Aljabar Linear

MA3131 Aljabar Linier
Semester I 2006/2007
1. Misalkan F sebuah himpunan tak hampa yang dilengkapi dengan operasi
penjumlahan dan perkalian. Kita katakan F lapangan jika berlaku:
(i) α + β = β + α, untuk setiap α, β ∈ F ,
(ii) (α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ F ,
(iii) ada unsur 0 ∈ F yang memenuhi α + 0 = α = 0 + α, ∀α ∈ F ,
(iv) ∀α ∈ F , terdapat β ∈ F sehingga α + β = 0 = β + α,
(v) αβ = βα, ∀α, β ∈ F ,
(vi) (αβ)γ = α(βγ), ∀α, β, γ ∈ F ,
(vii) ∃1 ∈ F yang memenuhi 1 · α = α = α · 1, ∀α ∈ F ,
(viii) ∀α ∈ F , α 6= 0, ∃β ∈ F sehingga αβ = 1 = βα,
(ix) α(β + γ) = αβ + αγ, ∀α, β, γ ∈ F .
2. Definisi ruang vektor:
Misalkan F sebuah lapangan. Misalkan pula V suatu himpunan tak
hampa yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan aksi oleh F .
Kita katakan V ruang vektor atas F jika berlaku:
(i) u + v = v + u, untuk setiap u, v ∈ V ,
(ii) (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V ,
(iii) ada unsur 0 ∈ V yang memenuhi u + 0 = u = 0 + u, ∀u ∈ V ,
(iv) ∀u ∈ V , terdapat v ∈ V sehingga u + v = 0 = v + u,
(v) 1 · u = u, ∀u ∈ V ,
(vi) (αβ) · u = α · (β · u), ∀α, β ∈ F, u ∈ V ,
(vii) (α + β) · u = α · u + β · u, ∀α, β ∈ F, u ∈ V ,
(viii) α · (u + v) = α · u + α · v, ∀α ∈ F, u, v ∈ V .
3. Misalkan V ruang vektor atas lapangan F dan v ∈ V . Pandang himpunan
hvi = {αv | α ∈ F }, yaitu hvi adalah himpunan semua kelipatan v.
Perhatikan bahwa x, y ∈ hvi =⇒ x + y ∈ hvi dan α ∈ F, x ∈ hvi =⇒
αx ∈ hvi. Akibatnya, operasi penjumlahan dan aksi oleh skalar di V
adalah juga operasi dan aksi di hvi.
Terhadap operasi dan aksi tersebut, hvi adalah ruang vektor atas F .
4. Definisi: Subhimpunan K dari V adalah subruang dari V jika K adalah
ruang vektor terhadap operasi dan aksi yang sama dengan operasi dan
aksi di V .
1
5. Fakta: Jika (i) sifat S berlaku untuk semua unsur himpunan A dan (ii)
B ⊆ A, maka sifat S juga berlaku untuk semua unsur B.
6. Teorema: Subhimpunan K 6= ∅ dari V adalah subruang dari V jika dan
hanya jika K tertutup terhadap operasi dan aksi di V , yaitu (i) x+y ∈ K,
untuk semua x, y ∈ K, dan (ii) αx ∈ K, untuk semua α ∈ F , x ∈ K.
7. Teorema: Subhimpunan K 6= ∅ dari V adalah subruang dari V jika dan
hanya jika αx + βy ∈ K, untuk semua α, β ∈ F , x, y ∈ K.
8. Jika α, β ∈ F dan x, y ∈ V , unsur αx + βy disebut kombinasi linier dari
x dan y.
Lebih umum, jika X ⊆ V , X 6= ∅, unsur z ∈ V adalah kombinasi linier
dari X jika terdapat sejumlah hingga unsur X, katakan x1 , x2 , . . . , xk ,
dan unsur-unsur α1 , α2 , . . . , αk di F demikian, sehingga z = α1 x1 +α2 x2 +
· · · + α k xk .
9. Himpunan semua kombinasi linier


