4.-Vektor-di-R2-dan-R3

1
2
R
VECTOR DI BIDANG
3
DAN RUANG R
Nurdinintya Athari
(NDT)
VEKTOR DI BIDANG (R2) DAN DI RUANG (R3)
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Klasifikasi sinyal
Notasi dan Operasi
Vektor  besaran yang mempunyai arah
 c1 
 
Notasi vektor c   c2   c1iˆ  c2 ˆj  c3 kˆ  c1 , c2 , c3 
c 
 3
 c1 
 
Panjang vektor c   c2  adalah
c 
 3
2
2
c  c1  c2  c3
2
Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
Penjumlahan Vektor
Misalkan u dan v adalah vektor-vektor yang
berada di ruang yang sama, maka vektor u  v
didefinisikan :
v
u v
u
u
Perkalian vektor dengan skalar
 
Perkalian vektor u dengan skalar k, k u didefinisikan
sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor
dengan arah u
Jika k > 0  searah dengan u
Jika k < 0  berlawanan arah dengan u
2u
u
 2u
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan a  a1 , a 2 , a 3  dan
b  b1 , b 2 , b 3 
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
maka :
1. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
2. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 
3. k a  ka1 , ka2 , ka3 
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik (dot product)
 Hasil kali titik merupakan operasi antara dua
buah vektor pada ruang yang sama yang
menghasilkan skalar
Hasil kali silang (Cross product)
 Hasil kali silang merupakan operasi antara dua
buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan
vektor
Dot Product
Misalkan a, b adalah vektor pada ruang yang sama
maka hasil kali titik antara dua vektor :
a  b  a b cos
dimana
a
: panjang a
b
: panjang b
 : sudut antara keduanya
Contoh :
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor a  2iˆ dan b  2iˆ  2 ˆj
Jawab :
karena tan  = 1 atau  = 450
a  b  a b cos
2 8
=4
1
2
Ingat Aturan Cosinus
c
a
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos 

b
a
ab
a

b
b
a b
2
 a
2
 b
2
2 a
b
b cos   b  a
2
Selanjutnya dapat ditulis
b cos  
a
Ingat bahwa :
1. a  b  a b cos
2.
3.
4.
a
2
b
ba
2
2
2
 b
2
 b a
2
2
 b 1  b 2  ...  b n
2
2
a  b  a1b1  a2b2  ...  anbn
 a 1  a 2  ... a n
2
 a

1
2
2
 b1  a1   b2  a2   ...  bn  an 
2
2
2
2
2
2
2
2
 b1  b 2  ...  b n  a 1  a 2  ...  a n
 2 b1 a 1  2 b n a n  ...  2 b n a n
2
2


Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
a  b  a1b1  a2b2  ...  anbn
Contoh:
Tentukan hasil kali titik dari vektor a  2iˆ dan b  2iˆ  2 ˆj
a  b  a1b1  a 2 b2
= 2 (2) + 0 (2)
=4
Beberapa sifat hasil kali titik :
1. a  b  b  a

 
  
2.
a b  c  ab  ac
3.
k a  b  k a  b  a  kb , dimana k  R


DOT PRODUCT
Persamaan u .v  u v cos  dapat dinyatakan sebagai :
cos  
u.v
u v
Persamaan hasil kali titik (dot product) dapat
digunakan untuk menghitung sudut () diantara
dua buah vektor
 sudut lancip
 sudut tumpul
 = /2
jika dan hanya jika u.v > 0
jika dan hanya jika u.v < 0
jika dan hanya jika u.v = 0
OPERASI VEKTOR
2
2
Misal u = (u1,u2), maka || u || u1  u2
2
2
2
Misal u = (u1,u2,u3), maka || u || u1  u2  u3
Jarak antara dua buah titik (Vektor)
Misal A(a1, a2) dan B(b1, b2) adalah dua titik di R2.
Maka, jarak antara titik A dan B adalah

d  A, B   AB 
b1  a1 2  b2  a2 2
Misal A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3) adalah dua titik di R3.
Maka, jarak antara titik A dan B adalah

d  A.B   AB 
b1  a1 2  b2  a2 2  b3  a3 2
OPERASI VEKTOR
Contoh 1
Misalkan u = (1,2,2), ||u||= ?
Jawab :
|| u || 12  2 2  2 2  9  3
Contoh 2
Hitunglah jarak antara titik A(1, 1, 1) dan B(2, 3, 4)
Jawab :
d  A.B  
 2  1   3  1   4  1
2
2
2
 14
PROYEKSI ORTOGONAL
u
w2
u  w1  w2
karena w1  proja u , ( w1 proyeksi u pada a )
a
w1  proya u
maka w2  u  proja u
u  w1  w2
u  ka  w2 .....................( w1  ka )
u a   ka  w2 a ...........(a )
u a  k a
k
u a
a
2
2
 w2 a
proja u 
..........................( w2 a  0)
Karena w1  proja u  ka ,
maka w1  proja u 
proja u 
u a
a
2
a
u a
a
2
u a
a
2
a
a ......( ku  k u )
u a
............( a
proja u 
a
2
 0)
proja u  u cos .......(u a  u a cos )
Contoh
Carilah proyeksi ortogonal vektor
 1 
 
relatif pada vektor v   3 
  4
 
 2 
w   4 
 3
 
Jawab : Proy v w 
wv
v
2
v
 2   1 
 4    3 
   
 3   4 
 2 2   2
1  3  (  4)
 1 
 3 
 
 4 
 
 1 
 2  (  12)  (  12)  

