Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Geometri
1. Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh
dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan
tetap. Bilangan tetap itu yang disebut pembanding atau rasio yang dilambangakan
dengan huruf r.
Perhatikan contoh barisan geometri berikut.
4 8 16
1. 2,4,8,16,… rasionya r = = =
=2
2 4
8
 6 18
 54
2. 2,-6,18,-54,… rasionya r =
=
=
= -3
18
2
6
80
20
5
1
3. 320,80,20,5,… rasionya r =
=
=
=
320 320 20 4
 32
16
 8 1
4. 64, -32, 16, -8,… rasionya r =
=
=
=
64
 32 16
2
Suatu barisan U1,U2,U3,…Un disebut barisan geometri, jika untuk tiap nilai n
U
U
U
U
bilangan asli berlaku 2 = 3 = 4 = … n = r, dengan r rasio yang tidak
U n 1
U1 U 2 U 3
tergantung pada n.
Jika |r|>1, artinya r<-1 atau r>1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin
besar. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik (Contoh 1 dan 2). Jika
|r| <1, artinya -1<r<1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin kecil. Barisan
tersebut dinamakan barisan geometri turun (Contoh 3 dan 4).
2. Menentukan Rumus suku ke-n Barisan Geometri
Jika suku pertama U1, dinyatakan dengan a dan perbandingan dua suku
berurutan adalah rasio r dan suku ke-n d inyatakan dengan Un, maka kita dapat
U2
= r  U2= U1r= ar
U1
U3
= r  U3= U2r= ar2
U2
U4
= r  U4= U3r= ar3
U3
Dari bentuk di atas, kita peroleh suatu barisan geometri, pada umumnya sebagai
berikut
Un
= r  Un= arn-1
U n 1
U1, U2, U3, U4,
…
Un
a, ar, ar2, ar3, … arn-1
Dari keterangan di atas, dapat kita simpulkan rumus ke-n dari barisan geometri
adalah Un= arn-1
Sifat-sifat suku ke-n barisan geometri Un= arn-1 adalah fungsi eksponen dari n.
Contoh:
Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 16, sedangkan suku keempat
sama dengan 128
Carilah
a. Rasio
b. Rumus suku ke-n
c. Suku ke-10
d. Suku berapakah dari barisan geometri yang nilainya sama dengan 1024.
Penyelesaian:
a. a= 16 dan U4= 128
U4= arn-1
128= 16r4-1
128= 16r3
128
r3 =
=8
16
r= 3 8 = 2
b. Un= arn-1
= 16(2)n-1
= 16x2n-1
c. suku ke-10
U10= 16x210-1
= 16x29= 8192
d. Un=1024
Un= arn-1
1024= 16x2n-1
1024
n-1
64=
16 2 .
26= 2n-1
6= n-1
7= n  n=7
Jadi, yang nilainya sama dengan 1024 adalah suku ke-7.
3. Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.
Jika a,ar,ar2,…arn-1 adalah barisan geometri, maka a+ar+ar2+ar3+…+arn-1
disebut deret geometri.
Kalau jumlah n suku pertama deret geometri kita lambangkan dengan Sn, maka
dapat ditulis
Sn=a+ar+ar2+ar3+…+arn-1
Kita kalikan persamaan di atas dengan r, diperoleh
rSn=ar+ar2+ar3+ar4+…+arn-1+arn
Kita kurangkan
Sn= a+ar+ar2+ar3+…+arn-1
rSn= ar+ar2+ar3+ar4+…+arn-1+arn
.
Sn-rSn= a-arn
(1-r)Sn= a(1-rn)
a(1  r n )
Sn=
(1  r )
Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditentukan dengan
rumus
a(1  r n )
Sn=
rumus untuk barisan turun atau |r|<1,
(1  r )
a(r n  1
dan Sn=
rumus untuk barisan naik atau |r|>1.
(r  1)
Contoh:
Carilah jumlah tujuh suku pertama deret geometri 4+12+36+108+…
Penyelesaian:
4+12+36+108+…
12
r=
= 3 dan a= 4
4
a(r n  1)
Sn=
(r  1)
4(37  1)
S7=
, S7= 4372
(3  1)
Jadi, jumlah suku pertama deret geometri adalah 4372.