Document

Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 62 - 70
ISSN 1978 – 8568
SIFAT ADITIF KATEGORI HOMOTOPI KOMPLEKS-U
Gustina Elfiyanti
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Email: [email protected]
Abstract: Davvaz and Shabbani-Solt introduced a notion of chain U-complex as a
generalization of chain complex by replacing kernels with submodules U . They
used the definitions to generalize some results in homological algebra. In this
paper we propose a generalization of homotopy category of complexes called
homotopy category of U-complexes by replacing the objects with chain Ucomplexes, morphisms with U-homotopy equivalent classes of morphisms of Ucomplexes. We prove that this category is an additive category.
Keywords: chain U-complex, morphisms of U-complexes, U-homotopy homotopy
category of U-complexes, additive category.
Abstrak: Davvaz dan Shabbani-Solt mengenalkan rantai rantai kompleks-U
sebagai perumuman rantai kompleks dengan mengganti kernel dengan submodul
U. Mereka menggunakan definisi tersebut untuk memperumum beberapa hasil
dalam aljabar homologi. Tulisan ini bertujuan untuk membuat perumuman kategori
homotopi kompleks yang disebut kategori homotopi kompleks-U dengan
mengganti objek dengan rantai kompleks-U dan morfisma dengan kelas ekivalen
homotopi-U dari morfisma kompleks-U. Diperoleh bahwa kategori ini merupakan
kategori aditif.
Kata kunci: rantai kompleks-U, morfisma kompleks-U, homotopi-U, kategori
homotopi kompleks-U, kategori aditif.
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan manusia biasanya mengklasifikasikan objek-objek berdasarkan
kemiripan sifat yang dimiliki. Pengklasifikasian tersebut bertujuan untuk mempermudah
mempelajari/mengkaji objek yang diminati. Karena objek-objek yang berada dalam kelompok
yang sama memiliki sifat yang sama maka untuk mengkaji kelompok tersebut kita tidak perlu
mempelajari semua anggotanya tapi cukup perwakilannya saja.
Hal yang sama juga berlaku dalam aljabar, objek yang dibahas adalah himpunan atau
koleksi himpunan yang dilengkapi dengan suatu struktur. Metode pengklasifikasian dilakukan
dengan pemetaan, khususnya isomorfisma. Jika terdapat suatu isomorfisma antara dua objek
maka kedua objek tersebut memiliki sifat yang sama. Sehingga kajian mengenai suatu
struktur aljabar dapat dilakukan melalui kelas-kelas isomorfisma dari objeknya. Pendekatan
yang mengoptimalkan kajian sifat-sifat pemetaan ini adalah pendekatan kategori.
Kategori adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari koleksi objek, koleksi
homomorfisma antar objek dan sebuah operasi komposisi. Jika objek dari kategori berupa
rantai kompleks, yaitu rantai modul-R dan homomorfisma modul-R dengan sifat komposisi
setiap homomorfisma yang bertetanggaan adalah nol, maka kategori tersebut kategori
kompleks.
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U
dn1
Suatu rantai kompleks
jika Im  dn1   d
1
n
dn
dn1
 X n1  X n  X n1  X n2™
dikatakan barisan eksak
0 . Suatu pertanyaan natural adalah bagaimana jika 0 diganti dengan
U n 1 sebuah submodul dari X n 1 . Dalam [1], Davvaz dan Parnian-Garmaleky mengenalkan
perumuman dari konsep ini yang disebut barisan eksak- U , yang merupakan modifikasi dari
notasi barisan eksak biasa dan menjawab permasalahan di atas. Mereka kemudian
memperumuman beberapa hasil untuk barisan eksak biasa pada barisan eksak- U . Dalam [2],
Anvariyeh dan Davvaz melanjutkan penelitian dalam topik ini dan fokus dalam aplikasi
barisan eksak- U dan mempelajari barisan terpisah- U . Kemudian dalam [3] Davvaz dan
Shabani-Solt membuat perumuman beberapa topik dalam aljabar homologi. Mereka
mengenalkan konsep rantai kompleks- U , morfisma kompleks-U, homologi- U dan fungtor. Mereka menggunakan konsep tersebut untuk mencari perumuman dari Lema Lambek,
Lema Ular, Homomorfisma Penghubung dan Segitiga Eksak.
Elfiyanti dkk. [4] menggunakan penelitian Davvaz dan Shabani-Solt untuk membuat
perumuman kategori kompleks yang disebut kategori kompleks-U. Tulisan ini bertujuan
untuk melanjutkan penelitian [3] dan [4] dengan membuat perumuman kategori homotopi
kompleks, yang disebut kategori homotopi kompleks- U , diperoleh bahwa kategori ini adalah
kategori aditif.
KATEGORI KOMPLEKS
Pada bagian ini dipaparkan beberapa teori dasar yang bersumber dari [5], [6] , [7], [8]
dan [9] dengan notasi penulisan disesuaikan dengan [6].
Suatu kategori
terdiri dari: kelas objek Ob yang elemennya disebut objek dari ,
koleksi himpunan Hom  X , Y  satu untuk setiap pasangan terurut objek-objek dari X , Y 
dan koleksi pemetaan
: Hom  X , Y   Hom Y , Z   Hom  X , Z 
gf
 f , g
untuk setiap triple terurut X , Y , Z  . Ketiga data ini harus memenuhi:
1. Setiap morfisma f secara tunggal menentukan X , Y 
sehingga
f  Hom  X , Y  .
Dengan kata lain jika  X , Y    X  , Y   maka Hom  X , Y   Hom  X  , Y    .
2. Untuk setiap X 
terdapat morfisma 1X  Hom  X , X  dinamakan identitas pada X
sehingga jika f  Hom  X , Y  dan g  Hom W , X  maka f 1X  f dan 1X g  g.
3. Komposisi morfisma bersifat asosiatif, yaitu jika f  Hom  X , Y  , g  Hom Y , Z  dan
h  Hom  Z ,W  maka h  gf    hg  f .
Jika X objek di maka 1X tunggal. Dengan demikian terdapat korespondensi satu-satu
antara kelas objek di
dan kelas morfisma identitas, oleh karena itu dalam mendefinisikan
sifat-sifat pada kategori cukup melihat morfisma dan komposisi (bukan objek). Pernyataan
yang sederhana dalam kategori adalah suatu komposisi morfisma sama dengan suatu
63
Gustina Elfiyanti
komposisi lainnya, misalkan gf  g  f  . Dalam hal ini kita katakan diagram berikut komutatif
jika
.
f
X
f
X


