Wigner Phase Only Correlation Resume

@LKM2017
@LKM2018
Disusun oleh
Farhan
Lucky
Outline
Pendahuluan
Teori
Metodologi
Hasil
Kesimpulan
@LKM2018
Simulasi
Q&A
Outline
Pendahuluan
• Latar Belakang
• Tujuan
@LKM2018
Teori
Metodologi
Hasil
Kesimpulan
Simulasi
Q&A
Pendahuluan
Latar Belakang
Identifikasi kemiripan event seismic diperlukan untuk mengetahui lokasi posisi
sumber dan mengevaluasi struktur bawah permukaan dari data pasif seismik.
Phase-only correlation (POC) merupakan salah satu metode yang digunakan untuk
mengukur kemiripan dari bentuk gelombang. Akan tetapi low resolution STFT
membatasi performa POC.
Untuk mengatasi masalah ini diajukan metode POC dengan menggunakan distribusi
wigner untuk mengganti STFT (WPOC).
Tujuan
@LKM2018
• Membandingkan POC dan WPOC pada data sintetik dan real
Outline
Pendahuluan
Teori
•
•
•
•
Fourier Tranform
Short Time Fourier Transform
Phase Only Correlation
Wigner Distribution
Metodologi
Hasil
Kesimpulan
@LKM2018
Simulasi
Q&A
Teori
@LKM2018
Klasifikasi dekomposisi spektral
(Szmajda,2010)
Teori
Fourier Tranform
1
X ( n) 
2

 x(t ) exp(2 inf t )
Fourier Transform
0
n 
Inverse Fourier Tranform
x(t ) 

 X (n) exp(2 inf t )
0
n 
x(t) tiap n
x(t)
@LKM2018
Simbol:
𝑋 𝑛 = 𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
𝑛 = 𝑔𝑒𝑙𝑜𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒
𝑓0 = 𝐹𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖(𝐻𝑧)
𝑡 = 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢(𝑠)
X(n)
Teori
Skema STFT
h(  t )
x( )
t
t
S (t ,  )
x( )h(  t )
t
@LKM2018
Simbol:
S 𝑡, 𝜔 = 𝐾𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟
𝑥 𝜏 = 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒
h τ − t = 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟
τ = 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢(𝑠)
𝑡 = 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡𝑖𝑛𝑔(𝑠)
S (t ,  )   x( )h(  t ) exp( i )d
(http://faculty.nps.edu)
Teori
Skema STFT
x( )
1
2
h(  t )
x( )h(  t )
@LKM2018
3
Teori
@LKM2018
Skema STFT
(Su, 2017)
Teori
Kekurangan STFT
32 ms
Good time domain
Bad frequency domain
128 ms
@LKM2018
Bad time domain
Good frequency domain
(Su, 2017)
Teori
Phase Only Correlation
Ga Gb*
POC 
 exp ix x
*
Ga Gb
Persamaan cross korelasi pada
domain frekuensi
𝑟(𝑥 − ∆𝑥, 𝑦 − ∆𝑦)
r (𝑥, 𝑦)
@LKM2018
Bagaimana menemukan nilai ∆𝑥 dan ∆𝑦?
simbol:
𝜔𝑥 = 𝐹𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖
∆𝑥 & ∆𝑦 = 𝑠ℎ𝑖𝑓𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑠 ;
r = amplitude ;
𝑃𝑂𝐶 = 𝑃ℎ𝑎𝑠𝑒 𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛;
𝐺𝑏∗ = 𝑘𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑒𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑒 − 2 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖;
𝐺𝑎 = 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑘𝑒 − 1 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖
Teori
Wigner Distribution
Wigner Distribution 1932 Menemukan dalam Mekanika Quantum
Wigner-Ville Distribution 1948 Dikembangkan dalam Sinyal Prosesing
pz (t , f )  F  K z (t , )
f
Signal Kernel
Formulasi mencari kernel
K z (t , )  F 1  ( f  fi (t ))
Kernel pada IF Domain
K z (t , )  e j 2 f (t )
Phase
@LKM2018
f
(Boashash, 2003)
Teori
Instataneous Frequency (IF)
 '(t )
fi 
2
x(t)  e j 2 ft
Sinyal Monocomponent
  2 ft
Instataneous Phase