k
X
hXi =
αi xi

 i=1
dari X kita tulis sebagai hXi. Jadi

α1 , α2 , . . . , αk ∈ F, 

.
x1 , x2 , . . . , xk ∈ X,


k bilangan asli
10. Definisi: Subhimpunan X dari V membangun V jika V = hXi. [Kita
katakan juga X adalah pembangun V .] Dalam hal ini, setiap unsur V
adalah kombinasi linier dari X.
11. Fakta: Setiap ruang vektor senantiasa memiliki subhimpunan pembangun. Subhimpunan pembangun suatu ruang vektor tidak mesti tunggal.
12. Misalkan A sebuah himpunan. Kita katakan B adalah subhimpunan sejati
dari A jika B ⊆ A dan B 6= A.
13. Definisi: Subhimpunan X dari V adalah basis bagi V jika
(i) V = hXi dan
(ii) tidak ada subhimpunan sejati Y dari X yang memenuhi V = hY i.
14. Basis bagi V adalah himpunan pembangun V terkecil.
15. Misalkan Y adalah subhimpunan sejati dari X yang memenuhi V = hY i.
Maka semua unsur X \ Y adalah kombinasi linier dari Y .
Misalkan z ∈ X \ Y . Maka z adalah kombinasi linier dari Y . Akibatk
X
nya z adalah kombinasi linier dari X \ {z}. Tulis z =
αi xi , dimana
i=1
α1 , α2 , . . . , αk ∈ F dan x1 , x2 , . . . , xk ∈ X \ {z}.
2
Akibatnya z +
k
X
(−αi ) xi = 0. Karena z, x1 , x2 , . . . , xk ∈ X, ini berarti
i=1
bahwa 0 adalah kombinasi linier dari X dengan tidak semua koefisiennya
nol.
k
X
Perhatikan bahwa 0 = 0 · z +
0 · xi . Dengan demikian, 0 dapat
i=1
dituliskan sebagai kombinasi linier dari X dalam lebih dari satu cara.
16. Definisi: Subhimpunan X dari V kita katakan bebas linier jika 0 hanya
dapat dituliskan sebagai kombinasi linier dari X dalam satu cara, yaitu
dengan semua koefisien nol. Jika X tidak bebas linier, kita katakan X
bergantung linier.
17. Kesimpulan: Jika Y adalah subhimpunan sejati dari X dan V = hY i,
maka X bergantung linier.
18. Kesimpulan di atas ekivalen dengan:
jika X bebas linier, maka tidak ada subhimpunan sejati Y dari X yang
memenuhi V = hY i.
19. Kebalikan dari kesimpulan di atas juga berlaku. Tunjukkan!
20. Teorema: Subhimpunan X dari V adalah basis bagi V jika dan hanya
jika
(i) V = hXi dan
(ii) X bebas linier.
21. Fakta: Setiap ruang vektor selain ruang nol (h0i) memiliki basis.
22. Sifat: Jika Y ⊆ X ⊆ V dan X bebas linier, maka Y bebas linier.
23. Sifat: Jika Y ⊆ X ⊆ V dan Y membangun V , maka X membangun V .
24. Teknik penggantian
Misalkan X = {x1 , x2 , . . . , xn } basis bagi V . Misalkan Y subhimpunan
tak hampa dari V yang bebas linier.
Pilih y ∈ Y .
Karena X basis, terdapat α1 , α2 , . . . , αn ∈ F sehingga y =
Karena Y bebas linier, maka y 6= 0, sehingga tidak semua
mengurangi keumuman, misalkan α1 6= 0. Maka
n X
αi
1
y+
−
xi .
x1 =
α1
α1
i=2
Klaim: X 0 = {y, x2 , x3 , . . . , xn } basis bagi V .
3
n
X
i=1
αi =
α i xi .
0. Tanpa
Bukti klaim:
Bahwa hX 0 i = V :
Misalkan v ∈ V . Untuk suatu β1 , β2 , . . . , βn ∈ F , berlaku
v =
n
X
βi xi = β1 x1 +
i=1
n
X
β i xi
i=2
!
n
n
X
X
αi
1
y−
xi +
β i xi
= β1
α1
α
i=2
i=2 1
n X
β1
β1 αi
=
y+
βi −
xi .
α1
α1
i=2
Jadi v ∈ hX 0 i.
Jadi V = hX 0 i.
Bahwa X 0 bebas linier:
n
X
Misalkan 0 = β1 y +
βi xi . Maka
i=2
0 = β1
n
X
α i xi +
i=1
n
X
βi xi
i=2
= β1 α1 x1 +
n
X
(β1 αi + βi ) xi .
i=2
Karena X bebas linier, maka β1 α1 = 0 dan β1 αi + βi = 0, untuk i =
2, 3, . . . , n.
Dari β1 α1 = 0 dan α1 6= 0, kita peroleh β1 = 0. Akibatnya, untuk
i = 2, 3, . . . , n, βi = 0.
