PERBANDINGAN TRIGONOMETRI NEW

MAKALAH
KAPITA SELEKTA PENDIDIKAN MENENGAH ATAS
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Disusun oleh:
Siti Aisyah
20161112025
Lailatus Syarifah
20171112021
M. Ambar Abirowo
20171112014
S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURABAYA
SURABAYA
2019
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang hingga saat ini msih memberikan kita
nikmat iman dan kesehatan, sehingga kita bisa menyelesaikan makalah yang
berjudul “ Perbandingan Trigonometri dan Fungsi Trigonometri”
Dalam kesempatan kali ini Tidak lupa kami mengucap banyak terima kasih atas
bantuan dari berbagai pihak yang telah bekontribusi dalam pembuatan makalah
ini. Namun, kami sangat menyadari bahwa dalam makalah kami ini masih
terdapat banyak kekurangan baik isi maupun penyajiannya. Oleh karena itu, kami
sangat mengharapkan saran dari pembaca untuk perbaikan dan kesempurnaan
makalah berikutnya.
Semoga makalah yang kami buat ini dapat menambah ilmu pengetahuan serta
wawasan kita semua mengenai Perbandingan Trigonometri dan Fungsi
Trigonometri.
Surabaya, 22 Oktober 2019
( Penulis )
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii
DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii
BAB I ...................................................................................................................... 1
PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 1
C. Tujuan .......................................................................................................... 2
BAB II ..................................................................................................................... 3
PEMBAHASAN ..................................................................................................... 3
A. Pengertian Trigonometri .............................................................................. 3
B. Perbandingan Trigonometri dan fungsi trigonometri ................................... 3
C. Penyelesaian dari permasalahan yang berkaitan dengan perbandingan
trigonometri dan fungsi trigonometri .................................................................. 8
BAB III ................................................................................................................. 12
PENUTUP ............................................................................................................. 12
A. Kesimpulan ................................................................................................ 12
B. Saran ........................................................................................................... 12
iii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika adalah salah satu bidang ilmu pengetahuan yang erat kaitannya
dengan ilmu pengetahuan lainnya dan kehidupan serta kemajuan manusia.
“Matematika adalah bahasa universal dan karenanya kemampuan matematika
siswa suatu Negara sangat mudah di bandingkan dengan Negara lain” (Indonesia,
2014). PISA (Program For International Student Assessment) dan TIMSS (The
International Mathematics and Science Survey) merupakan standar international
yang secara berkala mengukur dan membandingkan antara lain kemajuan
pendidikan matematika di beberapa Negara.
Kurikulum 2013, merupakan kurikulum yang digunakan Negara Indonesia
pada saat ini. Kurikulum 2013 mengkaitkan materi pembelajaran dengan
kehidupan sehari-hari. Pembahasan materi selalu didahului dengan pengetahuan
konkrit. Pengetahuan konkrit tersebut di pergunakan untuk menuju kedunia
matematika abstrak melalui pemanfaatan simbol matematika yang sesuai melalui
permodelan (Indonesia, 2014).
Namun matematika masih menjadi pelajaran yang tidak disukai bagi sebagian
siswa, termasuk dalam materi perbandingan trigonometri dan fungsi trigonometri.
Lebih dari 3000 tahun yang lalu pada peradaban Lembah Indus adalah awal
trigonometri. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variable aljabar
yang digunakan untuk menghitung astronimi dan juga Trigonometri. Hingga saat
ini trigonometri telah digunakan oleh pembuat jalan, pembuat jembatan dan
mereka yang menghasilkan bangunan. Trigonometri adalah ukuran-ukuran
perbandingan yang berlaku dalam suatu segitiga.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan Latar Belakang Diatas maka timbullah beberapa pertanyaan,
yaitu:
1. Apa yang dimaksud dengan Trigonometri?
1
2. Apa yang dimaksud dengan Perbandingan dan fungsi trigonometri?
3. Bagaimana penyelesaian dari permasalahan yang berkaitan dengan
perbandingan trigonometri dan fungsi trigonometri?
