ANALISA VEKTOR

1. Sebuah vektor A = (4ax – 2ay + az )dan vektor B = ( - 4ax – 2ay + 5az).
Tentukan perkalian silang A x B ?
Penyelesaian:
= -8ax – 24ay – 16az
AxB=
2. Carilah jarak terpendek dari (6, -4, 4) kegaris yang menghubungkan (2, 1, 2)
dan (3, -1, 4).
Penyelesaian:
misalkan :
P(6.  4,4), Q(2,1,2), R(3,1,4)
PQ  4i  5 j  2k
QR  (1,2,2)
PR  3i  3 j
QR  1  4  4  9  3
PS 
PQ PR
QR
PQ XPR  PQ 2 PR 2  PQ PR 
2

16  25  49  9  12  152
 45(8)  (27) 2
 810  729  81  9
PS 
9
3
3
3. Diketahui P = ( a, 0, 3 ), Q = ( 0, 6, 5 ) dan R = ( 2, 7, c ). Agar vector-vektor
tegak lurus
, maka hitunglah nilai a – c .
Penyelesaian:
tegak lurus
.
sehingga
=0
(0–a ,6–0,5-3).(2–0,7–6,c-5) =0
(-a,6,2).(2,1,c–5)
-2a + 6 + 2c – 10
=0
=0
-2a + 2c
=4
Maka , a – c = -2
4. Diketahui vektor-vektor berikut:
a = ( p, 1,
), b = ( 2, 2
, -2 ), c = ( 2, -2, 1 )
Jika panjang vektor c = enam kali panjang proyeksi vektor a pada b, maka
nilai p ?
Penyelesaian:
Panjang vector
= 6 x proyeksi vector
pada
3=
p =1
5. A = ( -1, 5, 4 ) , B = ( 2, -1, -2 ), C = 3, p, q ). Jika titik A, B dan C segaris
.Hitunglah nilai p dan q.
Penyelesaian:
Jika A, B dan C segaris maka
( 4, p-5, q-4) = k ( 3, -6, -6)
( 4, p-5, q-4) = ( 3k, -6k, -6k )
sehingga 3k = 4
k=
sehingga p -5 = -6k = -8
p = -3
dan
q – 4 = -6k = -8
q=-4
6. Diketahui vector u = 2 i - 3 j + 5 k danv = - 3 i - 5 j + 2 k membentuk sudut ,
maka nilai sin
adalah ...
Penyelesaian:
=
=
u .v =
,
jadi,
7. Diketahui
= 8 i + 2 j - 5k dan
= 6 i - j + k maka proyeksi vektor a pada b
adalah...
Penyelesaian:
=
.
=
Proyeksi
jadi, Proyeksi
8. Sudut antara vektor a = xi + ( 2x + 1)j - x
panjang proyeksi ke
sama dengan
Penyelesaian:
Panjang proyeksi ke
=
=
k dan vektor b adalah 60°. Jika
. Hitung nilai x ?
x = atau x = -1
9. Diketahui u = 5 i + 3 j - k dan v = i + 3j – 2k dimana w = 3u – 4v maka
panjang w adalah ...
Penyelesaian:
w = 3u – 4v = 3 [ 5, 3, -1] – 4 [1, 3, -2 ]
= [ 15, 9, -3] – [4, 12, -8]
= [11, -3, 5]
=
10. Diketahui A =3i + j + 2k dan B = i– 2j – k adalah berturut-turut vektor-vektor
kedudukan dari titik-titik P dan Q. Carilah persamaan bidang yang melalui Q
dan tegak lurus PQ ?
Penyelesaian:
PQ = Q – P = (i– 2j – k) – (3i + j + 2k)
= ( -2i, -3j, -6k )
Persamaan bidang yang melalui Q dan tegak lurus PQ
( xi + yj + zk ) . ( -2i, -3j, -6k ) = (i– 2j – k) .( -2i, -3j, -6k )
-2x – 3y – 6z = -2 + 6 + 24
2x + 3y + 6z = 28
11. Carilah proyeksi vector
pada vektor
Penyelesaian:
Misalkan A=
dan B=
!
Vektor satuan pada arah A,
Proyeksi vektor B pada arah A=
12. Untuk harga-harga a yang manakah A = ai - 2j + k dan B = 2ai + aj – k saling
tegaklurus?
Penyelesaian :
A dan B saling tegaklurus maka
A.B=0
( a, -2, 1 ) . ( 2a, a, -1 ) = 0
2a2 – 2a – 4 = 0
a2 – a – 2 = 0
(a–2)(a+1)
a = 2 atau a = -1
13. Carilah volume sebuah parallel epipedum yang sisinya dinyatakan oleh A= 2i3j+4k, B= i+2j-k, C=3i-j+2k.
Penyelesaian:
Volume  AB  C 
2 3
ABXC   1
3
4
2
 1  2(4  1)  3(2  3)  4(1  6)  6  15  28  7
1
2
14. Perlihatkan
jadi volumenya  7
A=
2i  2 j  k  , B  i  2 j  2k danC  2i 
3
3
satuan yang saling tegaklurus!
Penyelesaian:
j  2k 
adalah
3
bahwa
vector-vektor
1
22   22  12  1 9  3  1
3
3
3
1
12  22  22  1 9  3  1
B 
3
3
3
1
22  12   22  1 9  3  1
C 
3
3
3
A 
21  22   12  2  4  2 0