Jadi β1 = β2 = · · · = βn = 0.
Jadi X 0 bebas linier.
Jadi X 0 basis bagi V . Klaim terbukti.
25. Misalkan Y memuat paling sedikit 2 unsur. Misalkan z ∈ Y , z 6= y.
n
X
Maka z kombinasi linier dari X 0 . Misalkan z = γ1 y +
γi xi , untuk
i=2
suatu γ1 , γ2 , . . . , γn ∈ F .
Kalau γ2 = γ3 = · · · = γn = 0, maka z adalah kelipatan y, sehingga Y
bergantung linier. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan γ2 6= 0.
Klaim: X 00 = (X \ {x1 , x2 }) ∪ {y, z} basis bagi V .
Buktikan klaim di atas.
26. Misalkan X basis bagi V , |X| = n. Misalkan Y subhimpunan tak hampa
dari V yang bebas linier. Misalkan k ≤ n dan {y1 , y2 , . . . , yk } ⊆ Y . Akan
4
kita tunjukkan dengan induksi pada k bahwa terdapat x1 , x2 , . . . , xk ∈ X
sehingga
(X \ {x1 , x2 , . . . , xk }) ∪ {y1 , y2 , . . . , yk }
basis bagi V .
27. Telah kita tunjukkan benar untuk k = 1.
Misalkan k ≤ n dan asumsikan bahwa
Z = (X \ {x1 , x2 , . . . , xk−1 }) ∪ {y1 , y2 , . . . , yk−1 }
basis bagi V , untuk suatu x1 , x2 , . . . , xk−1 ∈ X.
Maka yk kombinasi linier dari Z dengan koefisien dari unsur X tidak
semuanya nol.
Misalkan xk adalah unsur X dengan koefisien taknol tersebut. Tulis
yk =
k−1
X
δi yi +
i=1
n
X
δ i xi ,
(1)
i=k
dimana xk+1 , . . . , xn unsur-unsur X.
Karena δk 6= 0, maka
xk =
k−1 n X
X
δi
δi
1
−
yk +
−
yi +
xi .
δk
δk
δk
i=1
(2)
i=k+1
Klaim: Z 0 = (Z \ {xk }) ∪ {yk } basis bagi V .
Garis besar bukti klaim:
Bahwa hZ 0 i = V :
Misalkan v ∈ V .
Tuliskan v sebagai kombinasi linier dari Z.
Ganti xk pada kombinasi linier dengan (??).
Bahwa Z 0 bebas linier:
Tulis 0 sebagai kombinasi linier dari Z 0 .
Ganti yk pada kombinasi linier dengan (??). Kita peroleh 0 sebagai
kombinasi linier dari Z.
Semua koefisien kombinasi linier pengganti bernilai 0.
Simpulkan bahwa koefisien kombinasi linier semula bernilai 0.
28. Teorema: Misalkan X = {x1 , x2 , . . . , xn } sebuah basis bagi V dan Y ⊆
V bebas linier. Maka terdapat subhimpunan Z dari X, dengan |Z| = |Y |,
sehingga (X \ Z) ∪ Y basis bagi V .
29. Akibat:
(a) Jika V memiliki sebuah basis dengan n unsur dan Y suatu subhimpunan bebas linier dari V , maka |Y | ≤ n.
5
(b) Jika X dan Y adalah basis-basis bagi V dan |X| = n, maka |Y | = n.
(c) Jika V memiliki sebuah basis hingga, maka semua basis bagi V
memiliki kardinalitas (banyak unsur) sama.
(d) Jika V memiliki sebuah basis hingga, maka V tidak mungkin memiliki basis tak hingga.
(e) Jika V memiliki sebuah basis hingga, maka setiap subhimpunan bebas linier dari V termuat di dalam suatu basis bagi V .
30. Jika V memiliki basis hingga, kita katakan bahwa V berdimensi hingga.
Dalam hal ini, dimensi V , ditulis dimF (V ), adalah banyak unsur sembarang basis bagi V . Bila tidak ada kerancuan, kita tuliskan dim V .
31. Untuk selanjutnya, kita asumsikan bahwa V adalah ruang vektor
berdimensi hingga.
32. Sifat: Misalkan K subruang dari V . Maka dim K ≤ dim V .
33. Misalkan V ruang vektor atas F yang berdimensi n.
34. Teorema: Misalkan X = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ V . Maka X basis bagi V
jika dan hanya jika setiap unsur V dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari X secara tunggal.
35. Definisi: Misalkan X = {x1 , x2 , . . . , xn } basis bagi V . Jika v 
∈ V de
α1


