1. Pertidaksamaan Suku Banyak

BAGIAN 1
PERTIDAKSAMAAN SUKU BANYAK (POLINOM)
Pertidaksamaan atau pertaksamaan adalah pernyataan yang berbentuk a  b (dibaca:
“a kurang dari b”), a  b (dibaca: “a kurang dari atau sama dengan b”), a  b (dibaca:
“ a lebih dari b”), dan a  b (dibaca: “a lebih dari atau sama dengan b).
Berdasarkan uraian tersebut dapat dikemukakan bahwa Pertidaksamaan dalam
matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan
ukuran dua objek atau lebih.
Pertidaksamaan yang dibahas meliputi pertidaksamaan suku banyak, pertidaksamaan
pecahan atau pertidaksamaan berbentuk hasil bagi, pertidaksamaan bentuk akar, dan
pertidaksamaan mutlak.
Suatu fungsi P yang didefinisikan oleh persamaan
Px   a0 x n  a1x n1  a2 x n2  ...  an1x  an
dengan a0 , a1, a2 ,..., an  R ; a0  0 ; n adalah bilangan cacah disebut suku banyak atau
polinom.
Bilangan real a0 , a1, a2 ,..., an disebut koefisien suku banyak, n disebut derajat suku
banyak, dan bilangan real a0  0 sebagai koefisien dari x yang berpangkat tertinggi
disebut koefisien pemuka (leading coefficient).
Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa suku banyak Px  adalah suku
banyak berderajat n dengan koefisien real dan variabel (peubah) x. Suku banyak ini
sering kali ditulis dengan lambing Pn x  .
Selanjutnya, pertidaksamaan suku banyak adalah bentuk aljabar yang ekuivalen dengan
Px   0 , Px   0 , Px   0 , atau Px   0 .
Perhatikan pertidaksamaan suku banyak Px   0 , dengan tanda pertidaksamaan <
dapat diganti oleh  0 ,  0 , atau  0 .
1. Jika n  1 , maka pertidaksamaan suku banyak tersebut mempunyai bentuk
Px   ax  b  0 (tanda pertidaksamaan < dapat diganti oleh  0 ,  0 , atau  0 )
dengan a, b  R dan a  0 disebut pertidaksamaan linear.
2.
Jika n  2 , maka pertidaksamaan suku banyak tersebut mempunyai bentuk
Px   ax2  bx  c  0 (tanda pertidaksamaan < dapat diganti oleh  0 ,  0 , atau
 0 ) dengan a, b, c  R dan a  0 disebut pertidaksamaan kuadrat.
1 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
3.
Jika n  2 , maka pertidaksamaan suku banyak Px   0 (tanda pertidaksamaan <
dapat diganti oleh  0 ,  0 , atau  0 ) disebut pertidaksamaan kubik (pangkat
tiga), kuartik (pangkat empat), kuintik (pangkat lima) dan seterusnya.
1. Pertidaksamaan Linear
a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah bentuk aljabar yang ekuivalen dengan ax  b
yang benilai negatif (< 0), tak positif (  0 ) , positif (> 0) atau tak negatif
(  0 ), dengan a  0 .
Dengan demikian, setiap bentuk berikut ini,
ax  b  0, a  0
ax  b  0, a  0
ax  b  0, a  0
ax  b  0, a  0
dengan a dan b konstanta real adalah pertidaksamaan linear (dengan satu
variabel real).
Semua pertidaksamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk umum
(baku/standar).
Himpunan pengganti pertidaksamaan ini adalah himpunan bilangan real R.
Himpunan pengganti suatu pertidaksamaan adalah suatu himpunan yang
anggotanya dapat menggantikan variabel pertidaksamaan, yaitu menggantikan
x. Sedangkan himpunan penyelesaian (solusi/jawab) pertidaksamaan dalam
variabel x adalah himpunan semua x yang membuat pertidaksamaannya
menjadi suatu pernyataan yang benar.
b. Sifat-sifat Pertidaksamaan
Untuk setiap bilangan real a, b, c berlaku:
1. Sifat Refleksif:
a. a  a
b. a  a
2. Sifat Anti Simetris:
a. Jika a  b dan b  a , maka a  b
b. Jika a  b dan b  a , maka a  b
3. Sifat Transitif:
a. Jika a  b dan b  c , maka a  c
b. Jika a  b dan b  c , maka a  c .
c. Jika a  b dan b  c , maka a  c .
d. Jika a  b dan b  c , maka a  c .
2 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
c. Sifat Pertidaksamaan yang Dikaitkan dengan Operasi Aljabar
Teorema:
Misalkan a, b, c, dan d bilangan real.
1. a. Jika a  b , maka a  c  b  c
b. Jika a  b , maka a  c  b  c .
2. a. Jika a  b dan c  d , maka a  c  b  d .
b. Jika a  b dan c  d , maka a  c  b  d .
3. a. Jika a  b dan c  0 , maka ac  bc .
b. Jika a  b dan c  0 , maka ac  bc .
4. a. Jika a  b dan c  0 , maka ac  bc .
b. Jika a  b dan c  0 , maka ac  bc .
5. a. Jika 0  a  b dan 0  c  d , maka ac  bd
b. Jika a  b  0 dan c  d  0 , maka ac  bd .
1 1
6. a. Jika 0  a  b , maka  .
a b
1 1
b. Jika a  b  0 , maka  .
a b
1 1
7. a. Jika a  b  0 , maka  .
a b
1 1
b. Jika 0  a  b , maka  .
a b
d. Opersai-operasi yang Digunakan dalam Transformasi Pertidaksamaan
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear diperlukan beberapa sifat antara
lain:
1. Jika suatu pertidaksamaan kedua ruasnya masing-masing ditambah dengan
bilangan yang sama, maka didapat suatu pertidaksamaan baru yang
ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.
2. Pada suatu pertidaksamaan, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan
positif yang sama, maka didapat pertidaksamaan baru yang ekuivalen
dengan pertidaksamaan semula.
3. Pada suatu pertidaksamaan, jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan
negatif yang sama, maka didapat pertidaksamaan baru yang ekuivalen
dengan pertidaksamaan semula jika arah dari tanda ketidaksamaan itu
dibalik.
Selanjutnya, untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear diusahakan agar
variabel terletak pada suatu ruas dan konstanta di ruas lain, yaitu dengan
menambahkan lawan pada suku tanpa mengubah tanda ketidaksamaan jika
tanda faktor poisitif dan mengubahnya jika tanda faktor negatif.
3 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear, kita menyatakan variabel dan
konstanta dalam ruas yang berbeda a  0 . Jadikan koefisien x sama dengan 1,
maka kita memperoleh penyelesaian pertidaksamaan itu. Sebagai ilustrasi:
ax  b  0 , dengan a  0
ax  b
x
b
a
Jadi, penyelesaiannya adalah x  
b
dan himpunan penyelesaiannya adalah
a

