PENERAPAN Fungsi linier F ungsi Linier adalah fungsi paling

3
PENERAPAN
Fungsi linier
F
ungsi Linier adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel
bebas dan berpangkat satu pada variabel tersebut. Fungsi ini sering digunakan dalam
penerapan ekonomi dan bisnis untuk menjelaskan hubungan-hubungan ekonomi dan
bisnis secara linier. Hal ini dikarenakan kebanyakan masalah ekonomi dan bisnis dapat
disederhanakan atau diterjemahkan ke dalam model yang berbentuk linier. Penerapan
ekonomi dan bisnis ini pertama adalah memperkenalkan fungsi permintaan dan penawaran,
kemudian menganalisis interaksi antara fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang berupa
keseimbangan pasar. Selanjutnya akan menganalisis perubahan keseimbangan pasar yang
diakibatkan adanya pengaruh pajak dan subsidi dari pemerintah. Penerapan lainnya berupa
analisis pulang pokok yang berguna untuk perencanaan perusahaan.
3.1.
Fungsi Permintaan
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang diminta
oleh konsumen dengan variabel harga serta variabel lain yang mempengaruhinya pada
suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk itu sendiri,
pendapatan konsumen, harga produk yang diharapkan pada periode mendatang, harga
produk lain yang saling berhubungan dan selera konsumen
Matematika Bisnis
15
Bentuk Umum Fungsi Permintaan :
Q = a – bP
atau
P
a 1
- Q
b b
Fungsi permintaan ini apabila digambarkan, kurvanya akan mempunyai kemiringan
(gradien) yang negatif, yaitu menurun dari kiri atas kekanan bawah, dan berbentuk
garis lurus. Hal ini dapat dilihat pada gambar 3.1
P
a
b
Kurva permintaan
a
P
Q
P
Gambar 3.1 Kurva Permintaan
Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable
Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum
permintaan yaitu apabila harga naik jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila
harga turun jumlah yang diminta akan bertambah.
Contoh 3.1.
Suatu produk jika harganya Rp. 100,- akan terjual 10 unit, dan bila harganya turun
menjadi Rp. 75,- akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dan
gambarkan grafiknya !
Penyelesaian :
Diketahui P1 = 100 ; P2 = 75 ; Qd1 = 10 ; Qd2 = 20
16
Penerapan Fungsi Linier
P  P1
Qd  Qd 1

P2  P1 Qd 2  Qd 1
P  100 Qd  10

75  100 20  10
P  100 Qd  10

 25
10
10 P  1000  25Qd  250
25Qd  10 P  1000  250
2
Qd   P  50
5
Kurva permintaannya ditunjukkan oleh gambar berikut ini :
P
(0,125)
Qd  
2
P  50
5
(50,0)
aP
3.2.
Q
P
Fungsi Penawaran
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang ditawarkan
oleh produsen dengan variabel harga dan variabel lain yang mempengaruhinya pada
suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk tersebut, tingkat
teknologi yang tersedia, harga dari faktor produksi (input) yang digunakan, harga
produk lain yang berhubungan dalam produksi, harapan produsen terhadap harga
produk tersebut di masa mendatang
Bentuk Umum :
Q = -a + bP atau P 
a 1
 Q
b b
Fungsi penawaran ini apabila digambarkan, kurvanya akan mempunyai kemiringan
(gradien) yang positif, sehingga bila digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius,
Matematika Bisnis
17
kurvanya akan menaik dari kiri bawah ke kanan atas dan berbentuk garis lurus. Hal
ini dapat dilihat pada gambar 3.2
P
Kurva penawaran
a
b
-a
Q
P
Gambar 3.2 Kurva Penawaran
Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable
Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini
mencerminkan, hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan
akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.
Contoh 3.2.
Jika harga suatu produk adalah Rp.500,- maka jumlah yang akan terjual sebanyak 60
unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp.700,-, maka jumlah produk yang terjual
sebanyak 100 unit. Tentukan fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalam satu
diagram !