n
X
 α2 

ngan v =
αi xi , koordinat v terhadap basis X adalah [v]X =  . 
.
 .. 
i=1
αn
36. Misalkan X = {x1 , x2 , . . . , xn } dan Y = {y1 , y2 , . . . , yn } basis-basis bagi
V . Misalkan v ∈ V . Bagaimana hubungan antara [v]X dan [v]Y ?
37. Misalkan v =
n
X
αi xi =
i=1
Misalkan pula yj =
n
X
n
X
βi yi , dengan αi , βi ∈ F , i = 1, 2, . . . , n.
i=1
γij xi , j = 1, 2, . . . , n. Maka
i=1
v =
n
X
βj
j=1
=
n
X
n
X
!
γij xi
i=1


n
X

βj γij  xi .
i=1
6
j=1
Karena X basis, haruslah αi =
n
X
βj γij , i = 1, 2, . . . , n. Dalam bentuk
j=1
matriks:

 Pn
j=1 βj γ1j



 Pn
βj γ2j 



j=1


 = 
..




.




Pn
αn
j=1 βj γnj



γ11 γ12 · · · γ1n
β1



 γ21 γ22 · · · γ2n   β2 



=  .
..
..   .. 
.
.
.
.
.  . 

γn1 γn2 · · · γnn
βn


γ11 γ12 · · · γ1n


 γ21 γ22 · · · γ2n 

Matriks S =  .
..
.. 
 kita namakan matriks perubahan
.
.
.
. 

γn1 γn2 · · · γnn
basis dari Y ke X.
Perhatikan bahwa kolom ke-k matriks S adalah koordinat yk terhadap
basis X, k = 1, 2, . . . , n.

α1
α2
..
.

