 13,34 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x1 dengan nilai -25.000. 33 menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 13.500.000 : 6.000.000 = 2,25 Indeks baris x4 = 0,67 : 0,5 = 1,34 Indeks baris x2 = 6,67 : 0,5 = 13,34 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 5, maka baris x5 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 0,5, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x5 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (0,5) Kolom x1 baris x5 = 0,5 : 0,5 = 1 Kolom x2 baris x5 = 0 : 0,5 = 0 Kolom x3 baris x5 = 0 : 0,5 = 0 Kolom x4 baris x5 = 0,033 : 0,5 = 0,066 Kolom x5 baris x5 = 1 : 0,5 = 2 Kolom x6 baris x5 = -1 : 0,5 = -2 Kolom NK baris x4 = 0,67 : 0,5 = 1,34 34 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -25.000 -25.000 1 0 0 0 0 0 0 0 4.950 0,066 6.600 0 2 50.000 M -2 M-50.000 1.000.500 1,34 1.034.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 6.000.000 6.000.000 1 0 0 0 0 1 -132.000 0 0 13.320.000 0 0,066 2 -2 1,34 1 -528.000 -12.000.000 12.000.000 5.280.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0,5 1 0 0,033 0 0 6,67 0,5 1 0 0 0,066 2 -2 1,34 0 0 0 0 -1 1 6 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Karena kolom kunci adalah kolom x1 dan baris kunci adalah baris x5, maka x1 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x5, sehingga tabel C akan berubah menjadi : Tabel D. Solusi Optimal Simpleks Relaksasi pada Node 3 Variabel Dasar z x3 x1 x2 z X1 x2 x3 X4 x5 x6 NK 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 6.600 -528.000 0,066 0 50.000 -12.000.000 2 -1 M-50.000 12.000.000 -2 1 1.034.000 5.280.000 1.34 6 Indeks 35 Pada tabel D, seluruh eleman pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi yang bernilai negatif. Hal ini berarti bahwa perbaikan yang dilakukan sudah merupakan hasil optimal, sehingga tidak perlu lagi dilakukan upaya perbaikan. Nilai optimal yang dihasilkan adalah fungsi tujuan z yang maksimum yaitu 1.034.000 dengan x1 1,34 dan x2 6 . Dari tabel D solusi optimal simpleks relaksasi pada node 3, diperoleh: a. batas atas 1.034.000 dengan x1 1,34 dan x2 6 b. batas bawah 1.000.000 dengan x1 1 dan x2 6 Mengingat bahwa belum diperoleh suatu solusi bilangan bulat yang layak dan optimal, maka harus dibuat cabang dari salah satu antara node 2 atau node 3. Dengan memperhatikan tabel C solusi optimal simpleks relaksasi pada node 2 terlihat bahwa jika membuat cabang dari node 2, maka nilai maksimum yang mungkin dapat dicapai adalah 1.000.000 (batas atas). Namun, jika membuat cabang dari node 3, nilai maksimum yang mungkin dicapai adalah 1.034.000 (batas atas). Oleh karena itu, kita akan membuat cabang dari node 3. Pertama, dipilih variabel yang memiliki bagian pecahan terbesar. Karena x2 memiliki nilai berupa bilangan bulat, maka x1 dengan bagian pecahan sebesar 0,34 adalah satu-satunya variabel yang dipilih. Jadi, dua batasan baru dikembangkan dari x1, yaitu : x1 1 dan x1 2 . Sehingga diperoleh dua node baru yang merupakan cabang dari node 3, seperti tampak pada gambar berikut : 36 BA = 1.056.000 ( x1 2,22 , x2 5,56 ) BB = 950.000 ( x1 2 , x2 5 ) BA = 1.000.000 ( x1 2,5 x2 5 ) BB = 950.000 ( x1 2 x2 5 ) x2 5 Node 1 1.056.000 Node 2 1.000.000 x2 6 BA = 1.034.000 ( x1 1,34 x2 6 ) BB = 1.000.000 ( x1 1 , x2 6 ) Node 3 1.034.000 x1 1 Node 4 x1 2 Node 5 NODE 4 Maksimumkan: z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : (1) 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 (2) 15x1 30 x 2 200 (3) x2 6 (4) x1 1 (5) x1 , x 2 0 Persoalan yang telah dinyatakan dalam bentuk model matematis seperti di atas diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yaitu : a. mengubah fungsi tujuan dan batasan Batasan (1) harus ditambah dengan sebuah slack variable x3, sehingga : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 x3 40.000.000 37 Batasan (2) harus ditambah dengan sebuah slack variable x4, sehingga : 15x1 30 x2 x4 200 Batasan (3) harus diubah menjadi : x2 6 ...... dikalikan dengan (-1) x2 x5 6 …… ditambahkan slack variable x5 x2 x5 6 ...... dikalikan dengan (-1) Karena x5 bernilai negatif, maka bukanlah variabel dasar, sehingga ditambah artivicial variable x6 , maka : perlu x2 x5 x6 6 Batasan (4) harus ditambah dengan sebuah slack variable x7, sehingga : x1 x7 1 Dengan memperhatikan perubahan fungsi tujuan karena batasan (3), maka fungsi tujuan diubah menjadi : z 100.000 x1 150.000 x2 M x6 0 Untuk mengubah agar nilai x 6 pada batasan menjadi 0, maka dilakukan pengurangan-pengurangan sebagai berikut : -M 1 0 1 -100.000 0 -100.000 -150.000 1 -150.000-M 0 0 0 0 0 0 0 -1 M M 1 0 0 0 0 0 6 -6M Sehingga fungsi tujuan menjadi : z 100.000 x1 150.000 M x2 Mx5 6M b. menyusun persamanan-persamaan di dalam tabel Fungsi tujuan dan batasan yang telah diubah disusun dalam tabel simpleks berikut: 38 Tabel A. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 4 Variabel Dasar z x3 x4 z x1 1 -100.000 0 8.000.000 0 15 x2 x3 x4 x5 x6 x7 NK Indeks -150.000-M 4.000.000 30 0 1 0 0 0 1 M 0 0 0 0 0 0 0 0 -6M 40.000.000 200 10 6,67 x6 0 0 1* 0 0 -1 1 0 6 6 x7 0 1 0 0 0 0 0 1 1 c. memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x2 dengan nilai -150.000-M. d. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 40.000.000 : 4.000.000 = 10 Indeks baris x4 = 200 : 30 = 6,67 Indeks baris x6 = 6 : 1 = 6 Indeks baris x7 = 1 : 0 = e. memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x6 , maka baris x6 dinyatakan sebagai baris kunci. f. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. 