Y
g
g
 Y
Suatu kategori dikatakan kategori aditif jika berlaku:
A1 Untuk setiap pasang objek X , Y di maka himpunan Hom
dan komposisi Hom
 X , 0
merupakan grup abel
 X , Y   Hom Y , Z   Hom  X , Z  bilinier atas
A2 Kategori memuat objek 0 (yaitu untuk setiap objek di
Hom  X , 0  dan Hom  0, X  memuat tepat satu unsur.
A3 Untuk setiap pasang objek X , Y di
.
maka himpunan
terdapat koproduk X  Y .
Kategori aditif
dikatakan kategori abel jika setiap morfismanya punya kernel dan
kokernel serta untuk setiap morfisma f : X  Y di
maka morfisma natural
ko Im  f   Im  f  .
adalah barisan tak hingga X   X n , d n n ,
Rantai kompleks atas kategori aditif
dengan X  Ob
dan d n (disebut differensial) adalah morfisma di Hom
 X n , X n1 
yang
memenuhi d d  0 untuk setiap n  . Rantai kompleks dapat ditulis sebagai barisan
objek dan morfisma berikut.
X
n
X
n 1
X   X n , d nX  :
dnX1
dnX1
dnX1
 X n1  X n  X n 1  X n 2™
Morfisma antara rantai kompleks X   X n , d nX 
n
dan Y  Yn , d nY 
n
adalah barisan
morfisma f   f n n sehingga diagram di bawah komutatif, yaitu f n1dnX  dnY f n untuk setiap
n
.
™
™
d nX1
X n 1 ™
 fn1
d nX
Xn
 fn
d nY1
Yn 1
™
X n 1 ™
 fn1
d nY
™
Yn
™
Yn 1
™
Koleksi semua rantai kompleks atas
bersama morfisma kompleks dan operasi komposisi
membentuk kategori kompleks, dinotasikan dengan C   . Jika kategori abel, yaitu
kategori aditif yang setiap morfismanya punya kernel dan kokernel serta untuk setiap
64
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U
kompleks f : X  Y maka
morfisma
isomorfisma, maka C 

