1. Ruang Vektor Real 1. Definisi Misalkan adalah himpunan yang di lengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar(dalam hal ini skalar adalah bilangan riil). disebut Ruang Vektor, jika memenuhi sepuluh aksioma yang ada. 1. Aksioma Sepuluh aksioma yang ada: 1. Untuk setiap berlaku (tertutup penjumlahan) 2. Untuk setiap berlaku (komulatif) 3. Untuk setiap berlaku (asosiatif) 4. Ada dan berlaku, untuk setiap (anggota identitas penjumlahan) 5. Untuk setiap , ada dan berlaku (anggota invers penjumlahan) 6. Untuk setiap dan setiap, berlaku (tertutup perkalian skalar) 7. Untuk setiap dan setiap berlaku (distributif perkalian dengan skalar) 8. Untuk setiap dan setiap berlaku (distributif skalar) 9. Untuk setiap dan setiap berlaku (asosiatif perkalian dengan skalar) 10. Untuk setiap berlaku (perkalian dengan skalar 1). Anggota ruang vektor disebut vektor. 1. Sifat sifat Ruang Vektor : Jika adalah suatu ruang vektor dan adalah suatu vektor dalam , serta adalah suatu skalar, maka: 1. 2. 3. 4. Jika , maka , atau 1. Sub Ruang 1. Definisi Suatu sub himpunan dari ruang vektor disebut sub ruang dari jika itu sendiri merupakan suatu ruang vektor dibawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada . 1. Teorema 1. Jika adalah suatu himpunan yang terdiri atas satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor maka adalah suatu sub ruang jika dan hanya jika syarat berikut terpenuhi Jika dan adalah vektor-vektor pada maka berada pada . Jika adakah skalar sebarang dan adalah vektor sebarang pada maka berada pada . 1. Jika adalah suatu sistem liner homogen yang terdiri dari persamaan dengan faktor yang tidak diketahui, maka himpunan vektor solusi adalah suatu subruang dari . 2. Jika adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor , Maka himpunan yang terdiri dari semua kombinasi linier adalah suatu sub ruang dari . adalah sub ruang terkecil dari yang mengandung dalam arti bahwa setiap sub ruang lain dalam yang mengandung pasti mengandung . 3. Jika dan adalah dua himpunan vektor –vektor pada suatu ruang vektor maka rentang rentang jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor pada . 4. Kebebasan Linear 1. Definisi Jika adalah himpunan tak kosong vektor-vektor, maka persamaan vektor Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu jika ini satu-satunya solusi, maka disebut sebagai himpunan bebas linier (linierly Independent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka disebut sebagai himpunan tidak bebas linier (linierly dependent) 1. Teorema 1. Suatu hipunan dengan dua atau lebih vektor adalah: Tidak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu dari vektor pada dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada . Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor pada yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada . 2. Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak bebas linier. Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak satupun dari vektornya merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. 3. Misalkan adalah suatu himpunan vektor-vektor pada . Jika , maka tidak bebas linier. 4. Jika fungsi memiliki turunan kontinu pada interval dan jika wronskian dari fungsi-fungsi ini tidak identik dengan nol pada , maka fungsi-fungsi ini membentuk suatu himpunan bebas linier pada . 2. Basis dan Dimensi 1. Definisi Jika adalah suatu ruang vektor sebarang dan adalah suatu himpunan vektor-vektor pada , maka disebut basis untuk jika dua syarat berikut berlaku: 1. bebas Linier 2. merentang 3. Teorema 1. Keunikan Reprentasi Basis. Jika adalah suatu basis dari ruang Vektor , maka setiap vektor pada dapat dinyatakan dalam bentuk dengan tepat satu cara. 2. Misalkan adalah suatu ruang berdimensi terhingga dan adalah baris sebarang. Jika suatu bidang himpunan mempunyai vektor lebih dari , maka vektor tersebut bersifat tidak bebas linier Jika suatu himpunan memiliki vektor kurang dari , maka himpunan tersebut bersifat tidak merentang 1. Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang sama 2. Teorema plus/minus Misalkan adalah himpunan tak kosong vektor-vektor pada ruang vektor . Jika adalah himpunan bebas linier dan jika adalah suatu vektor pada yang terletak di luar rentang , maka himpunan yang diperoleh dengan menyisipkan ke dalam masih bersifat bebas linear. Jika adalah suatu vektor pada yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya pada , dan jika menotasikan himpunan yang diperoleh dengan mengeluarkan dari , maka dan merentang ruang yang sama; yaitu 1. Jika adalah suatu ruang berdimensi , dan jika adalah suatu himpunan pada dengan tepat vektor, maka adalah basis untuk jika salah satu dari hal berikut berlaku, merentang atau bebas linier. 2. Misalkan adalah suatu himpunan tehingga dari vektor-vektor pada suatu ruang vektor berdimensi terhingga. Jika merentang , tetapi bukan suatu basis untuk , maka dapat direduks menjadi suatu basis untuk dengan mengelurkan vektor-vektor yang sesuai dari . Jika adalah suatu himpunan bebas linear yang belum merupakan basis untuk maka dapat diperbesar menjadi suatu basis untuk dengan menisipkan vektor-vwktor yang sesuai kedalam . 3. Jika adalah suatu subruang dari suatu sub ruang vektor yang berdimensi terhingga, maka Lebih lanjut jika dim , maka . Daftar Pustaka http://studyingzone.blogspot.com/2011/07/ruang-vektor-umum.html Anton,Howard. 2002.Dasar-Dasar Aljabar Linier(jilid 1).Tangerang: Binarupa Aksara http://www.ittelkom.ac.id/staf/mhd/MateriKuliah/AljabarMatriks/Bab%206%20Ruang%20V ektor.pdf