39 g. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x6 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x2 baris x6 = 1 : 1 = 1 Kolom x3 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x4 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x6 = -1 : 1 = -1 Kolom x6 baris x6 = 1 : 1 = 1 Kolom x7 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom NK baris x6 = 6 : 1 = 6 h. mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) -150.000-M -100.000 -150.000-M 0 0 1 0 -100.000 0 0 0 M 0 0 -1 1 0 -150.000 150.00+M 0 0 0 -6M 6 900.000 - Baris lama Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) 4.000.000 Koefisien 8.000.000 0 8.000.000 4.000.000 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 4.000.000 -4.000.000 0 40.000.000 6 16.000.000 - Baris lama Nilai baru Baris kunci 40 Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 15 30 0 1 0 0 0 2 00 Nilai baru 30 0 1 0 0 -1 1 0 6 Baris kunci 15 0 0 1 30 -30 0 20 - Koefisien Baris x7 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0 0 0 0 1 1 Nilai baru 0 0 1 0 0 -1 1 0 6 Baris kunci 1 0 0 0 0 0 1 1 - Koefisien i. melanjutkan perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan Karena kolom kunci adalah kolom x2 dan baris kunci adalah baris x6 , maka x2 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x6 , sehingga tabel A akan berubah menjadi : Tabel B. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 4 Variabel Dasar z x3 x4 x2 x7 z x1 1 -100.000 0 8.000.000 0 15 0 0 0 1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 NK Indeks 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -150.000 4.000.000 30* -1 0 150.000+M -4.000.000 -30 1 0 0 0 0 0 1 900.000 16.000.000 20 6 1 4 0,67 -6 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 5 dengan nilai -150.000. 41 menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 16.000.000 : 4.000.00 = 4 Indeks baris x4 = 20 : 30 = 0,67 Indeks baris x2 = 6 : -1 = -6 Indeks baris x7 = 1 : 0 = memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x4, maka baris x4 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 30, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x4 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (30) Kolom x1 baris x4 = 15 : 30 = 0,5 Kolom x2 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom x3 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom x4 baris x4 = 1 : 30 = 0,033 Kolom x5 baris x4 = 30 : 30 = 1 Kolom x6 baris x6 = -30 : 30 = -1 42 Kolom x7 baris x7 = 0 : 30 = 0 Kolom NK baris x4 = 20 : 30 = 0,67 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) -150.000 -100.000 0,5 -25.000 0 0 0 0 0 0 0 0,033 4.950 -150.000 1 0 150.00+M -1 M 0 0 0 900.000 0,67 1.000.500 - Baris lama Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) 4.000.000 8.000.000 0 0,5 0 6.000.000 0 1 0 4.000.000 -4.000.000 0 0,033 1 -1 1 -132.000 0 0 0 0 0 16.000.000 0,67 13.320.000 - Baris lama Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0 0 -1 1 0 6 Nilai baru -1 0,5 0 0 0,033 1 -1 0 0,67 Baris kunci 0,5 1 0 0,033 0 0 0 6,67 - Koefisien Baris x7 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0 0 0 0 1 1 Nilai baru 0 0,5 0 0 0,033 1 -1 0 0,67 Baris kunci 1 0 0 0 0 0 1 1 - Koefisien 43 Karena kolom kunci adalah kolom x5 dan baris kunci adalah baris x4, maka x5 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x4, sehingga tabel B akan berubah menjadi : Tabel C. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 4 Variabel Dasar z x3 x5 x2 x7 z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 NK Indeks 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4.950 -132.000 0,033 0,033 0 0 0 1 0 0 M 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 1.000.500 13.320.000 0,67 6,67 1 2,22 1,34 13,34 1 1 -25.000 0 6.000.000 0 0,5 0 0,5 0 1* memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 1 dengan nilai -25.000. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 13.320.000 : 6.000.00 = 2,22 Indeks baris x5 = 0,67 : 0,5 = 1,34 Indeks baris x2 = 6,67 : 0,5 = 13,34 Indeks baris x7 = 1 : 1 = 1 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 7, maka baris x7 dinyatakan sebagai baris kunci. 44 menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x7 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x7 = 1 : 1 = 1 Kolom x2 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x3 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x4 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x6 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x7 baris x7 = 1 : 1 = 1 Kolom NK baris x7 = 1 : 1 = 1 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) -25.000 -25.000 1 0 0 0 0 0 0 0 4.950 0 4.950 0 0 0 M 0 M 0 1.000.500 1 1 25.000 1.025.500 - Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama Nilai baru Baris kunci 45 6.000.000 6.000.000 1 0 0 0 0 1 0 1 -132.000 0 -132.000 0 0 0 Baris lama Nilai baru Baris kunci 0 0 13.320.000 0 1 1 0 -6.000.000 7.320.500 - Koefisien Baris x5 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0,5 0 0 0,033 1 -1 0 0,67 Nilai baru 0,5 1 0 0 0 0 0 1 1 Baris kunci 0 0 0 0,033 1 -1 -0,5 0,17 - Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0,5 1 0 0,033 0 0 0 6,67 Nilai baru 0,5 1 0 0 0 0 0 1 1 Baris kunci 0 1 0 0,033 0 0 -0,5 6,17 - Koefisien Karena kolom kunci adalah kolom x1 dan baris kunci adalah baris x7, maka x1 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x7, sehingga tabel C akan berubah menjadi : Tabel D. Solusi Optimal Simpleks Relaksasi pada Node 4 Variabel Dasar z x3 x5 x2 