SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 6.2 KAIDAH PENCACAHAN, PERMUTASI DAN KOMBINASI)

Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
6. 2.
Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi.
Kaidah Pencacahan
Aturan Perkalian
Banyak cara memilih
unsur pertama
Banyak cara memilih
unsur kedua
Banyak cara memilih
kedua unsur sekaligus
𝑚
𝑛
𝑚×𝑛
Faktorial
“Perkalian Bilangan Urut”
𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 3 × 2 × 1
Catatan: 1! = 1 dan 0! = 1
Banyak cara menyusun 𝒓 buah unsur
dari keseluruhan 𝒏 buah unsur
Permutasi
Kombinasi
“Perhatikan Urutan”
“Urutan Tidak Diperhatikan”
𝑛 𝑃𝑟
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
Catatan: 𝑟 ≤ 𝑛
𝑛 𝐶𝑟
=
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Catatan: 𝑟 ≤ 𝑛
Permutasi Ada Unsur Sama
“Ada 𝒌 unsur yang sama,
ada 𝓵 unsur yang sama,
dan 𝒎 unsur yang sama”
𝑛 𝑃(𝑘,ℓ,𝑚)
=
𝑛!
𝑘! ℓ! 𝑚!
Catatan: 𝑘 + ℓ + 𝑚 ≤ 𝑛
Permutasi Siklis
𝑛 𝐶𝑟
=
𝑛 𝑃𝑟
𝑟!
Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek.
Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur
namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan
maka dianggap hasil permutasi tersebut ada 𝑟 unsur yang sama.
“Posisi Melingkar”
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (𝑛 − 1)!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 303
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi.
Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya.
Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:
𝑛 𝑃𝑟
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:
𝑛 𝑃𝑟
= 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × (𝑛 − 𝑟 + 1)
Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak 𝑟 unsur berbeda yang
bisa dibuat dari 𝑛 unsur.
Misalnya saja, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan.
Maka kita akan membuat 3 kotak sebagai berikut:
Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur.
Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak pertama.
Pada kotak ketiga bisa diisi 3 unsur, karena 2 unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua.
Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:
5 × 4 × 3 = 60 cara.
Dari sini jelas bahwa rumus permutasi 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:
5 × 4 × 3 = “perkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 faktor”
Jadi bisa disimpulkan bahwa:
𝒏 𝑷𝒓
= “𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫”
Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:
15 𝑃4
= 15 × 14 × 13 × 12 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15)
𝑃
10 3 = 10 × 9 × 8 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10)
7 𝑃2 = 8 × 7 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7)
5 𝑃2 = 5 × 4 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 5)
Dst… dst… dst…
Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:
Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari 12 siswa
dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak …. cara.
Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan
konsep permutasi 12 𝑃3.
Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:
12 𝑃3 = 12 × 11 × 10 = 1320 cara (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 12)
Mudah bukan?! 
Halaman 304
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi.
Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya.
Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:
𝑛 𝐶𝑟
=
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:
𝑛 𝐶𝑟
=
𝑛 𝐶𝑟
𝑟!
Penjelasannya sebagai berikut:
Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi 𝑟 unsur
dari 𝑛 unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada
𝑟 unsur yang sama.
Jadi bisa disimpulkan bahwa:
𝒏 𝑪𝒓
=“
(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)
”
(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐣𝐮 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝟏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)
Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:
15 𝐶4
=
15 × 14 × 13 × 12 perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15
(
)
1×2×3×4
perkalian maju 4 angka terdepan
10 𝐶3
=
10 × 9 × 8 perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10
(
)
1×2×3
perkalian maju 3 angka terdepan
7 𝐶2
=
8 × 7 perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7
(
)
1×2
perkalian maju 2 angka terdepan
Dst… dst… dst…
Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:
Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih 3 siswa dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut
adalah sebanyak …. cara.
Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, maka
digunakan konsep kombinasi 12 𝐶3 .
Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:
2
12 𝐶3 =
12 × 11 × 10
perkalian mundur 2 angka terakhir dari 15
= 220 cara (
)
1×2×3
perkalian maju 2 angka terdepan
Mudah bukan?! 
Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut:
𝒏 𝑪𝒓
= 𝒏 𝑪(𝒏−𝒓)
10 𝐶7
= 10 𝐶3 =
Jadi,
10 × 9 × 8 perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10
(
)
1×2×3
perkalian maju 3 angka terdepan
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 305
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian.
Contoh Soal 1:
Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh
berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….
Penyelesaian:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
 Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
 Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
7
7
7
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 7 × 7 × 7 = 343 buah.
Contoh Soal 2:
Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh
berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….