b
 x x   .
a

e. Selang (Interval)
Suatu bilangan x dikatakan terletak di antara a dan b jika a  x dan x  b
disingkat a  x  b . Himpunan semua bilangan x yang memenuhi relasi
(hubungan) seperti a  x  b disebut selang atau interval.
Suatu selang adalah himpunan bilangan real x yang memenuhi sifat-sifat
tertentu yang meliputi:
1. Selang terbuka dari a ke b dinyatakan dengan a, b  dan didefinisikan
sebagai a, b   x a  x  b . Di sini nilai x  a dan x  b tidak termasuk
sehingga pada garis bilangan digambarkan berlubang. Gambar selang pada
garis bilangan adalah
a
b
2. Selang tertutup dari a ke b dinyatakan dengan a, b dan didefinisikan
sebagai
a, b  x a  x  b.
Di sini nilai x  a dan x  b termasuk
sehingga pada garis bilangan digambarkan tidak berlubang. Gambar selang
pada garis bilangan adalah
a
b
3. Selang setengah terbuka sebelah kiri dari a ke b dinyatakan dengan a, b
dan didefinisikan sebagai a, b  x a  x  b. Di sini nilai x  a tidak
termasuk dan x  b termasuk. Gambar selang pada garis bilangan adalah
a
4 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
b
4. Selang setengah terbuka sebelah kanan dari a ke b dinyatakan dengan a, b 
dan didefinisikan sebagai a, b   x a  x  b. Di sini nilai x  a termasuk
dan x  b tidak termasuk. Gambar selang pada garis bilangan adalah
a
b
5. Selang terbuka tak terbatas di kanan dinyatakan dengan
a, 
dan
didefinisikan sebagai a,   x x  a. Di sini nilai x  a tidak termasuk.
Gambar selang pada garis bilangan adalah
a
6. Selang terbuka tak terbatas di kiri dinyatakan dengan
 , b dan
didefinisikan sebagai  , b   x x  b. Di sini nilai x  b tidak termasuk.
Gambar selang pada garis bilangan adalah
b
7. Selang tertutup tak terbatas di sebelah kanan dinyatakan dengan a,  dan
didefinisikan sebagai a,   x x  a. Di sini nilai x  a
termasuk.
Gambar selang pada garis bilangan adalah
a
8. Selang tertutup tak terbatas di sebelah kiri dinyatakan dengan  , b dan
didefinisikan sebagai
 , b  x x  b.
Di sini nilai x  b termasuk.
Gambar selang pada garis bilangan adalah
b
9. Selang tak terbatas di kiri dan kanan dinyatakan dengan  ,  dan
didefinisikan
sebagai
himpunan
R
sendiri,
sehingga
 ,   x    x   R . Gambar selang pada garis bilangan adalah
O
5 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. 4 x  7  5 x  2
2x  1 2  x
b.

 2 , dengan x adalah bilangan bulat positif.
5
3
Solusi:
a. 4 x  7  5 x  2
4 x  5 x  2  7
 x  9
x9
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x x  9.
b.
2x  1 2  x

4
5
3
32 x  1  52  x   60
6 x  3  10  5 x  60
6 x  5 x  60  3  10
11x  67
67
11
1
x6
11
Karena x adalah bilangan bulat positif, maka 1,2,3,4,5,6 .
x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 1,2,3,4,5,6 .
Contoh 2:
Diketahui A  x  3  x  2, B  x 0  x  3, dan C  x x  2 atau 1  x  5 .
Tentukan A  B dan B  C .
Solusi:
3
A
2
0
B
3
A B
2
0
Jadi, A  B  x 0  x  2
0
2
2
6 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
1
0
B
3
5
5
C
BC
Jadi, B  C  x x  2 atau 0  x  5 atau B  C  x x  2  0  x  5
Contoh 3:
Tentukan himpunan penyenyesaian dari  1  74 x  3  28x  7  83 dengan x
bilangan bulat.
Solusi:
74 x  3  28x  7  1
28x  21  16 x  14  1
28x  16 x  1  21  14
12 x  36
x  3 .... (1)
74 x  3  28x  7  83
28x  21  16 x  14  83
28x  16x  83  21  14
12 x  48
x  4 .... (2)
Dari (1)  (2) diperoleh penyelesaian  3  x  4 .
Karena x adalah bilangan bulat maka nilai x yang memenuhi adalah 2, 1, 0, 1,
2, 3, 4.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  2,1,0,1,2,3,4
Contoh 4:
Tentukan
himpunan
3x  1  42 x  1  24

 3x 7  1 x 5 .