 0
33
9
9
(2)( 2)  (2)(1)  (1)( 2) 4  2  2
Ao C 

0
(3)(3)
9
(1)( 2)  (2)(1)  (1)( 2) 2  2  4
Bo C 

0
(3)(3)
9
Ao B 
Jadi A,Bdan C adalah vector-vektor yang saling tegaklurus
15. Jika ABCDEF adalah titik-titik sudut dari sebuah segienam beraturan, maka
carilah resultan gaya yang dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE,
dan AF.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar:
E
D
AB  AC  AD  AE  AF  ... ?
AB  AD  BD...(1)
F
C
AC  AD  CD...(2)
A
B
Substitusikan persamaan (1) dan (2) kepersoalan, maka diperoleh :
AB  AC  AD  AE  AF  AD  BD  AD  CD  AD  AE  AF
 3 AD  AE  AF  BD  CD
Karena ABCDEF segienam beraturan maka AE  BD DAN
AF  CD .
Akibatnya
3 AD  AE  AF  BD  CD  3 AD .
Dengan demikian AB  AC  AD  AE  AF  3 AD adalah resultan dari
vektor-vektor tersebut.
16. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua buah sisi sebuah
segitiga adalah sejajar sisi ketiga dan besarnya separuh dari besar sisi ketiga
ini.
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar :
C
E
A
D
B
AC  AB  BC
DC  DE  EC
Karena DC  12 AC, danEC  12 BC maka 12 AC  DE  12 EC
 DE  12  AC  BC  dan AB  AC  BC sehingga 12 AB  DE
Karena AB merupakan kelipatan dari DE maka kedua ruas garis tersebut
sejajar, dimana besarnya juga akan mengikuti yaitu
17.
1
2
AB  DE .
Jika gaya F = 2i - j + 3k bekerja pada titik (2,-1,1), tentukan torsi dari F
terhadap titik asal koordinat!
Penyelesaian:
F = 2i - j + 3k
r = (2,-1,1) – (0,0,0) = (2,-1,1) = 2i – j + k
=rxF=
= (-3i + 2j -2k) – (-2k –i -6j) = -2i + 8j
18. Sebuah vector A = (2ax + 3ay + az) dan B = (ax + ay - az).
Hitunglah :
a. A + B
b. A – B
Penyelesaian:
A + B = (2 + 1)ax + (3 + 1)ay + (1 – 1)az = 3ax + 4ay
A + B = (2 - 1)ax+ (3 - 1)ay+ (1+1)az = ax + 2ay + 2 az
19.
Diketahui A  3i  j  2k dan B  i  2 j  4k adalah berturut-turut vektor-vektor
kedudukan dari titik-titik P dan Q.
a Carilah persamaan bidang yang melalui Q dan tegak lurus garis PQ.
b Berapakahjarakdarititik (-1,1,1) kebidang?
Penyelesaian:
a. Titik P(3,1,2) denganvektorkedudukan A  3i  j  2k dantitik Q(1,-2.-4)
denganvektorkedudukan B  i  2 j  4k .
Bidang tegak lurus garis PQ, maka normal bidang sejajar
dengan vector arah garis PQ.
PQ  1  3, 2  1, 4  2   2, 3, 6
Persamaan bidang dengan vektor normal [-2,-3,-6] dan melalui titik Q
( 1,-2,-4):
2  x  1  3  y  2   6  z  4   0
2 x  3 y  6 z  2  6  24  0
2 x  3 y  6 z  28  0
b.
Jaraktitik (-1,1,1) kebidang 2 x  3 y  6 z  28
Normal bidang [2,3,6]. Ambilsebarangtitikpadabidang, misalnya (14,0,0).
Proyeksi AB ke
normal
bidangadalahjaraktitik
(-1,1,1)
kebidang 2 x  3 y  6 z  28 .
Pr oyN AB 
AB N  13, 1, 1  2,3,6 35