morfisma
koIm  f   Im  f  merupakan
natural
juga kategori abel.
PERUMUMAN RANTAI KOMPLEKS
Pada bagian ini dipaparkan hasil penelitian Davvaz dan Shabani-Solt. Untuk selanjutnya
menyatakan kategori abel R  Mod , yaitu kategori modul atas gelanggang komutatif
dengan kesatuan R.
Definisi 1.
Rantai kompleks- U X atas kategori


adalah keluarga X  X ,U X , d X   X n ,U nX , d nX 
n
dengan U nX  X n objek di
dan setiap X n dan dnX : X n  X n1 adalah homomorfisma
modul-R, sehingga untuk setiap n  berlaku:
1. dnX dnX1  X n1   U nX1
Im  dnX   U nX1
2.
Rantai kompleks- U X dapat ditulis sebagai barisan objek dan morfisma berikut.
dnX1
 X ,U X , d X  :
dnX
dnX1
 X n1 ™ X n ™ X n1 ™ X n2™
Dari definisi di atas maka jelas bahwa rantai kompleks adalah rantai kompleks-0, dengan 0
barisan submodul 0. Begitu juga dengan rantai X ,U X , d X dengan sifat dnX dnX1  X n1   U nX1
juga rantai kompleks- U X . Jika
 X ,U

X

, d X  rantai kompleks- U X maka Im  d nX1  
 d  U  .
X
n
1
X
n 1
Contoh 2
1. Pandang rantai modul-R dan rantai homomorfisma berikut
2x
™
32
2x
™
Maka X 

32
32
™
, 4 , 2x

32
™
adalah rantai kompleks- 4
dan Y 

32
, 2 ,2y

adalah
rantai kompleks- 2 .
2.
Untuk rantai modul-R dan rantai homomorfisma berikut
4x
™
32
maka Z 
™

32
4x
32
™
32
™

, 8 , 4 x adalah rantai kompleks  8 .
Definisi 3 (Morfisma kompleks-U)
Misalkan X ,U X , d X dan Y ,U Y , d Y




kompleks- U Y . Morfisma kompleks- U
masing-masing adalah rantai kompleks- U X dan
atas
65
adalah morfisma rantai kompleks
Gustina Elfiyanti
 
f   f n : X n  Yn n
U
X
dengan f n U nX  U nY . Morfisma ini disebut juga rantai pemetaan-
,U Y  .
Contoh 4
Misalkan X 

32
, 4 , 2x

dan Y 

32

, 2 , 2 y . Definisikan f n :
32

32
sebagai
4 x maka diagram berikut komutatif
fn : x
2x
™
X:
f
32
4 x
™
32
4 x
32
™
32
4 x
2y
™
Y:
2x
™
2y
™
™
32
™
32

karena 4 4  16  2 maka f adalah rantai pemetaan  4 , 2
Proposisi 5
Misalkan X ,U X , d X


 adalah rantai kompleks-U sehingga d d  X   U dan
Y ,U , d  rantai kompleks-U . Jika f   f : X  Y  pemetaan rantai kompleks, maka
f juga rantai pemetaan- U ,U 
X
X
Y
X
n
X
n 1
n 1
X
n 1
Y
n
X
n n
n
Y
Definisi 6 (Homotopi )
Misalkan X ,U X , d X dan Y ,U X , d Y masing-masing adalah rantai kompleks- U X dan