x1 z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 NK 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4.950 -132.000 0,033 0,033 0 0 0 1 0 0 M 0 -1 0 0 25.000 -6.000.000 -0,5 -0,5 1 1.025.500 7.320.000 0,17 6,17 1 Indeks Pada tabel D, seluruh eleman pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi yang bernilai negatif. Hal ini berarti bahwa perbaikan yang dilakukan sudah merupakan hasil optimal, sehingga tidak perlu lagi dilakukan upaya perbaikan. Nilai optimal yang dihasilkan adalah fungsi tujuan z yang maksimum yaitu 1.025.500 dengan x1 1 dan x2 6,17 46 Dari tabel D solusi optimal simpleks relaksasi pada node 4 diperoleh: a. batas atas 1.025.500 dengan x1 1 dan x2 6,17 b. batas bawah 1.000.000 dengan x1 1 dan x2 6 NODE 5 Maksimumkan: z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : (1) 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 (2) 15x1 30 x 2 200 (3) x2 6 (4) x1 2 (5) x1 , x 2 0 Persoalan yang telah dinyatakan dalam bentuk model matematis seperti di atas diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yaitu : a. mengubah fungsi tujuan dan batasan Batasan (1) harus ditambah dengan sebuah slack variable x3, sehingga : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 x3 40.000.000 Batasan (2) harus ditambah dengan sebuah slack variable x4, sehingga : 15x1 30 x2 x4 200 Batasan (3) harus diubah menjadi : x2 6 ...... dikalikan dengan (-1) x2 x5 6 …… ditambahkan slack variable x5 x2 x5 6 ...... dikalikan dengan (-1) 47 Karena x5 bernilai negatif, maka bukanlah variabel dasar, sehingga ditambah artivicial variable x6 , maka : perlu x2 x5 x6 6 Batasan (4) harus diubah menjadi : x1 2 ...... dikalikan dengan (-1) x1 x7 2 …… ditambahkan slack variable x7 x1 x7 2 ...... dikalikan dengan (-1) Karena x7 bernilai negatif, maka bukanlah variabel dasar, sehingga ditambah artivicial variable x8 , maka : perlu x1 x7 x8 2 Dengan memperhatikan perubahan fungsi tujuan karena batasan (3) dan (4), maka fungsi tujuan diubah menjadi : z 100.000 x1 150.000 x2 M x6 M x8 0 Untuk mengubah agar nilai x 6 dan x8 pada batasan menjadi 0, maka dilakukan pengurangan-pengurangan sebagai berikut : -M -M 1 -100.000 -150.000 0 0 1 0 1 0 1 -100.000-M -150.000-M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 M M 1 0 0 0 0 -1 M M 0 1 0 0 6 2 -8M Sehingga fungsi tujuan menjadi : z 100.000 M x1 150.000 M x2 Mx5 Mx7 8M b. menyusun persamanan-persamaan di dalam tabel Fungsi tujuan dan batasan yang telah diubah disusun dalam tabel simpleks berikut: 48 Tabel A. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 5 Variabel Dasar z z 1 x3 0 x4 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 NK 0 0 M 0 M 0 -8M 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -100.000 -M 8.000. 000 15 -150.000 -M 4.000. 000 30 x6 0 0 1* 0 0 -1 1 x8 0 1 0 0 0 0 0 0 40.000. 000 200 6,67 0 0 6 6 -1 1 2 c. memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x2 dengan nilai -150.000-M. d. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 40.000.000 : 4.000.000 = 10 Indeks baris x4 = 200 : 30 = 6,67 Indeks baris x6 = 6 : 1 = 6 Indeks baris x8 = 1 : 0 = e. memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x6 , maka baris x6 dinyatakan sebagai baris kunci. Indeks 10 49 f. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. g. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x6 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x2 baris x6 = 1 : 1 = 1 Kolom x3 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x4 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x6 = -1 : 1 = -1 Kolom x6 baris x6 = 1 : 1 = 1 Kolom x7 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom x8 baris x6 = 0 : 1 = 0 Kolom NK baris x6 = 6 : 1 = 6 h. mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) -150.000-M Koefisien -100.000-M -150.000-M 0 0 1 0 -100.000-M 0 0 0 M 0 M 0 -8M 0 -1 1 0 0 6 0 -150.000 150.00+M M 0 -2M+900.000 - Baris lama Nilai baru Baris kunci 50 Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 4.000.000 8.000.000 0 8.000.000 4.000.000 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 40.000.000 0 -1 1 0 0 6 0 4.000.000 -4.000.000 0 0 16.000.000 Nilai baru Baris kunci - Koefisien Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 15 30 0 1 0 0 0 0 2 00 Nilai baru 30 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 Baris kunci 15 0 0 1 30 -30 0 0 20 - Koefisien Baris x8 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0 0 0 0 -1 1 2 Nilai baru 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 Baris kunci 1 0 0 0 0 0 -1 1 2 - Koefisien i. melanjutkan perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan Karena kolom kunci adalah kolom x2 dan baris kunci adalah baris x6 , maka x2 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x6 , sehingga tabel A akan berubah menjadi : Tabel B. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 5 Variabel Dasar z z 1 x3 0 x4 x2 0 0 x1 -100.000 -M 8.000. 000 15* 0 x2 x3 x4 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 x5 x6 -150. 000 4.000. 000 30 -1 150.00 0+M -4.000. 000 -30 1 x7 x8 M 0 0 0 0 0 0 0 NK Indeks -2M+ 900.000 16.000. 000 20 6 2 1,33 51 x8 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 2 2 52 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 1 dengan nilai -100.000-M. