bilangan real - SMK Negeri 2 Sumedang

REAL NUMBERS
“ BILANGAN REAL ”
STANDAR KOMPETENSI
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan Konsep
Operasi Bilangan Real
KOMPETENSI DASAR
Menerapkan Operasi pada Bilangan Real
Tujuan
 Mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat
 Mengoperasikan dua atau lebih bilangan pecahan
 Mengkonversi bilangan pecah ke bentuk persen atau
pecahan desimal
 Menyelesaikan masalah program keahlian
menggunakan konsep perbandingan (senilai dan
berbalik nilai), skala dan persen.
BILANGAN
REAL
BILANGAN
IRRASIONAL
BILANGAN
RASIONAL
BILANGAN
BULAT
BILANGAN
PECAHAN
BILANGAN
ASLI
BILANGAN
PRIMA
1
0
BILANGAN
KOMPOSIT
BILANGAN
BULAT NEGATIF
Pengertian Bilangan Real
 Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional
membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut
himpunan bilangan real dan dinotasikan dengan R.
 Contoh
Pengertian Bilangan Rasional
 Gabungan bilangan bulat dan
pecahan disebut
bilangn rasional. Bilangan rasional adalah suatu
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a
b
dengan
Pengertian Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah suatu bilangan yang tidak
a
dapat dinyatakan dalam bentuk b
dengan
Bilangan irrasional juga bisa disebut bilangan desimal
tidak berulang
Contoh :
 Logaritma
 . 2  0,414213562
.
Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan Bulat adalah gabungan antara bilangan cacah
dan bilangan negatif.
contoh : B = {... ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Bilangan cacah adalah gabungan antara bilangan asli
dan nol.
C= 0 digabung 1, 2, 3,4,… = {0, 1, 2, 3, 4, ... }
Pengertian Bilangan Pecahan
Pecahan merupakan satu bagian dari suatu utuh dan
dapat dibentuk a
b
dengan a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Pengertian Bilangan Asli
Bilangan Asli adalah suatu bilangan yang diawali
dengan angka 1. Dilambangkan dengan huruf A.
contoh :
A = {1, 2, 3, 4, 5, .. }
Pengertian Bilangan Prima
Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya
mempunyai dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri.
contoh :
{ 2, 3, 5, 7, ... }
Pengertian Bilangan Komposit
Bilangan Komposit adalah bilangan yang hanya
mempunyai faktor lebih dari dua.
contoh :
{ 4, 6, 8, 12, ... }
faktor dari 4 adalah 1, 2 dan 4
faktor dari 6 adalah 1, 2, 3 dan 6
faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. Dll
Operasi pada Bilangan Bulat
Sifat – sifat Operasi pada Penjumlahaan dan Perkalian
Penjumlahan
Perkalian
Komutatif :
Komutatif :
a+b=b+a
a.b=b.a
Assosiatif :
Assosiati :f
(a + b) + c = a + (b + c)
(a . b) . c = a . (b . c)
Distributif :
Elemen Identitas :
a . (b + c) = (a. b)+(a.
ax1=a
c)
Elemen Identitas
a+0=a
Konversi bilangan
Pecahan bisa dikonversi ke dalam bentuk pecahan
decimal
:
a
1
 a  b contoh
 1  2  0,5
b
2
Pecahan biasa dikonversi ke dalam bentuk
persen :
a a
  100% contoh
b b
1
 0,5 100 o o  50 o o
2
Operasi pada Bilangan Pecahan
 Adding (Penjumlahan)
 Subtracting (Pengurangan)
 Multiplying (Perkalian)