 5  5
N
7
22  32  62
20. Sederhanakan  A  B   B  C   C  A  .
Penyelesaian:
21.
Sederhanakan
A  B  B  C xC  A .
Penyelesaian:
 A  B   B  C   C  A   A  B   B  C   B  A  C  C   C  A
  A  B   B  C   B  A  0  C  A
  A  B   B  C   B  A  C  A
  A  B   B  C    A  B   B  A   A  B   C  A
 A  B  C   B  B  C   A  B  A  B  B  A  A  C  A  B  C  A
 A  B  C   0  0  0  0  B  C  A
 A  B  C   B  C  A
 A  B  C   A  B  C 
 2A  B  C 
  A  B  B  C   C  A  2A  B  C 
A a
22.
Buktikan bahwa  A  B  C a  b  c   B  a
Ab
Ac
Bb Bc
C a C b C c
Penyelesaian:
A
A  B  C   B1
A2
A3
B2
B3
C1 C2 C3
a
a  b  c   b1
c1
a2
a3
b2
b3
c2
c3
determinan (A) = determinan (At), akibatnya:
a1 a2
a3
a1
b1
c1
b1
b2
b3  a2 b2
c2
c1
c2
c3
c3
a3
b3
sehingga
 A  B  C a  b  c  
A1
A2
A3 a1
b1
c1
B1
B2
B3 a2 b2
c2
C1 C2 C3 a3
b3
c3
determinan (A).determinan (B) = determinan (AB), akibatnya
 A  B  C a  b  c  
A1
A2
A3 a1
b1
c1
B1
B2
B3 a2 b2
c2
C1 C2 C3 a3
b3
c3
A1a1  A2 a2  A3a3
A1b1  A2b2  A3b3
A1c1  A2c2  A3c3
 B1a1  B2 a2  B3a3
B1b1  B2b2  B3b3
B1c1  B2c2  B3c3
C1a1  C2 a2  C3a3 C1b1  C2b2  C3b3 C1c1  C2c2  C3c3

A1 , A2 , A3   a1 , a2 , a3  A1, A2 , A3   b1, b2 , b3  A1 , A2 , A3   c1 , c2 , c3 
B1 , B2 , B3   a1 , a2 , a3  B1, B2 , B3   b1, b2 , b3  B1 , B2 , B3   c1 , c2 , c3 
C1 , C2 , C3   a1, a2 , a3  C1, C2 , C3   b1 , b2 , b3  C1, C2 , C3   c1 , c2 , c3 
A a
Ab
Ac
 Ba
Bb
Bc
C a C b C c
23. Diketahui A  3i  j  2k dan B  i  2 j  4k adalah berturut-turut vektorvektor kedudukan dari titik-titik P dan Q. Carilah persamaan bidang yang
melalui Q dan tegak lurus garis PQ.
Penyelesaian:
Titik P(3,1,2) dengan vektor kedudukan A  3i  j  2k dan titik
Q(1,-2.-4) dengan vektor kedudukan B  i  2 j  4k .
Bidang tegak lurus garis PQ, maka normal bidang sejajar dengan
vektor arah garis PQ.
PQ  1  3, 2  1, 4  2   2, 3, 6
Persamaan bidang dengan vektor normal [-2,-3,-6] dan melalui titik Q(1,2,-4):
2  x  1  3  y  2   6  z  4   0
2 x  3 y  6 z  2  6  24  0
2 x  3 y  6 z  28  0
 Persamaan bidang yang melalui Q dan tegak lurus garis PQ adalah
2x + 3y + 6z = -28
24. Diketahui A  3i  j  2k dan B  i  2 j  4k adalah berturut-turut vektorvektor kedudukan dari titik-titik P dan Q. Berapakah jarak dari titik (-1,1,1)
ke bidang?
Penyelesaian:
Jarak titik (-1,1,1) ke bidang 2 x  3 y  6 z  28
Normal bidang [2,3,6]. Ambil sebarang titik pada bidang, misalnya (14,0,0).
Proyeksi AB ke normal bidang adalah jarak titik (-1,1,1) ke bidang
2 x  3 y  6 z  28 .
Proyeksi
ke
AB
normal
bidang
AB  N  13,1,1  2,3,6  35