8 4
2
 4
Solusi:
3x  1  42 x  1  24
penyenyesaian
3x  3  8 x  4  24
3x  8 x  24  3  4
 5 x  14
5 x  14
14
.... (1)
5
3
7 1
5
x  x
4
8 4
2
x
6 x  7  2 x  20
6 x  2 x  20  7
6 x  2 x  20  7
4 x  13
7 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
dari
system
pertidaksamaan
x
13
.... (2)
4
Dari (1) (2) diperoleh penyelesaiannya adalah 
14
13
x
.
5
4
 14
13 
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  x   x  
5
4

Contoh 5:
Suhu di kota Makkah pada bulan Juli berkisar di antara 30o sampai 44o dalam
skala Celcius. Tentukan batas-batas suhu tersebut dalam skala Fahrenheit.
Solusi:
Hubungan antara skala Celcius dan Fahrenheit diberikan oleh rumus berikut ini.
9
5
F  C  32 atau C  F  32
9
5
5
Dari soal diketahui bahwa 30  C  44 . Kita mengganti C dengan F  32 ,
9
sehingga diperoleh
5
30  F  32  44
9
270  5F  160  396
430  5F  556
86  F  111,2
Dengan demikian, batas-batas suhu dalam skala Fahrenheit adalah 86o sampai
dengan 111,2o.
SOAL-SOAL LATIHAN 1
Selesaikanlah soal-soal berikut ini.
1. Gambarkan selang-selang berikut ini pada garis bilangan.
a. 2  x  4
e. x  1
i. x  3 atau x  0
b. 1  x  5
f. x  2
j. x  1 atau x  5
c. 0  x  3
g. x  3
k. x  2 atau 1  x  6
d. 2  x  2
h. x  4
l. 4  x  0 atau x  3
2. Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. 3x  8  2x
8 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
e.
1
1
 p  3   2 p  1
5
3
f. 5  w 
b. 5x  2  4x  5
4
 3w  2   9
3
3. Jika x adalah bilangan prima, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap
pertidaksamaan berikut ini.
a. 10  x  6   5x
b. 4   x  3  79  4x
x
108  2x
x 
6
12
x
105 7 x x


d.  3x  1 
4
4
2 10
c. 
4. Jika x adalah bilangan bulat positif, tentukan himpunan penyelesaian dari
setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. 5  x  2   4x  14
 x  32   x  12  72
b.
4
 4x  3  12x  13
3
6
4x  40 6  24x

d. 8x  9   3  x  
5
3
10
c. 32 
5. Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini dengan n
adalah bilangan bulat.
a. 36  2  x  5   3  2  x   12
b. 1 
3
3
 2x  1   3x  1  1
4
5
x  2 3x  1

2
3
4
x 3
x  1 x  2 11
x 


d.
6
3
2
4
c. 1 
6. Tentukan bilangan bulat terbesar setiap pertidaksamaan berikut ini.
2  x 2 8  x 2x  1 x  2x  5   3



3
12
9
6
9x  12 x  10 9  3x 16x  3



b.
4
3
10
20
9  3x
 16  2x  3x  2 
c. 3  2x  3 2  x  
2
a.
3  9x
x 3

 6 x 
 2x  1
4
5 

d.
7. Tentukan bilangan bulat terkecil setiap pertidaksamaan berikut ini.
10  21x 481  x

 x 1
4
18
13  3x 5x  4 12  8x


2
3
12
a.
b.
2x  3 2x 1  x


4
5
3
x 3x  8 x  2

3
d. 
2
5
20
c.
8. Tentukan himpunan penyelesaian setiap sistem pertidaksamaan berikut ini.

6  x  2x  9
a. 
3  x  3  4  x  2   18x  6
9 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
5x  5  6  x  2   3  3x  1
 3  x  12   10x  2  4x  9 
c. 
5x  5  6  x  2   3  3x  1
b. 
 3  x  12   10x  2  4x  9 
x 5

x 4 


2 6
d. 
8
x

4 5x  2
3x  1 


3
2

9. Tentukan himpunan penyelesaian bilangan bulat dari setiap sistem
pertidaksamaan berikut ini.
3  4  x   2x  13

a.  3
  x  33  8  3x
4
7 1
 3
x   x 5

4 2
 2
c. 
2  2x  1
x

1

4

3
 2

3  4  x   2x  37

b.  1
2
33
  2x  5    x  2  
5
20
4
9 5x  14 3x

x 



2
25
20
d. 
 7x  5x  4  6  x  4

12
6
 8
10. Tentukan himpunan penyelesaian bilangan bulat terbesar setiap sistem
pertidaksamaan berikut ini.
 3  x  6

a. x  4, x  0
 x  1

 x  15  3x  2

c. 3x  10  x  14
 5x  2  4 x  9

 x  3,0  x  5

b.  x  1,1  x  6
 4  x  7

 x 2  1 2x 2  3 5




10
2
d.  5
x

3
4
x

7
 2  2x 


2
3

11. Tentukan himpunan penyelesaian yang merupakan bilangan bulat dari setiap
sistem pertidaksamaan berikut ini.
5
x  15
1
 3x  4   1  x  

2
4
2
a. 
5
1 4
3

x  x

6
2 3
2

5
x  15
1
 3x  4   1  x  

2
4
2
b. 
5
1 4
3

x  x

6
2 3
2

12. Tentukan bilangan dua angka yang angka puluhannya berbeda 4 dengan
angka satuannya. Jika bilangan ini lebih dari 70 dan kurang dari 80.
13. Panjang sebuah sisi segitiga adalah 6 cm dan perbedaan sisi-sisi yang lainnya
adalah 2 cm. Tentukan sisi-sisi segitiga tersebut jika sisi-sisinya tidak
melebihi 8 cm.
14. Suhu di kota Bandung berkisar di antara 20o sampai 30o dalam skala Celcius.
Tentukan batas-batas suhu tersebut dalam skala Fahrenheit.
15. Suhu di kota Madinah pada bulan Sempember berkisar di antara 82,4o sampai
109,4o dalam skala Fahrenheit. Tentukan batas-batas suhu tersebut dalam
skala Celcius.
10 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
2. Pertidaksamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu bentuk aljabar yang ekuivalen dengan
salah satu bentuk aljabar berikut ini.
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
dengan a, b, dan c adalah konstanta real dan a  0 .
Pertidaksamaan kuadrat tersebut disajikan dalam bentuk umum (baku atau
standar). Himpunan pertidaksamaan kuadrat adalah bilangan real.
2. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita menyatakan terlebih dahulu
pertidaksamaan itu dalam bentuk umum, dengan a  0 , kemudian perhatikan
diskriminan D  b 2  4ac dari bentuk kuadrat ax 2  bx  c.
a. Kasus Diskriminan D  0
Dalam kasus ini, bentuk kuadrat ax 2  bx  c selalu positif (definit positif),
sehingga bentuk kuadratnya tidak dapat difaktorkan atas factor-faktor
linear, sehingga diperoleh
1. ax 2  bx  c  0 , a  0 mempunyai himpunan penyelesaian , sebab
tidak ada nilai x  R yang memenuhi, karena bentuk kuadratnya positif.
2. ax 2  bx  c  0 , a  0 mempunyai himpunan penyelesaian , sebab
tidak ada nilai x  R yang memenuhi, karena bentuk kuadratnya positif.
3. ax 2  bx  c  0 , a  0 mempunyai himpunan penyelesaian R, sebab
dipenui oleh setiap nilai x  R , karena bentuk kuadratnya positif.
4. ax 2  bx  c  0 , a  0 mempunyai himpunan penyelesaian R, sebab
dipenui oleh setiap nilai x  R , karena bentuk kuadratnya positif.
b. Kasus Diskriminan D  0
Pada kasus ini bentuk kuadrat ax 2  bx  c mempunyai dua faktor linear
yang berulang.
2
b 