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 16.000.000 : 8.000.00 = 2 Indeks baris x4 = 20 : 15 = 1,33 Indeks baris x2 = 6 : 0 = Indeks baris x8 = 2 : 1 = 2 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 4, maka baris x4 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 15, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x4 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (15) Kolom x1 baris x4 = 15 : 15 = 1 Kolom x2 baris x4 = 0 : 15 = 0 53 Kolom x3 baris x4 = 0 : 15 = 0 Kolom x4 baris x4 = 1 : 15 = 0,067 Kolom x5 baris x4 = 30 : 15 = 2 Kolom x6 baris x4 = -30 : 15 = -2 Kolom x7 baris x4= 0 : 15 = 0 Kolom x8 baris x4 = 0 : 15 = 0 Kolom NK baris x4 = 20 : 15 = 1,33 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -100.000-M -100.000-M 1 0 Koefisien 0 0 0 0 0 -150.000 150.00+M 0 0,067 2 -2 0 50.000+2M 6.700+0,067M M 0 M 0 -2M+900.000 0 1,33 0 Nilai baru Baris kunci - -0,67M+1.033.000 -50.000-M Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 8.000.000 8.000.000 1 0 Koefisien 0 1 0 4.000.000 -4.000.000 0 0 0,067 2 -2 0 1 -536.000 12.000.000 0 0 0 0 16.000.000 0 1,33 0 5.360.000 - Nilai baru Baris kunci -12.000.000 Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 Nilai baru 0 1 0 0 0,067 2 -2 0 0 1,33 Baris kunci 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 - Koefisien 54 Baris x8 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0 0 0 0 -1 1 2 Nilai baru 1 1 0 0 0,067 2 -2 0 0 1,33 Baris kunci 0 0 0 -0,067 -2 2 -1 1 0,67 - Koefisien Karena kolom kunci adalah kolom x1 dan baris kunci adalah baris x4, maka x1 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x4, sehingga tabel B akan berubah menjadi : Tabel C. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 5 Variabel Dasar z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 NK z 1 0 0 0 6.700+ 0,067M -50.000 -M M 0 -0,67M+ 1.033.000 x3 0 0 0 1 -536. 000 12.000. 000 0 0 5.360.000 0,44 x1 x2 0 0 1 0 0 1 0 0 0,067 0 50.000 +2M 12.000. 000 2 -1 -2 1 0 0 0 0 1,33 6 -0,667 6 x8 0 0 0 0 -0,067 -2 2* -1 1 0,67 0,335 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x 6 dengan nilai -50.000-M. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 5.360.000 : 12.000.00 = 0,45 Indeks baris x1 = 1,33 : -2 = -0,665 Indeks 55 Indeks baris x2 = 6 : 1 = 6 Indeks baris x8 = 0,67 : 2 = 0,335 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x8 , maka baris x8 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 2, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x8 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (2) Kolom x1 baris x8 = 0 : 2 = 0 Kolom x2 baris x8 = 0 : 2 = 0 Kolom x3 baris x8 = 0 : 2 = 0 Kolom x4 baris x8 = -0,067 : 2 = -0,0335 Kolom x5 baris x8 = -2 : 2 = -1 Kolom x6 baris x8 = 2 : 2 = 1 Kolom x7 baris x8 = -1: 2 = -0,5 Kolom x8 baris x8 = 1 : 2 = 0,5 Kolom NK baris x8 = 0,67 : 2 = 0,335 56 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -50.000-M 0 0 0 0 0 6.700+0,067M 50.000+2M -50.000-M M 0 -0,67M+1.033.000 0 0 -0,0335 -1 1 -0,5 0,5 0,335 0 0 5.025+0,0335M M 0 0,5M+25.000 - Koefisien Nilai baru Baris kunci 0,5M-25.000 0,0335M+1.049.500 Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 12.000.000 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -536.000 -12.000.000 12.000.000 0 0 -0,0335 -1 1 -0,5 0,5 -134.000 0 0 6.000.000 Koefisien 5.360.000 0,335 1.340.000 - Nilai baru Baris kunci -6.000.000 Baris x1 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0 0,067 2 -2 0 0 1,33 Nilai baru -2 0 0 0 -0,0335 -1 1 -0,5 0,5 0,335 Baris kunci 1 0 0 0 0 0 -1 1 2 - Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 Nilai baru 1 0 0 0 -0,0335 -1 1 -0,5 0,5 0,335 Baris kunci 0 1 0 0,0335 0 0 0,5 -0,5 5,665 - Koefisien 57 Karena kolom kunci adalah kolom x 6 dan baris kunci adalah baris x8 , maka x 6 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x8 , sehingga tabel C akan berubah menjadi : Tabel D. Solusi Optimal Simpleks Relaksasi pada Node 5 Variabel Dasar z x1 x2 x3 x4 x5 x6 z 1 0 0 0 5.025+ 0,0335M M 0 x3 0 0 0 1 134.000 0 0 x1 x2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0,0335 0 0 x6 0 0 0 0 -0,0335 -1 x7 x8 NK 25.000 +0,5M -6.000. 000 1 -0,5 783.7500,335M 1.340.000 0 0 0,5M25.000 6.000. 000 -1 0,5 1 -0,5 0,5 0,335 2 5,665 Seluruh elemen pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi yang bernilai negatif, maka tidak perlu lagi dilakukan upaya perbaikan. Namun karena solusi yang ditunjukkan tabel D Solusi Optimal simpleks relaksasi pada Node 5 masih memuat artivicial variable, maka solusi tersebut tidak layak. Dengan demikian, pada node 5 tidak terdapat solusi. Mengingat bahwa belum diperoleh suatu solusi bilangan bulat yang layak dan optimal, maka harus dibuat cabang dari salah satu antara node 2, node 4 atau node 5. Karena solusi yang ditunjukkan tabel solusi optimal simpleks relaksasi pada node 5 memuat artivicial variable, maka solusi tersebut tidak layak, sehingga tidak perlu dilakukan perbandingan batas terhadap node 5. Melainkan membandingkan batas antara node 2 dan 4, dan karena batas node 4 lebih besar dari batas node 2, maka pencabangan dilakukan pada node 4. Berdasarkan tabel solusi optimal simpleks relaksasi pada node 4, diketahui bahwa variabel x1 sudah bernilai bilangan bulat dan x2 masih memiliki bagian yang bernilai pecahan, yaitu Indeks 58 0,17. Jadi, dua batasan baru dikembangkan dari x2, yaitu : x2 6 dan x2 7 . Sehingga diperoleh dua node baru yang merupakan cabang dari node 3, seperti tampak pada gambar berikut : BA = 1.056.000 ( x1 2,22 , x2 5,56 ) BB = 950.000 ( x1 2 , x2 5 ) Node 1 1.056.000 BA = 1.000.000 ( x1 2,5 x2 5 ) x 5 2 BB = 950.000 ( x1 2 x2 5 ) x2 6 Node 2 1.000.000 BA = 1.034.000 ( x1 1,34 x2 6 ) BB = 1.000.000 ( x1 1 , x2 6 ) Node 3 1.034.000 x1 1 BA = 1.025.500 ( x1 1 x2 6,17 ) BB = 1.000.000 ( x1 1 x2 6 ) Node 4 1.025.500 x2 6 Node 5 Tidak layak x2 7 Node 6 NODE 6 Maksimumkan: z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : (1) 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 (2) 15x1 30 x 2 200 (3) x2 6 (4) x1 1 (5) x2 6 (6) x1 , x 2 0 x1 2 Node 7 59 Persoalan yang telah dinyatakan dalam bentuk model matematis seperti di atas diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yaitu : a. mengubah fungsi tujuan dan batasan Batasan (1) harus ditambah dengan sebuah slack variable x3, sehingga : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 x3 40.000.000 Batasan (2) harus ditambah dengan sebuah slack variable x4, sehingga : 15x1 30 x2 x4 200 Batasan (3) harus diubah menjadi : x2 6 ...... dikalikan dengan (-1) x2 x5 6 …… ditambahkan slack variable x5 x2 x5 6 ...... dikalikan dengan (-1) Karena x5 bernilai negatif, maka bukanlah variabel dasar, sehingga ditambah artivicial variable x6 , maka : perlu x2 x5 x6 6 Batasan (4) harus ditambah dengan sebuah slack variable x7, sehingga : x1 x7 1 Batasan (5) harus ditambah dengan sebuah slack variable x8, sehingga : x2 x8 6 Dengan memperhatikan perubahan fungsi tujuan karena batasan (3), maka fungsi tujuan diubah menjadi : z 100.000 x1 150.000 x2 M x6 0 Untuk mengubah agar nilai x 6 pada batasan menjadi 0, maka dilakukan pengurangan-pengurangan sebagai berikut : -M 1 0 -100.000 0 -150.000 1 0 0 0 0 0 -1 M 1 0 0 0 0 0 6 60 1 -100.000 -150.000-M 0 0 M 0 0 0 -6M Sehingga fungsi tujuan menjadi : z 100.000 x1 150.000 M x2 Mx5 6M b. menyusun persamanan-persamaan di dalam tabel Fungsi tujuan dan batasan yang telah diubah disusun dalam tabel simpleks berikut: Tabel A. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 6 Variabel Dasar z z 1 x3 0 x4 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 NK Indeks 0 0 M 0 0 0 -6M 1 0 0 0 0 0 40.000.000 10 0 1 0 0 0 0 200 6,67 0 -100. 000 8.000. 000 15 -150.000 -M 4.000. 000 30 x6 0 0 1* 0 0 -1 1 0 0 6 6 x7 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 x8 0 0 1 0 0 0 0 0 1 6 6 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x2 dengan nilai -150.000-M. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 40.000.000 : 4.000.00 = 10 Indeks baris x4 = 200 : 30 = 6,67 Indeks baris x 6 = 6 : 1 = 6 Indeks baris x7 = 1 : 0 = 61 Indeks baris x8 = 6 : 1 = 6 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 6 , maka baris x 6 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x 6 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom x2 baris x 6 = 1 : 1 = 1 Kolom x3 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom x4 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x 6 = -1 : 1 = -1 Kolom x6 baris x 6 = 1 : 1 = 1 Kolom x7 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom x8 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom NK baris x 6 = 6 : 1 = 6 62 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -150.000-M -100.000 -150.000 0 1 -100.000 0 0 0 0 0 M 0 0 0 -1 1 0 0 -150.000 150.000+M 0 0 0 0 -6M 6 900.000 Nilai baru - Baris kunci Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 4.000.000 8.000.000 4.000.000 0 1 8.000.000 0 1 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 4.000.000 -4.000.000 0 0 0 0 40.000.000 6 16.000.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 15 30 0 1 0 0 0 0 200 Nilai baru 30 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 Baris kunci 15 0 0 1 30 -30 0 0 20 - Koefisien Baris x7 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Nilai baru 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 Baris kunci 1 0 0 0 0 0 1 0 1 - Koefisien Baris x8 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0 0 0 0 0 1 6 Nilai baru 1 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 Baris kunci 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 - Koefisien 63 Karena kolom kunci adalah kolom x2 dan baris kunci adalah baris x 6 , maka x2 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x 6 , sehingga tabel A akan berubah menjadi : Tabel B. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 6 Variabel Dasar z z 1 x3 0 x4 x2 x7 0 0 0 -100. 000 8.000. 000 15 0 1 x8 0 0 x1 x4 x2 x3 x5 x6 0 0 0 1 0 0 -150. 000 4.000. 000 30 -1 0 150.000 +M -4.000. 000 -30 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1* -1 x7 x8 NK 0 0 900.000 0 0 16.000.000 4 0 0 1 0 0 0 20 6 1 0,67 -6 0 1 0 0 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x5 dengan nilai -150.000. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 16.000.000 : 4.000.00 = 4 Indeks baris x4 = 20 : 30 = 0,67 Indeks baris x2 = 6 : -1 = -6 Indeks baris x7 = 1 : 0 = Indeks baris x8 = 0 : 1 = 0 Indeks 64 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x8 , maka baris x8 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x8 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x8 = 0 : 1 = 0 Kolom x2 baris x8 = 0 : 1 = 0 Kolom x3 baris x8 = 0 : 1 = 0 Kolom x4 baris x8 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x8 = 1 : 1 = 1 Kolom x6 baris x8 = -1 : 1 = -1 Kolom x7 baris x8 = 0 : 1 = 0 Kolom x8 baris x8 = 1 : 1 = 1 Kolom NK baris x8 = 0 : 1 = 0 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan 65 Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -150.000 -100.000 0 -100.000 0 0 0 0 0 0 0 -150.000 150.000+M 0 0 1 -1 0 0 0 M 0 0 1 150.000 900.000 0 900.000 Nilai baru - Baris kunci Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 4.000.000 8.000.000 0 8.000.000 0 0 0 1 0 1 0 4.000.000 -4.000.000 0 0 16.000.000 0 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 -4.000.000 16.000.