 5  5
N
7
22  32  62
 Jarak titik (-1,1,1) ke bidang = 5
25. Jika A (1,3,2), B (2,-1,1) dan C (-1,2,3). Tentukan luas segitiga ABC!
Penyelesaian:
Luas ∆ ABC =

1
ABx AC
2
i
1

1
2
4
1
2
1

2
1

2
1

2

j
k
4
1
1
1
 5i  j  9k
( 5) 2  (1)  ( 9) 2
2
25  1  81
107
Luas ∆ ABC =
1
107
2
=
26. Carilah proyeksi vector 2i  3 j  6k pada vector i  2 j  2k
Penyelesaian:
Misal : A= 2i  3 j  6k
B= i  2 j  2k
Proyeksi a pada b
=
A  B 2.1(i  i)  (3)(2) j  j  (6)( 2)k  k 2  6  12 8



B
3
9
(1) 2  (2) 2  (2) 2
27. Carilah luas jajaran genjang yang memiliki diagonal-diagonal A=3i+j-2k dan
B=i-3j+4k
Penyelesaian:
Luas jajaran genjang 
1
A B sin α, β 
2
1
1
2
 AB 
A 2 B2  A  B
2
2
1
9  1  41  9  16  3  3  82

2
1
1425  64  1 300  5 3

2
2
35. Carilah persamaan untuk bidang singgung pada permukaan xz 2  x 2 y  z  1
di titik (1,-3,2).
Penyelesaian:
Normal bidang singgung n   di mana  ( x, y, z )  xz 2  x 2 y  z  1
 xz 2  x 2 y  z  1
n  
      
n
,
,

  x  y z 
n  z 2  2 xy , x 2 , 2 xz  1



Normal di titik (1, -3, 2) maka n  4  6,1, 4  1
  2,1, 3
Jadi, persamaan bidang singgung tersebut adalah
V  2x  1   y  3  3z  2  0
V  2 x  2  y  3  3z  6  0
V  2 x  y  3z  1  0
37. Carilah persamaan-persamaan untuk bidang singgung dan garis normal
36. pada permukaan
dititik ( 2, -1, 5 )
Penyelesaian:
di titik ( 2, -1, 5 ) = 4i - 2j – k
Persamaan bidang singgung :
Persamaan garis normal
2
37. Hitunglah  ln r  .
Penyelesaian:
Misalkan r  x 2  y 2  z 2
  x  y  z 



ln 

ln  x  y  z 
x
y
 2 ln r    2 ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 x2  y2  z 2


2
x
2
 y2  z2

x2  y2  z 2
 x
2
2
 y2  z2


x2  y2  z 2 
x2  y2  z 2
 x
2
2
 y2  z2
x2  y2  z 2
x

 y2  z2
1
 2
x  y2  z2
1

x2  y2  z 2
2

2

2

1
r
38. Buktikan curl (  grad  ) = 0 …….!
Jawab :

      0

Karena  berupa vektor, kita bisa misalkan   A
Sehingga
 
 
  A  0

 
   A     A  0



            0


 
0  0  0

2

2
ln
z 2
x2  y2  z 2

40. Jika R  e  t i  ln( t 2  1) j  tan t k , carilah :
(a ).
dR
dt
(b).
d 2R
dt 2
(c).
dR
dt
d 2R
dt 2
(d ).
pada t  0
Penyelesai an :
(a ). R  e t i  ln( t 2  1) j  tan t k
dR
2t
 e t i  2
j  sec 2 t k
dt
4t  1
(b).
dR
dt
(c).
d 2R
2(1  t 2 )
t

e

j  2 tan t sec 2 t k ,
2
2 2
dt
(1  t )
(d ).
d 2R
dt 2
t 0
t 0
dR
 i  k
dt
t 0
d 2R
i2j
dt 2
 i  k  (1) 2  (1) 2  2
t 0
 i  2 j  12  2 2  5






 
 




A

B

B



A

A



B
41. Buktikan
…..!
Penyelesaian:

Misalkan A  A1 iˆ  A2 ˆj  A3 kˆ

B  B1 iˆ  B2 ˆj  B3 kˆ
iˆ
 
A  B  A1
ˆj
kˆ
A2
A3
B1
B2
B3
  A2 B3  A3 B2 iˆ   A3 B1  A1 B3  ˆj   A1 B2  A2 B1  kˆ