rantai kompleks- U Y . Misalkan pula f , g adalah dua rantai pemetaan- U X ,U Y . Pemetaan


f dan g dikatakan homotop- U X ,U Y , dinotasikan dengan f
g jika terdapat barisan
morfisma h   hn : X n  Yn1 n
X:
f
Y:
™
™
d nX1
X n 1
 fn1
™
hn
d nX
Xn
 fn
d nY1
Yn 1
™
™
X n 1 ™
 fn1
hn1
d nY
™
Yn
Yn 1
™
sehingga untuk setiap n  berlaku:
1. f n  gn  dnY1hn  hn1dnX
 
2. hn U nX  U nY1


Barisan h   hn n disebut rantai homotopi- U X ,U Y . Jika g  0 maka f dikatakan


homotop- U X ,U Y ke 0.
66
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U
Lema 7
Relasi homotop- U X ,U Y , , adalah relasi ekivalen.


Bukti:
1. Akan dibuktikan " " bersifat reflektif.
Misalkan rn  0 untuk setiap n  maka dnY1rn  rn1dnX  f n  f n  0
dan jelas rn (U nX )  0Cn1  U nY1 maka f
2.
Akan dibuktikan "
U
X
f .
" bersifat simetris. Misalkan f
g maka terdapat rantai homotopi-
,U Y  , r   rn : X n™ Yn1 n , sehingga dnY1rn  rn1dnX  f n  gn dan rn (U nX )  U nY1.
Misalkan s   sn n adalah rantai homotopi  U X ,U Y  dengan sn  rn , sehingga
d nY1rn  rn 1d nX  f n  g n  (d nY1rn  rn 1d nX )  ( f n  g n )d nY1 (rn )  (rn 1 )d nX
 g n  f n d nY1sn  sn 1d nX  g n  f n
Karena rn (U nX )  U nY1 tertutup maka rn (U nX )  sn (U nX )  U nY1 . Jadi g
f , maka
terbukti " " bersifat simetris.
3.
Akan dibuktikan " " bersifat transitif. Misalkan f
g dan g
h , maka terdapat rantai
homotopi  U X ,U Y  , r   rn : X n™ Yn1 n dan s   sn : X n™ Yn1 n sehingga
dnY1rn  rn1dnX  f n  gn , dnY1sn  sn1dnX  gn  hn dan rn (U nX )  U nY1 , sn (U nX )  U nY1 .
Perhatikan.
f n  gn  gn  hn  dnY1rn  rn1dnX  dnY1sn  sn1d nX  d nY1 (rn  sn )  (rn1  sn1 )d nX
Definisikan t   tn n dengan tn  rn  sn untuk setiap n  , maka f n  gn  gn  hn 
dnY1 (rn  sn )  (rn1  sn1 )dnX  dnY1tn  tn1dnX  f n  hn .
Karena
sn (U nX )  U nY1 maka jelas tn (U nX )  U nY1 . Terbukti f
h, dan "
rn (U nX )  U nY1
dan
" bersifat transitif.
Lema 8
Himpunan kelas ekivalen relasi homotopi membentuk grup abel.
Bukti:
Misalkan f  HomC
HomC
terdapat
,U 
 X , Y  , karena

