BAB IV.Distribusi Probabilitas diskrit

BAB IV.
DISTRIBUSI PROBABILITAS
DISKRIT
Diskrit
-
Jumlah bayi lahir berbobot minimal 3 kg
Jumlah mahasiswa asli Yogyakarta
Jumlah mahasiswa dari luar yogya
Jumlah sapi di desa A
Banyak tanaman teki di suatu petak
Kontinu
Panjang daun
Tinggi tanaman
Bobot kambing
Kadar air
Absorbansi senyawa kimia
Jika kita memiliki ruang contoh yang terdiri
dua elemen yaitu mahasiswa asli Yogyakarta
(A) dan mahasiswa dari luar Yogya (L), dan
digambarkan dengan himpunan { A dan L} .
Kita lambangkan ruang peluang dengan {p,q}.
p= P[A] yaitu peluang bahwa mahasiswa
tersebut maasiswa asli Yogyakarta
q = P[L] yaitu peluang bahwa mahasiswa
tersebut maasiswa dari luar Yogyakarta
Kita dapat menghitung ruang peluang contoh
yang terdiri dua mahasiswa sbb:
[AA, AL, LL]
p² 2pq q²
Bila kita harus mengambil contoh tiga
mahasiswa secara saling tidak gayut, ruang
peluang contoh yang terdiri tiga mahasiswa
adalah sbb:
[AAA, AAL, ALL, LLL]
[ p³ 3p²q 3pq² q³]
Perhatikan bahwa :
Banyak Contoh
Ruang Sampel
1
p+q
2
p² + 2 pq + q²
3
p³ + 3p²q + 3pq² + q³
Segitiga Pascal
K
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Segitiga Pascal memberi koefisien binomial yaitu
banyak hasil yang mungkin dan berbagai
kombinasi kejadian.
Untuk k = 1 koefisiennya adalah: 1 , 1
Untuk k = 2 koefisiennya adalah: 1, 2, 1
Untuk k = 3 koefisiennya adalah: 1 , 3, 3, 1
dan seterusnya
Andaikan kita mempunyai suatu populasi
serangga tepat diantaranya 30% terkena
infeksi virus tertentu. Dan diambil contoh k =
5 serangga dan meneliti tiap serangga secara
terpisah ada tidaknya virus, maka:
p = 0,3 yaitu proporsi serangga yang terinfeksi
q = 0,7 yaitu proporsi serangga tidak terinfeksi
Proporsi yang diharapkan akan berupa
pemekaran binomial :
(p + q)⁵ = (0,3 + 0,7)⁵
(0,3)⁵ + 5(0,3)⁴(0,7) + 10(0,3)³(0,7)²
+ (10)(0,3)² (0,7)³ + 5(0,3)(0,7)⁴
+(0,7)⁵
Artinya dari 5 serangga contoh,
Harapan frekuensi serangga
5 terinfeksi : (0,3)⁵ = ……
4 terinfeksi :
5(0,3)⁴(0,7) = ……
3 terinfeksi:
…………….
2 terinfeksi
……………
1 terinfeksi
……………
0 terinfeksi : (0,7)⁵
A. Variabel random diskrit.
Variabel random diskrit X adalah :
Cara memberi nilai angka pada setiap elemen ruang
sampel
X(a) : Ukuran karakteristik tertentu dari setiap elemen a
pada suatu ruang sampel.
Distribusi Probabilitas variabel random diskrit.
Tabel, grafik atau formula/rumus yang menunjukkan nilai
probabilitas p(X) yang berasosiasi dengan setiap nilai
yang mungkin dari X.
Contoh 1: Satu buah koin yang seimbang dilempar 2 kali,
jika X adalah yang muncul angka, carilah distribusi
probabilitas dari X
Jawab :
Kejadian