  
 ˆ  ˆ
  A  B   iˆ 
j  k    A2 B3  A3 B2 iˆ   A3 B1  A1 B3  ˆj   A1 B2  A2 B1  kˆ

x

y
z 




  A2 B3  A3 B2    A3 B1  A1 B3    A1 B2  A2 B1 
x
y
z






  A2 B3    A3 B2    A3 B1    A1 B3    A1 B2    A2 B1 
x
x
y
y
z
z


 A2 B3     A3 B1     A1B2      A3 B2     A1B3     A2 B1 
x
y
z
y
z
 x



B A
A2
B A
B
 B3  A2  3  3  B1  A3  1  1  B2  A1  2
x
x
y
y
z
z
 A
B A
B
A
B 
  3  B2  A3  2  1  B3  A1  3  2  B1  A2  1 
x
y
y
z
z 
 x
A 
 A
 A A 
 B1   3  1   B2   1  3   B3
y 
x 
 z
 y

  A1

B
 B
  3  2
z
 y


  A2

A 
 A
  2  1 
y 
 x
B 
 B
  1  3   A3
x 
 z
B
 B
 2  2
x
 x
 



  A
A 
A  
 A
 A A 
 B1 iˆ  B2 ˆj  B3 kˆ    3  1  iˆ   1  3  ˆj   2  1  kˆ 
y 
x 
y  
 z
 x
  y



  B
B 
B 
B   
 B
 B
  A1 iˆ  A2 ˆj  A3 kˆ    3  2  iˆ   1  3  ˆj   2  2  kˆ  

z 
x 
x   
 x
 z
  y

 


 B  A  A  B .









 
 


Jadi, terbukti bahwa   A  B  B    A  A    B

42. Carilah persamaan untuk bidang yang ditentukan oleh titik-titik P (3, -2, 2),
Q(4, -3, -2) dan R(-2, 4, 3)
Penyelesaian:
Vektor posisi masing-masih titik adalah
P : 3i – 2j + 2k
Q : 4i – 3j – 2k
R : -2i + 4j + 3k
Misalkan S(x, y, z) adalah sebarang titik pada bidang, maka vektor posisi S :
xi – yj +zk
PS  S  P   x  3i   y  2 j   z  2 k
PQ  Q  p  4  3i   3  2  j   2  2 k  i  j  4k
PR  R  P   2  3i  4  2  j  3  2 k   5i  6 j  k


PS  PQ  PR   x  3i   y  2 j   z  2 k   i  j  4k    5i  6 j  k 
  x  3i   y  2  j   z  2 k   23i  2 j  k 
 23 x  3  21 y  2   z  2 
 23 x  69  21 y  42  z  2
23 x  21y  z  29
43. Jika A = 2i – j + k, B = i + 3j - 2k, C = -2i + j - 3k dan D = 3i + 2j + 5k.
Tentukan skalar a,b,c sehingga D = aA + bB + cC
Penyelesaian:
D = aA + bB + cC
3i + 2j + 5k = a(2i – j + k) + b(i + 3j - 2k) + c(-2i + j - 3k)
3i + 2j + 5k = (2a + b - 2c)i + (-a + 3b + c)j + (a - 2b - 3c)k
2a + b - 2c = 3………………..(i)
-a + 3b + c = 2……………….(ii)
a - 2b - 3c = 5………………..(iii)
(i) dan (ii)
2a + b - 2c = 3
x1
2a + b - 2c = 3
-a + 3b + c = 2
x2
-2a + 6b + 2c = 4 +
7b
=7  b=1
(ii) dan (iii)
-a + 3b + c = 2
a - 2b - 3c = 5
+
b – 2c = 7  -2c = 7 – 1  -2c = 6  c = -3
(ii) a – 2b – 3c = 5  a = 5 + (2.1) + (3.-3)  a = -2
 a = -2, b = 1, c = -3
A a
44.
Buktikan bahwa  A  B  C a  b  c   B  a
Ab
Ac
Bb Bc
C a C b C c
Penyelesaian:
A
A  B  C   B1
A2
A3
B2
B3
C1 C2 C3
a
a  b  c   b1
c1
a2
a3
b2
b3
c2
c3
determinan (A) = determinan (At), akibatnya:
a1 a2
a3
a1
b1
c1
b1
b2
b3  a2 b2
c2
c1
c2
c3
c3
a3
b3
sehingga
 A  B  C a  b  c  
A1
A2
A3 a1
b1
c1
B1
B2
B3 a2 b2
c2
C1 C2 C3 a3
b3
c3
determinan (A).determinan (B) = determinan (AB), akibatnya
 A  B  C a  b  c  
A1
A2
A3 a1
b1
c1
B1
B2
B3 a2 b2
c2
C1 C2 C3 a3
b3
c3
A1a1  A2 a2  A3a3
A1b1  A2b2  A3b3
A1c1  A2c2  A3c3
 B1a1  B2 a2  B3a3
B1b1  B2b2  B3b3
B1c1  B2c2  B3c3
C1a1  C2 a2  C3a3 C1b1  C2b2  C3b3 C1c1  C2c2  C3c3

