TKS 4003 Matematika II Turunan Parsial (Partial Derivative) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Derivative Partial Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua peubah (variabel) x dan y, karena x dan y merupakan variabel bebas (independen) maka : (i ). x berubah-ubah, sedangkan y tertentu. (ii). y berubah-ubah, sedangkan x tertentu. Derivative Partial (lanjutan) Definisi : i). Derivatif parsial terhadap peubah x Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x , derivatif parsial z = f(x,y) terhadap x adalah : f ( x x, y ) f ( x, y ) f x ( x, y ) lim x 0 x Derivative Partial (lanjutan) ii). Derivatif parsial terhadap perubah y Jika y berubah-ubah dan x tertentu, maka z merupakan fungsi y, derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y adalah : f ( x, y y) f (x, y) z f y (x, y) lim y y y 0 Disebut derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y. Contoh 1. Menentukan nilai derivatif menggunakan limit a. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap x, jika f(x,y) = x2 + 2y Jawab : f(x,y) = x2 + 2y, maka : f x ( x, y) lim x 0 f ( x x, y) f ( x, y) x ((x x ) 2 2 y) ( x 2 2 y) lim x 0 x lim (2 x x) x 0 2x Contoh (lanjutan) b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y , jika f(x,y) = x2 + 2y Jawab : f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y) lim Δy 0 y ( x 2 2 ( y y )) ( x 2 2 y ) lim Δy 0 y lim 2 Δy 0 2 Contoh (lanjutan) c. Jika z = ln(x2 + y2), tunjukkan bahwa : z z x y 2 x y Jawab : Ditentukan terlebih dahulu : z dan x z y Selanjutnya tentukan nilai : x z z y x y Contoh (lanjutan) z = ln(x2 + y2), derivatif parsial terhadap x dan y : z ln(x 2 y 2 ) 2x 2 2 x x x y dan z ln(x 2 y 2 ) 2y 2 y y x y2 maka : z z 2x 2y x y x 2 y 2 2 2 2 x y x y x y Derivatif Parsial tingkat n Jika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah, maka : z z f x ( x , y) dan f y ( x , y) x y merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai derivatif parsial, yang disebut derivatif parsial tingkat dua. Derivatif parsial tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : Derivatif Parsial tingkat n (lanjutan) Contoh Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk f(x,y) = x2y – 3xy + 2x2y2 Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi : fx(x,y) = 2xy – 3y + 4xy2 fy(x,y) = x2 – 3x + 4x2y Jadi derivatif parsial tingkat dua : fxx(x,y) = 2y + 4y2 fyy(x,y) = 4x2 fyx(x,y) = 2x – 3 + 8xy = 2x + 8xy – 3 dan fxy(x,y) = 2x – 3 + 8xy = 2x + 8xy – 3 Derivative Total Tinjau kembali fungsi z = f(x,y) x dan y peubah bebas. derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan y : z f x ( x , y) x dan z f y ( x , y) y dengan mengambil dx = x dan dy = y diferensial total dari fungsi didefinisikan sebagai berikut : dz z z dx dy x y z dinyatakan dz Diferensial Total n Variabel 1. Jika z = f(x1, x2, ..., xn ), maka : f f f dz dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn 2. Jika f(x1, x2, …, xn) = c, maka df = 0 catatan x1, x2, ..., xn bukan merupakan variabel independen. Contoh a. Tentukan diferensial total untuk : r = s2θ + 3sθ2 Jawab : karena r = s2θ + 3sθ2 maka : r r 2 dan s 2 6 s 2s 3 s Jadi diferensial total z : r r dr ds d 2s 3 2 ds s 2 6s d s Contoh (lanjutan) b. Tentukan diferensial total untuk : 1 x 2 y 2 ze 2 Jawab : 1 x 2 y 2 karena z e 2 maka : 1 x 2 y 2 z xe 2 dan x x 2 y 2 z ye 2 y Jadi diferensial total z : 1 x 2 y 2 z z dz dx dy x y e 2 x y 1 Latihan 1. Tentukan fx(x,y) dan fy(x,y), jika : x 2 y2 a. f(x,y) = y x b. f(x,y) = sin (3x + 2y) c. f(x,y) = arc tan xy 2. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk z, jika : a. z = x y b. z = 2x2 – 5xy + y2 c. z = xxy y 2 3. a. Jika b. Jika 2 w x 2 y ln x dengan x s / t, w x 2 y z 2 ; x cos sin ; w maka tentukan pada saat y s 2t , maka tentukan y sin sin ; 2; z cos , ; 2 w t Terima kasih dan Semoga Lancar Studinya!