Karena a  0 dan D  0 maka ax 2  bx  c  a x 
 0
2a 

setiap x  R , sehingga diperoleh
untuk
1. ax 2  bx  c  0 , a  0 mempunyai himpunan penyelesaian , sebab
tidak ada nilai x  R yang memenuhi, karena bentuk kuadratnya tak
negatif.
11 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
 b
2. ax 2  bx  c  0 , a  0 mempunyai himpunan penyelesaian   ,
 2a 
sebab bentuk kuadratnya sekaligus  0 dan  0 , sehingga bentuk
b
kuadratnya = 0 untuk x  
.
2a
b
3. ax 2  bx  c  0 , a  0 mempunyai himpunan penyelesaian x  R 
2a

b 
atau  x x  R, x    , sebab ruas kirinya selalu positif, kecuali untuk
2a 

b
x
.
2a
4. ax 2  bx  c  0 , a  0 mempunyai himpunan penyelesaian R, sebab
dipenui oleh setiap nilai x  R , karena bentuk kuadratnya tak negatif.
c. Kasus Diskriminan D  0
Pada kasus ini, bentuk kuadrat ax 2  bx  c dapat difaktorkan menjadi dua
buah factor linear yang berbeda. Karena a  0 dan D  0 maka
ax 2  bx  c  ax  x1 x  x 2  , dengan x1 
b D
b D
, x2 
,
2a
2a
D  b 2  4ac dan x1  x 2 .
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 , a  0 , dan
D  0 dapat digunakan salah satu cara berikut ini.
1. Melihat Semua Kemungkinan
Untuk kasus D  0 dan a  0
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  ax  x1 x  x 2   0 , x1  x 2
Ada dua kemungkinan yang terjadi:
(1) Kemungkinan 1:
x  x1  0 dan x  x2  0
Sehingga diperoleh
x  x1
dan
x  x 2 yang dipenuhi oleh
x1  x  x 2 dan x1  x 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x x1  x  x 2 
(2) Kemungkinan 2:
x  x1  0 dan x  x2  0
Sehingga diperoleh x  x1 dan x  x 2 yang tidak dapat terjadi
bersamaan karena x 2  x1 dipenuhi oleh x1  x  x 2 dan x1  x 2
12 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah .
Dari (1)  (2) atau x x1  x  x 2    menghasilkan
x x1  x  x2 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x x1  x  x 2 .
Untuk pertidaksamaan lainnya dapat diselesaikan dengan cara yang
serupa dengan pengerjaan tersebut di atas.
2. Menggunakan Tabel
Untuk kasus D  0 dan a  0
ax 2  bx  c  0
ax2  bx  c  ax  x1 x  x2   0 , x1  x 2
 , x1  x1
x
x1, x2 
x2 
x2 , 
x  x1

0
+
+
+
x  x2
x  x1 x  x2 

+

0

0
+

0
+
Dari soal diketahui bahwa perkalian faktor-faktornya adalah negatif
 0
maka
penyelesaian
dari
pertidaksamaan
ax 2  bx  c  0
ditunjukkan pada baris ke-4 dan kolom ke-4 adalah
x1, x2  atau
x1  x  x2 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x x1  x  x 2 .
Sebaliknya, jika dari soal diketahui bahwa perkalian faktor-faktornya
adalah positif  0 maka penyelesaian dari pertidaksamaan
ax2  bx  c  0 ditunjukkan pada baris ke-4 dan kolom ke-2 yaitu
 , x1  atau x  x1 serta baris ke-4 kolomo ke-6 yaitu x2 ,  atau
x  x2 .
Jadi,
himpunan
penyelesaiannya
adalah
x x  x1  x  x2  atau x x  x1 atau x  x2 .
 , x1   x2 , 
3. Menggunakan Diagram Garis Bilangan
Perhatikan pertidaksamaan berikut ini.
ax 2  bx  c  0 atau ax 2  bx  c  0 , dengan D  0 dan a  0
Tahapan untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut dengan
menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
(1) Uraikan bentuk kuadrat ax 2  bx  c atas faktor-faktor linear.
ax 2  bx  c  0
13 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
ax  x1 x  x2   0 , dengan x1  x 2
(2) Tetapkan nilai-nilai pembuat nol dari ruas kiri pertidaksamaan
tersebut.
ax  x1 x  x2   0
x  x1 atau x  x 2
(3) Gambarlah pembuat nol yang diperoleh pada tahapan (2) pada
diagram garis bilangan.
x1
x2
(4) Tentukaan tanda-tanda di sekitar nilai-nilai pembuat nol x1 dan x 2
dengan cara memilih titik-titik uji yang sesuai, kemudian
substitusikan pada ax 2  bx  c
a. Jika nilainya positif, berilah tanda (+) di daerah bilangan
tersebut sampai nilai pembuat nol x1 dan x 2 .