38. Misalkan X basis bagi V . Pandang pengaitan v 7−→ [v]X , ∀v ∈ V .
39. Pengaitan di atas mendefinisikan sebuah pemetaan dari V ke F n , namakan ϕ. Pemetaan ϕ memiliki sifat-sifat berikut:
(a) Untuk setiap a ∈ F n , terdapat v ∈ V yang memenuhi ϕ(v) = a.
(b) Untuk sembarang u, v ∈ V berlaku jika ϕ(u) = ϕ(v), maka u = v.
(c) Untuk setiap u, v ∈ V berlaku ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v).
(d) Untuk setiap α ∈ F, v ∈ V berlaku ϕ(αv) = αϕ(v).
40. Definisi: Misalkan A, B dua himpunan tak hampa. Misalkan pula S
adalah pemetaan dari A ke B. Kita katakan S pada jika, untuk setiap
b ∈ B, terdapat a ∈ A sehingga b = S(a). Kita katakan S satu-satu jika,
untuk setiap a1 , a2 ∈ A berlaku S(a1 ) = S(a2 ) =⇒ a1 = a2 .
41. Karena sifat (c), kita katakan bahwa ϕ mengawetkan operasi penjumlahan. Sifat (d) mengatakan bahwa pemetaan ϕ mengawetkan aksi oleh
skalar. Pemetaan yang mengawetkan operasi penjumlahan dan mengawetkan aksi oleh skalar disebut pemetaan linier.
42. Sifat: Terdapat pemetaan linier satu-satu dari V pada F n .
43. Misalkan U, V ruang-ruang vektor atas F dan T pemetaan dari V ke U
(ditulis T : V −→ U ).
7
44. Definisi: Pemetaan T adalah pemetaan linier jika T (x + y) = T (x) +
T (y), ∀x, y ∈ V , dan T (αx) = αT (x), ∀α ∈ F, x ∈ V .
45. Teorema: Pemetaan T adalah pemetaan linier jika dan hanya jika T (αx+
βy) = αT (x) + βT (y), ∀α, β ∈ F, x, y ∈ V .
46. Sifat: Pemetaan T adalah pemetaan linier!jika dan hanya jika T mengak
k
X
X
wetkan kombinasi linier, yaitu T
α i xi =
αi T (xi ), untuk setiap
i=1
i=1
α1 , α2 , . . . , αk ∈ F, x1 , v2 , . . . , vk ∈ V , k ∈ N.
47. Pemetaan linier ditentukan oleh peta dari unsur-unsur basis daerah asal.
48. Teorema: Misalkan {x1 , x2 , . . . , xn } basis bagi V dan y1 , y2 , . . . , yn ∈
U . Maka terdapat secara tunggal pemetaan linier T : V −→ U yang
memenuhi T (xi ) = yi , i = 1, 2, . . . , n.
49. Misalkan X = {x1 , x2 , . . . , xn } basis bagi V dan Z = {z1 , z2 , . . . , zm }
basis bagi U . Misalkan T : V −→ U linier.
50. Misalkan v ∈ V . Tuliskan v =
n
X
αi xi dan T (v) =
i=1
Maka
m
X
βj zj = T (v) =
j=1
n
X
m
X
β j zj .
j=1
αi T (xi ).
i=1
Tuliskan T (xi ) =
m
X
γji zj , i = 1, 2, . . . , n. Maka
j=1
m
X
β j zj =
j=1
n
X

αi
i=1
m
X

γji zj  =
j=1
m
n
X
X
j=1
Karena Z bebas linier, maka βj =
n
X
!
αi γji
i=1
αi γji , j = 1, 2, . . . , m.
i=1
Hubungan ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks
 
α1

h
i
 α2 

βj = γj1 γj2 · · · γjn  . 
.
 .. 
αn
Dengan menuliskan

γ11

 γ21
B=
 ..
 .
γ12
γ22
..
.
···
···
γm1 γm2 · · ·
8
zj .