A1 , A2 , A3   a1 , a2 , a3  A1, A2 , A3   b1, b2 , b3  A1 , A2 , A3   c1 , c2 , c3 
B1 , B2 , B3   a1 , a2 , a3  B1, B2 , B3   b1, b2 , b3  B1 , B2 , B3   c1 , c2 , c3 
C1 , C2 , C3   a1, a2 , a3  C1, C2 , C3   b1 , b2 , b3  C1, C2 , C3   c1 , c2 , c3 
A a
Ab
Ac
 Ba
Bb
Bc
C a C b C c
45. Tentukan persamaan bidang melalui titik A (3,1,-2), B (-1,2,4) dan C (2,-1,1).
Penyelesaian:
Vektor posisi dari titik-titik A, B, C dan P (x,y,z) pada bidang, dapat ditulis
V1 = 3i + j – 2k
V2 = -i + 2j + 4k
V3 = 2i - j + k
V = xi + yj + zk
AP  v  v1   x  3i   y  1 j  z  2k
AB  v2  v1  4i  j  6k
AC  v3  v1  i  2 j  3k
karena AP, AB, AC sebidang akibatnya AP  ABx AC  0
sehingga
x  3 y 1 z  2
4
1
6
1
2
3
0
(x-3)(1)(3) + (y-1)(6)(-1) + (z+2)(-4)(-2) - (-1)(1)(z+2) - (-2)(6)(x-3) (3)(-4)(y-1) =0
 3x – 9 – 6y + 6 + 8z + 16 + z + 2 + 12x – 36 + 12y – 12 = 0
 15x + 12y + 9z = 33
 5x + 4y +3z = 11
 Persamaan bidang yang melalui A, B dan C adalah 5x + 4y + 3z = 11
46.
Misalkan titik-titik P, Q, dan R memiliki vektor-vektor kedudukan
r1  3i  2 j  k , r2  i  3j  4k dan r3  2i  j  2k relatif terhadap titik asal
O. Carilah jarak dari P ke bidang OQR.
Penyelesaian:
● Titik P(3,-2,-1) dengan vektor kedudukan r1  3i  2 j  k , titik Q(1,3,4)
dengan vektor kedudukan r2  i  3j  4k dan R(2,1,-2) dengan vektor
kedudukan r3  2i  j  2k .
● Persamaan bidang OQR melalui O(0,0,0) dengan normal OQ  OR .
i
j
k
4  i  6  4   j  2  8   k 1  6 
OQ  OR  1 3
2 1 2
 10i  10 j  5k = -2i + 2j –k
Normal bidang:  2,2,1
● Persamaan bidang OQR adalah
x  0,  y  0, z  0  2,2,1  0
2( x  0)  2( y  0)  ( z  0)  0
2 x  2 y  z  0
2x  2 y  z  0
● Jarak P(3,-2,-1) ke bidang = proyeksi P(3,-2,-1) ke normal bidang OQR
,N = [2,2,1]
Ambil sebarang titik pada bidang, misalnya C(1,1,0).
Vektor PC  1  3,1  2, 0  1   2,3,1 .
● Proyeksi PC ke normal bidang OQR, dengan normal bidang OQR
PC  N

N
 2,3,1 2,2,1
 22  22   12

4  6 1
9
 3
4  4 1 3
 Jarak P(3,-2,-1) ke bidang OQR adalah 3.
47.
Buktikan bahwa kelengkungan dari kurva ruang r  r  t  diberikan secara
numerik oleh  
Penyelesaian:
r  r
r
3
.
Karena T 
ds
r
dan r   , maka
dt
r
r  r T 
ds
T.
dt
Dengan menggunakan aturan hasil kali, maka
r 
d 2s
ds
T  T .
2
dt
dt
Dengan menggunakan fakta bahwa T  T  0 , maka
 d 2s
ds
ds 
r  r  T   2 T  T 
dt
dt 
 dt
2
ds d 2 s
 ds 