f  g  HomC
 X , Y  cukup dibuktikan f subgrup dari HomC
r   rn : X n  Yn1 n dan s   sn : X n  Yn1 n
,U 
dan f n  hn  dnY1sn  sn1dnX . Perhatikan
67
 X , Y  | f g subhimpunan dari
X , Y  . Misalkan g , h  f maka
,U  
,U 
sehingga f n  gn  dnY1rn  rn1dnX
Gustina Elfiyanti
gn  hn  dnY1rn  rn1dnX  dnY1sn  sn1dnX  dnY1  rn  sn    rn1  sn1  dnX
Definisikan t   tn  rn  sn : X n  Yn1 n , karena rn U nX   U nY1 dan sn U nX   U nY1 maka
tn U nX   U nY1. Dengan demikian t n adalah rantai homotopi- U X ,U Y  , oleh karena itu
g  h  f . Terbukti f subrup dari HomC
,U 
 X ,Y .
Karena operasi penjumlahan fungsi
bersifat komutatif maka f grup abel.
Lema 9
Misalkan X ,U X , d X , Y ,U X , d Y dan Z ,U Z , d Z




 masing-masing adalah rantai kompleksg : X  Y dan f 
U X , rantai kompleks- U Y dan rantai kompleks- U Z . Jika f
maka f  f
Bukti:
Misalkan
g : Y  Z ,
g g : X  Z.
f n  gn  dnY1hn  hn1dnX , f n  gn  dnZ1hn  hn 1dnY , hn U nX   U nY1 dan hn U nY  
U nZ1. Pandang diagram komutatif berikut:
X:
 f g
Y:
™
X n 1
 fn1  gn1
™
 f   g
Z:
d nX1
™
hn
™
Xn
 fn  gn
Yn 1

n1  g n1
™
Yn
 f   g
n
™
™
Yn 1
 f
hn 1
n
d nZ1
Z n 1
 fn1  gn1
d nY
™
hn
™
X n 1
hn1
d nY1
 f
™
d nX

n 1  g n 1
d nZ
™
Zn
™
Z n 1
Akan dibuktikan terdapat sn : X n  Z n1 sehingga dnZ1sn  sn1dnX  f n f n  gn gn
f n f n  g n g n  f n  f n  g n    f n  g n  g n
 f n  d nY1hn  hn 1d nX    d nZ1hn  hn 1d nY  g n
 f n d nY1hn  f n hn 1d nX  d nZ1hn g n  hn 1d nY g n
 d nZ1 f n1hn  f n hn 1d nX  d nZ1hn g n  hn 1 g n 1d nX
 d nZ1  f n1hn  hn g n    f n hn 1  hn 1 g n 1  d nX
pilih sn  f n1hn  hn gn maka sn : X n  Z n1 dan berlaku

f n f n  gn gn  dnZ1sn  sn 1dnX .

Dengan demikian kondisi 1 pada Definisi homotopi- U X ,U Z dipenuhi. Selanjutnya akan
dibuktikan sn U nX   U nZ . Karena g adalah rantai pemetaan- U X ,U Y  maka gn U nX   U nY ,
68
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U
maka hn gn U nX   hn U nY   U nY1. Kemudian karena f  adalah rantai pemetaan- U X ,U Y 
maka f n1hn U nX   f n1 U nY1   U nZ1. Jadi diperoleh sn U nX   U nZ .
PERUMUMAN KATEGORI HOMOTOPI KOMPLEKS
Dalam (4) kategori kompleks- U atas
didefinisikan analog dengan kategori
kompleks yaitu kategori yang objeknya berupa rantai kompleks- U atas
, morfismanya
adalah morfisma kompleks- U atas
, dan operasinya adalah komposisi pemetaan biasa.
Kategori ini merupakan kategori abelian. Selanjutnya pada bagian ini akan dipaparkan
tentang kategori homotopi kompleks- U atas .


Dari Lema 7 diketahui bahwa relasi homotop- U X ,U Y , , adalah relasi ekivalen.
Kemudian berdasarkan Lema 9, komposisi dua morfisma kompleks- U yang homotop- U , ,
juga homotop- U , maka kita dapat mendefinisikan kategori homotopi kompleks sebagai
berikut.
Definisi 10 (Kategori Homotopi Kompleks )
Kategori homotopi kompleks- U atas , dinotasikan dengan K  ,U  , adalah kategori yang
objeknya berupa rantai kompleks- U atas , morfismanya adalah morfisma kompleks- U atas
modulo homotopi, dan operasi komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa
Teorema 11
Kategori homotopi K  ,U  merupakan kategori aditif.
Bukti
Misalkan X ,U X , d X , Y ,U X , d Y dan
A1.