 Dividing ( Pembagian)
Operasi pada Bilangan Asli
a. Komutatif : a +b = b + a
contoh : 2 + 3 = 3 + 2
b. Assositif : a +(b + c)= (a + b)+ c
contoh: 1 + (3 + 5) = (1 + 3) + 5
c. Elemen Identitas : a + 0 = 0 + a
contoh : 1 + 0 = 0 + 1
Perbandingan
Perbandingan dibagi menjadi dua bagian yaitu
perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.
Perbandingan adalah membandingkan suatu benda
dengan benda lainnya, suatu besaran dengan besaran
lainnya dll.
Contoh :
 Umur yuda lebih muda daripada umur afief
 Penduduk surakarta lebih padat daripada penduduk
sumedang
Perbandingan Senilai
 Perbandingan senilai merupakan dua perbandingan
yang nilai sama.
a a
b b
1
2
1
2
atau a1 : b1  a2 : b2
Perbandingan Senilai
Lengkapilah !
Banyak
( Buah )
Harga
( Rupiah)
1
200
2
400
3
…
4
…
…
1000
6
…
7
…
X
…
Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan berbalik nilai merupakan dua
perbandinngan yang nilainya saling berbalikan.
a b
b a
1
2
1
2
atau a1  a2  b2  b1
Perbandingan Berbalik Nilai
Lengkapi !
Kecep.
( km/jam )
Waktu
( jam )
60
1
30
2
20
…
…
…
…
…
5
…
…
…
x
…
Soal Perbandingan
 Harga 4m bahan pakaian seragam adalah Rp 168.000.000,00.
Berapakah harga 9 m bahan seragam tersebut ?
 Bayu berjalan 250 langkah, maka jarak yang ditempuh adalah 300
m. Berapakah jarak yang ditempuhnya bila ia berjalan 700 langkah ?
 Dengan kecepatan tetap, sebuah mobil memerlukan bensin 5 liter
untuk jarak 60 km. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk
menempuh jarak 150 km ?
 Jarak antara dua kota dapat ditempuh kendaraan dengan kecepatan
rata-rata 72 km/jam selama 5 jam. Berapa kecepatan rata-rata
kendaraan untuk menempuh jarak tersebut jika lama perjalanan 8
jam ?
 Seorang petani memiliki persediaan makanan untuk 80 ekor
ternaknya selama 1 bulan. Jika petani menambah 20 ekor ternak lagi
berapa hari persediaan makanan akan habis?
Skala
Skala adalah perbandingan antara ukuran pada gambar dan ukuran
sebenarnya.
Skala 1 : n artinya, setiap 1 cm jarak pada peta atau gambar
mewakili n cm jarak sebenarnya.
Jarak Pada Gambar = Skala x Jarak Sebenarnya
Jarak Sebenarnya = jarak pada Gambar : Skala
Contoh soal tentang Skala
Pada sebuah peta dengan skala 1: 5.250.000, jarak antara
Surabaya dan Malang adalah 2 cm.
Berapa kilometer jarak sebenarnya?
Jawab:
Skala 1: 5.250.000
Jarak pada gambar=2 cm
Jarak sebenarnya = 2 x 5.250.000
=10.500.000
= 105 km
KOMPETENSI DASAR :
2. Menerapkan Operasi pada
Bilangan berpangkat
Ditulis dengan notasi :
a x a x a x a x ….. x a = an
n faktor a
an : dibaca a berpangkat n, dengan :
a : disebut bilangan pokok (dasar)
n : disebut pangkat (eksponen)
Contoh :
25 = 2 x2 x 2 x 2 x 2 = 32
33 = 3x3 x 3 = 27
Perkalian Bilangan Berpangkat
yang Bilangan Pokoknya Sama
m
a
Contoh :
n
xa =a
m+n
Pembagian Bilangan Berpangkat
yang Bilangan Pokoknya Sama
m
a
:
n
a
=a
m-n
Pemangkatan Bilangan Berpangkat
m
n
(a )
=a
m.n
Pemangkatan dari Perkalian Dua
Bilangan
n
(a.b)
=
n
a.
n
b
Pemagkatan dari Pembagian Dua
Bilangan
a a 
    n 
b b 
n
n
Bilangan Berpangkat Negatif
a
n

