BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus mendasarkan pada prinsip bahwa Anda dapat selalu menggunakan perkiraan yang lebih akurat untuk mendapatkan jawaban yang lebih akurat pula. Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, … dan bilangan real positif apapun. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga. Kalkulus menginterpretasi gerakan objek sebagai kurva atau fungsi, dan kemudian menentukan nilai dari fungsi-fungsi tersebut untuk menghitung tingkat perubahan gerakan, area, atau volume. Menggunakan kalkulus, Anda dapat menentukan bahwa perkiraan cenderung ke arah hasil akhir yang tepat yang disebut batas (limit). Kalkulus merupakan cabang matematika yang digunakan untuk menggambarkan sifat fisik dasar alam semesta, seperti gerakan planet dan molekul. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. 1.2 Permasalahan pengertian kekontinuan fungsi syarat dan teorema fungsi yang kontinu pengertian limit tak hingga teorema limit tak hingga pengertian limit di tak hingga teorema limit di tak hingga menentukan asimtot dari suatu fungsi limit tak hingga dan limit di tak hingga 1.3 Tujuan Untuk mempelajari konsep mengenai kekontinuan fungsi, limit tak hingga dan limit di tak hingga serta menyelesaikan soal aplikasi yang berhubungan dengan ketiganya. 1 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Dua buah buku yang dikritisi Buku Pertama Judul Penerbit : Diktat Kalkulus Universitas Negeri Medan : FMIPA Unimed Buku Kedua Judul Pengarang Penerbit : Kalkulus : Edwin J. Purcell, Dale Varbeg dan Steven E. Rigdon : Erlangga 2.2Penulisan konsep/defenisi Kekontinuan fungsi Pada buku pertama kekontinuan fungsi didefenisikan sama dengan pengertian sehari-hari yaitu tersambung atau berkelanjutan atau tidak terputus. Dan pada buku kedua kata kontinu digunakan untuk menyatakan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Kedua buku memiliki kesamaan dalam pendefenisian kekontinuan fungsi. Limit tak hingga Pada buku pertama dan buku kedua memuat defenisi yang sama mengenai limit tak hingga, yaitu limit tak hingga didefenisikan suatu fungsi yang terdefenisi pada selang tebuka I yang memuat c kecuali mungkin di c itu sendiri, Limit fungsi f untuk x mendekati c sama dengan jika untuk setiap bilangan besar M > 0 terdapat suatu bilangan >0. Limit fungsi f untuk x mendekati c sama dengan -, Jika untuk suatu bilangan kecil N<0 terdapat suatu bilangan >0. Limit di tak hingga Pada buku pertama Limit di tak hingga didefenisikan sebagai fungsi f yang terdefenisi pada selang (c,). jika f(x) mendekati suatu nilai LR untuk x membesar tanpa batas dan adapula pendefenisian sama untuk fungsi yang terdefenisi pada selang (-,c). pada buku kedua mendefenisikan ketika x , tidak menyatakan secra langsung bahwa disuatu tempat yang jauh, jauh kekanan pada sumbu-x terdapat sebuah bilangan (lebih besar dari pada semua bilangan) yang didekati oleh x. Namun, kita gunakan x sebagai cara singkat untuk mengatakan bahwa x menjadi semakin membesar tanpa batas. Kesimpulannya kedua buku memiliki pendefenisian sama mengenai limit di tak hingga. 2 2.3Kedalam penjelasan konsep/defenisi Kekontinuan Fungsi Pada buku pertama dan kedua penjelasan mengenai konsep kekontinuan fungsi diawali dengan memberikan 3 buah contoh fungsi yang 2 diantaranya tidak kontinu dan menampilkan grafiknya, lalu dari contoh soal ditemukan syarat-syarat apabila suatu fungsi dikatakan kontinu pada titik c. pada penjabaran defenisi dan teorema buku pertama dan kedua memiliki sedikit perbedaan, pada buku pertama lebih menitik beratkan kepada kontinu pada interval dengan menampilkan beberapa contoh soal dan penggambaran grafiknya. Dan pada buku kedua kontinu fungsi lebih menjabarkan tentang teorema-teorema kekontinuan fungsi yang ada, namun pada buku kedua penyajian teorema tidak