+
+
x1
x2
2
Penyelesaian pertidaksamaan ax  bx  c  0 adalah daerah
negatif, perhatikan tanda pertidaksamaan  0 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x x1  x  x 2 .
b. Jika nilainya negatif, berilah tanda () di daerah bilangan
tersebut sampai nilai pembuat nol x1 dan x 2 .
+
+

x1
x2
Penyelesaian pertidaksamaan ax 2  bx  c  0 adalah daerah
positif, perhatikan tanda pertidaksamaan  0 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x x  x1 atau x  x 2  .
Catatan:
x1 dan x 2 dinamakan nilai batas pertidaksamaan. Perubahan tanda pada
garis bilangan hanya akan terjadi pada selang yang memuat nilai batas
yang berasal dari faktor linear berpangkat ganjil. Sedangkan pada selang
yang memuat nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat
genap tidak terjadi perubahan tanda. Sebelumnya, tentukan tanda
pertidaksamaan pada suatu selang.
4. Menggunakan Rumus
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dapat digunakan rumus
sebagai berikut.
14 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
a. Jika ax 2  bx  c  0  ax  x1 x  x 2   0 , dengan x1  x 2 ,
maka
penyelesaiannya
x1  x  x 2
adalah
penyelesaiannya adalah x x1  x  x 2 .
dan
himpunan
b. Jika ax 2  bx  c  0  ax  x1 x  x 2   0 , dengan x1  x 2 ,
maka
penyelesaiannya
x1  x  x 2
adalah
penyelesaiannya adalah x x1  x  x 2 
dan
himpunan
c. Jika ax 2  bx  c  0  ax  x1 x  x 2   0 , dengan x1  x 2 ,
maka penyelesaiannya adalah x  x1 atau x  x 2 dan himpunan
penyelesaiannya adalah x x  x1 atau x  x 2  .
d. Jika ax 2  bx  c  0  ax  x1 x  x 2   0 , dengan x1  x 2 ,
maka penyelesaiannya adalah x  x1 atau x  x 2 dan himpunan
penyelesaiannya adalah x x  x1 atau x  x 2 .
Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x 2  8x  12 .
Solusi 1: Menggunakan Diagram Garis Bilangan
Tahap 1:
Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umum.
x 2  8x  12
x 2  8 x  12  0
Tahap 2:
Pemfaktoran bentuk kuadrat atas faktor-faktor linear.
x 2  8 x  12  0
x  2x  6  0
Tahap 2:
Tentukan nilai-nilai batas (pembuat nol) dari pertidaksamaan. Nilai-nilai batas ini
adalah akar-akar real dari bertuk kuadratnya.
Pembuat nolnya adalah
x  2  0 atau x  6  0
x  2 atau x  6
Tahap 3:
Gambarkan nilai-nilai batas tersebut pada garis bilangan. Nilai batas ini membagi
garis bilangan menjadi beberapa selang (interval).
+
2
15 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019

6
+
Tahap 4:
Tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap selang (interval).
Menentukan tanda pertidaksamaan (positif dan negatif) pada garis bilangan
dengan memilih titik uji tertentu. Usahakan memilih titik uji dari bilangan yang
jika disubstitusikan ke pertidaksamaan semula mudah dihitung.
Misalnya jika x  0 , maka 02  8  0  12  12  0 berarti daerah dari x  2
bernilai positif dan pada garis bilangan diberi tanda positif (+). Daerah lainnya
berubah tanda setelah melewati pembuat nol, sehingga daerah 2  x  6 bertanda
positif (+) dan daerah x  6 bertanda negatif ().
+
2

6
+
Tahap 5:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan, yaitu mengambil selang
(interval) yang bertanda sama dengan tanda dari pertidaksamaan.
Karena tanda pertidaksamaan adalah  0 (negatif), maka tanda yang sesuai pada
garis bilangan adalah daerah 2  x  6 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x 2  x  6 .
Solusi 2: Menggunakan Rumus
Kita mengetahui bahwa jika
x  x1 x  x 2   0 ,
dengan x 2  x1 , maka
x1  x  x2 .
x 2  8x  12  0
x  2x  6  0
2 x6
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x 2  x  6 .
Contoh 7:
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2 x 2  5x  3  0 .
Solusi 1: Menggunakan Diagram Garis Bilangan
2 x 2  5x  3  0
x  32 x  1  0
+
1
Pembuat nolnya adalah x  3 atau x 
2
Jadi, penyelesaiannya adalah x  3 atau x 
Solusi 2: Menggunakan Rumus
16 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
1
.
2

3


1
2
+
Kita mengetahui bahwa jika  x  x1  x  x 2   0 , dengan x 2  x1 , maka x  x1
atau x  x 2 .
2 x 2  5x  3  0
x  32 x  1  0
Jadi, penyelesaiannya adalah x  3 atau x 
1
.
2
Contoh 8:
23  x   5 x  4x  4
Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 
.
x2  4x  5  0

Solusi:
23  x   5 x  4x  4
6  2 x  5 x  4 x  16
 11x  22
x  2 .... (1)
x2  4x  5  0
x  5x  1  0
 1  x  5 .... (2)

1
Dari (1)  (2) diperoleh x 2  4 x  5  0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x 2  x  5.

2

5
Contoh 9:
Suatu bilangan bulat positif lebih besar 7 dari dua kali bilangan lainnya. Hasil kali
kedua bilangan tersebut tidak melebihi 60. Tentukan pasangan bilangan tersebut.
Solusi:
Misalnya x adalah bilangan yang terkecil dan bilangan terbesar adalah 2 x  7 .
x2 x  7  60
2 x 2  7 x  60
2 x 2  7 x  60  0
2x  15x  4  0
15
x4
2
Karena domain bilangan adalah bilangan bulat positif, maka 0  x  4 yang
dipenuhi oleh x  1,2,3 sehingga bilangan yang lainnya 2 x  7  9,11,13 .
Jadi, pasangan bilangannya adalah (1, 9); (2, 11); dan (3, 13).
Contoh 10:

