Lampiran 1
PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA
Persamaan
trigonometri
adalah
persamaan
yang
memuat
fungsi
trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui. Sebagai contoh
2 sin 2x 1 0 adalah persamaan trigonometri, karena x suatu sudut yang
belum diketahui ukurannya dan sebagaimana telah diketahui bahwa ukuran
sudut adalah derajat atau radian yang keduanya mempunyai hubungan
360 0 2 radian.
Persamaan trigonometri pada hakekatnya sama saja dengan persamaan
linear maupun persamaan kuadrat, dimana himpunan penyelesaiannya
merupakan nilai-nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan tersebut. Bedanya dalam
persamaan trigonometri nilai pengganti 𝑥 merupakan suatu sudut
Dalam trigonometri dikenal istilah persamaan trigonometri invers. Jika
cos x k adalah suatu persamaan trigonometri
mempunyai
selesaian
x arccos k cos 1 k .
maka persamaan tersebut
Bentuk-bentuk
persamaan
sin x k , cos x k , tan x k disebut persamaan trigonometri sederhana.
Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri
Contoh:
1. Tentukan penyelesaian dari persamaan trigonometri sederhana berikut ini :
2 sin x = 1 untuk 0 < x < 360o
Jawab:
2 sin x = 1
sin x = ½
sin x = sin 30o
sudut x adalah sudut istimewa dan jelas x = 30o adalah penyelesaiannya.
Karena sin x juga positif di kuadran II, maka x = 180 – 30 = 150 juga
merupakan solusi persamaan diatas . Jadi , solusinya adalah 30o dan 150o.
Rumus Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan Trigonometri bentuk sinus
sin 𝑥° = sin 𝛼°
(𝑥 ∈ 𝑅)
Maka :
𝑥1 = 𝛼 + 𝑘 ∙ 360°
𝑥2 = (180° − 𝛼) + 𝑘 ∙ 360°
atau
k Bilangan Bulat
Persamaan Trigonometri Bentuk cosinus
cos 𝑥° = cos 𝛼°
(𝑥 ∈ 𝑅)
Maka :
𝑥1 = 𝛼 + 𝑘 ∙ 360°
atau
𝑥2 = (−𝛼) + 𝑘 ∙ 360°
k Bilangan Bulat
Persamaan Trigonometri Bentuk tangent
tan 𝑥° = tan 𝛼°
Maka :
𝑥 = 𝛼 + 𝑘 ∙ 180°
k Bilangan Bulat
(𝑥 ∈ 𝑅)
Contoh Soal:
1
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin 𝑥 𝑜 = − 2 √3 untuk
0𝑜 ≤ 𝑥 ≤ 360𝑜
Jawab:
1
Sin 𝑥 𝑜 = − 2 √3
Sin 𝑥 𝑜 = sin (− 60𝑜 )
𝑥1 = (−60𝑜 ) + 𝑘. 360𝑜
atau
𝑥2 = (180 − (−60𝑜 )) + 𝑘. 360𝑜
𝑥2 = 240𝑜 + 𝑘. 360𝑜
𝑘 = 0 𝑥 = −60𝑜 (TM)
𝑘 = 1 𝑥 = 300𝑜
𝑘 = 2 𝑥 = 660𝑜 (TM)
* 𝑘 = 0 𝑥 = 240𝑜
* 𝑘 = 1 𝑥 = 600𝑜 (TM)
HP = { 240𝑜 , 300𝑜 }
3. Tentukan Himpunan penyelesaian dari cos x = cos 24°, pada interval
0° x 360°
Jawab:
x1 = 24° + k.360°
k = 0 x = 24°
atau
x2 = -24° + k.360°
k = 0 x = -24° (TM)
k = 1 x = -24° + 360° = 336°
Jadi, HP = {24°, 336°}
Persamaan Berbentuk sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a
diselesaikan dengan cara
mengubah ke persamaan sederhana,
yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a)
perbandingan
menjadi
trigonometri yang senama dengan ruas kiri
Contoh:
4. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = ½, dimana 0° x 360° adalah…
Jawab:
sin 3x = ½
sin 3x = sin 30°
maka
• 3x = 30° + k.360°
atau
x = 10° + k.120°
3x = (180 - 30) + k.360°
3x = 150° + k.360°
x = 50° + k.120°
k = 0 x = 10°
k = 0 x = 50°
k = 1 x = 10° + 120° = 130°
k = 1 x = 50° + 120° = 170°
k = 2 x = 10° + 240° = 250°
k = 2 x = 50°+240° = 290°
k = 3 x = 10° + 360° = 370°
(TM)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 10°, 50°, 130°, 170° , 250° , 290° }
Persamaan Trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat dalam sin,
cos atau tan
Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangent, akar-akarnya dapat
ditentukan dengan cara:
1. Dengan memfaktorkan
2. Dengan melengkapi kuadrat sempurna
3. Dengan menggunakan rumus ABC
Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat
umum.
2. Tentukan
akar-akarnya
menggunakan
salah
cara
yang
telah
ditentukan
3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat
sebagai berikut.
a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real, sehingga D ≥ 0
(D=b²- 4ac)
b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}.
Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi, maka
persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atau
himpunan penyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong).
Contoh
5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0, dengan
0° x 360°, adalah……..
Jawab !
2 sin²x – 7 sin x + 3 =0
misalkan
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑝
⇔2p² - 7p+3 = 0
⇔ (2p – 1)(p – 3) = 0
⇔ p = ½ atau p = 3 (ditolak) karena nilai maksimum cos x = 1
Maka, sin x =½ dan sin x = 3
Sin x = ½
Sin x = sin 30°
x = 30° + k . 360°
atau
x = 150° + k . 360°
k = 0 x = 30°
atau
k= 0 x = 150°
k = 1 x = 390°
HP = { 30° , 150° }