dt
 2 f
 '  2 f
Instataneous Phase Orde 1
@LKM2018
Substitusi ke kernel menjadi
K z (t , )  e j '(t )
(Boashash, 2003)
Teori
Central Finite Difference
x
x


f (x)  x    f ( x)  x  
2 
2 


f '( x) 
x
Instantaneous Phase dengan metode CFD
 '(t)  lim
 0


 (t  )   (t  )
2

2
@LKM2018
1       
 '(t )    t      t   
   2   2 
Teori
Wigner Distribution
K z (t , )  e


j ( t  )  j ( t  )
2
2
e



pz (t , f )  F 1  z (t  ) z  (t  
f
2
2


Wz (t , f ) 
Spectrum Frekuensi dengan kernel

 j 2 f 
z
(
t

)
z

(
t

)
e
d
 2
2
@LKM2018
z = Sinyal analitik yang mengandung bilangan complex
f
= Frekuensi
𝜏 = Delay waktu

Teori
Hilbert Transform
Bilangan complex bisa didefinisikan sebagai berikut
X (t )  x(t )  jH [ x(t )]
1
H [ x(t )]  x(t ) *
t

1 x( )
H [ x(t )]  
  t  
@LKM2018
x(t ) = Input Seismic Bilangan Real
𝜏
= Delay waktu
(Boashash, 2003)
Teori
Cross-term
•
Lokasinya ditengah antara dua dua komponen sinyal
•
Punya arah orthogonal searah dengan komponen sinyal
•
Memiliki tingkat osilasi yang lebih besar dibandingkan dengan sinyal asli
z (t )  z1 (t )  z2 (t )
K z (t , )  K Z1 (t , )  K Z2 (t , )  K Z1 Z2 (t , )  K Z2 Z1 (t , )
Auto-term
Cross-term
@LKM2018
Catatan:
z (t ) = Input Sinyal Multicomponent
𝜏
= Delay waktu
(Boashash, 2003)
Teori
@LKM2018
Perbandingan metode dekomposisi spektral
Outline
Pendahuluan
Teori
Metodologi
• Diagram Alir Penelitian
Hasil
Kesimpulan
@LKM2018
Simulasi
Q&A
Metodologi
Langkah menghitung POC
• Mengubah data dalam domain waktu ke frekuensi dengan short time fourier
transform
• Menghitung fungsi POC berdasarkan data domain t-f
• Mengestimasi kemiripan bentuk gelombang dari nilai peak dari POC
@LKM2018
2 Data dalam
domain waktu
STFT
FT dengan WD
POC
WPOC
Invers STFT
Invers FT dengan
WD
Estimasi kemiripan
waveform
Estimasi kemiripan
waveform
Outline
Pendahuluan
Teori
Metodologi
Hasil
•
•
•
•
•
Uji pada fungsi Sin tanpa noise (sintetik)
Uji pada fungsi Sin dengan noise (sintetik)
Uji pada fungsi Sin dengan frekuensi yang bervariasi dengan waktu (sintetik)
Uji pada fungsi data real perforasi
Uji pada fungsi data real mikro seismik
@LKM2018
Kesimpulan
Q&A
Hasil
Sintetik fungsi sin tanpa noise
Gelombang 1
POC
WPOC
@LKM2018
Gelombang 2
Hasil
Sintetik fungsi sin dengan noise (30 dB)
Gelombang 1
POC
WPOC
@LKM2018
Gelombang 2
Hasil
Sintetik time-varian dengan noise (40 dB)
Gelombang 1
POC
WPOC
@LKM2018
Gelombang 2
Hasil
Perforating data dengan noise (40 dB)
Gelombang 1
POC
WPOC
@LKM2018
Gelombang 2
Hasil
Micro-seismic data dengan noise (40 dB)
Gelombang 1
POC
WPOC
@LKM2018
Gelombang 2
Outline
Pendahuluan
Teori
Metodologi
Hasil
Kesimpulan
@LKM2018
Simulasi
Q&A
Kesimpulan
Kesimpulan
Metode WPOC menghasilkan nilai puncak kemiripan data yang lebih tinggi dan stabil.
Walaupun, data yang digunakan mengandung noise.
Rekomendasi
@LKM2018
Menghubungkan WPOC dengan metode analisa cluster akan meningkatkan keakuratan
dalam mengidentifikasi bentuk gelombang.
Outline
Pendahuluan
Teori
Metodologi
Hasil
Kesimpulan
@LKM2018
Simulasi
Q&A
Outline
Pendahuluan
Teori
Metodologi
Hasil
Kesimpulan
@LKM2018
Simulasi
Q&A
Teori
Deret Fourier
a0 
x(t )    an cos(2 nf 0t )  bn sin(2 nf 0t )
2 n 1
Gelombang acak merupakan penjumlahan dari gelombang periodik
@LKM2018
Contoh:
Gelombang kotak merupakan
penjumlahan dari 4 gelombang
periodik
x(t) = data domain waktu
an & bn= amplitudo data ke n
f0 = frekuensi sinyal
t = waktu
n = index data ke n
Teori
Penurunan Transformasi Fourier
a0 
x(t )    an cos(2 nf 0t )  bn sin(2 nf 0t )
2 n 1
… (L1)
Hubungan trigonometri dan eskponensial:
1
cos(2 nf 0t )  exp(2 inf 0t )  exp(2 inf 0t ) … (L2)
2
1
sin(2 nf 0t )  exp(2 inf 0t )  exp(2 inf 0t ) … (L3)
2i
Dengan substitusi persamaan L2 dan L3 ke L1 maka:
a0   an
b