diikut sertakan contoh-contoh dari beberapa teorema yang ada. Limit tak hingga Buku pertama menjelaskan mengenai limit tak hingga yaitu dengan memberikan contoh suatu fungsi kemudian menggambarkan grafik dari fungsi tersebut setelah itu lalu menyimpulkan defenisi serta teorema-teorema yang akan digunakan dalam penyelesaian soal yang berhubungan dengan limit tak hingga. pada buku kedua penjelasan mengenai limit tak hingga hampir sama dengan yang disajikan oleh buku pertama hanya saja dalam proses pemahaman menurut saya lebih mudah memahami contoh soal serta defenisi dan teorema-teorema yang ada pada buku kedua dari pada buku pertama. Limit di tak hingga Buku I dan II dalam menjelaskan mengenai limit di tak hingga sama sama memisalkan bilangan yang sangat besar dengan M, dalam menyelesaikan contoh soal buku I dan II juga menggunakan cara yang sama yaitu dengan membagi fungsi dengan variabel pangkat tertinggi sehingga ditemukan hasil yang disimbolkan L. konsep dan definisi serta teorema yang disajikan pada kedua buka sama. 2.4 Persamaan dan perbedaan kedua buku a. kekontinuan fungsi Persamaan buku I dan II Sama-sama mendefenisikan suatu fungsi kontinu pada titik c jika memenuhi syarat-syarat. Buku I & II sama-sama menyajikan teorema fungsi polinomial dan rasional, kontinuitas fungsi nilai mutlak, kontinuitas dalam operasi fungsi, kontinuitas fungsi-fungsi trigonometri, teorema limit komposit dan teorema limit antara. Kedua buku sama-sama menyajikan contoh soal pada setiap teorema yang ada 3 Perbedaan buku I dan II Buku I menyajikan begitu banyak contoh namun setiap contoh tidak diikut sertakan grafik dari fungsinya, Sedangkan buku II contoh lebih sedikit namun setiap contoh disajiakan penggambaran dari grafik fungsinya. Pada buku I teorema teorema yang ada tidak terlalu dijelaskan mengenai defenisinya, sedangkan pada buku II dijelaskan lebih rinci. b. Limit tak hingga Persamaan buku I dan II Sama pendefenisian mengenai limit tak hingga Teorema-teorema yang digunakan sama Perbedaan buku I dan II pada buku I kaitan asimtot dengan limit tak hingga lebih mudah dipahami dibandingkan yang ada di buku I c. Limit di tak hingga Persamaan buku I dan II Sama pendefenisian mengenai limit di tak hingga Metode atau cara yang digunakan dalam penyelesaian soal sama Perbedaan buku I dan II grafik fungsi limit di tak hingga yang disajikan pada buku II lebih banyak Soal pada buku II lebih bervariasi dibandingkan buku I Jawaban contoh soal yang tersedia di kedua buku, lebih mudah memahami buku yang ke II 2.5 Kedalaman penjelasan prinsip/teorema/dalil/sifat Kekontinuan fungsi Buku pertama dan kedua sama sama menjelaskan tentang kekontinuan fungsi dengan sanagt jelas, mereka menjabarkan suatu fungsi kontinu dengan menggambarkan beberapa grafik fungsi lalu menyimpulkan defenisi serta teorema dan menetapkan syarat suatu fungsi dikatakan kontinu atau tidak. Kedua buku juga menyajikan beberapa soal yang memudahkan mahasiswa dalam memperdalam materi. Limit tak hingga Buku pertama dan buku kedua sama-sama menjelaskan limit tak hingga dengan menggambarkan sebuah grafik dari suatu fungsi lalu menyimpulkan defenisi dari limit tak hingga itu sendiri berdasarkan grafik yang telah digambarkan, berdasarkan contoh yang disajikan suatu fungsi limit dikatakan tak hingga apabila limit yang memuat nilai c apabila dicari menghasilkan nilai tak hingga. Limit di tak hingga Pada buku satu penjelasan mengenai limit di tak hingga dimulai dengan memberikan sebuah contoh fungsi, lalu dari contoh itu didefenisikan apa itu limit di tak hingga, contoh soal yang disajikan tidak menggambarkan bagaimana grafik fungsinya. Pada buku II metode penjelasan materi mengenai limit di tak hingga 4 hampir sama dengan buku I yang membedakan buku II menyertakan gambar grafik fungsi dari contoh yang diberikan sehingga lebih mudah dipahami. 