Document

Riset Operasional
Pertemuan 4 & 5
Penyelesaian Analitis
Persoalan Optimasi
Vivi Tri Widyaningrum,S.Kom, MT
Pendahuluan
Dasar dalam pembahasan penyelesaian analitis
persoalan optimasi ini adalah Mathematic
(Simbolic) Model yang telah dipelajari
sebelumnya.
1. Optimasi Tanpa Kendala
Bentuk umum  Min f(x)
f(x) adalah fungsi skalar yang didefinisikan pada
ruang vektor x  Rn
Penyelesaian dari persoalan diatas dapat dicari
dengan cara sbb:
 bila x* adalah titik minimum maka f(x*) = 0
 bila H(x*) adalah definit positif maka x* yang
memenuhi syarat f(x*) = 0 adalah titik minimum
Contoh :
Min 3x1  2 x2  4 x1 x2  6 x1  8 x2  6
2
2
Penyelesaian :
6 x1  4 x2  6
f ( x)  

4
x

4
x

8
1
 2

6 x1  4 x2  6  0
4 x1  4 x2  8  0
f ( x )  0 

2 x1  2  0
x1  1
x2  3
 1
 x     titik optimal f ( x)
3 
*
Lanjutan…
 1  yang merupakan calon (kandidat)
x  
penyelesaian dari persoalan
 3
*
6
H (x*) = 
4

4
4
adalah definit positif
 1
 3  adalah titik minimum, dengan
 
Z = 3x12 + 2x22 + 4x1x2 – 6x1 -8x2 + 6
= 3(-1)2 + 2(3)2 + 4(-1)(3) – 6(-1) – 8(3) + 6
= -3
Fungsi Konveks & Fungsi Konkav
f konkav  -f adalah konveks
fungsi linear  fungsi konveks & juga fungsi konkav
f adalah konveks jika:
 matriks Hessiannya adalah definit positif
f adalah konkav jika:
 matriks Hessiannya adalah definit negatif
S adalah himpunan konveks jika:
 himpunan yang kombinasi konveks dua dari
anggotannya adalah anggota himpunan itu.
2. Optimasi Dengan Kendala Persamaan
Bentuk umum :
Min f(x)
st hi(x) = 0; i = 1, 2, 3,…, n
[st : subject to ( dengan syarat )  kendala]
Contoh :
Min 3x1  2 x2  4 x1 x2  6 x1  8 x2  6
2
s.t x1  x2  1
2
Lanjutan…
 1
 3  tidak memenuhi h(x) = 0
 
Jadi
 1
 3
 
bukan penyelesaian persoalan diatas
x* adalah penyelesaian dari persoalan diatas  x*  A
dimana = { x h(x) = 0 }
A adalah himpunan titik–titik vektor x yang memenuhi semua
kendala
 A disebut daerah layak dari persoalan tersebut atau
Feasible Region
Lanjutan…
x* adalah penyelesaian dari  x*  A = { x h(x) = 0}
dan f(x*)  f(x)  x  A
Untuk menyelesaikan persoalan optimasi dengan kendala persamaan
dipergunakan fungsi lagrange :
n
L( x,  )  f ( x)   i hi ( x);   pengali Lagrange
i 1
Dengan ini persoalan optimasi dapat diubah menjadi persoalan optimasi
tanpa kendala dalam bentuk :
Min L ( x ,  )
( x*, * )  penyelesaian dari L ( x , )   L ( x*,* ) = 0
L
 0  f ( x)   i hi ( x)  0
x
L
 0  hi ( x)  0

Contoh :
Min 3x1  2 x2  4 x1 x2  6 x1  8 x2  6
2
s.t x1  x2  1
2
Penyelesaian :
6 x1  4 x 2  6
1
L
0
    0

x
1
4 x1  4 x 2  8 
L
 0  x1  x 2  1  0

Lanjutan…
6 x1  4 x2  6    0
4 x1  4 x2  8    0
f ( x )  0 

2 x1  2  0
x1  1
Dengan kendala x1  x2  1  0
 1  x2  1  0
 x2  2
 1
Calon penyelesaiannya adalah x* =  
 2
Lanjutan…
Bila L(x,) adalah konveks maka x*  titik minimum yg dicari
 f(x*) adalah konveks karena H(x) definit positif
 h(x*) adalah konveks karena linear
 L ( x*, * ) = f(x*) + * h(x*) + 4h(x*)
= konveks + konveks = konveks
 1
Jadi x* =    Titik penyelesaian
 2
Lanjutan…
Catatan :
 syarat perlu
 L(x,) = 0
 syarat cukup
L(x,) harus konveks
 f(x) harus konveks
 h(x) dengan  positif harus konveks
 h(x) dengan  negatif harus konkav
Latihan Soal
Min 3x1  2 x2  4 x1 x2  6 x1  8 x2  12
st x1  x2  1
 x1  2
2
2