γ1n

γ2n 
.. 
,
. 
γmn
kita peroleh [T (v)]Z = B[v]X .
Perhatikan bahwa
h
B = [T (x1 )]Z
[T (x2 )]Z
···
i
[T (xn )]Z .
51. Matriks B disebut matriks penyajian pemetaan T terhadap basis X dan
Z, ditulis [T ]X,Z . Dalam hal U = V dan Z = X, kita tulis [T ]X = [T ]X,X .
52. Jika X, Y basis-basis bagi V dan Z, W basis bagi U , bagaimanakah
hubungan antara [T ]X,Z dan [T ]Y,W ?
53. Himpunan semua unsur V yang oleh T dikaitkan ke unsur nol di U , yaitu
{x ∈ V | T (x) = 0}, dinamakan Inti(T ). Sedangkan daerah hasil T , yaitu
{T (x) ∈ U | x ∈ V }, kita namakan Peta(T ).
54. Sifat: Jika T pemetaan linier, maka
(a) T mengaitkan unsur nol di V ke unsur nol di U ,
(b) Inti(T ) adalah subruang dari V ,
(c) Peta(T ) adalah subruang dari U .
55. Misalkan dim V = n. Misalkan T : V −→ U linier.
56. Sifat: Misalkan v1 , v2 , . . . , vk ∈ V . Jika {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vk )} bebas linier, maka {v1 , v2 , . . . , vk } juga bebas linier.
57. Teorema: dim(Peta(T )) + dim(Inti(T )) = n.
58. Ingat kembali bahwa terhadap operasi penjumlahan fungsi dan aksi oleh
skalar real, RR = {f : R −→ R} merupakan ruang vektor atas R.
59. Misalkan P3 = p ∈ RR p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 ; a0 , a1 , a2 , a3 ∈ R}.
Maka P3 adalah subruang dari RR .
60. Setiap unsur P3 dapat diturunkan menjadi satu unsur P3 juga. Pemetaan
yang mengaitkan setiap unsur P3 dengan fungsi turunannya kita nyatakan
dengan D. Kita tulis D : P3 −→ P3 . Pengaitan oleh D kita tuliskan
sebagai D(f ) = f 0 atau D : f 7−→ f 0 , ∀f ∈ P3 .
61. Pemetaan D adalah pemetaan linier.
62. Sebenarnya D(f ) ∈ P2 = p ∈ RR p(x) = a2 x2 +a1 x + a0 ; a0 , a1 , a2 ∈ R},
untuk semua f unsur P3 , sehingga pemetaan yang terbangun adalah
b : P3 −→ P2 . Pemetaan D dan D
b adalah dua pemetaan berbeda.
D
b di atas bersifat pada (tunjukkan!), tetapi D tidak. Kedua
63. Pemetaan D
pemetaan tidak satu-satu.
9
64. Sifat: Misalkan T pemetaan linier. Maka T satu-satu jika dan hanya
jika Inti(T ) = h0i.
65. Misalkan A, B, C himpunan-himpunan tak kosong dan S : A −→ B, T :
B −→ C. Komposisi T dan S, ditulis T ◦ S, adalah pemetaan dari A ke
C dengan aturan (T ◦ S)(x) = T (S(x)), ∀x ∈ A.
66. Pemetaan idA : A −→ A adalah pemetaan identitas pada A jika idA (x) =
x, untuk semua x ∈ A.
67. Pemetaan S : A −→ B memiliki invers jika terdapat pemetaan S 0 : B −→
A sehingga S 0 ◦ S = idA dan S ◦ S 0 = idB .
Suatu pemetaan memiliki invers jika dan hanya jika pemetaan tersebut
satu-satu pada (bijektif).
68. Jika terdapat pemetaan linier bijektif dari V ke U , kita katakan V dan
U isomorfik. Pemetaan linier bijektif disebut isomorfisma.
69. Pemetaan linier dari ruang vektor V ke V disebut operator linier pada V .
70. Untuk ruang vektor V , pemetaan idV adalah operator linier pada V .
71. Teorema: Misalkan T operator linier pada V . Maka pernyataan berikut
ekivalen:
(i) T memiliki invers
(ii) T satu-satu
(iii) T pada.
72. Misalkan T : V −→ U linier. Misalkan X, Y basis-basis V dan Z, W
basis-basis U .
73. Jika v ∈ V , maka [v]X = S[v]Y , dimana S adalah matriks perubahan bab (v)]W , dimana Sb adalah
sis dari Y ke X. Demikian pula, [T (v)]Z = S[T
matriks perubahan basis dari W ke Z. Kita peroleh
b ]Y,W [v]Y
[T ]X,Z [v]X = S[T
b ]Y,W [v]Y .
[T ]X,Z S[v]Y = S[T
Dengan mengambil unsur-unsur Y sebagai v, kita peroleh [T ]X,Z S =
b ]Y,W . Karena Sb tak singular (mengapa?), maka [T ]Y,W = Sb−1 [T ]X,Z S.
S[T