Penyelesaian :
Diketahui P1 = 500 ; P2 = 700 ; Qs1 = 60 ; Qs2 = 100
18
Penerapan Fungsi Linier
P  P1
Qs  Qs1

P2  P1 Qs 2  Qs1
P  500
Qs  60

700  500 100  60
P  500 Qs  60

200
40
40 P  20000  200Qs  12000
200Qs  40 P  20000  12000
1
Qs  P  40
5
Kurva penawarannya ditunjukkan oleh gambar berikut ini :
P
(0,200)
Qs 
1
P  40
5
-a
3.3.
Q
Keseimbangan Pasar
Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium)
apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang
yang ditawarkan.
Gambar 3.3 Keseimbangan Pasar
Matematika Bisnis
19
Syarat Keseimbangan Pasar :
Qd = Qs
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran
E = titik keseimbangan
Pe = harga keseimbangan
Qe = jumlah keseimbangan
Contoh 3.3.
Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5P dan fungsi penawarannya
adalah Qs = - 4 + 9P.
a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?
b. Tunjukkan secara geometri !
Penyelesaian :
a. Keseimbangan pasar :
Qd
10 – 5 P
=
Qs
= - 4 + 9P
14P
=
14
P
=
1 ≡ Pe
Q
= 10 – 5P
Q
= 5
≡ Qe
Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )
20
Penerapan Fungsi Linier
b. Kurva keseimbangan pasar
P
4
3
2
Qd = 10 - 5P
Qs = - 4 + 9P
E ( 5,1 )
1
1
3.4.
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar
Jika produk dikenakan pajak t per unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan
pasar atas produk tersebut, baik harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya
tanggungan pajak sebagian dikenakan kepada konsumen sehingga harga produk akan
naik dan jumlah barang yang diminta akan berkurang. Keseimbangan pasar sebelum
dan sesudah kena pajak dapat digambarkan pada gambar 3.4 sebagai berikut.
P
Qs'
Qs
Pe'
E'
Pe
E
Qd
Q
Qe' Qe
Gambar 3.4. Keseimbangan sebelum dan sesudah pajak
'
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva
penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika
sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan
menjadi
P = a + bQ + t.
Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen : tk = Pe' – Pe
Beban pajak yang ditanggung oleh produsen :
tp = t – tk
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah :
T = t x Qe'
Matematika Bisnis
21
Contoh 3.4.
Diketahui suatu produk ditunjukkan fungsi permintaan P = 16 – 2Q dan fungsi
penawaran P = 7 + Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit
a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?
b. Berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?
c. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?
Penyelesaian :
a. Keseimbangan pasar sebelum pajak
Qd
=
Qs
16 – 2Q = 7 + Q
P = 7+Q
3Q
= 9
P = 7+3
Qe
= 3
Pe = 10
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )
Keseimbangan pasar sesudah pajak
Fungsi penawaran menjadi :
P
= 7+Q+t
= 7+Q+3
= 10 + Q
Od
=
Qs
16 – 2Q = 10 + Q
3Q
= 6
Qe' = 2
P
= 16 – 2Q
= 16 – 4
Pe' = 12
Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E' ( 2,12 )
b. Penerimaan pajak oleh pemerintah
T = t x Qe'
= 3.2
= 6 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 6,- )
22
Penerapan Fungsi Linier
c. Pajak yang ditanggung konsumen
tk
= Pe' – Pe
= 12 – 10
= 2
( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 2,- )
Pajak yang ditanggung produsen
tp = t – tk
= 3–2
= 1
3.5.
( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 1,- )
Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar
Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual
barang tersebut menjadi lebih rendah.
Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk
sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum
pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi
P = a + bQ – s
P
Qs
Qs'
Pe
E
Pe'
E'
Qd
Q
Qe Qe'
Gambar 3.5. Keseimbangan
sebelum dan sesudah subsidi
'
Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk = Pe – Pe'
Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen :
sp = s – sk
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah :
Matematika Bisnis
S = s x Qe'
23
Contoh 3.5.
Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Qd = 12–2P sedangkan
penawarannya Qs = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap
unit barang.
a. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?
b. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?
c. Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?
d. Berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?
Penyelesaian :
a. Keseimbangan pasar sebelum subsidi
Qd
=
Q = 12 – 2P
Qs
12 – 2P = -4 + 2P
4P
= 16
Pe
= 4
= 12 – 8
Qe = 4
Sehingga keseimbangan pasar sebelum subsidi E = ( 4, 4 )
b. Keseimbangan pasar sesudah subsidi :
Qd = 12 – 2P
=>
P = - ½ Qd + 6
Qs = -4 + 2P
=>
P =
½ Qs + 2
Sesudah Subsidi Fungsi Penawaran menjadi
P = ½Q+2–2
P = ½Q
Sehingga Kesimbangan pasar sesudah subsidi menjadi :
-½Q+6 = ½Q
Qe'
= 6
P = ½Q
Pe' = 3
Sehingga keseimbangan pasar setelah subsidi E' = ( 6, 3 )
24
Penerapan Fungsi Linier
c. Subsidi untuk konsumen
sk = Pe – Pe'
= 4–3
= 1
Besar subsidi untuk konsumen Rp. 1,-
Subsidi untuk produsen
sp = s – sk
= 2–1
= 1
Besar subsidi untuk produsen = Rp. 1,-
d. Subsidi yang diberikan pemerintah
S
= s x Qe'
= 2.6
= 12
3.6.
Fungsi Biaya
Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi
bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost). Sifat
biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, biaya tetap
merupakan sebuah konstanta. Sedangkan biaya variabel tergantung pada jumlah
barang yang dihasilkan. Semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin
besar pula biaya variabelnya. Secara matematik, biaya variabel merupakan fungsi dari
jumlah barang yang dihasilkan.
FC = k
VC = f(Q) = vQ
C = g (Q) = FC + VC = k + vQ
Matematika Bisnis
25
Gambar 3.6. Fungsi Biaya
Keterangan ;
FC = biaya tetap
VC= biaya variabel
C = biaya total
k = konstanta
V = lereng kurva VC dan kurva C
Contoh 3.6.
Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 20.000 sedangkan
biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 100 Q. Tunjukkan persamaan
dan kurva biaya totalnya ! Berapa biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan
tersebut memproduksi 500 unit barang ?
Penyelesaian :
FC = 20.000
VC = 100 Q
C = FC + VC → C = 20.000 + 100 Q
Jika Q = 500, C = 20.000 + 100(500) = 70.000
26
Penerapan Fungsi Linier
C
C = 20.000 + 100 Q
70.000
VC = 100 Q
50.000
20.000
FC = 20.000
Q
0
3.7.
500
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan
harga jual per unit barang tersebut.
R = Q x P = f (Q)
Contoh 3.7.
Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200,00 per unit.
Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini. Berapa besar
penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ?
Penyelesaian :
R=QxP
= Q x 200
= 200Q
Bila Q = 350 → R = 200 (350) = 70.000
Matematika Bisnis
27
R
R = 200 Q
70.000
40.000
Q
0
3.8.
200
350
Analisis Pulang Pokok
Analisis Pulang Pokok (break-even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk
menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar
perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, π = 0 )
terjadi apabila
R = C ; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula
menderita kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva
R dan kurva C.
C, R
R = r (Q)
C = c (Q)
π >0
TPP (π = 0)
π <0
0
Q
Q'
Gambar 3.5. Analisis Pulang Pokok
28
Penerapan Fungsi Linier
Contoh 3.8.
Andaikan biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan
C = 20.000 + 100 Q dan penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat produksi
berapa unit perusahaan mengalami pulang pokok? apa yang terjadi jika perusahaan
memproduksi 150 unit ?