Penyelesaian:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. 
 Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
6
7
7
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 6 × 7 × 7 = 294 buah.
Halaman 306
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 3:
Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang boleh
berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….
Penyelesaian:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 4, 6.
 Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. 
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
6
7
4
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 4 = 168 buah.
Contoh Soal 4:
Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang boleh
berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….
Penyelesaian:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5.
 Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. 
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
6
7
3
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 × 7 × 3 = 126 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 307
Contoh Soal 5:
Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh
berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 300 adalah ….
Penyelesaian:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka lebih dari 300, maka terdapat aturan sebagai
berikut:
 Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 300 maka angka ratusan hanya dapat dipilih
sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6.
 Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
4
7
7
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 300 adalah: 4 × 7 × 7 = 196 buah.
Contoh Soal 6:
Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh
berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah ….
Penyelesaian:
Bilangan lebih dari 320, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu:
- Bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20.
- Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3.
Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. maka
terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi angka 3 saja.
 Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6.
 Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
1
5
7
Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3, maka terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja.
 Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
 Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
3
7
7
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah:
(1 × 5 × 7) + (3 × 7 × 7) = 35 + 147 = 182 buah.
Halaman 308
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 7:
Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak
angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….
Penyelesaian:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.
 Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan
sebagai angka ratusan.
Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 2,
3, 4, 5, 6, 7.
Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.
 Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan
sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan.
Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4,
5, 6, 7 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
7
6
5
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 7 × 6 × 5 = 210 buah.
Contoh Soal 8:
Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak
angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….
Penyelesaian:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. 
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan
 Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan
sebagai angka ratusan.
Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0,
2, 3, 4, 5, 6.
Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.
 Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan
sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan.
Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3,
4, 5, 6 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
6
6
5
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 6 × 6 × 5 = 180 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 309
Contoh Soal 9:
Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dengan
tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….
Penyelesaian:
Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu:
- Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan.
- Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan.
Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai
berikut:
 Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja.
 Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka puluhan.
 Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan
sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka puluhan.
Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3,
4, 5, 6 saja.
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
1
6
5
Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat
aturan sebagai berikut:
 Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya
dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 2, 4, 6 saja.
Misal kita pilih angka 2 sebagai angka satuan.
 Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan
sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan.
sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 1, 3, 4, 5, 6.
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.
 Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan
sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka ratusan.
Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0,
3, 4, 5, 6 saja.
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
3
5
5
Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah:
(1 × 6 × 5) + (3 × 5 × 5) = 30 + 75 = 105 buah.
Halaman 310
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 10:
Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dengan tidak
angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah ….
Penyelesaian:
Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut:
 Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5.
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka satuan.
 Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan
sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan.
sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 2, 3, 4, 5, 6.
Misal kita pilih angka 2 sebagai angka ratusan.
 Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan
sebagai angka satuan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka ratusan.
Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0,
3, 4, 5, 6 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka
Ratusan
Angka
Puluhan
Angka
Satuan
3
5
5
Jadi banyaknya bilangan ganjil terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 3 × 5 × 5 = 75 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 311
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi.
Contoh Soal 1:
Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda?
Penyelesaian:
Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan.
Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴.
Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya.
Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang.
7!
7! 7!
= = = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
7 𝑃7 =
(7 − 7)! 0! 1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
𝒏 𝑷𝒓
= “𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫”
7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7.
7 𝑃7 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
Contoh Soal 2:
Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri
dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda?
Penyelesaian:
Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan.
Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴.
Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi.
Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang.
7!
7! 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= =
= 7 × 6 × 5 × 4 = 840
7 𝑃4 =
(7 − 4)! 3!
3×2×1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
7 permutasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7.
7 𝑃4 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840
Contoh Soal 3:
Ada 12 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan
sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut?
Penyelesaian:
Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus
diperhatikan.
Sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴.
Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi.
Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.
12!
12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
=
=
= 12 × 11 × 10 = 1320
12 𝑃3 =
(12 − 3)!
9!
9×8×7×6×5×4×3×2×1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
12 permutasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12.
12 𝑃3 = 12 × 11 × 10 = 1320
Halaman 312
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama.
Contoh Soal 1:
Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA?
Penyelesaian:
Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A.
Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 10
Banyak elemen huruf yang sama adalah:
- Huruf M ada sebanyak 2 buah, jadi 𝑘 = 2.
- Huruf A ada sebanyak 3 buah, jadi ℓ = 3.
- Huruf T ada sebanyak 2 buah, jadi 𝑚 = 2.
Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah:
10!
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
=
= 151.200 kata
10 𝑃(2,3,2) =
2! 3! 2!