Tentukan batas-batas agar grafik fungsi kuadrat y   x 2  2 x  8 di atas sumbu X.
17 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
Solusi:
 x2  2x  8  0
x2  2x  8  0
x  2x  4  0
2 x4
Contoh 11:
Tentukan batas-batas agar grafik fungsi kuadrat y  x 2 di atas grafik fungsi linear
yx.
Solusi:
x2  x
x2  x  0
xx  1  0
x  0 atau x  1
Contoh 12:
Tentukan batas-batas agar grafik fungsi kuadrat y  x 2 di bawah grafik fungsi
kuadrat y  4 x  x 2 .
Solusi:
x2  4x  x2
2x2  4x  0
2 x x  2   0
0 x2
Contoh 13:
Tentukan ukuran persegi panjang yang merupakan bilangan asli yang kelilingnya
50 cm dan luasnya melebihi 150 cm2.
Solusi:
Misalnya x dan y adalah sisi-sisi persegi panjang, dengan x  0 dan y  0
Keliling persegi panjang = 50
2x  y   50 .
x  y  25
y  25  x
Luas persegi panjang > 150
xy  150
x25  x   150
25x  x 2  150
25x  x 2  150
18 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
x 2  25x  150  0
x  10x  15  0
10  x  15
Karena x dan y bilangan asli, maka ukuran persegi panjang tersebut adalah
x, y   11,14 dan 12,13 .
SOAL-SOAL LATIHAN 2
Selesaikanlah soal-soal berikut ini.
1. Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. x  1x  4  0
c. x  2x  2  0
b.
x  2x  5  0



d. x  2 x  3 3  0
2. Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a.
4x2  9  0
c. 6 x 2  x  2  0
b. x 2  7 x  10  0
d. 10x 2  27 x  18  0
3. Jika x bilangan bulat, tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut
ini.
a.
b.
2 x  7x  1  0
3x  52 x  3 5   0
c. 2 x 2  7 x  5  0
d. 4 x 2  4 x 3  9  0
4. Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut ini.
a.
2x  3  x  32  x 

2
 x  3x  4  0
 x 2  3x  18  0
c.  2
 x  9 x  14  0
x
5
 2 x 2  x  28  0
 x  2  x   3
d.
 2
3
3
3x  19 x  6  0
 x 2  8 x  12  0
5. Jika x adalah bilangan bulat, tentukan himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan berikut ini.
b.
a.
61  2 x   5 x  46  x 

2
 4 x  39 x  27  0
 x 2  2 x  24  0
c.  2
 x  11x  10  0
b.
5
1
 3 6 x  1  2  6 3x  1

9

x2  x  9  0
2

 2 13
 x  x  10  0
d. 
2
 x 2  x  2  0
19 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
6. Jika x bilangan bulat, tentukan banyak bilangan bulat yang memenuhi sistem
pertidaksamaan berikut ini.
 2 21
 x2  x  6  0
x  x 5  0
a.  2
c. 
4
 x  x  20  0
2 x 2  15x  8  0
 x 2  2 x  15  0
 3 x 2  31x  36  0
d.
 2
 2
3x  22 x  24  0
2 x  29 x  60  0
7. Jika x bilangan bulat, tentukan nilai x terkecil dan terbesar dari sistem
pertidaksamaan berikut ini.

5 x 2  54 x  40  0

3x 2  x  70  0

a. 
c. 
7
17
32  x   2 x  1  2 x 
23x  2  36  21  4 x   4 x

3
3

b.
4 x 2  16 x  9  0
 6 x 2  37 x  35  0
d.  2
 2
3 x  19 x  6  0
12 x  43x  36  0
8. Tentukan batas-batas agar grafik fungsi berikut ini
b.
a. y  x 2  4 x  5 terletak di atas sumbu X.
b. y  x 2  7 x  6 terletak di bawah sumbu X.
c. y  2 x 2  5 x  12 terletak di atas sumbu X.
d. y  15  4 x  3x 2 terletak di bawah sumbu X.
9. Tentukan batas-batas agar grafik fungsi berikut ini
a. y  x 2  6 x terletak di atas grafik fungsi y  x .
b. y  x 2  2 x  3 terletak di bawah grafik fungsi y  x  1 .
c. y   x 2  4 x terletak di atas grafik fungsi y  x  2 .
d. y  10  x  2 x 2 terletak di bawah grafik fungsi y  4 x  10 .
10. Tentukan batas-batas agar grafik fungsi berikut ini
a. y   x 2  4 x terletak di atas grafik fungsi y  3x 2 .
b. y   x 2  4 terletak di bawah grafik fungsi y  x 2  2 x .
c. y  1  x 2 terletak di atas grafik fungsi y  x 2  2 x  3 .
d. y  x 2  7 x  6 terletak di bawah grafik fungsi y  6 x  x 2 .
11. Sebuah bilangan bulat positif lebih besar 5 dari tiga kali bilangan lainnya.
Hasil kali kedua bilangan tersebut tidak melebihi 68. Tentukan bilanganbilangan tersebut.
12. Jumlah kuadrat dua bilangan adalah 185, bilangan pertama lebih kecil tiga
dari empat kali bilangan yang kedua. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.
20 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
13. Panjang sebuah persegi panjang adalah tiga kali lebarnya. Jika lebarnya
diperpendek 2 cm dan panjangnya diperpanjang 6 cm, maka luasnya tidak
melebihi 288 cm2. Tentukan ukuran persegi panjang tersebut.
14. Sebuah bola yang dilemparkan secara tegak lurus ke atas sejauh h kaki dari
titik pelemparan setelah t detik dirumuskan dengan h  64t  16t 2 . Pada saat
kapan bola itu akan berada melebihi 40 kaki di atas tanah? (keterangan: 1 kaki
= 1 feet = 0,305 meter)
3. Pertidaksamaan Suku Banyak Berderajat Lebih Dari Dua
Pertidaksamaan suku banyak/polinom berderajat lebih dari dua mempunyai
bentuk umum a0 x n  a1x n1  a2 x n2  ...  an1x  an  0 (atau  , >, atau  )
dengan a0 , a1, a2 ,..., an  R ; a0  0 ; n  2 dan n adalah bilangan cacah.
Misalnya
4
3
ax3  bx2  cx  d  0
2
adalah
suku
banyak
berderajat
tiga,
ax  bx  cx  dx  e  0 adalah suku banyak berderajat empat, dan sebagainya.
Menyelesaikan pertidaksamaan suku banyak berderajat lebih dari dua serupa
dengan menyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
Tahap 1:
Nyatakan pertidaksamaan dalam bentuk umum
Tahap 2:
Faktorkan bentuk suku banyak atas faktor-faktor linear dan kuadrat definit positif.
Faktor kuadrat definit positif tidak mempengaruhi pertidaksamaan (dapat
diabaikan)
Tahap 3:
Tentukan nilai-nilai batas (pembuat nol) dari pertidaksamaan. Nilai-nilai batas ini
adalah akar-akar real dari pertidaksamaan.
Tahap 4:
Gambarkan setiap nilai batas pada garis bilangan. Nilai batas ini membagi garis
bilangan menjadi beberapa selang (interval).
Tahap 5:
Tentukan tanda pertidaksamaan pada setiap selang (interval).
Perubahan tanda pada selang (interval) mengikuti aturan bahwa: perubahan tanda
hanya terjadi pada selang (interval) yang memuat nilai batas yang berasal dari
faktor linear berpangkat ganjil. Sedangkan pada selang yang memuat nilai batas
yang berasal dari faktor linear berpangkat genap tidak terjadi perubahan tanda.
Sebelumnya, tentukan tanda pertidaksamaan pada suatu selang.
Tahap 6:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan, yaitu mengambil selang
(interval) yang bertanda sama dengan tanda pertidaksamaan.
Contoh 14:
21 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. x3  5x 2  2 x  8  0
b. x3  5x 2  5x  3  0
Solusi:
a. x3  5x 2  2 x  8  0
x  2x  3x  4  0
x  2x  4x  1  0
5
2
3
2 1
2
1
2
6
4