2.6 Muatan variasi soal kedua buku kekontinuan fungsi pada buku I soal-soal yang disajikan diakhir materi begitu banyak namun kurang bervariasi jika dibandingkan dengan buku II. Buku I lebih banyak soal sulitnya. Pada buku II soal-soalnya lebih banyak ragamnya seperti menyajikan soal-soal yang mudah diawal dan semakin naik nomornya maka tingkat kesulitan soal juga naik dan itu lebih efisien ketimbang buku I yang menekankan pada soal soal sulit yang agak lari dari contoh materi yang disajikan. limit tak hingga & limit di tak hingga Pada buku I soal yang disajikan kurang bervariasi atau tingkatan kesulitan soal dari awal nomor sampai akhir kurang merata, maksudnya tingkat kesulitan soal pada nomor pertengahan hingga akhir hampir sama. Soal mengenai limit tak hingga trigonometri sanagt sedikit lebih tepatnya hanya satu soal saja. Pada buku II soal-soalnya lebih bervariasi, soal yang ditanyak pun tidak melulu pada menentukan nilai limitnya tetapi juga ada mengenai keterkaitan dengan salah satu materi dalam pelajaran fisika dan soalsoal mengenai trigonometri lebih banyak dengan tingkatan kesulitan yang bervariasi serta ada juga soal yang meminta menggambarkan grafik fungsi. 5 BAB III KESIMPULAN 3.1 Kelebihan dan Kekurangan Buku Kekurangan dan Kelebihan Buku I Kelebihan menjelaskan secara rinci dan mendetail mengenai kekontinuan fungsi pada selang tertentu atau pada interval ketersediaan begitu banyak contoh dalam memudahkan mahasiswa dalam pemahaman materi setelah memeparkan keseluruhan materi, buku menyediakan soal-soal latihan yang melimpah dan bervariasi. Kekurangan Pendefenisian mengenai setiap materi terbatas pada materi itu saja Tidak tersedianya penggambaran grafik pada beberapa contoh soal Ada beberapa teorema pada buku II yang tidak terdapat pada buku I Pada pemaparan materi limit di tak hingga hanya menjelaskan bagaimana mencari nilai limit dengan membagi fungsi dengan variabel pangkat tertinggi tidak ada contoh soal yang menyederhanakan terlebih dahulu fungsinya. setelah memeparkan keseluruhan materi, buku menyediakan soal-soal latihan yang melimpah dan bervariasi. Kekurangan dan Kelebihan Buku II Kelebihan pendefenisian dari setiap materi lebih luas Teorema-teorema yang disajikan lebih banyak penggambaran grafik dari setiap materi lebih jelas dan mudah dipahami Setiap contoh soal memuat penyelesaian dalam bentuk grafik Kekurangan Kurangnya pendefenisian dalam pemaparan materi mengenai keterkaitan limit tak hingga dan limit di tak hingga dengan asimtot kekurang jelasan dalam penggambaran asimtot pada grafik sehingga membuat mahasiswa kesulitan dalam menentukan asimtot vertikal dan asimtot horizontal 6 3.2 Kesimpulan Berdasarkan penjabaran-penjabaran diatas dapat saya simpulkan bahwa buku I dan buku II sama-sama baik dalam memaparkan materi mengenai kekontinuan fungsi, limit tak hingga dan limit di tak hingga. Namun apabila digunakan dalam pemahaman, buku II lebih mudah dipahami ketimbang buku I, karena buku II menjelaskan lebih rinci mengenai pendefenisian serta teorema-teorema yang ada. 3.3 Saran Saran saya buku pertama seharusnya menyajikan grafik penyelesaian dari setiap contoh soal yang dipaparkan agar pemahaman mahasiswa tidak hanya dalam mencari jawabannya saja tetapi juga dalam penggambaran grafik fungsinya. Dan buku I juga seharusnya memberikan pendefenisian lebih rinci mengenai pengenalan suatu materi terlebih dahulu, tidak langsung ke intinya karena matematika adalah ilmu yang saling berkesinambungan. 7 LAMPIRAN Cover Buku Buku I Buku II Judul Kalkulus Jilid 1 Edisi kesembilan Pengarang Diktat Kalkulus Universitas Negeri Medan Tim Dosen Jurusan Matematika Tahun Terbit Penerbit Ukuran Tebal Buku 2016 FMIPA Unimed 21x29 cm 262 hlm. 8 Dale Verberg, Edwin J. Purcell & Steven E. Rigdon 2007 Erlangga 21x28 cm 409 hlm.