3 

26
 4 
 
 1   1 
 26    
3    3 


26    
 4   4 
LATIHAN
1. Misalkan a = (k,k,1) dan b = (k,3,-4). Carilah nilai k
a. Jika sudut antara a dan b runcing
b. Jika sudut antara a dan b tumpul
c. Jika sudut antara a dan b ortogonal
2. Carilah proyeksi ortogonal vektor a relatif pada vektor b
a . a  (6, 2 ), b  (3,  9 )
b . a  (5, 6 ), b  ( 2,  1)
c . a  (1, 0, 0 ), b  ( 4, 3, 8)
d . a  (3,  2, 6 ), b  (1, 2,  7 )
CROSS PRODUCT
Definisi
Cross product (hasil kali silang) merupakan hasil kali antara dua
vektor di ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus
terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
Misalkan a =(a1,a2,a3) dan b = (b1,b2,b3) adalah vektor di R3, maka
cross product a x b adalah vektor yang didefinisikan
iˆ

a  b  a1
b1
a2

b2
 a2

 b2
ˆj
kˆ
a2
b2
a3
b3
a3
a
ˆi  1
b3
b1
a3
b3
,
a1
b1
a3
a
ˆj  1
b3
b1
a3 a1
,
b3 b1
a2 

b2 
a2 ˆ
k
b2
CROSS PRODUCT
Hubungan antara Cross Product dan Dot Product
(1) a  (a  b)  0
( a x b ortogonal terhadap a)
(2) b  (a  b)  0
( a x b ortogonal terhadap b)
2
(3) a  b  a
2
2
b  ( a  b) 2
(Identitas Lagrange)
Sifat dari Cross Product
Jika a, b, and c adalah vektor di ruang R3 dan k skalar, maka
(1) a  b  (b  a)
(2) a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
(3) (a  b)  c  (a  c)  (b  c)
(4) k (a  b)  (ka)  b  a   kb 
(5) a  0  0  a  0
(6) a  a  0
CROSS PRODUCT
a b
2
 a
2
b
 a
2
 a
2
 a
2
 a
2
 a  b 
2
2
 b
 b
2
 b
2
 b
2
2

 a  b  cos 

 a
2
 b

1  cos 2 
2
 sin 
Maka, a x b  a  b sin 
2


 cos 2 
2

Contoh :
Carilah w  u  v
dimana u  1, 2,  2  , v  (3, 0, 1)
Jawab :
iˆ ˆj
w  u1 u2
v1 v2
kˆ
iˆ ˆj kˆ
u3  1 2 2
3 0 1
v3
  2.1  0( 2)  iˆ   3(2)  1.1 ˆj  1.0  3.2  kˆ
 2 iˆ  7 ˆj  6 kˆ
CROSS PRODUCT
Interpretasi Geometri
a  b  a b sin 
a
||a|| sin

||b||
Apakah ini?
Luas Jajargenjang/Parallelogram
 a b sin   a  b
b
Luas Segitiga

1
1
a b sin   a  b
2
2
Contoh:
Misalkan koordinat titik A, B, dan C sbb :
A = (1, –1, –2)
B = (4, 1, 0)
C = (2, 3, 3)
Gunakan cross product untuk mencari luas segitiga
ABC dan luas parallelogram ABCD!
Jawab :
• A sebagai acuan
C

A B  B – A   4 ,1, 0  – 1, – 1, – 2   (3, 2 , 2 )

A C  C – A   2 , 3, 3  – 1, – 1, – 2   1, 4 , 5 
B
A
iˆ
ˆj kˆ
 
AB  AC  3 2 2  2iˆ  13 ˆj  10kˆ
1 4 5
• Luas segitiga ABC 
1
1
4  169  100 
273
2
2
• Luas parallelogram  4  169  100  273
• B sebagai acuan
C
B

BA  a  b  1, 1, 2  –  4,1,0    3, 2, 2 

BC  c  b   2,3,3 –  4,1, 0    2, 2,3
A
ˆj
iˆ
kˆ
 
BA  BC  3 2 2  2iˆ  13kˆ  10 ˆj
2 2
3
1  
1
1
4  169  100 
273
Luas segitiga ABC  BA xBC 
2
2
2
Luas parallelogram  4  169  100  273
LATIHAN
1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut :
1
 6 
a. u    dan v   
  8
 2
 1 
 8 
 
 
b. u    3  dan v    2 
 7 
  2
 
 
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b dan
tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:
1
 2
 
 2
 
  3
a. a    dan b  
b. a    1 dan b   2 


 3
 2
1
 2 
 
 
u  (3,4), v  (5, 1), w  (7,1)
Cari : a. u (7v  w)
b. (u v) w
3. Diketahui
c. u (v w)
d . ( u v ) w
4. Tentukan dua buah vektor satuan di bidang yang
 3 

tegak lurus terhadap vektor u  
  2
5. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
 7
 2
 
 
u   3  dan v   0 
 1 
 4
 
 
6. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut
P (2,0,–3), Q (1,4,5), dan R (7,2,9) dan tentukan luas
paralellogram!