74. Dalam hal U = V , Z = X dan W = Y , kita peroleh Sb = S dan [T ]Y =
S −1 [T ]X S.
75. Definisi: Dua matriks A, B berukuran n×n dikatakan serupa jika terdapat matriks tak singular S berukuran n × n yang memenuhi B = S −1 AS.
76. Misalkan {u1 , u2 } basis vektor di bidang dan w sembarang vektor di
bidang (kedua vektor u1 dan u2 tidak harus saling tegak lurus). Bagaimana kita menuliskan w sebagai kombinasi linier dari basis tersebut?
10
77. Ada tepat satu kombinasi linier yang dapat kita buat, katakan w =
α1 v1 + α2 v2 , dimana α1 , α2 bilangan-bilangan real.
Vektor α1 v1 terletak pada “perpanjangan” v1 dan kita peroleh dengan
menarik garis dari w sejajar v2 memotong “perpanjangan” v1 tersebut.
78. Kita katakan α1 v1 adalah hasil proyeksi w pada v1 sejajar v2 .
79. Misalkan V ruang vektor atas F dan K, L dua subruang dari V . Misalkan w ∈ V sembarang. Dapatkah kita menuliskan w sebagai hasil
penjumlahan unsur K dengan unsur L?
80. Definisi: Misalkan K, L subruang-subruang dari V . Himpunan {x +
y | x ∈ K, y ∈ L} kita namakan hasiltambah dari K dan L, ditulis K + L.
81. Sifat: K + L adalah subruang dari V .
82. Setiap w ∈ V dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan unsur K dengan unsur L jika dan hanya jika V = K + L.
83. Kalau dapat dilakukan, apakah penulisan tersebut tunggal?
84. Teorema: Setiap unsur V dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan
unsur K dan unsur L secara tunggal jika dan hanya jika V = K + L dan
K ∩ L = {0}.
85. Definisi: Dalam hal K ∩ L = {0}, kita katakan K + L hasiltambah
langsung dari K dan L, ditulis K ⊕ L.
86. Definisi: Jika V = K ⊕ L, kita katakan L adalah komplemen K dalam
V.
87. Misalkan V = K ⊕ L. Maka untuk setiap w ∈ V , terdapat secara tunggal
x ∈ K, y ∈ L sehingga w = x + y.
Buat pengaitan w 7−→ x. Kita katakan bahwa x adalah hasil proyeksi w
pada K sejajar L.
88. Dengan menggerakkan w di seluruh V , pengaitan ini memberikan sebuah
pemetaan dari V dengan daerah hasil K. Ambil V sebagai kodomain dan
namakan pemetaan itu P . Jadi P : V −→ V .
Kita katakan P adalah proyeksi pada K sejajar L.
89. Tunjukkan bahwa P linier.
90. Kita sudah tahu bahwa Peta(P ) = K. Apakah Inti(P )?
91. Apakah yang kita peroleh kalau kita mengenakan P kepada w dua kali
berturut-turut; dengan kata lain, apakah (P ◦ P )(w)?
11
92. Sebagai komposisi dua pemetaan linier, P 2 = P ◦ P adalah pemetaan
linier.
Tunjukkan bahwa P 2 = P .
93. Pemetaan linier T : V −→ V dikatakan idempoten jika T 2 = T .
94. Misalkan T :−→ V idempoten. Tunjukkan bahwa Peta(T ) + Inti(T ) = V
dan Peta(T ) ∩ Inti(T ) = h0i.
95. Teorema: Misalkan T : V −→ V linier. Maka T idempoten jika dan
hanya jika T adalah proyeksi pada Peta(T ) sejajar Inti(T ).
96. Misalkan V = K ⊕ L. Misalkan X = {x1 , x2 , . . . , xk } basis K dan Y =
{y1 , y2 , . . . , yn−k } basis L.
Apa yang bisa kita katakan tentang X ∪ Y ?
97. Misalkan P proyeksi pada K sejajar L. Tentukan matriks penyajian
[P ]X∪Y .
98. Misalkan K 6= h0i. Perhatikan bahwa jika x ∈ K, maka P (x) = x.
Unsur x ∈ K, x 6= 0, disebut vektor karakteristik P untuk nilai karakteristik 1.
99. Jika L 6= h0i, unsur y ∈ L, y 6= 0, juga vektor karakteristik P .
Dalam hal ini, apakah nilai karakteristiknya?
100. Misalkan T operator linier pada V .
Definisi: Misalkan λ ∈ F dan x ∈ V , x 6= 0. Kita katakan x adalah
vektor karakteristik T untuk nilai karakteristik λ jika T (x) = λx.
101. Apakah artinya w ∈ V vektor karakteristik T ?