C. Tujuan
1. Untuk menyebutkan pengertian Trigonometri
2. Untuk menyebutkan pengertian perbandingan dan fungsi trigonometri
3. Untuk
memberikan
informasi
mengenai
penyelesaian
dari
permasalahan yang berkaitan dengan perbandingan dan fungsi
trigonometri
2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Trigonometri
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro =
mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut
segi tiga dan trigonometri adalah bagian dari geometri. Trigonometri adalah
ukuran-ukuran perbandingan yang berlaku dalam suatu segitiga.
B. Perbandingan Trigonometri dan fungsi trigonometri
Adapun fungsi dari trigonometri yaitu digunakan dalam segala aspek yaitu pada
bidang sains, teknik, arsitektur, farmasi, dan lain sebagainya. Namun, yang di
pelajari dalam fungsi trigonometri yaitu mengenai sinus, cosinus, dan tangen.
Disini perbandingan trigonometri dibagi menjadi beberapa bagian yang akan di
jelaskan di bawah ini:
1. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut Segitiga Siku-Siku
Teorema phytagoras menyatakan kuadrat sisi miring/hepotenusa segitiga sikusiku sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya.
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 = 𝑟2 − 𝑦2
𝑦2 = 𝑟2 − 𝑥2
3
Perhatikan gambar dibawah ini!
Pada segitiga ABC siku-siku di C didefinisikan :
sin 𝛼 =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼 𝐵𝐶 𝑎
=
=
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
𝐴𝐵 𝑐
cos 𝛼 =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼 𝐴𝐶 𝑏
=
=
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
𝐴𝐵 𝑐
tan 𝛼 =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼
𝐵𝐶 𝑎
=
=
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑘𝑢𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼 𝐴𝐶 𝑏
Disamping itu terdapat relasi kebalikan :
1
𝐴𝐵 𝑐
=
=
cos 𝛼 𝐴𝐶 𝑏
sec 𝛼 =
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
cot 𝛼 =
1
𝐴𝐵 𝑐
=
=
sin 𝛼 𝐵𝐶 𝑎
1
𝐴𝐶 𝑏
=
=
tan 𝛼 𝐵𝐶 𝑎
Terkadang susah untuk mengingat perbandingan sigitiga pada trigonometri
dan bentuk segitiga pun berbeda-beda serta posisi sudut pun berubah-ubah yang
mengakibatkan kita salah dalam mengerjakan soal. Berikut cara mengatasi hal-hal
tersebut:
sin 𝛼 =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛
𝑑𝑒
=
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑖
4
cos 𝛼 =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑎
=
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
𝑚𝑖
cos 𝛼 =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛
𝑑𝑒
=
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑎
Contoh:
Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk setiap segitiga siku-siku berikut
ini. Dengan nilai a = 4 dan c = 3
Jawab :
Nilai b =√32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
𝑑𝑒
4
Jadi : Sin = 𝑚𝑖 = 5
𝑠𝑎
3
Cos = 𝑚𝑖 = 5
𝑑𝑒
4
Tan = 𝑠𝑎 = 3
2. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
Fungsi Trigonometri
SUDUT
0°
30°
45°
60°
90°
Sinus
0
1
2
1
√2
2
1
√3
2
1
Cosinus
1
1
√2
2
1
2
Tangen
0
1
√3
2
1
√3
3
1
√3
0
∞
Contoh:
Tentukan nilai dari sin 30o + Cos 45o = ......
5
Jawab
1
Sin 30o + Cos 45o =
2
+
1
2
√2
1
= 2 (1 + √2)
3. Perbandingan Trigonometri dari sudut di semua kuadran
Dalam berbagai kuadran berlaku nilai perbandingan trigonometri tertentu. Untuk
lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini.
Sudut dalam kuadran I terletak antara 0o dan 90o, semuanya bernilai positif.
Sudut dalam kuadran II terletak antara 90o dan 180o, hanya nilai sinus yang
bernilai positif.
Sudut dalam kuadran III terletak antara 180o dan 270o, hanya nilai tangent yang
positif.
