Persamaan vektor dari bidang

1.
2.
Diketahui vektor a, b, dan c:
Gambarkan: a – b + 2c dan 3c – 2a + b
Buktikan bahwa vektor-vektor
a = 3i – 2j + k,
b = i – 3j +5k, dan
c = 2i +j – 4k
membentuk sebuah segitiga siku-siku.
Persamaan Garis
Bagaimana menentukan persamaan garis l yang melalui titik P(x0,y0,z0)
yang sejajar suatu vektor v?
z
l

P(x0,y0,z0) a
r0

Q(x,y,z)
Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang
titik pada l, misalkan r0 dan r adalah
vektor-vektor posisi dari P dan Q.
r
Jika a adalah vektor representasi
PQ ,lihat gambar samping. Hukum
v
penjumlahan vektor memberikan
x
r = r0 + a
y
Karena a dan v sejajar, maka terdapat t sehingga a = tv, sehingga
r = r0 + tv
Persamaan vektor
dari garis
Jika v = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di
atas memberikan
x= x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc
yang disebut persamaan parametrik dari garis melalui titik P(x0, y0, z0)
dengan bilangan arah v = a, b, c.
Dengan menyelesaikan t dari persamaan parametrik, memberikan
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
yang disebut persamaan simetri dari garis melalui titik P(x0, y0, z0) dgn
bilangan arah v = a, b, c.
Persamaan Bidang
Sebuah bidang di ruang ditentukan oleh sebuah titik P(x0, y0, z0) dan
sebuah vektor n yang tegak lurus terhadap bidang itu (vektor normal).
z
n
titik pada bidang, misalkan r0 dan r
Q(x,y,z)
r
Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang
adalah vektor-vektor posisi dari P
r – r0
P(x0,y0,z0)
r0
dan Q. Vektor r – r0 dinyatakan oleh
PQ . Vektor normal n tegak lurus
thd setiap vektor pada bidang,
x
y
khususnya r – r0 sehingga
n  (r – r0) = 0
Persamaan vektor dari
bidang
Jika n = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di
atas menjadi
a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
Persamaan ini disebut persamaan skalar dari bidang yang melalui
titik P(x0, y0, z0) dengan vektor normal n = a, b, c.
Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai persamaan linear
ax + by + cz + d = 0
Latihan:
1. Carilah persamaan garis melalui titik (5, 1, 3) yang searah vektor v =
3i – 5j + 2k. Kemudian carilah dua titik lainnya pada garis tersebut.
2. Carilah persamaan bidang yang melalui titik (2,4,-1) dengan vektor
normal n = 2,3,4. Kemudian tentukan titik potongnya dengan
sumbu koordinat.
3. Carilah persamaan bidang yang melalui titik P(1,3,2), Q(3,-1,6), dan
R(5,2,0).
4. Carilah titik potong garis x = 2 + 3t, y = -4t, z = 5 + t memotong bidang
4x + 5y – 2z = 18.
PR:
1. Carilah persamaan garis melalui titik (2, 4, -3) dan (3, -1, 1).
Dimanakah garis ini memotong bidang-xy? Dimanakah memotong
bidang x – 2y + 3z = 5.
2. Tunjukkan bahwa dua garis berikut bersilangan (tidak berpotongan):
x=1+t
y = -2 +3t
z=4–t
x = 2s
y=3+s
z = -3 + 4s
3. Carilah sudut antara bidang x + y + z = 1 dan x – 2y + 3z = 1.
Kemudian carilah persamaan garis perpotongan antara kedua
bidang ini
4. Carilah rumus untuk jarak dari titik Q(x1,y1,z1) ke bidang ax + by
+ cz + d = 0.
5. Carilah jarak antara dua bidang sejajar
10x + 2y – 2z = 5 dan
5x + y – z =1.
6. Carilah jarak antara dua garis
x=1+t
x = 2s
y = -2 +3t
y=3+s
Q(x1,y1,z1)
b
n
P(x0,y0,z0)
z=4–t
z = -3 + 4s