Pertemuan IV (Tautologi, Kontradiksi, Contingent, Ekuivalensi Logis)

TAUTOLOGI, KONTRADIKSI & CONTINGENT
TAUTOLOGI
Adalah suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa
memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya.
Example :
1. Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut :
(A ^ B)→(C v (¬B→¬C))
Buatlah Tabel Kebenarannya
C v (¬B→¬C)
(A ^ B) → (C v (¬B → ¬C))
A
B
C
¬B
¬C
A^B
¬B→¬C
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Jadi ekspresi logika diatas adalah tautology karena pada table kebenarannya semua pasangannya
menghasilkan nilai T.
2. Buktikan : ¬(A ^ B ) v B adalah tautologi ?
Bukti : Buat Tabel Kebenarannya seperti berikut :
A
B
A^B
¬(A ^ B)
¬(A ^ B) v B
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
Jadi, ekspresi diatas juga Tautologi
Agustin, M. Kom
3. Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika siska tidur, maka Tini pergi
kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.
Jawab :
Diubah ke variabel proposisional :
A = Tono pergi kuliah
B = Tini pergi kuliah
C = Siska tidur
Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi
logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan logika 3 adalah kesimpulan.
1. A → B
(premis)
2. C → B
(premis)
3. (A v C)→B
(kesimpulan)
Selanjutnya, dapat ditulis berikut :
((A → B) ^ (C → B)) → ((A v C) → B)
Setelah itu, buatlah tabel kebenarannya dari ekspresi logika tersebut :
((A → B) ^ (C → B)) → ((A v C) → B)
A
B
C
A→B
C→B
(A→B)^(C→B)
AvC
(AvC)→B
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Jadi, jika table kebenaran menunjukkan hasil tautology, maka argument tersebut valid.
Agustin, M. Kom
KONTRADIKSI
Adalah Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya,
tanpa memperdulikan nilai kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di
dalamnya.
Example :
Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut :
((A v B) ^ ¬A) ^ ¬B
Buatlah Tabel Kebenarannya :
((A v B) ^ ¬A) ^ ¬B
A
F
F
T
T
B
F
T
F
T
¬A
T
T
F
F
¬B
T
F
T
F
Jadi, ekspresi logika di atas terjadi kontradiksi.
Agustin, M. Kom
(A v B)
F
T
T
T
((A v B) ^ ¬A)
F
T
F
F
CONTINGENT
Adalah Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel
kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada
di dalamnya.
Example :
Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut :
((A ^ B) → C) → A
Buatlah tabel kebenarannya :
A
F
F
F
F
T
T
T
T
B
F
F
T
T
F
F
T
T
C
F
T
F
T
F
T
F
T
A^B
F
F
F
F
F
F
T
T
(A ^ B) → C
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
2. ((A → B) ^ (¬B → C)) → (¬C → A)
Tabel Kebenarannya ;
((A → B) ^ (¬B → C))
((A → B) ^ (¬B →C)) → (¬C → A)
A
F
F
F
F
T
T
Agustin, M. Kom
B
F
F
T
T
F
F
C
F
T
F
T
F
T
¬B
T
T
F
F
T
T
¬C
T
F
T
F
T
F
A→B
T
T
T
T
F
F
¬B→C ¬C→A
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Nilai-nilai kebenaran pada nilai kebenaran sebagai hasil akhir di tabel kebenaran tidak
harus selalu berurutan antara F dan T, yang penting ada T dan ada F.
LATIHAN
Soal 1.
Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini termasuk tautologi, kontradiksi
atau contingent
1. A → (B →A)
2. (¬A → ¬B) → (B → A)
3. (A ^ (A → B)) → B
4. ((A ↔ B) ↔ ((A ^ B) v (¬A ^ ¬B))
Soal 2.
Jika (A v ¬A) adalah tautology, buktikan bahwa ekspresi logika berikut adalah tautology
1. (A → B) v ¬(A → B)
2. ¬A v ¬¬A
Soal 3.
Perhatikan dengan seksama argument berikut :
Jika Badu senang, maka Siti senang, dan jika Badu sedih, maka Siti sedih. Siti tidak
senang atau Siti tidak sedih. Dengan demikian, Badu tidak senang atau Badu tidak sedih.
Buatlah ekspresi logikanya dan buktikan apakah termasuk tautology, kontradiksi atau
contingent dengan tabel kebenaran.
Agustin, M. Kom
EKUIVALEN LOGIS
EKUIVALEN LOGIS ( ≡ )
Kapan dikatakan suatu ekspresi logika ekuivalen logis???
1. Jika kedua ekspresi logika adalah Tautologi ( T dan T pada Tabel Kebenaran ).
2. Jika kedua ekspresi logika adalah Kontradiksi ( F dan F pada Tabel Kebenaran ).
3. Pada Contingen, jika urutan T dan F atau sebaliknya pada Tabel Kebenaran tetap pada
urutan yang sama.
Example 1 :
(1). Indah sangat cantik dan peramah.
(2). Indah peramah dan sangat cantik.
Kedua pernyataan diatas, tanpa pikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam
bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini :
A = Indah sangat cantik
B = Indah peramah
Ekspresi logikanya adalah :
(1). A ^ B
(2). B ^ A
Jika dikatakan kedua ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka dapat ditulis :
(A^B)≡(B^A)
Ekuivalen logis dari kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan Tabel Kebenaran :
A
F
F
T
T
Agustin, M. Kom
B
F
T
F
T
A^B
B^A
F
F
F
T
F
F
F
T
Example 2 :
(1). Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.
(2). Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.