(T  T)    (T  T)
2
dt dt
 dt 
2
 ds 
 0     T  T 
 dt 
2
 ds 
    T  T 
 dt 
r  t 
T t  
Sekarang
r  t 

r  t 
r  t 
1
untuk
T(t ) T(t )  T(t )  12  1
2
d
d
 T(t ) T(t )   1
dt
dt
T(t ) T(t )  T(t ) T(t )  0
2T(t ) T(t )  0
T(t ) T(t )  0
Sehingga T(t ) ortogonal terhadap T(t ) . Maka
2
2
2
 ds 
 ds 
 ds 
r  r    T  T    T T sin 90    T
 dt 
 dt 
 dt 
T 
r  r
 ds dt 
2

r  r
r
2
dan
semua
t,

48.
T r  r

3
r
r
Carilah
vektor-vektor
T,
N,
dan
B
di
 2 
 1, ,1 
 3 
titik
2
r (t )  t 2 , t 3 , t .
3
Penyelesaian:
2
r (t )  t 2 i  t 3 j  tk
3
r(t )  2ti  2t 2 j  k
r(t )   4t 2  4t 4  1
12
T
  2t 2  1
r(t )
1

2ti  2t 2 j  k 

2

r (t )  2t  1
T 1 
T(t ) 


1
 2i  2 j  k 
3
2  2t 2  1  2t  4t 
 2t
 2t
 2t 2  1
2
 (4t
2
 (2  4t
1
2
 1
1
2
 1
2
2
i
4t  2t 2  1  2t 2 (4t )
 2t 2  1
2
j
0  4t
 2t 2  1
2
k
 2  8t 2 )i  (8t 3  4t  8t 3 ) j  4tk 
2
)i  4tj  4tk 
1
 2i  4 j  4k 
9
1
2
12
T(1)   4  16  16  
9
3
T(1) 1  2i  4 j  4k  1
1 2 2
N

  i  2 j  2k    i  j  k
T(1) 9
23
3
3 3 3
T(1) 
untuk
B  T(t )  N(t ) 
i
j
2
3
1

3
2
3
2
3
k
1
 4 2  4 1 4 2
    i      j   k
3
 9 9  9 9 9 9
2

3
6 3 6
2 1 2
  i  j k   i  j k
9 9 9
3 3 3
49.
Di titik manakah pada kurva x  t 3 , y  3t , z  t 4 merupakan bidang
normal yang sejajar terhadap bidang 6 x  6 y  8 z  1 ?
Penyelesaian:
x  t3 ,
y  3t ,
z  t4
dan
bidang
normal
sejajar
bidang
6 x  6 y  8 z  1 , maka
Vektor normal bidang normal sejajar dengan vektor normal
6 x  6 y  8 z  1 , yaitu [6,6,-8].
r (t )  t 3i  3tj  t 4k
r (t )  3t 2i  3j  4t 3k = vektor normal bidang normal
Karena vektor normal bidang normal sejajar dengan vektor normal
bidang
6 x  6 y  8 z  1 , maka ada konstanta k sedemikian sehingga
3t 2 ,3, 4t 3   k  6, 6, 8 .
3t 2  6k
3  6k  k 
1
2
4t 3  8k
k
1
 3t 2  3
2
k
1
 4t 3  4
2
t2  1
t 3  1
t  1
t  1
Jadi t  1 , maka x  (1)3  1 , y  3(1)  3 , z  (1)4  1
Jadi titik potongnya adalah (1, 3,1)
Buktikan bahwa :   A    A    A
50.
Penyelesaian :
  A     A 1i  A 2 j  A 3 k 

A 1    A 2    A 3 
x
y
z
A 3
A
A 2 


  A  
A1   1 
A2  

A3  
x
x y
y
z
z
  A  
  A  
A 2 A 3
 A



A1 
A2 
A 3   1 

x
y
z
y
z
 x



 
 

 

 
  A    i 
j
k   A 1i  A 2 j  A 3 k    i 
j  k   A 1i  A 2 j  A 3 k 
y
z 
y
z 
 x
 x
  A     A    A 
Jika A = 2yzi – x2yj + xz2k, B = x2i + yzj – xyk dan   2x 2 yz3 .
51.
Tentukan (B  ) A
Penyelesaian :



 

 
(B  ) A   x 2 i  yzj  xyk   i 
j
k 
y
z 

 x



(B  ) A   x 2
 yz  xy

x

y

A
A
(B  ) A  x 2
 yz
 xy
x
y

 
 