Nilai-nilai batas (pembuat nol) adalah
x  1 , x  2 , dan x  4
1
Substitusikan x  0 pada pertidaksamaan, diperoleh
1
8
8
0

+
2
+
4
03  5  02  2  0  8  8  0 berarti daerah  1  x  2 , bertanda positif (+).
Daerah lainnya berubah tanda setelah melewati nilai batas (pembuat nol).
Sehingga daerah yang memenuhi adalah x  1 atau 2  x  4 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  ,1  2,4 atau ditulis
x x  1  2  x  4 boleh juga ditulis x x  1atau 2  x  4
b. x 3  2 x 2  2 x  3  0
x  3x 2  x  1  0
Perhatikan bentuk kuadrat x 2  x  1
2
3
1
3 1
1
2
3
1
3
3
0
Mempunyai diskriminan D  12  4 1 1  3  0 , berarti bentuk kuadrat
tersebut adalah definit positif, sehingga dapat diabaikan.

+
Nilai-nilai batas (pembuat nol) adalah
x3
3
Substitusikan x  1 pada pertidaksamaan, diperoleh 13  2 12  2 1  3  6  0
berarti daerah x  3 , bertanda negatif (). Daerah lainnya berubah tanda
setelah melewati nilai batas (pembuat nol).
Sehingga daerah yang memenuhi adalah x  3 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 3,   atau ditulis x x  3 .
Contoh 15:
Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. x 4  2 x 3  7 x 2  2 x  8  0
b.
x  2x  13 x  32  0
Solusi:
4
2 1
3
2
a. x  2 x  7 x  2 x  8  0
x  2x3  4 x 2  x  4  0
22 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
4 1
1
2
2
4
4
0
7
8
1
0
1
2
2
4
4
0
8
8
0
x  2x  4x 2  1  0
Perhatikan bentuk kuadrat x 2  1
mempunyai diskriminan D  02  4 11  4  0 , berarti bentuk kuadrat
tersebut adalah definit positif, sehingga dapat diabaikan.
+

+
Nilai-nilai batas (pembuat nol) adalah
x  4 dan x  2
2
4
x 1
Substitusikan
pada
x 4  2 x3  7 x 2  2 x  8  0 ,
pertidaksamaan
diperoleh 14  2 13  7 12  2 1  8  10  0 berarti daerah  4  x  2 ,
bertanda negatif (). Daerah lainnya berubah tanda setelah melewati nilai batas
(pembuat nol).
Sehingga daerah yang memenuhi adalah  4  x  2 .
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  4,2 atau ditulis x  4  x  2.
b.
x  2x  13 x  32  0

+
Nilai-nilai batas (pembuat nol) adalah
x  2 , x  1 , dan x  3
+
+
1
3
2
1
Substitusikan x  3 pada pertidaksamaan x  2x  13 x  32  0 , diperoleh
 3  2 3  13  3  32  0
berarti daerah x  2 bertanda positif (+).
Daerah lainnya berubah tanda setelah melewati nilai batas (pembuat nol),
kecuali melewati nilai batas x  3 , karena berpangkat genap, sehingga tanda
tidak berubah.
Sehingga daerah yang memenuhi adalah x  2 atau 1  x  3 atau x  3 boleh
juga ditulis x  2 atau x  1 , x  3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  ,2  1,3  3,  atau ditulis
x x  2 1  x  1  x  3
boleh juga ditulis x x  2  x  1, x  3.
Contoh 16:
 x 3  3x 2  10 x  0
Diketahui sistem pertidaksamaan 
. Tentukan
23  x   x  3x  18
a. himpunan penyelesaiaanya.
b. himpunan penyelesaian, jika x bilangan cacah.
Solusi:
a. x 3  3x 2  10x  0


x x 2  3x  10  0
xx  2x  5  0
 2  x  0 atau x  5 .... (1)
23 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019