Sederhana (Ei)
Deskripsi
Jumlah angka
yang muncul
P(Ei)
E1
AG
1
¼
E2
AA
2
¼
E3
GA
1
¼
E4
GG
0
¼
Berdasarkan pada tabel tersebut :
P(X=1) = P(E1) + P(E3) = ¼ + ¼ = ½
P(X=0) = P(E4) = ¼
P(X=2) = P(E2) = ¼
Distribusi Probabilitas Diskrit untuk X
jumlah angka yang muncul
Nilai X
P(X)
0≤ p(X) ≤ 1
0
1/4
∑ p(X) = 1
1
1/2
Untuk semua X
2
1/4
∑ P(X) = 1
B. Harga harapan/Expected Value/Mean
Jika x adalah variabel random diskrit dengan
probabilitas p(x) maka mean atau expected value
dari x adalah :
µ = E(x) = ∑ x p(x)
untuk semua x.
C. Variansi dan standard deviasi
Jika x adalah variabel random diskrit dengan
probabilitas p(x) maka variansi dari x adalah :
σ2 = E[(x-µ)2 ]
Dan standar deviasi dari x adalah akar kuadrat dari
variansinya :
σ = √σ2
Contoh dari soal 1.
µ = E(x) = ∑ x p(x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = 1
σ2 = E[(x-µ)2 ]
= (0-1)2 (¼) + (1-1)2 (½)+ (2-1)2 (¼)
=½
σ = √σ2 = √ ½ = 0,707
D. Bernoulii trials
Beberapa kejadian dalam probabilitas diskrit menganut
kejadian bernoulli yaitu kejadian dengan
karakteristik:
1. Setiap trials menghasilkan satu dari dua hasil yang
mungkin yang dinamakan sukses (S) dan gagal (T)
2. Setiap trial, probabilitas sukses p(S) adalah sama
dan ditulis p=p(S). Probabilitas tidak sukses atau
gagal adalah p(T)=1-p(S) dan ditulis q maka p+q=1
3. Trial-trial itu independen satu dengan yang lainnya,
probabilitas akan sukses suatu trial tidak berubah
meskipun diperoleh informasi tentang trial lain
Contoh kejadian Bernoulii :
1. Pelemparan uang logam yang seimbang : p=q=1/2
2. Pengambilan sampel dengan pengembalian
3. Pengambilan sampel tanpa pengembalian tetapi
jumlah sampel sangat kecil ( < 5%) dibanding jumlah
populasi.
4. Pengambilan sampel hasil produksi sehingga dapat
dikategorikan hasilnya sebagai baik atau rusak.
Contoh 2 :
Probabilitas seorang ibu akan melahirkan laki-laki adalah 0,5 maka
berapakah probabilitas bahwa anak yang ketiga laki-laki ?
P(LLL U LPL U PLL U PPL) = P(LLL) + P(LPL) + P(PLL)+P( PPL)
= [P(LL) + P(LP) + P(PL)+P( PP)]P(L)
I. Distribusi Probabilitas Diskrit Binomial
Karakteristik :
1. Ekperimen terdiri dari n ualngan kejadian bernoulii
yang identik.
2. Setiap trial mempunyai dua kemungkinan hasil S
untuk Sukses dan T untuk gagal
3. P(S) = p dan P(T)=q tetap untuk setiap trial dengan
p+q=1
4. Tiap trial independen
5. Variabel random binomial x adalah jumlah sukses
dalam n trial.
Distribusi Probabilitas untuk variabel random Binomial
adalah :
n 
p ( x)   
 x
x
pq
n x
Dengan x = 0,1,2,3… n
p = probabilitas sukses
q = 1-p
n = jumlah trial
x = jumlah sukses dalam n trial
n 
n!
 x   x!(n  x)!
 