A
z 

 

A
 x 2  2 xyj  z 2 k  yz 2zi  x 2 j  xy 2 yi  2 xzk 
z
 

(B  ) A  2 yz 2  2 xy 2 i  2 x 3 y  x 2 yz j  x 2 z 2  2 x 2 yz k
52. Tunjukkan bahwa F = (2xy + z3)i + x2j + 3xz2k adalah suatu medan
konservatif dan tentukanlah kerja yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah
partikel di medan ini dari (1,-2,1) ke (3,1,4).
Penyelesaian :
●
Gaya F adalah suatau medan konservatif jika dan hanya jika curl F =
xF=0
xF 
i
j
k

x

y
2

z
2 xt  z
3
x


 i (0) - j 3z 2  3z 2  k 2x - 2x   0
3xz
2
 F adalah medan konservati f
● Kerja yang dilakukan :
P2
P2
 F  dr   2 xy  z  dx  x
3
P1
P1
P2
P2
P1
P1

3
dy  3xz 2 dz
 
2
3
2
3
 F  dr   d x y  xz  x y  xz
53. Hitunglah
 xy  y dx  x dy
2
2
 
3,1, 4 
1, 2 ,1
 202
dimana C adalah kurva tertutup dari daerah
C
yang dibatasi oleh y = x dan y = x2
Penyelesaian:
(
y
1,1)
=x
y
=x2
●
Lintasan sepanjang y = x2  dy = 2x dx
●
Lintasan sepanjang y = x  dy = dx
 xx   x dx  x 2dx   3x dx
0
0
2
2
2
1
1
0
 x 3  1
1


  xy  y 2 dx  x 2 dy 
C
19
1
1 
20
20
54.
 A  n ds
Hitunglah
dengan A = xyi – x2j + (x+z)k dan s adalah bagian
s
bidang 2x + 2y + z = 6 yang terletak di kuadran pertama dan n unit vektor  s
Penyelesaian :
Normal pada s
z
mempunyai
persamaan :
6
(2x + 2y + z – 6) = 2i + 2j +
n
k
d
s
s
n
3
2 2  2 2  12
2i  2j  k
n
3
y
R
3
2i  2j  k
d
xdy
x
 2i  2j  k 
A  n  xyi  x 2 j  ( x  z )k  

3


2
A  n  1 2 xy  2 x  ( x  z )
3
A  n  1 2 xy  2 x 2  x  2 y  6
3
 2 xy  2 x 2  x  2 y  6 
ds
A

n
ds

s
s 
3







 1
2 xy  2 x
3 
2
 x  2y  6
 dydx
nk
2 xy  2 x
3 
2
 x  2y  6
 dydx
1
s
 1
s
3
3 3 x
1
3
 2 xy  2 x
2
 x  2y  6
0 y 0
3

 dydx
1
3

3 x
  xy2  2 x 2 y  xy  y 2  6 y ] dx
0
0
3


  x(3  x) 2  2 x 2 (3  x)  x(3  x)  (3  x) 2  6(3  x) dx
0
3
  [ x(9  6 x  x 2 )  6 x 2  2 x 3  3 x  x 2  (9  6 x  x 2 )  18  6 x
0
3
  (9 x  6 x 2  x 3  6 x 2  2 x 3  3 x  x 2  9  6 x  18  6 x)dx
0
3
  (3 x 3  12 x 2  6 x)dx
0


55.

3
4

3
x 4  4 x3  3x 2 ]
0
27
4
Hitunglah
 A  dr dimana A = (2x
– y)i – (yz2)j – (y2z)k dengan S
C
adalah permukaan setengah bola x2+y2+z2=1, bagian atas dan C adalah
batasnya
Penyelesaian:
Keliling C dari S merupakan lingkaranpada bidang XoY yang berjari-jari 1
dan berpusat di (0,0,0). Lintasan C dapat ditulis dalam koordinat polar: x = cos
t, y = sin t, z = 0
0  t  2
 A  dr   2 x  y dx  yz dy  y z dz 
2
C
2
C
2

 2 cos t  sin t  sin t dt
0
2

  2 sin t cos t  sin t dt
2
0
2
cos 2t  1 

    sin 2t 
dt
2


0
2
1
1

    sin 2t  cos 2t  dt
2
2
0
1
1  2
1
  cos 2t  sin 2t  t 
4
2 0
2
1
 1

   0       0  0
2
 2


  A  dr  
C