+
2
1
0
+
5
23  x   x  3x  18
6  2 x  x  3x  54
 6 x  60
x  10 .... (2)
Dari (1)  (2) diperoleh
10
2
0
5
1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  2,0  5,10 .
b. Karena x adalah bilangan bulat, maka dari himpunan penyelesaian
 2,0  5,10 diperoleh himpunan penyelesaian  2,1,0,5,6,7,8,9 .
Contoh 17:
Tentukan batas-batas agar grafik fungsi y  x 3  2 x 2  x  2 terletak di bawah
sumbu X.
Solusi:
x3  2x 2  x  2  0
x  1x  x  2  0
x  1x  1x  2  0
1 1
2
Batas-batas pertidaksamaan:
x  1, x  1, dan x  2
Substitusikan x  0 pada pertidaksamaan,
1
2
1
1

1
1
2
+

2
2
0
+
1
1
2
1
sehingga diperoleh 03  2  02  0  2  2  0 berarti selang  1  x  1 bertanda
positif. Tanda-tanda pada selang (interval) lainnya ditentukan mengikuti aturan
bahwa perubahan tanda hanya terjadi pada selang yang memuat nilai batas yang
berasal dari faktor linear berpangkat ganjil. Sedangkan pada selang yang memuat
nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat genap tidak terjadi
perubahan tanda. Hasilnya terlihat pada diagram garis bilangan.
Karena grafik fungsi terletak di bawah sumbu X, maka daerah yang memenuhi
adalah daerah yang bertanda negatif. Jadi, batas-batasnya adalah  ,1  1,2 .
Contoh 18:
Tentukan batas-batas agar grafik fungsi y  x 3  2x 2 terletak di atas grafik fungsi
y  5x  6 .
Solusi:
x3  2 x 2  5x  6
3
1 1
2
x  2 x  5x  6  0
24 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
1
2
1
1
5
1
6
6
6
0
x  1x 2  x  6  0
x  1x  2x  3  0
Batas-batas pertidaksamaan:
x  2, x  1, dan x  3
Substitusikan x  0 pada pertidaksamaan,

+

+
2
1
3
1
sehingga diperoleh 43  2  42  5  4  6  18  0 berarti selang x  3 bertanda
positif. Tanda-tanda pada selang (interval) lainnya ditentukan mengikuti aturan
bahwa perubahan tanda hanya terjadi pada selang yang memuat nilai batas yang
berasal dari faktor linear berpangkat ganjil. Sedangkan pada selang yang memuat
nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat genap tidak terjadi
perubahan tanda. Hasilnya terlihat pada diagram garis bilangan.
Karena tanda pada pertidaksamaan adalah positif (  0 ), maka daerah yang
memenuhi adalah daerah yang bertanda positif. Jadi, batas-batasnya adalah
 2,1  3,  .
SOAL-SOAL LATIHAN 3
Selesaikanlah soal-soal berikut ini.
1. Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. 2 x 3  x 2  3x  2  0
c. 4 x3  3x  1  0
b. x3  x  6  0
d. 3x 3  x 2  12x  4  0
2. Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a.
x 4  2 x 2  3x  2  0
c. x 4  2 x 2  4 x 2  5x  6  0
b. 2 x 4  3x 2  7 x 2  8x  6  0
d. 4 x 4  8x 3  5x 2  2 x  1  0
3. Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. x  2x  33 x  42  0
c. xx  13 x  46 3x  102  0
b. 2 x  54 x  2x  15  0
d. 3  x 4 x  98 x  47  0
4. Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.
a. x 2  16x 2  4 x   0
c. x 2  2 x x 2  2 x  8  0
b. 2 x 2  3x  9x 2  9  0
d. 25  x 2 x  53 x 2  1  0
5. Tentukan himpunan penyelesaian setiap sistem pertidaksamaan berikut
ini.
3x 3  3x  1  0
a. 
2
 x  x60
25 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019
 x 4  10 x 2  9  0
c. 
3
 x  4x  0
3 x 3  x 2  12 x  4  0
b. 
2
 3x  26 x  51  0
 x 4  24 x 2  25  0
d.  3
2
 x  6 x  4 x  24  0
6. Tentukan himpunan penyelesaian bilangan bulat setiap system
pertidaksamaan berikut ini.
a.
 x3  x 2  9x  9  0

52  x   4 x  38  x 
 x 3  x 2  10 x  8  0
c. 
2
 x  5x  6  0
 2 x 3  3x 2  11x  6  0
 x 3  5 x 2  4 x  20  0
d. 
2
 4 x  9 x  100  0
b. 
4x  2  34  x   2x  4
7. Tentukan batas-batas agar grafik fungsi
a. y  x 3  4 x 2  x  6 terletak di bawah sumbu X.
b. y  x 3  4 x 2  x  6 terletak di atas sumbu X.
c. y  x 3  7 x 2  14x  48 terletak di bawah sumbu X.
d. y  x 3  3x 2  4 terletak di atas sumbu X.
8. Tentukan batas-batas agar grafik fungsi
a. y  x 3  5x 2 terletak di bawah grafik fungsi y  8  2 x .
b. y  2 x 3  x 2 terletak di atas grafik fungsi y  5 x  2 .
c. y  2 x 3  7 x 2 terletak di atas grafik fungsi y  4 x  4 .
d. y  x 4  2 x 3  3x 2 terletak di atas grafik fungsi y  4  8 x .
9. Tentukan batas-batas agar grafik fungsi
a. y  2 x 3  8 x 2 terletak di atas grafik fungsi y   x 2  x  12 .
b. y  2 x 3  8 x 2 terletak di bawah grafik fungsi y  x 2  3x  4 .
c. y  2 x 3  5 x terletak di atas grafik fungsi y   x 2  3x  4 .
d. y  2 x 3  8 x 2  8 x terletak di bawah grafik fungsi y  x 2  x  6 .
10. Tentukan batas-batas agar grafik fungsi
a. y  4 x 4  4 x 3  8 x 2 terletak di bawah grafik fungsi y  x 2  x  2 .
b. y  x 4  4x 2 terletak di atas grafik fungsi y  x 2  4 .
c. y  x 4  10x 2  25 terletak di bawah grafik fungsi y   x 2  25 .
d. y  x 4  6 x 2  9 terletak di atas grafik fungsi y  4x 2 .
26 |Husein Tampomas, Pertidaksamaan, 2019