1
a
n
Pemangkatan Bilangan Pecahan
a
a
1
2
m
n
 a
n
 a
2
3
5
10
4
 5
3
m
2
1
2
 10
8
4
5  5  5  25
8
2
Bilangan Berpangkat Nol
Jika m,n bilangan bulat positif dan m = n dan am-n = a0
Untuk menentukan nilai dari bilangan pangkat nol,
perhatikan uraian berikut:
a0 =
=
=
ap-p
ap
ap
1
Jadi, untuk setiap a  R
R dan a = 0 berlaku a0 = 1
Sifat – sifat Bilangan Berpangkat
 Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dan a, b  R
a m x a n = a m+n
am : an = a m-n
(am) n = a m.n
 an 
a

  
n 

b
b 
n
a
n

1
a
n
a
m
n
 a
n
m
Menyelesaikan persamaan
dalam bentuk pangkat
Sifat yang digunakan :
ap = aq
p=q
Contoh :
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan di bawah ini:
1.
43 x
2.
9 2 x 1 = 27 4 3 x
= 64
Penyelesaian
Jawab :
1.
3x
4
↔ 43 x
↔
↔
3x
x
= 64
= 43
= 3
= 1
2.
9 2 x 1
↔ (32 ) 2 x 1
↔ 34 x  2
↔ 4x  2
↔ 4x  9
↔ 13x
↔
x
=
27 4 3 x
=
(33 ) 43 x
=
=
3129 x
12  9x
=
12  2
=
14
=
14
13
BILANGAN IRRASIONAL
KOMPETENSI DASAR
3. Menerapkan Operasi pada
Bilangan Irasional
Bilangan Irrasional disebut juga
Bilangan Bentuk Akar
Pada bahasan sebelumnya, diketahui bahwa
a
m
n

n
1
2
am  a 
2
Bentuk Akar adalah akar dari suatu bilangan yang
nilainnyamerupakan bilangan irrasional.
Bilangan irrasional juga bisa disebut bilangan desimal
tidak berulang.
Contoh
Bentuk Akar
Bukan Bentuk Akar
2  0,414213562
42
3
9 3
5
7
16  4
10.000  100
Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara
mengubah bilangan di dalam akar tersebut menjadi dua
bilangan yang satu dapat diakarkan dan yang lainnya tidak
dapat diakarkan.
Contoh :
Bentuk sederhana dari 12 ?
12  4 x3
Atau
12  6 x2 
12  4 x3  4. 3  2 3
Bukan
Penyelesain
Operasi Bentuk Akar
A. Penjumlahan dan Pengurangan
Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika
bentuk akarnya sejenis.
Contoh :
3  2 3  (1  2) 3
5  2 3  4 5  5 3  (1  4) 5  (2  5) 3  3 5  5 3
2 3 7
Tidak dapat diselesaikan karena Bentuk akarnya tidak
sejenis
Perkalian Bilangan Bulat dengan Bentuk
Akar
Perkalian Bentuk Akar dengan
Bentuk Akar
Pembagian Bentuk Akar
Pembagian Bentuk akar sering disebut “ merasionalkan Penyebut”
a
b
(i) Bentuk
a
a
b a b



b
b
b
b
Contoh :
1.
8
8
2 8 2



4 2
2
2
2
2
2.
10
10
5 10 5



 5
2

5
2 5 2 5
5
Pembagin Bentuk Akar
k
a b
(ii) Bentuk
k
k
a  b k(a  b)



a2  b
a b a b a b
Contoh :
1.
2.
2
1 3
8
5  17
=
2
1 3

1 3 1 3
=
2(1  3 )
2
=
2(1  3)
1 3
=  (1  3 ) =
3 1
=
5  17 = 8(5  17 )
25  17
5  17 5  17
=
8(5  17 )
8
8

=
5  17
Bentuk Akar
k
a b
(iii) Bentuk
k
k
a  b k( a  b )



ab
a b
a b
a b
Contoh :
3 2
=
3 2
3 2
3 2

3 2
3 2
( 3  2 )2
=
3 2
=
3 2 6  2
1
= 52 6
KOMPETENSI DASAR
4. Menerapkan Konsep Logaritma
Pengertian Logaritma
Pada bab sebelumnya telah dipelajari bahwa :
 a disebut bilangan pokok logaritma atau basis
 b disebut yang dilogaritmakan
 c adalah hasil logaritma
 Bilangan pokok 10 boleh tidak ditulis
Sifat-sifat Logaritma