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 15 0 0 1 30 -30 0 0 20 Nilai baru 30 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 Baris kunci 15 0 0 1 0 0 0 -30 20 - Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0 0 -1 1 0 0 6 Nilai baru -1 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 Baris kunci 0 1 0 0 0 0 0 1 6 - Koefisien Baris x7 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Nilai baru 0 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 Baris kunci 1 0 0 0 0 0 1 0 1 - Koefisien 66 Karena kolom kunci adalah kolom x5 dan baris kunci adalah baris x 8 , maka x5 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x 8 , sehingga tabel B akan berubah menjadi : Tabel C. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 6 Variabel Dasar z z 1 x3 0 x4 x2 x7 x5 0 0 0 0 x1 -100. 000 8.000. 000 15 0 1* 0 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 NK 0 0 0 0 M 0 150.000 900.000 0 1 0 0 0 0 -4.000.000 16.000.000 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -30 1 0 1 20 6 1 0 1,33 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x1 dengan nilai -100.000. menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 16.000.000 : 8.000.00 = 2 Indeks baris x4 = 20 : 15 = 1,33 Indeks baris x2 = 6 : 0 = Indeks baris x7 = 1 : 1 = 1 Indeks baris x5 = 0 : 0 = Indeks 1 67 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x7, maka baris x7 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x7 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x7 = 1 : 1 = 1 Kolom x2 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x3 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x4 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x6 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom x7 baris x7 = 1 : 1 = 1 Kolom x8 baris x7 = 0 : 1 = 0 Kolom NK baris x 6 = 1 : 1 = 1 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan 68 Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -100.000 -100.000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M 0 M 0 150.000 1 0 100.000 150.000 900.000 1 1.000.000 Nilai baru - Baris kunci Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 8.000.000 8.000.000 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -4.000.000 0 1 0 0 -8.000.000 -4.000.000 16.000.000 1 8.000.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 15 0 0 1 0 0 0 -30 20 Nilai baru 15 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Baris kunci 0 0 0 1 0 0 -15 -30 5 - Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0 0 0 0 0 1 6 Nilai baru 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Baris kunci 0 1 0 0 0 0 0 1 6 - Koefisien Baris x5 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 Nilai baru 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 Baris kunci 0 0 0 0 1 -1 0 1 0 - Koefisien 69 Karena kolom kunci adalah kolom x1 dan baris kunci adalah baris x7, maka x1 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x7, sehingga tabel C akan berubah menjadi : Tabel D. Solusi Optimal Simpleks Relaksasi pada Node 6 Variabel Dasar z z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 NK 1 0 0 0 0 0 M 150.000 1.000.000 x3 0 0 0 1 0 0 0 -4.000.000 8.000.000 x4 x2 x1 x5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 100.000 8.000.000 -15 0 1 0 -30 1 0 1 5 6 1 0 Pada tabel D, seluruh eleman pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi yang bernilai negatif. Hal ini berarti bahwa perbaikan yang dilakukan sudah merupakan hasil optimal, sehingga tidak perlu lagi dilakukan upaya perbaikan. Nilai optimal yang dihasilkan adalah fungsi tujuan z yang maksimum yaitu 1.000.000 dengan x1 1 dan x2 6 . Dari tabel solusi optimal simpleks relaksasi pada node 6 diperoleh: a. batas atas 1.000.000 dengan x1 1 dan x2 6 b. batas atas 1.000.000 dengan x1 1 dan x2 6 NODE 7 Maksimumkan: z 100.000 x1 150.000 x2 Berdasarkan : (1) 8.000.000 x1 4.000.000 x2 40.000.000 (2) 15x1 30 x 2 200 (3) x2 6 Indeks 70 (4) x1 1 (5) x2 7 (6) x1 , x 2 0 Persoalan yang telah dinyatakan dalam bentuk model matematis seperti di atas diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yaitu : a. mengubah fungsi tujuan dan batasan Batasan (1) harus ditambah dengan sebuah slack variable x3, sehingga : 8.000.000 x1 4.000.000 x2 x3 40.000.000 Batasan (2) harus ditambah dengan sebuah slack variable x4, sehingga : 15x1 30 x2 x4 200 Batasan (3) harus diubah menjadi : x2 6 ...... dikalikan dengan (-1) x2 x5 6 …… ditambahkan slack variable x5 x2 x5 6 ...... dikalikan dengan (-1) Karena x5 bernilai negatif, maka bukanlah variabel dasar, sehingga ditambah artivicial variable x6 , maka : perlu x2 x5 x6 6 Batasan (4) harus ditambah dengan sebuah slack variable x7, sehingga : x1 x7 1 Batasan (5) harus diubah menjadi : x 2 7 ...... dikalikan dengan (-1) x 2 x8 7 x 2 x8 7 …… ditambahkan slack variable x8 ...... dikalikan dengan (-1) Karena x8 bernilai negatif, maka bukanlah variabel dasar, sehingga ditambah artivicial variable x 9 , maka : x2 x8 x9 7 perlu 71 Dengan memperhatikan perubahan fungsi tujuan karena batasan (3) dan (5), maka fungsi tujuan diubah menjadi : z 100.000 x1 150.000 x2 M x6 M x9 0 Untuk mengubah agar nilai x 6 dan x9 pada batasan menjadi 0, maka dilakukan pengurangan-pengurangan sebagai berikut : -M -M 1 -100.000 -150.000 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 -100.000 -150.000-2M 0 0 0 0 0 0 -1 0 M M 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 M M 0 1 0 0 6 7 -13M Sehingga fungsi tujuan menjadi : z 100.000 x1 150.000 2M x2 Mx5 Mx8 13M b. menyusun persamanan-persamaan di dalam tabel Fungsi tujuan dan batasan yang telah diubah disusun dalam tabel simpleks berikut: Tabel A. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 7 Variabel Dasar z z 1 x3 0 x4 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 NK 0 0 M 0 0 M 0 -13M 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -100. 000 8.000. 000 15 -150.000 -2M 4.000. 000 30 x6 0 0 1* 0 0 -1 1 0 x7 0 1 0 0 0 0 0 x9 0 0 1 0 0 0 0 0 40.000. 000 200 6,67 0 0 6 6 1 0 0 1 0 -1 1 7 7 memilih kolom kunci Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x2 dengan nilai -150.000-M. Indeks 10 72 menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 40.000.000 : 4.000.00 = 10 Indeks baris x4 = 200 : 30 = 6,67 Indeks baris x 6 = 6 : 1 = 6 Indeks baris x7 = 1 : 0 = Indeks baris x9 = 7 : 1 = 7 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x 6 , maka baris x 6 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 1, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x 6 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (1) Kolom x1 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom x2 baris x 6 = 1 : 1 = 1 Kolom x3 baris x 6 = 0 : 1 = 0 73 Kolom x4 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom x5 baris x 6 = -1 : 1 = -1 Kolom x6 baris x 6 = 1 : 1 = 1 Kolom x7 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom x8 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom x 9 baris x 6 = 0 : 1 = 0 Kolom NK baris x 6 = 6 : 1 = 6 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -150.000-2M -100.000 -150.000-2M 0 0 M 0 0 0 1 0 0 -1 1 0 -100.000 0 0 0 -150.000-M 150.000+2M 0 M 0 -13M 0 0 6 M 0 900.000-M - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 4.000.000 8.000.000 4.000.000 1 0 0 0 0 0 0 40.000.000 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 6 8.000.000 0 1 0 4.000.000 -4.000.000 0 0 0 16.000.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x4 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 30 Koefisien 15 0 15 30 1 0 0 0 0 1 0 1 0 -1 30 0 1 -30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 6 20 - Nilai baru Baris kunci 74 Baris x7 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 6 1 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x 9 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 1 -1 0 0 0 -1 0 -1 1 0 1 7 6 1 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Karena kolom kunci adalah kolom x2 dan baris kunci adalah baris x 6 , maka x2 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x 6 , sehingga tabel A akan berubah menjadi : Tabel B. Solusi Simpleks Relaksasi pada Node 7 Variabel Dasar z z 1 x1 x4 x2 x7 0 0 0 -100. 000 8.000. 000 15 0 1 x9 0 0 x3 0 x2 x3 x4 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 memilih kolom kunci x5 x6 1 0 0 -150.000 -M 4.000. 000 30* -1 0 150.000 +2M -4.000. 000 -30 1 0 0 1 -1 x7 x8 x9 NK 0 M 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 900.000 -M 16.000. 000 20 6 1 0 -1 1 1 Indeks 4 0,67 -6 1 75 Kolom kunci pada tabel di atas adalah kolom yang mempunyai nilai negatif dengan angka terbesar pada baris fungsi tujuan, yaitu kolom x5 dengan nilai -150.000-M. 76 menentukan nilai indeks pada tiap-tiap baris Nilai indeks pada masing-masing baris ditentukan dengan rumus : Indeks nilai kolom NK nilai kolom kunci Indeks baris x3 = 16.000.000 : 4.000.00 = 4 Indeks baris x4 = 20 : 30 = 0,67 Indeks baris x2 = 6 : -1 = -6 Indeks baris x7 = 1 : 0 = Indeks baris x9 = 7 : 1 = 7 memilih baris kunci Karena nilai indeks positif dengan angka terkecil terdapat pada baris x4, maka baris x4 dinyatakan sebagai baris kunci. menentukan angka kunci Angka kunci pada tabel di atas adalah 30, karena merupakan nilai yang termasuk kolom kunci sekaligus baris kunci. mengubah nilai-nilai baris kunci Baris kunci x4 diubah dengan cara membagi angka-angkanya dengan angka kunci yang telah ditentukan (30) Kolom x1 baris x4 = 15 : 30 = 0,5 Kolom x2 baris x4 = 0 : 30 = 0, Kolom x3 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom x4 baris x4 = 1 : 30 = 0,033 Kolom x5 baris x4 = 30 : 30 = 1 77 Kolom x6 baris x4 = -30 : 30 = -1 Kolom x7 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom x8 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom x 9 baris x4 = 0 : 30 = 0 Kolom NK baris x4 = 20 : 30 = 0,67 mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci Angka-angka pada kolom z tidak mengalami perubahan Baris fungsi tujuan z diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama Nilai baru -100.000 0 0 0 -150.000-M 150.000+2M 0 M 0 900.000-M -150.000-M 0,5 0 0 0,033 1 -1 0 0 0 0,67 Baris kunci 25.000+0,5M 0 0 4.950+0,33M 0 M 0 M 0 1.000.500-0,33M - Koefisien Baris x3 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 8.000.000 0,5 6.000.000 4.000.000 0 1 0 4.000.000 -4.000.000 0 0 0 16.000.000 0 0 0,033 1 -1 0 0 0 0,67 0 1 -132.000 0 0 0 0 0 13.320.000 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Baris x2 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama -1 0 0,5 0,5 Koefisien 1 0 1 0 0 -1 0 0,033 1 0 0,033 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0,67 6,67 - Nilai baru Baris kunci 78 Baris x7 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 0 1 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0,033 0 0 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0,67 1 Nilai baru Baris kunci - Koefisien Baris x 9 diubah dengan rumus : Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci x nilai baru baris kunci) Baris lama 1 0 0,5 -0,5 0 0 0 0 0 0 0,033 0 -0,033 1 1 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 0 -1 1 0 1 1 0,67 0,33 - Nilai baru Baris kunci Koefisien Karena kolom kunci adalah kolom x5 dan baris kunci adalah baris x4, maka x5 masuk ke dalam variabel dasar menggantikan x4, sehingga tabel A akan berubah menjadi : Tabel C. Solusi Optimal Simpleks Relaksasi pada Node 7 Variabel Dasar z z 1 x3 0 x5 x2 x7 0 0 0 -25.000 +0,5M 6.000. 