Sudut dalam kuadran IV terletak antara 270o dan 360o, hanya nilai cosines yang
bernilai positif.
Rumus-rumus trigonometri untuk sudut-sudut yang berelasi.
Sudut berelasi (90° − 𝛼)
6
𝑠𝑖𝑛 (90° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑐𝑜𝑠 (90° − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑡𝑎𝑛(90° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡 𝛼
Sudut berelasi (180° − 𝛼)
𝑠𝑖𝑛(180° − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠(180° − 𝛼) = – 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑡𝑎𝑛(180° − 𝛼) = – 𝑡𝑎𝑛 𝛼
Sudut berelasi (270° − 𝛼)
𝑠𝑖𝑛(270° − 𝛼) = – 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑐𝑜𝑠(270° − 𝛼) = – 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑡𝑎𝑛(270° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡 𝛼
Sudut berelasi (𝑛. 360° − 𝑎°)
𝑆𝑖𝑛 (𝑛. 360° − 𝑎°) = − sin 𝑎°
𝐶𝑜𝑠 (𝑛. 360° − 𝑎°) = cos 𝑎°
𝑇𝑎𝑛(𝑛. 360° − 𝑎°) = − tan 𝑎°
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑛. 360° − 𝑎°) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎°
𝑆𝑒𝑐(𝑛. 360° − 𝑎°) = sec 𝑎°
𝐶𝑜𝑡(𝑛. 360° − 𝑎°) = − cot 𝑎°
Sudut berelasi (𝑛. 360° + 𝑎°)
𝑆𝑖𝑛 (𝑛. 360° + 𝑎°) = sin 𝑎°
𝐶𝑜𝑠 (𝑛. 360° + 𝑎°) = cos 𝑎°
𝑇𝑎𝑛(𝑛. 360° + 𝑎°) = tan 𝑎°
7
𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑛. 360° + 𝑎°) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎°
𝑆𝑒𝑐(𝑛. 360° + 𝑎°) = sec 𝑎°
𝐶𝑜𝑡(𝑛. 360° + 𝑎°) = − cot 𝑎°
Sudut berelasi (−𝛼)
𝑠𝑖𝑛(−𝛼) = – 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑡𝑎𝑛(−𝛼) = − 𝑡𝑎𝑛 𝛼
C. Penyelesaian dari permasalahan yang berkaitan dengan
perbandingan trigonometri dan fungsi trigonometri
1. Tentukan nilai dari:
a. 𝑆𝑖𝑛 150°
b. 𝐶𝑜𝑠 225°
c. tan 300 °
Jawab:
a. 𝑆𝑖𝑛 150° = 𝑠𝑖𝑛 (180 − 30)° = 𝑠𝑖𝑛 30° =
1
2
1
b. 𝑐𝑜𝑠 225° = 𝑐𝑜𝑠 (180 + 45)° = −𝑐𝑜𝑠 45° = − 2 √2
c. 𝑡𝑎𝑛 300° = 𝑡𝑎𝑛 (360 – 60)° = −𝑡𝑎𝑛 60° = −√3
8
2. Tentukan Nilai dari
a. 𝑆𝑖𝑛 765°
b. 𝑐𝑜𝑠 1.950°
c. 𝑡𝑎𝑛 660°
Jawab:
a. 𝑆𝑖𝑛 765° = 𝑠𝑖𝑛 ( 2 𝑥 360 + 45 )° = 𝑠𝑖𝑛 45° =
1
2
√2
b. cos 1.950 ° = cos( 2 𝑥 360 + 150 ) ° = cos(180 – 30) °
1
= −𝑐𝑜𝑠 30° = − √2
2
c. 𝑡𝑎𝑛 660° = 𝑡𝑎𝑛 ( 3 𝑥 180 + 120 )° = 𝑡𝑎𝑛 120° = 𝑡𝑎𝑛 (180 – 60)°
= − tan 60 ° = −√3
3. Tentukan lah nilai dari: 2 cos 75° cos 15°
Jawab :
2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
=0+½
=½
Maka nilai dari 2 cos 75° cos 15° yaitu ½
Latihan!