102. Apakah artinya α ∈ F nilai karakteristik T ?
103. Bagaimana memperoleh nilai dan vektor karakteristik T ?
104. Perhatikan bahwa
T (x) = λx ⇐⇒ (λ idV − T ) (x) = 0,
yaitu λ nilai karakteristik T jika dan hanya jika persamaan (λ idV −
T )(x) = 0 memiliki solusi tak trivial x 6= 0.
105. Misalkan A = [λ idV − T ]X , untuk suatu basis X bagi V . Perhatikan
bahwa λ idV −T memiliki solusi tak trivial jika dan hanya jika SPL Ax = 0
memiliki solusi tak trivial jika dan hanya jika bentuk eselon baris dari A
memuat baris nol.
12
106. Misalkan B bentuk eselon baris dari A. Maka B adalah matriks segitiga
atas. Perhatikan bahwa B memuat baris nol jika dan hanya jika diagonal utama B memuat komponen nol jika dan hanya jika hasilkali semua
komponen diagonal utama B adalah nol.
107. Buat alat pengukur: A ∈ F n×n 7−→ δ(A) ∈ F .
Pandang δ sebagai fungsi dari baris-baris matriks. Fungsi δ yang kita
buat memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) jika A, B, C ∈ F n×n memiliki baris-baris yang sama, kecuali baris
ke-i matriks A adalah jumlah baris ke-i matriks B dan baris ke-i
matriks C, maka δ(A) = δ(B) + δ(C),
(b) jika α ∈ F dan A, B ∈ F n×n memiliki baris-baris yang sama, kecuali
baris ke-i matriks A adalah α kali baris ke-i matriks B, maka δ(A) =
α · δ(B),
(c) jika A, B ∈ F n×n , dimana matriks A diperoleh dengan mempertukarkan baris ke-i dan baris ke=j matriks B, i 6= j, maka δ(A) =
−δ(B),
(d) δ(I) = 1.
Fungsi δ dengan keempat sifat di atas adalah tunggal, yaitu fungsi determinan.
108. Tentukan δ(E) untuk ketiga tipe matriks elementer E.
109. Sifat: Fungsi determinan bersifat multiplikatif, yaitu det(AB) = det(A) det(B).
110. Definisi: Kita definisikan determinan T sebagai determinan sembarang
matriks penyajian T . Notasi: det(T ).
Sifat multiplikatif determinan membuat definisi ini baik.
111. Untuk menentukan determinan matriks A, kita dapat menggunakan operasi baris elementer. Ingat bahwa melakukan operasi baris elementer
berarti melakukan perkalian dengan matriks elementer.
112. Determinan juga dapat diperoleh dengan menggunakan ekspansi Laplace,
baik pada baris atau pun pada kolom.
Misalkan A(i|j) menyatakan matriks (n − 1) × (n − 1) yang diperoleh
dengan membuang baris ke-i dan kolom ke-j matriks A. Maka
det(A) =
n
X
(−1)i+j aij det(A(i|j))
j=1
n
X
=
(−1)i+j aij det(A(i|j)).
i=1
13
113. Dengan menggunakan fungsi determinan, nilai karakteristik λ untuk operator linier T dapat diperoleh sebagai solusi persamaan det(x idV − T ) =
0.
114. Dengan memperhatikan sifat multiplikatif determinan, kita mempunyai
det(x idV − T ) = det(xI − A), untuk sembarang matriks A yang merupakan matriks penyajian T .
115. Misalkan A sembarang matriks penyajian T .
Sifat: det(xI − A) adalah sukubanyak monik berderajat n.
116. Kita namakan det(xI − A) sukubanyak karakteristik A. Sukubanyak yang
sama juga dinamakan sukubanyak karakteristik T . Persamaan det(xI −
A) = 0 kita namakan persamaan karakteristik A atau persamaan karakteristik T .
117. Teorema Dasar Aljabar: Pada lapangan kompleks, setiap sukubanyak
berderajat n terurai sebagai hasil perkalian n faktor linier.
118. Sifat: Misalkan τ ∈ F . Maka himpunan W = {w ∈ V | T (w) = τ w}
adalah subruang dari V .
119. Jika τ adalah nilai karakteristik T , maka W 6= h0i. Dalam hal ini, W
kita namakan ruang karakteristik T untuk nilai karakteristik τ , dituliskan
W = E(τ ). Dimensi dari E(τ ) kita katakan multiplisitas geometri dari τ ,
ditulis mg (τ ).
14