Akan
dibuktikan
HomK
,U 
 X , Y   HomK

HomK
,U 
,U 
 X ,Y 
Y , Z  ™ HomK
grup
,U 
abel
X,Z
dan
bilinier
komposisi
atas
.
Penjumlahan f  g didefinisikan sebagai f  g dengan f , g masing-masing adalah
unsur di f dan g . Karena K   kategori aditif maka f  g memenuhi syarat
pertama homotopi- U . Karena U nY1 submodul maka f  g memenuhi syarat kedua
f  g  HomK
homotopi- U . Oleh karena itu
,U 
 X , Y  . Persyaratan
lainnya dari
kategori abel dapat dibuktikan dengan mudah, begitu juga dengan pembuktian sifat
bilinier.
A2.
Objek nol di K  ,U  adalah sama dengan objek nol di C  ,U  yaitu kompleks-0,
0
A3.
, 0 , 0  dengan 0 adalah objek nol pada kategori
Dari (4) diketahui koproduk dari X dan Y sebagai
X  Y   X n  Yn ,U nX Y , d nX Y 
n
69
.
Gustina Elfiyanti
dengan U nX Y  U nX  U nY

dan dnX Y  x, y   dnX  x  , dnY  y 

bersama morfisma
1X : X n  X n  Yn dan 1Y : Yn  X n  Yn dan memenuhi sifat universal: setiap objek
Z di C  ,U  dan morfisma kompleks- U f X : X  Z , fY : Y  Z adalah terdapat
tunggal f : X  Y  Z , terdapat tunggal morfisma kompleks- U , yang memenuhi
f X  f 1X dan fY  f 1Y sehingga diagram berikut komutatif:
Zn
 f X n
1X n
Xn
™
 fn
X n  Yn
 fY  n
1Y n

Yn
Karena relasi homotopi- U adalah relasi ekivalen dan tertutup terhadap operasi
komposisi maka diagram dari kelas eivalen 1X ,1Y dan f berikut komutatif.
Zn
 f X n
Xn
1X n
™
 fn
X n  Yn
 fY  n
1Y n

Yn
Dan jika terdapat g : X  Y  Z sehingga g1X  f X dan g1Y  fY maka maka f
Terbukti bahwa kategori homotopi kompleks-U adalah kategori aditif.
g.
REFERENSI
[1] B.Davvaz dan Y.A Parnian – Gramaleky, 1999, A Note on Exact Sequence, Bull.
Malaysian Math. Soc. (2) 22, 53-56.
[2] S.M. Anvariyeh dan B.Davvaz, 2002, U-Split Exact Sequence, Far East J. Math. Sci.
(FJMS) 4 (2), 209-219.
[3] B.Davvaz dan H.Shabani-Solt, 2002, A generalization of Homological Algebra, J.Korean
Math. Soc, 39 (6), 881-898.
[4] G. Elfiyanti, I. Muchtadi-Alamsyah, D. Nasution dan U.Amartiwi, 2015, Abelian
Property of the Category of U-Complexes, Journal of Applied Mathematical Sciences,
Hikari, submitted.
[5] C.A Weibel, 1994, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University
Press, United Kingdom.
[6] T. Holm, P. Jørgensen dan R.Rouquier, 2010, Trianglated Categories, London Math.Soc.
Lecture Note Series 375, Cambridge University Press.
[7] S. König dan Zimmermann, 1998, A. Derived Equivalences for Group Rings, Lecture
Note In Mathematics 1685. Springer.
[8] D. Nasution, 2008, The Geometri of Chain Complexes, Master Thesis, ITB, Bandung.
[9] S.I. Gelfand dan Y.U.I. Manin, 1997, Methods of Homological Algebra, 2nd Editio,
Heidelberg: Springer-Verlag.
70