000 0,5 0,5 1 x9 0 -0,5 x1 x2 x3 x4 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 4.950+ 0,033M -132. 000 0,033 0,033 0 0 0 -0,033 x5 x6 x7 x8 x9 NK 0 M 0 M 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1.000.500 -0,33M 13.320. 000 0,67 6,67 1 0 0 0 -1 1 0,33 Seluruh elemen pada baris fungsi tujuan tidak ada lagi yang benilai negatif. Namun karena solusi yang ditunjukkan tabel C Solusi Optimal simpleks relaksasi pada Node 7 masih memuat artivicial variable, maka solusi tersebut tidak layak. Dengan demikian, pada node 5 tidak terdapat solusi. Indeks 79 BA = 1.056.000 ( x1 2,22 , x2 5,56 ) BB = 950.000 ( x1 2 , x2 5 ) BA = 1.000.000 ( x1 2,5 x2 5 ) BB = 950.000 ( x1 2 x2 5 ) x2 5 Node 1 1.056.000 x2 6 Node 2 1.000.000 BA = 1.034.000 ( x1 1,34 x2 6 ) BB = 1.000.000 ( x1 1 , x2 6 ) Node 3 1.034.000 x1 1 BA = 1.025.500 ( x1 1 x2 6,17 ) BB = 1.000.000 ( x1 1 x2 6 ) x2 6 x1 2 Node 4 1.025.500 Node 5 Tidak layak x2 7 Node 6 1.000.000 Node 7 Tidak Layak BA = 1.000.000 ( x1 1, x2 6 ) BB = 1.000.000 ( x1 1, x2 6 ) Gambar di atas menunjukkan bahwa solusi bilangan bulat optimal telah tercapai pada node 6, yaitu z 1.000.000 untuk x1 1 dan x2 6 . Suatu perbandingan antara solusi-solusi pada node 2, 5, 6, dan 7 memperlihatkan bahwa tidak memungkinkan memperoleh solusi yang lebih baik. Batas atas pada node 2 adalah 1.000.000, sama dengan yang diperoleh pada node 6. Sedangkan solusi pada node 5 dan 7 tidak layak Langkah 6. Solusi simpleks relaksasi adalah merupakan batas atas pada tiap node, dan solusi bilangan bulat maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah merupakan batas bawah Berdasarkan uraian pada langkah 5, maka diperoleh : a. batas atas 1.056.000 dengan x1 2,22 dan x2 5,56 b. batas bawah 1.000.000 dengan x1 1 dan x2 6 80 Langkah 7. Jika proses ini menghasilkan solusi bilangan bulat fisibel dengan nilai batas atas pada akhir node mana saja, maka solusi bilangan bulat optimal telah tercapai. Jika tidak muncul solusi bilangan bulat fisibel, lakukan pencabangan dari node dengan batas atas terbesar Berdasarkan langkah 1 sampai dengan 6, telah diperoleh solusi bilangan bulat optimal, yaitu z = 1.000.000 dengan x1 = 1 dan x2 = 6. Oleh karena itu, tidak perlu lagi dilakukan pencabangan. Jadi, solusi optimal dari persoalan program linier untuk toko jual beli mesin adalah membeli 1 unit mesin cetak dan 6 unit mesin bubut, sehingga akan diperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp 1.000.000,00 setiap harinya. 81 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Teknik Branch and Bound merupakan teknik solusi yang sesuai digunakan untuk menyelesaikan persoalan program linier yang mengharuskan setiap variabelnya bernilai bilangan bulat dan dikembangkan dengan prinsip bahwa total set solusi yang fisibel dapat dibagi menjadi subset-subset solusi yang lebih kecil. Subset-subset ini selanjutnya dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi yang terbaik ditemukan. Teknik Branch and Bound pada persoalan program linier digunakan bersama-sama dengan metode simpleks. Teknik ini menggunakan suatu diagram yang terdiri dari node dan cabang sebagai suatu kerangka dalam proses pemerolehan solusi optimal. Langkah-langkah penggunaan teknik Branch and Bound adalah sebagai berikut : a. Dapatkan solusi simpleks optimal dari program linier relaksasi yang bersangkutan. b. Solusi yang dihasilkan pada langkah a dinyatakan sebagai batas atas (upper bound) dan pembulatan ke bawah sebagai batas bawah (lower bound) pada node 1 c. Pilihlah variabel dengan pecahan yang terbesar untuk pencabangan (branch). Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini. Hasilnya adalah sebuah batasan dan sebuah batasan . 82 d. Ciptakan dua node baru, satu dengan batasan dan satu dengan batasan e. Selesaikan model program linier relaksasi dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node f. Solusi simpleks relaksasi adalah merupakan batas atas pada tiap node, dan solusi bilangan bulat maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah merupakan batas bawah g. Jika proses ini menghasilkan solusi bilangan bulat fisibel dengan nilai batas atas pada akhir node mana saja, maka solusi bilangan bulat optimal telah tercapai. Jika tidak muncul solusi bilangan bulat fisibel, lakukan pencabangan dari node dengan batas atas terbesar 4.2 Saran Untuk menyelesaikan program linier yang mengharuskan setiap variabelnya bernilai bilangan bulat, sangat sesuai bila menggunakan teknik Branch and Bound. Teknik ini dapat dipadukan dengan metode simpleks, metode dua fase ataupun dengan metode grafik. Oleh karena itu, bagi pembaca dapat menerapkan teknik Branch and Bound ini dengan menggunakan metode grafik atau metode dua fase. 83 DAFTAR PUSTAKA Dimyati, T. dan Dimyati, A.,1994, Operations Research Model-model Pengambilan Keputusan, Sinar Baru Algesindo, Bandung. Subagyo, P., Asri, M. dan Handoko, H., 1992, Dasar-dasar operations research, BPFE, Yogyakarta. Taylor III, B., 1996, Sains Manajemen Pendekatan Matematika untuk Bisnis, Salemba Empat, Jakarta.