Untuk n besar  perhitungan rumit sudah ada dalam tabel :
n
P( x  c)    
x 0  x 
c
p (1 p)
x
n x
Untuk peristiwa lainnya ditranfer dalam bentuk :
P(x=a)=P(x≤a) – P(x≤(a-1))
P(a≤x≤b) = P(x≤b) – P[(x≤(a-1)]
P(x>c) = 1 – P(x≤c).
II. Distribusi Probabilitas Hipergeometrik
Karakteristik :
1. Sampel random sebanyak n elemen diambil dengan tanpa
pengembalian dari populasi N elemen dimana :
– a
elemen dikatergorikan sukses
– N – a elemen dikategorikan sebagai gagal
2. Ukuran sampel n sangat besar relatif terhadap N elemen
dalam populasi yaitu jika n/N>0,05
3. Variabel random hipergeometrik x adalah jumlah sukses
dalam n elemen
4. Distribusi probabilitas hipergeometrik :
a   N  a 
 x  n  x 

p( X  x)    
N 
n
 
X = 0,1,2,3…a untuk a<n
X = 0,1,2,3…n untuk n<a
III. Distribusi Poisson
Karakteristik :
1. Percobaan terdiri dari sejumlah bagian kejadian yang terjadi
dalam satu satuan waktu atau luasan atau volume tertentu
atau satuan lainnya seperti jarak, berat dan lain-lain.
2. Probabilitas kejadian dalam unit waktu atau luasan atau
volume tertentu adalah sama
3. Jumlah kejadian dalam unit waktu atau luasan atau volume
tertentu adalah independen.
Rumus :

P( X  x)  e

x!
x
X= 0,1,2,3…..
λ= rata-rata jumlah kejadian dalam unit satuan tertentu
e= 2,718
• Mean dan variansi dari distribusi poisson
µ = λ dan
σ2=λ=n p
Tabel Probabilitas Poisson komulatif

p( X  x)   e
c
x 0
x
x!
Distribusi probabilitas binomial jika n besar dan p sangat kecil
(mendekati nol) maka dapat dikerjakan dengan pendekatan
poisson.
Perbandingan karakteristik distribusi Probabilitas diskret
Binomial
Hipergeometrik
Poisson
Terdiri dari n trial
Jumlah trial n tidak terlalu
besar
Sampel random sebanyak
n diambil dari populasi N
Banyak hasil percobaan
yang terjadi selama satu
satuan tertentu (Waktu,
luasan atau volume).
Tiap ulangan trial selalu
menghasilkan 2
kemungkinan yaitu sukses
atau gagal
Pengambilan sampel
tanpa pengembalian
Jika n besar maka p sangat
kecil atau mendekati nol.
Percobaan
Probabilitas sukses tiap
Sebanyak a elemen dari N
trial adalah sama
dikategorikan sebagai
Probabilitas p cukup besar sukses dan (N-a) sebagai
gagal
Tiap trial independen
Nilai tengah atau rata-rata
sama dengan nilai
variansinya.
Soal latihan
1. Sebuah kotak memuat 20 apel dan terdapat 4 buah yang telah
rusak. Jika seorang komsumen membeli 5 buah apel dan
mengambil secara random, hitunglah probabilitas :
a. Apel yang terambil 2 buah rusak
b. Lebih dari 2 apel yang telah rusak.
2. Hasil pengujian pelabelan saus menunjukkan bahwa 20%
pelabelan gagal. Jika diambil 4 buah sampel botol secara
random, berapakah probabilitas 3 dari 4 botol tersebut tidak
berlabel.
3. Hasil pengujian pelabelan kemasan kaleng menunjukkan
bahwa 0,05 pelabelan gagal. Jika diambil 40 buah sampel
kaleng secara random, berapakah probabilitas :
a. Satu buah kaleng tak berlabel
b. Tiga atau kurang kaleng yang tidak berlabel.
Soal Latihan
4. Andaikata kita mempunyai suatu populasi serangga, tepat
40% diantaranya terinfeksi oleh virus X. Jika mengambil
contoh dengan k= 5 serangga dan meneliti tiap serangga
secara terpisah-pisah akan ada tidaknya virus, distribusi yang
bagaimana dapat diharapkan apabila peluang setiap serangga
pada contoh untuk terinfeksi tidak gayut dengan serangga
yang lain ? Dianggap bahwa populasi sangat besar sehingga
cara pengambilan contoh dengan pemulihan atau tanpa
pemulihan tidak menimbulkan masalah.