Penyelesaian :
Diketahui :
C = 20.000 + 100Q
R = 200Q
Syarat Pulang Pokok
R = C
300Q = 20.000 + 100Q
200Q = 20.000
Q = 100
Jadi pada tingkat produksi 100 unit dicapai keadaan pulang pokok
Jika Q = 150, maka
π=R–C
= 300Q – ( 20.000 + 100Q)
= 200 Q – 20.000
= 200(150) – 20.000
= 10.000
Jadi pada tingkat produksi 150 unit, perusahaan mengalami keuntungan sebesar
Rp. 10.000,-
3.9.
Soal-Soal Latihan
1. Jika fungsi permintaan suatu produk adalah P = 12 – 5Q
a. Berapa harga tertinggi yang dapat dibayar oleh konsumen atas produk
tersebut?
b. Berapakah jumlah yang diminta jika produk tersebut gratis?
c. Gambarkanlah kurva permintaan tersebut !
Matematika Bisnis
29
2. Jika fungsi penawaran suatu produk adalah Qs = 2P – 5.
a. Berapakah harga terendah yang dapat dijual oleh produsen a//tas produk
tersebut ?
b. Berapakah jumlah yang diminta jika harga produk tersebut P = 10?
c. Gambarkan kurva penawaran tersebut!
3. Permintaan akan suatu barang dicerminkan oleh Qd = 150 – P, sedangkan
penawarannya
Qs =
2
P – 50.
3
a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar dari barang tersebut ?
b. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar dari barang tersebut, jika
Pemerintah memberlakukan pajak sebesar Rp. 50,- untuk tiap unit barang yang
dijual ?
c. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar dari barang tersebut, jika
Pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 25,- untuk tiap unit barang yang
dijual ?
4. Penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs = - 4
+ 2P, sedangkan
permintaannya
Qd = 11 – P. Pemerintah menetapkan pajak sebesar Rp. 3,- atas setiap unit barang.
a. Bagaimana keseimbangan sebelum pajak ?
b. Bagaimana keseimbangan sesudah pajak ?
c. Berapa bagian dari pajak yang menjadi beban konsumen dan berapa pula yang
menjadi beban produsen untuk setiap unit barang ?
5. Penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs = - 8
permintaannya
+ 2P, sedangkan
Qd = 20 –2P. Pemerintah memberikan subsid sebesar Rp. 2,-
atas setiap unit barang.
a. Bagaimana keseimbangan sebelum subsidi ?
b. Bagaimana keseimbangan sesudah subsidi ?
c. Berapa bagian dari subsidi yang dinikmati konsumen dan berapa pula yang
dinikmati produsen ?
30
Penerapan Fungsi Linier
6. Diketahui fungsi Biaya Total
: C = 25.000+ 200Q dan
fungsi Penerimaan Total : R = 300Q. Tentukan :
a. Pada tingkat produksi berapa unit diperoleh keadaan pulang pokok?
b. Berapa keuntungan/kerugian bila barang yang dijual 200 unit ?
7. Seorang produsen menjual produknya seharga Rp. 50,- per unit. Biaya variabel
setiap unit produknya adalah Rp. 20,-, dan biaya tetapnya = Rp. 30.000,-.
a. Berapa unit produk pulang pokok ? Tunjukkan dengan gambar ?
b. Berapa labanya jika produk yang terjual 10.000 unit ?
8. Penerimaan Total sebuah perusahaan dari memproduksi barang yang harga
jualnya Rp. 250,00 per unit adalah Rp. 150.000,00. Biaya tetap totalnya Rp.
30.000,00 , sedangkan biaya variabelnya Rp. 200,00 per unit. Berapa unit barang
harus diproduksi agar ia memperoleh keuntungan?
9. Seorang peternak ayam pedaging memelihara 1000 ekor ayam. Setelah berusia
empat bulan semua ayamnya terjual dengan harga Rp. 800,00 / ekor. Biaya tetap
yang dikeluarkan sebelum ia memulai usahanya tercatat sebesar Rp. 80.000,00.