x(t )     exp(2 inf 0t )  exp(2 inf 0t )  n exp(2 inf 0t )  exp(2 inf 0t )
2 n 1  2
2i

@LKM2018

 an  ibn  exp(2 inf t )
a0   an  ibn 
x(t )   
exp(2

inf
t
)



0  
0 
2 n 1
2
2
n 1
… (L4)
Teori
Penurunan Transformasi Fourier
Berdasarkan identitas trigonometri diketahui:
cos( )  cos( ) … (L5)
sin( )   sin( ) … (L6)
maka:


a
n 1
n

 ib
n 1
n
exp(2 inf 0t )   an exp(2 inf 0t )
… (L7)
n 1

exp(2 inf 0t )    ibn exp(2 inf 0t )
… (L8)
n 1
Dengan substitusi L7 dan L8 ke suku ke 3 persamaan L4 diperoleh

an  ibn 

an
x(t )   
exp(2 inf0t )
2 n
2
@LKM2018
 a  ibn  … (L10) Maka x(t) menjadi
X ( n)  n
2
… (L9)
x(t ) 

 X (n) exp(2 inf t )
n 
0
… (L11)
Teori
Penurunan Transformasi Fourier
x(t ) 

 X (n) exp(2 inf t )
… (L11)
0
n 
Diketahui bahwa rata-rata dari exponential pada interval –π hingga π adalah nol


exp(2 inf 0t )
exp(2 inf 0 )  exp( 2 inf 0 )
exp(2

nf
t
)
dt


0
0

2 inf 0
2

inf
0

Maka untuk menghitung X0 dilakukan dengan menghitung rata-rata pada x(t)
1
2



0 
  x(t )dt  X   dt  0  X
1
X0 
2

  x(t )dt
0
… (L12)