Secara intuitif dapat ditebak kalau kedua pernyataan diatas sebenarnya sama saja, tetapi
bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika.
A = Badu pandai
B = Badu jujur
Ekspresi logikanya adalah : (1). ¬ A v ¬ B
(2). ¬( A ^ B )
Dengan tabel kebenaran dapat dibuktikan bahwa kedua ekspresi logika di atas ekuivalen.
A
F
F
T
T
B
F
T
F
T
A^B
F
F
F
T
¬A v ¬B
¬ (A ^ B)
T
T
T
F
T
T
T
F
Ekspresi logika diatas belum dikatakan ekuivalen logis meskipun nilainya di tabel kebenaran
sama.
Untuk menjadikannya ekuivalen logis maka digunakan perangkai ekuivalensi antara kedua
ekspresi logika tersebut, dan akhirnya menghasilkan tautology.
(¬ A v ¬ B) ↔ ¬( A ^ B )
T
T
T
T
Agustin, M. Kom
KOMUTATIF DAN ASOSIATIF
Komutatif
Ciri-cirinya :
1. Variabel kedua proposisi dapat saling berganti tempat tanpa mengubah nilai kebenaran
dari kedua ekspresi.
Ex : ( A ^ B ) ≡ ( B ^ A)
(A↔B)≡(B↔A)
2. Perangkai Konjungsi ( ^ ), Disjungsi ( v) dan Ekuivalensi ( ↔ ) bersifat komutatif
3. Perangkai Implikasi ( → ) tidak bersifat komutatif dengan dibuktikan dari tabel
kebenaran
Ex :
( A → B ) dengan ( B → A ) tidaklah ekuivalen.
Asosiatif
Ciri – cirinya :
1. Mengacu pada pemindahan tanda kurung dan tidak mengubah nilai kebenarannya.
Ex : ( ( A ^ B ) ^ C ) ≡ ( A ^ ( B ^ C ) )
 Buktikan dengan Tabel Kebenaran
2. Biasanya terjadi pada perangkai yang sama ( Disjungsi, Konjungsi dan Ekuivalensi )
Ex : ( ( A v B ) v C ) ≡ ( A v ( B v C ) )
3. Pengecualian pada Perangkai Implikasi ( → )
Ex : ( ( A → B ) → C ) tidak sama ( A → ( B → C ) )
Kebenaran
 Buktikan dengan Tabel
4. Jika perangkainya berbeda pada satu ekspresi logika tidak bisa memindahkan tanda
kurung dengan sembarangan.
Ex : ( ( A ^ B ) v C ) dan ( A ^ ( B v C ) ) tidaklah sama.
Kebenaran
Agustin, M. Kom
 Buktikan dengan Tabel
HUKUM – HUKUM LOGIKA
Berikut ini akan diberikan tabel yang berisi hukum-hukum logika yang penting dan banyak
digunakan untuk melakukan operasi logika dan semua hukum-hukum tersebut dapat dibuktikan
dengan tabel kebenaran :
Daftar Ekuivalen Logis
(Plus Hukum-hukum Logika Proposisional)
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Agustin, M. Kom
Ekuivalen Logis
A^1≡A
Av0≡A
Av1≡1
A^0≡0
A v ¬A ≡ 1
A ^ ¬A ≡ 0
AvA≡A
A^A≡A
¬¬A≡A
A^B≡B^A
AvB≡BvA
(A ^ B) ^ C ≡ A ^ (B ^ C)
(A v B) v C ≡ A v (B v C)
A ^ (B v C) ≡ (A ^ B) v (A ^ C)
A v (B ^ C) ≡ (A v B) ^ (A v C)
A ^ (A v B) ≡ A
A v (A ^ B) ≡ A
A ^ (¬A v B) ≡ A ^ B
A v (¬A ^ B) ≡ A v B
¬ (A ^ B) ≡ ¬A v ¬B
¬ (A v B) ≡ ¬A ^ ¬B
(A ^ B) v (A ^ ¬B) ≡ A
A → B ≡ ¬A v B
A → B ≡ ¬(A ^ ¬B)
A ↔ B ≡ (A ^ B) v (¬A ^ ¬B)
A ↔ B ≡ (A → B) ^ (B → A)
(A ^ B) v (A ^ ¬B) ≡ A
(A v B) ^ (A v ¬B) ≡ A
(A ^ B) v (¬A ^ B) ≡ B
(A v B) ^ (¬A v B) ≡ B
Nama
Identity of ^ (Identity Laws)
Zero of v (Identity Laws)
Identity of v (Dominition Laws)
Zero of ^ (Dominition Laws)
Tautology (Excluded Middle Law)
Law of Contradiction
Idempotence Laws
Idempotence Laws
Law of Double Negation
Komutatif
Komutatif
Assosiatif
Assosiatif
Distributif
Distributif
Absorpsi
Absorpsi
Absorpsi
Absorpsi
De Morgan’s Law
De Morgan’s Law
Latihan :
Buktikan bahwa ekspresi logika berikut ini ekuivalen dengan menggunakan tabel kebenaran :
1. ¬A ↔ B ≡ (¬A v B) ^ (¬B v A)
2. A → (¬A → B) ≡ 1
3. (A v ¬B) → C ≡ (¬A ^ B) v C
4. A → (B → C) ≡ (A→ B) → C
5. A → B ≡ ¬(A ^ ¬B)
6. ¬ (¬ (A ^ B) v B ) ≡ 0
7. (( A ^ (B → C)) ^ (A → (B → ¬C))) → A ≡ 1
Agustin, M. Kom