VEKTOR Tujuan Setelah mengikuti perkuliahan mahasiswa dapat menerapkan hitung vektor dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan Fisika dan keteknikan Besaran vektor adalah : Besaran yang mempunyai besar dan arah . Contoh besaran vektor antara lain gaya berat, kecepatan gerak, momentum dan sebagainya Besaran skalar adalah besaran yang hanya mempunyai besar . contoh dari besaran fisis seperti ini antara lain : temperatur , massa, volume , luas dan sebagainya. Vektor Posisi Vektor Posisi digunakan untuk menentukan posisi dalam suatu koordinat. Posisi titik P terhadap O juga dapat dinyatakan dengan vektor posisi yang kita tarik dari O sampai P. Vektor posisi ini ditulis dengan P=r (Ө). R =jarak O terhadap titik, Ө sudut antara vektor dengan sb X positip Vektor Satuan vektor yang besarnya = 1 arahnya sama dengan arah vektor â = ā/ ā= â Contoh vektor satuan adalah vektor satuan arah x y z yaitu vektor satuan ijk misal ā = 5 i + 3j -2k Operasi Vektor Jumlah Vektor vektor a + b = c sb Y c a b sb X Jumlah Beberapa Vektor Vektor a,b,c,d (b) g= a+b+d+c (c) f= d + a – b + c Selisih Vektor Sb Y Sb Y b b a a O sb X c c -b O sb X c Mencari besar resultan vektor c φ a Ө a b Ө c φ b Besar vector c = = ( 1800 – Ө) Besar vector c = Cos ( 1800 – Ө) = - Cos Ө Contoh Diketahui vektor P panjang 6 sudut dengan x positif = 30° dan vektor R panjang 8 sudut dengan sumbu x positf = 75° berapakah jumlah vektor P dan vektor R. R P 75o 30o Penyelesaian : Sudut antara vektor P dan vektor R Adalah = 75°- 30° = 45° Besar P + R = = = 12,95 R= √(∑ X ) + (∑ Y) 2 2 vektor besar sudut X=R(cos ) y=R (sin ) A 10 45 10cos 45 10sin 45 B 16 30 16cos 30 16sin 30 C 20 60 20cos 60 20sin 60 ∑X ∑Y Perkalian Vektor Perkalian titik(skalar) antara dua Vektor A .B = adalah sebuah skalar A A Ө B A. cos Ө Sifatnya A∙B=B∙A B Jika vektor dinyatakan dalam komponen vektor dalam arah i, j, k maka : î• î = Cos 00 = 1 î • j = Cos 900 = 0 î •k = Cos 900 = 0 j•j = Cos 00 = 1 j • î = Cos 900 = 0 k • î = Cos 900 = 0 k•k = Cos 00 = 1 k •j k j i = Cos 900 = 0 j•k = Cos 900 = 0 Contoh Vektor A = 3i + 5j – k Vektor B = 2i + j + 4k Carilah A ∙ B Penyelesaian : A ∙ B = (3i + 5j – k) (2i + j + 4k ) = 3∙2 + 5∙1 + (-1) ∙ 4 =6+5–4=7 Perkalian silang (vektor) antara dua Vektor A x B = A B sinӨ adalah sebuah vektor yang arahnya searah dengan majunya sekrup putar kanan yang diputar dari vektor A ke vektor B dan tegak lurus dengan bidang yang dilalui oleh vektor A dan vektor B . AxB A B Untuk vektor yang dinyatakan dalam vektor komponen arah i, j, k maka berlaku aturan sebagai berikut : lihat gambar, arah putaran dari perkalian dua vektor searah dengan jarum jam sama dengan (-) vektor yang lain. Dan arah putaran dari perkalian dua vektor berlawanan arah dengan jarum jam sama dengan ( + ) vektor yang lain. Sehingga harga perkalian sebagai berikut, k i x i = 0 i x j = k i x k = -j j x j = 0 j x i =-k j x k = i kxk = 0 k x i = j k x j = -i + j i Contoh Vektor A = i2 + 2j + k Vektor B = i+ 2j – k Carilah : (a) A x B (b ) B x A Penyelesaian : AxB = (i2 + 2j + k) (i+ 2j – k) = 2.1.i2 + 2.2 ij - 2.1 ik + 2.1 ji +2.2 j2 -2.1 jk + 1.1 ki +1.2kj -1.1 k2 = 0 +4k + 2j - 2k + 0 – 2i +j -2i +0 AxB = - 4i + 3j +2k BxA = (i+ 2j – k) (i2 + 2j + k) = 1.2 i2 +1.2 ij + 1.1ik + 2.2 ji +2.2 j2 + 2.1 jk – 1.2 ki - 1.2 kj - 1.1 k2 = 0 + 2k -j - 4 k + 0 + 2i –2 j + 2i + 0 BxA = 4 i – 3j -2k Untuk menghindari kesulitan diatas ada cara lain untuk mencari hasil perkalian silang antara dua vektor yaitu dengan determinan yacobi. Misal : Vektor A = a1i + a2j + a3k dan vektor B = b1i + b2j +b3k maka : AxB= I a1 j k = i a2 a3 - j a1 a3 + k a1 a2 a2 a3 b2 b3 b1 b3 b1 b2 b1 b2 b3 =i(a2b3 – b2a3) - j (a1b3 - b1a3) +k (a1b2 - b1a2) Contoh vektor A = 2i + 2j + k dan Vektor B = i + 2j ∙ k Carilah : a) A x B b) B x A Penyelesaian : Soal latihan 1. Carilah : 2. A = 2i + 2j + 3k B = 2i + 5j – 2k Carilah : a. A.B b. A x B c. Vektor arah yang tegak lurus bidang yang dilalui A dan B 3.Vektor A = 2i + j – k B = 4j + 2k C = 1j + 2k Carilah : a. sudut antara A dan B b. sudut antara A dan C c. sudut antara B dan C d. (A + B) x (B + C)