Sedangkan, untuk menghitung Xn dilakukan dengan menghitung rata-rata pada x(t) dikali
komplek konjugatenya
1
2


  x(t ) exp(2 inf t )dt  0  X   exp(2 inf t ) exp(2 inf t )dt  0 X   dt  X
0

1
Xn 
2
@LKM2018

n 

  x(t ) exp(2 inf t )dt

0
0
0
n 
n
… (L13)
X(n) = koefisien fourier
Teori
Penurunan Transformasi Fourier
1
X ( n) 
2
1
X (k ) 
N

 x(t ) exp(2 inf t )
Fourier Transform
0
n 
Inverse Fourier Tranform
2 ikr 

x
(
t
)
exp(
)


N


k 0
N 1
x(t ) 

 X (n) exp(2 inf t )
0
n 
2 ikr 

x(t )   X (n) exp(
)  DFT
N 

k 0
N 1
x(t) tiap n
x(t)
@LKM2018
Simbol:
k = Frekuensi
N = No data maksimum
r = Integer (data ke) (1,2,3,...,N-1)
FT
X(n)
Teori
Penurunan Persamaaan POC
asumsi
z  at  b
x(t )  X ( )
t
Persamaan tranformasi fourier dari L13 adalah:
z b
a

dz
dz
 a  dt 
dt
a
X ( )   x(t ) exp(it )dt

Persamaan tranformasi fourier dengan shifting dihitung dengan:

FT ( x(at  b))   x(at  b) exp(it )dt

z  b dz
))

a
a
1 
z
b
FT ( x(at  b))   x( z ) exp(i  i )dz
a 
a
a
ib 
z
FT ( x(at  b))  exp(
)  x( z ) exp(i ( ))dz
a 
a
ib
 Untuk kasus shifting maka a=1 dan b=-∆𝑥 sehingga:
FT ( x(at  b))  exp(
)X ( )
a
a

@LKM2018
FT ( x(at  b))   x( z ) exp(i (
FT ( x(t  x))  exp(i x) X () … (L14)
Teori
Penurunan Persamaaan POC
Misalkan Gb adalah Ga yang telah dishifting sejauh ∆𝑥 maka persamaan POC adalah
Gb  Ga exp ix x
Ga Ga* exp ix x
Ga Gb*
POC 

*
Ga Gb
Ga Ga* exp ix x
POC 
Ga Ga* exp ix x
Ga Ga
*
 exp i x x
Ga
Gb
Invers fourier transform dari POC:

r ( x) 
 exp i x exp i x d


r ( x) 
 exp i ( x  x) d

@LKM2018

i
r ( x)  
exp i ( x  x)    ( x  x)
x x
∆𝑥
Lampiran
Penurunan Instantaneous Frequency (IF)
fi (t ) 
1
 '(t)
2
Amplitude-modulated Signal
x(t )  a(t ) cos(2 f ct  )
Bisa ditulis
x(t )  a(t ) cos  (t)
Dimana
 (t)  2 fct 
Didapat Hasil
@LKM2018
fc 
1
 '(t)
2
Lampiran
@LKM2018
Autoterm
Cross Term
x(t )  A1e
1
W(t , w) 
2
jw1t
 A2e
jw2t
Multicomponent Sinyal Analytic
 
 
jw2  t   
jw1  t  

2
2
  A1e    A2e   


 
 jw2  t   
  jw1  t 2 
 jwt
 A1e    A2 e  2   e d




 w w 
 w w 
 2 jw 
j  1 2  
j  1 2 
t
w

w
j
t
w

w
j
W (t , w)    A1 e 1  A1 A2e  2 1  e  2   A2 2e jw2  A1 A2e  1 2  e  2  e  jwt d


W (t , w)   A12 e
j  w1  w t
d   A2 2 e
j  w2  w t
d   2A1 A2 cos  w1  w2  t   e
 w w 
j  1 2 
 2 
e  jwt d
@LKM2018

 w  w2  
W (t , w)  A12 ( w  w1 )  A2 2 ( w  w2 )  2 A1 A2 cos  w1  w2    w   1

2



Auto-term
Cross-term