2×1×3×2×1×2×1
Contoh Soal 2:
Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta 1 buah buku Fisika. Bukubuku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam
menyusun buku tersebut?
Penyelesaian:
Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta 1 buah buku Fisika.
Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 10
Banyak elemen huruf yang sama adalah:
- Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi 𝑘 = 5.
- Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi ℓ = 4.
Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah:
10!
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
=
= 1.260 cara
10 𝑃(5,4) =
5! 4!
5×4×3×2×1×4×3×2×1
Contoh Soal 3:
Ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung
secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda?
Penyelesaian:
Elemen penyusun ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau.
Maka banyaknya elemen adalah: 𝑛 = 5
Banyak elemen huruf yang sama adalah:
- Bendera merah ada sebanyak 3 buah, jadi 𝑘 = 3.
Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah:
5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1
=
= 20 cara
5 𝑃(3) =
3!
3×2×1
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 313
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis.
Contoh Soal 1:
Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran!
Penyelesaian:
Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, 𝑛 = 5.
Berarti kita gunakan permutasi siklis.
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (5 − 1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara
Contoh Soal 2:
Berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada 2 orang yang harus duduk secara
berdekatan?
Penyelesaian:
Karena ada 2 orang harus duduk berdekatan, berarti 2 orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan.
Sementara banyak cara menyusun 2 orang yang duduk saling berdekatan sebanyak 2!.
Nah, karena 2 orang dianggap menjadi satu, maka dari total 10 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur
duduk secara melingkar.
Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, 𝑛 = 9.
Berarti kita gunakan permutasi siklis.
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (9 − 1)! = 8!
Jadi banyaknya cara menyusun 10 orang duduk melingkar apabila ada 2 orang yang harus duduk bersebelahan:
𝑃 = 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 × 2! = 8! 2! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 80.640 cara
Contoh Soal 3:
Ada 4 orang siswa kelas X, 3 orang siswa kelas XI, dan 2 orang siswa kelas XII akan berunding duduk
mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan.
Penyelesaian:
Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun 3 kelompok kelas yang akan diatur duduk secara
melingkar.
Berarti kita gunakan permutasi siklis.
𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 = (3 − 1)! = 2!
Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak 4 𝑃4 = 4!.
Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak 3 𝑃3 = 3!.
Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak 2 𝑃2 = 2!.
Jadi banyaknya cara menyusun siswa duduk melingkar apabila ada siswa satu kelas harus duduk bersebelahan:
𝑃 = 𝑃𝑠𝑖𝑘𝑙𝑖𝑠 × 4! × 3! × 2! = 2! × 4! × 3! × 2! = 576 cara
Halaman 314
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi.
Contoh Soal 1:
Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT?
Penyelesaian:
Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak
diperhatikan.
Sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.
Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasi
Tujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang.
7!
7!
7×6×5×4×3×2×1 7×6×5
=
=
=
= 35
7 𝐶4 =
(7 − 4)! 4! 3! 4! 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 3 × 2 × 1
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
𝒏 𝑪𝒓
=“
(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐝𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)
”
(𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐣𝐮 𝐝𝐢𝐦𝐮𝐥𝐚𝐢 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝟏 𝐬𝐞𝐛𝐚𝐧𝐲𝐚𝐤 𝒓 𝐟𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫)
7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal.
7×6×5×4
= 35
7 𝐶4 =
4×3×2×1
Contoh Soal 2:
Ada 12 orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapa
banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut?
Penyelesaian:
Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus
tidak diperhatikan.
Sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.
Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi.
Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.
12!
12!
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
=
=
12 𝐶3 =
(12 − 3)! 3! 9! 3!
9×8×7×6×5×4×3×2×1×3×2×1
12 × 11 × 10
=
3×2×1
= 220
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
12 kombinasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12 dibagi perkalian 3 angka awal.
12 × 11 × 10
= 1320
12 𝐶3 =
3×2×1
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di
http://pak-anang.blogspot.com. :)
Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut:
http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013_31.html
untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013
pada bab Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) ini….
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 315
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan
dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah ....
A. 20
Permutasi 4 angka dari 6 angka:
6!
6! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
B. 40
6𝑃4 =
= =
= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 360
(6
− 4)!
2!
2∙1
C. 80
D. 120
E. 360
Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian,
banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah:
𝑛 = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 bilangan
2.
Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata ”WIYATA” adalah ....
A. 360 kata
Permutasi 6 unsur dari dengan ada 2 unsur yang sama, yakni huruf A:
B. 180 kata
6! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
=
= 360 kata
C. 90 kata
2!
2∙1
D. 60 kata
E. 30 kata
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 316
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)