Nama : Eliza Damayanti Lumban Gaol Nim : 1600015007 I. a. Tentukan ekstrem dari fungsi berikut : b. Gambarkan modelnya. 1 1 1. 𝑉 = ∫0 (𝑦 2 + 4𝑦𝑦̇ + 4𝑦̇ 2 )𝑑𝑡, 𝑦(0) = 2𝑒 2 , 𝑦(1) = 1 + 𝑒 1 2. 𝑉 = ∫0 (𝑡𝑦 2 + 𝑦𝑦̇ + 4𝑦̈ 2 )𝑑𝑡, 𝑦(0) = 𝐴, 𝑦(𝑇) = 𝑍, 𝑦(0) = 𝛼, 𝑦(𝑇) = 𝛽 1 3. 𝑉 = ∫0 (𝑡𝑦̇ + 𝑦̇ 2 )𝑑𝑡, 𝑦(0) = 1, 𝑦(𝑇) = 10 1 4. 𝑉 = ∫0 (𝑡 2 + 𝑦̇ 2 )𝑑𝑡, 𝑦(0) = 4, 𝑦(𝑇) = 2 II. 1. Jika diketahui 𝐹[𝑡, 𝑦, 𝑦 ′ ] = 4𝑦 2 + 4𝑦𝑦̇ + 𝑦̇ 2 , analisa apakah fungsi tersebut konkav atau konveks ! Penyelesaian : I. 1 1. 𝑉 = ∫0 (𝑦 2 + 4𝑦𝑦̇ + 4𝑦̇ 2 )𝑑𝑡, 1 𝑦(0) = 2𝑒 2 , 𝑦(1) = 1 + 𝑒 𝑉 = 𝑦 2 + 4𝑦𝑦̇ + 4𝑦̇ 2 𝑉𝑦 = 2𝑦 + 4𝑦̇ , 𝐹𝑦̇ = 4𝑦 + 8𝑦̇ Substitusi ke persamaan Euler 𝑉𝑦 = 𝑑̇ (𝑉𝑦̇ ) 𝑑𝑡 ⇔ 2𝑦 + 4𝑦̇ = 𝑑 (4𝑦 + 8𝑦̇ ) 𝑑𝑡 ⇔ 2𝑦 + 4𝑦̇ = 4𝑦̇ + 8𝑦̈ Integralkan kedua sisi ∫(2𝑦 + 4𝑦̇ ) 𝑑𝑡 = ∫(4𝑦̇ + 8𝑦̈ ) 𝑑𝑡 ⇔ 2𝑦𝑡 + 4𝑦 + 𝐶1 = 4𝑦 + 8𝑦̇ Di integralkan lagi ∫(2𝑦𝑡 + 4𝑦 + 𝐶1 ) 𝑑𝑡 = ∫(4𝑦 + 8𝑦̇ ) 𝑑𝑡 ⇔ 𝑦𝑡 2 + 4𝑦𝑡 + 𝐶1 𝑡 + 𝐶2 = 4𝑦𝑡 + 8𝑦 ⇔ 𝑦𝑡 2 − 8𝑦 = −𝐶1 𝑡 − 𝐶2 ⇔ 𝑦(𝑡 2 − 8) = −𝐶1 𝑡 − 𝐶2 Nama : Eliza Damayanti Lumban Gaol Nim : 1600015007 ⇔ 𝑦(𝑡) = −𝐶1 𝑡 − 𝐶2 −𝐶1 𝑡 −𝐶2 = 2 − 2 2 𝑡 −8 𝑡 −8 𝑡 −8 −𝐶2 −8 𝑦(1) = 1 + 𝑒 ⟹ −𝐶1 16√𝑒 − = 1 + 𝑒 ⟹ 𝐶1 = 7 + 7𝑒 − 16√𝑒 −7 −7 = 𝐶2 8 1 𝑦(0) = 2𝑒 1/2 ⟹ = 2𝑒 2 ⟹ 𝐶2 = 16√𝑒 Substitusi 𝐶1 dan 𝐶2 ke dalam 𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡) = −(7 − 7𝑒 + 16√𝑒) 16√𝑒 − 2 𝑡2 − 8 𝑡 −8 = −7𝑡 − 7𝑒𝑡 + 16√𝑒𝑡 − 16√𝑒 𝑡2 − 8 Menguji syarat cukup |𝐷1 | = | 𝐹𝑦𝑦 𝐹𝑦̇ 𝑦 𝐹𝑦𝑦̇ 2 |=| 𝐹𝑦̇ 𝑦̇ 4 4 | 8 |𝐷11 | = 2 ≥ 0 ; |𝐷21 | = 0 ≥ 0 |𝐷 2 | = | 𝐹𝑦̇ 𝑦̇ 𝐹𝑦𝑦̇ 𝐹𝑦̇ 𝑦 8 |=| 𝐹𝑦𝑦 4 4 | 2 |𝐷12 | = 0 ≥ 0 ; |𝐷22 | = 0 ≥ 0 ∴ 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑙𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑎ℎ 𝑚𝑒𝑛𝑐𝑢𝑘𝑢𝑝𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙 II. 𝐹[𝑡, 𝑦, 𝑦 ′ ] = 4𝑦 2 + 4𝑦𝑦̇ + 𝑦̇ 2 𝐹𝑦 = 8𝑦 + 4𝑦̇ 𝐹𝑦̇ = 4𝑦 + 2𝑦̇ 𝐹𝑦𝑦 = 8 𝐹𝑦̇ 𝑦 = 4 𝐹𝑦𝑦̇ = 4 𝐹𝑦̇ 𝑦̇ = 2 𝐹𝑦𝑦 |𝐷1 | = | 𝐹𝑦̇ 𝑦 |𝐷1 | = 8 𝐹𝑦𝑦̇ 8 4 |=| | 𝐹𝑦̇ 𝑦̇ 4 2 |𝐷21 | = 0 𝐹𝑦̇ 𝑦̇ |𝐷2 | = | 𝐹𝑦𝑦̇ |𝐷2 | = 2 𝐹𝑦̇ 𝑦 2 4 |=| | 𝐹𝑦𝑦 4 8 |𝐷22 | = 0 Nama : Eliza Damayanti Lumban Gaol Nim : 1600015007 Maka, |𝐷|adalah semi definit positif dan F adalah cukup cembung, yang mana merupakan syarat cukup untuk minimum lokal.