1. Tentukan nilai sin, cos dan tan dari sudut A dan sudut C pada gambar berikut!
2. Hitunglah nilai dari:
a. 𝑆𝑖𝑛 120° + cos 150°
b. tan 135° + sin 90°
c. 𝑆𝑖𝑛 60° 𝑐𝑜𝑡𝑔 60° + sec 45 ° cos 45 °
d. 𝑇𝑎𝑛 30° + 𝑐𝑜𝑠 30°
3. Tentukan nilai dari:
9
a. 𝑐𝑜𝑠 765°
b. sin 1.950 °
c. Sin 660°
Jawab:
1.
a. 𝐴𝐶 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
Untuk sudut A
3
5
Untuk sudut C
𝑠𝑖𝑛 =
𝑠𝑖𝑛 =
4
5
𝑐𝑜𝑠 =
4
5
𝑐𝑜𝑠 =
3
5
𝑡𝑎𝑛 =
𝑡𝑎𝑛 =
3
4
4
3
b. 𝐵𝐶 = √132 − 122 = √169 − 144 = √25 = 5
Untuk sudut A
𝑠𝑖𝑛 =
5
12
𝑐𝑜𝑠 =
13
12
𝑡𝑎𝑛 =
5
13
𝑐𝑜𝑠 =
13
5
𝑡𝑎𝑛 =
12
13
Untuk sudut C
𝑠𝑖𝑛 =
12
5
2.
1
1
a. 𝑆𝑖𝑛 120° + cos 150° = 2 √3 + (− 2 √3) = 0
b. tan 135° + sin 90° = −1 + 1 = 0
1
c. 𝑆𝑖𝑛 60° 𝑐𝑜𝑡𝑔 60° + sec 45 ° cos 45 ° = (2 √3 ×
=
1
1
√3
)
3
1
+ (√2 + 2 √2)
3 2 1 2 3
+ = + =
6 2 2 2 2
1
d. 𝑇𝑎𝑛 30° + 𝑐𝑜𝑠 30° = 3 √3 + 2 √3 = 5 √3
3.
a. 𝐶𝑜𝑠 765° = 𝑐𝑜𝑠 ( 2 𝑥 360 + 45 )° = 𝑐𝑜𝑠 45° =
1
2
√2
b. Sin 1.950 ° = sin ( 2 𝑥 360 + 150 ) ° = sin (180 – 30) °
10
1
= −𝑠𝑖𝑛 30° = − √3
2
c. 𝑆𝑖𝑛 660° = 𝑆𝑖𝑛 ( 3 𝑥 180 + 120 )° = 𝑆𝑖𝑛 120° = 𝑠𝑖𝑛 (180 – 60)°
1
= −𝑠𝑖𝑛 60° = − √3
2
11
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro =
mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut
segi tiga dan trigonometri adalah bagian dari geometri. fungsi dari trigonometri
yaitu digunakan dalam segala aspek yaitu pada bidang sains, teknik, arsitektur,
farmasi, dan lain sebagainya.
Disini perbandingan trigonometri dibagi menjadi beberapa bagian yang akan di
jelaskan di bawah ini:
1. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut Segitiga Siku-Siku
2. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa
3. Perbandingan Trigonometri dari sudut di semua kuadran
B. Saran
Inilah makalah yang telah kami susun, meskipun penulisan makalah ini
jauh dari sempurna. Masih banyak kesalahan dari penulisan makalah kelompok
kami ini, karna kami manusia yang adalah tempat salah dan dosa, sehingga kami
juga butuh saran/ kritikan agar bisa menjadi motivasi untuk masa depan yang
lebih baik daripada masa sebelumnya.
12
DAFTAR PUSTAKA
Indonesia, K. P. (2014). Matematika. Jakarta: pusat kurikulum dan perbukuan,
balitbang, kemendikbud.
Marsigit, A. M. (2008). Matematika SMA kelas X semester 1. Yudhistira.
S, F. A. (2011). Buku pintar matematika panduan belajar matematika secara
mudah dan cepat. Pustaka Widyatama.
13