Sedangkan biaya variabel selama empat bulan tersebut Rp.600.000,00
a. Tunjukkan fungsi Biaya Variabel, Biaya Total dan Penerimaan Totalnya
b. Berapa ekor tingkat pulang pokok usahanya?
c. Bagaimana kalau ia memelihara 350 ekor ayam?
10. Seorang pedagang dapat memperoleh keuntungan sebesar
Rp.15.000,00 dari
menjual barang dagangannya sebanyak 400 unit. Penerimaan totalnya sebesar Rp.
120.000,00 , sedangkan biaya tetap total yang harus dibayarkannya Rp. 25.000,00
a. Berapa rupiah harga per unit barang dagangannya?
b. Tentukan fungsi biaya total dan biaya variabel totalnya !
c. Pada produksi berapa unit pedagang tadi pulang pokok ?
d. Berapa keuntungan/kerugian bila ia hanya menjual 200 unit ?
e. Gambarkan hasil-hasil perhitungan diatas !
Matematika Bisnis
31
11. Seorang produsen menjual produknya seharga Rp. 50,00 per unit. Biaya variabel
setiap unit produk = 40 % dari harga jual, dan biaya tetapnya = Rp. 30.000,00
a. Berapa unit produksi pulang pokok? Tunjukkan dengan gambar.
b. Berapa labanya jika produk yang terjual 10.000 unit ?
c. Berapa unit produksi pulang pokok yang baru jika harga jualnya naik menjadi
Rp. 75,00 ?
d. Berapa labanya jika produk yang terjual 10.000 unit ?
12. Seorang pengrajin kayu menghasilkan lemari dengan harga jualnya Rp. 60.000,00
per unit. Biaya variabel per unit adalah Rp. 35.000,00, sedangkan biaya tetap yang
dikeluarkan adalah Rp. 650.000,00. Berapa unit lemari yang harus dijual agar
pengrajin tersebut mencapai titik impas atau pulang pokok?
13. Seorang pengusaha kecil menghasilkan suatu produk dengan harga jualnya Rp.
4.500,- per kg. Biaya tetap yang dikeluarkan adalah Rp. 102.500,-, sedangkan
biaya variabel per kg adalah Rp. 4000,-. Berapa kg produk harus dihasilkan agar
pengusaha tersebut mencapai titik impas atau pulang pokok ?
14. Jumlah permintaan akan suatu komoditas tercatat sebanyak 26 unit jika harganya
5, sedangkan pada tingkat harga ini, kalangan produsen hanya bersedia
menawarkan barangnya sejumlah 8 unit. Pada setiap kenaikan harga sebesar 10,
jumlah permintaannya akan menurun sebanyak 20, tetapi jumlah penawarannya
akan bertambah sebanyak 40. Tentukan :
a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar dari barang tersebut ?
b. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar dari barang tersebut, jika
Pemerintah memberlakukan pajak sebesar Rp. 3,- untuk tiap unit barang yang
dijual ?
c. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar dari barang tersebut,jika
Pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- untuk tiap unit barang yang
dijual ?
32
Penerapan Fungsi Linier
15. Seorang peternak bebek memelihara 100 ekor bebek. Setelah berusia empat bulan
bebeknya terjual dengan harga Rp. 25.000,-/ekor . Biaya tetap yang dikeluarkan
sebelum ia memulai usahanya tercatat sebesar Rp. 500.000,-. Sedangkan biaya
variable selama 4 bulan tersebut Rp.2.000.000,- Tentukan :
a. Tunjukkan fungsi biaya variable, biaya total dan penerimaan total !
b. Pada tingkat produksi berapa ekor diperoleh keadaan pulang pokok?
c. Berapa keuntungan/kerugian bila memelihara 150 ekor bebek ?
Matematika Bisnis
33