integral tertentu

UNIVERSITAS MERCU BUANA
Mata Kuliah
Materi Kuliah
Fakultas
Semester
Modul
Penyusun
: Matematika Ekonomi
: Integral Tertentu
: Ekonomi / Manajemen S1
: Ganjil 2008/2009
: XII
: Dra. Yuni Astuti, MS.
Jakarta
Nopember 2008
2
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
Mahasiswa diharapkan mampu :
1. Mengenal integral tertentu
2. Menerapkan kaidah integral tertentu pada model-model ekonomi.
Daftar Isi :
Integral tertentu
Kaidah-kaidah Intergal tertentu
B. Penerapan Ekonomi
1. Surplus konsumen
2. Surplus Produsen
Pustaka:
Dumairy, 1999., Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, ed 2, BPFE UGM
Yogyakarta
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
2
3
INTEGRAL TERTENTU
Intergal tertentu adalah intergal dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya
(mempunyai batas-batas) tertentu
1). Digunakan untuk menghitung luas area diantara kurva y = f(x) dan sumbu horisontal
x dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh x = a dan x = b
Dalam integtral tak tentu :
 f ( x)dx  F ( x)  k
Hasil integrasi tersebut untuk suatu rentangan wilayah tertentu misalkan antara x = a
dan x = b, dimana a < b, maka x dapat disubstitusi dengan nilai-nilai a dan b sehingga
ruas kanan persamaan diatas menjadi :
[F(b) + k ] – [F(a) + k] = F(b) – F(a)
F(b) – F(a) : hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
b
 f ( x)dx
: integral f(x) untuk rentang wilayah x dari a ke b
a
mengingat a < b
a
: batas bawah integrasi
b
: batas atas integrasi
2. Digunakan untuk menghitung luas suatu area yang terletak diantara dua kurva
Misalkan dua buah kurva y1 = f (x) dan y2 = g (x), dimana f (x) < g (x), maka
luas area antara kedua kurva untuk rentang wilayah dari a ke b (a < b) adalah
b
 g ( x)  f ( x)dx
a
=
b
b
a
a
 g ( x)dx -  f ( x)dx
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
3
4
Kaidah-kaidah Integrasi tertentu
Untuk a < b berlaku :
b
 f ( x)dx = F ( x)
b
a
1)
= F(b) - F(a)
a
Contoh
5
 x5 
1 5
x
  =
5
 5 2
5
x
4
dx 
2
 
5
2




=
1 5
1
5  2 5  3125  32  618.5
5
5
=
1 5
1
2  2 5  32  32   0
5
5
a
2)
 f ( x)dx
=0
a
Contoh:
2
 x5 
1 5
x
  =
5
 5 2
2
x
4
dx 
2
b
3).

 
2
2
a
= -
f ( x)dx
a
 f ( x)dx
b
5
x
Contoh
4
dx  618.6
2
2
 x5 
1
  x dx     =  x 5
5
 5 5
5
2
4
b
b
a
a
 
2
= 
5


1 5
1
2  5 5   32  3125  618.5
5
5
4).  kf ( x)dx = k  f ( x)dx
Contoh:
5
 5x
4
 
dx  x 5
5
2
= 3125 – 32 = 3093
2
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
4
5
5
5 x 4 dx  5(618.6) = 3093
2
b
b
5)
  f ( x)  g ( x)dx
=
a

b
f ( x)dx -
a
 g ( x)dx
a
Contoh:
5
5
4
4
 ( x  5x )dx 
4
 x dx +
2
2
2
2
 x5 
 5x 5 
1 5
x
  + 
 =
5
 5 5
 5 5
5
 5x
4
dx
2
 
 
5
+ x5
2
5
2
= 618,6 + 3093 = 3.711,6
c
6)

b
f ( x)dx +
a

b
f ( x)dx =
c
 f ( x)dx
a
Contoh:
3
5
 x5 
 x5 
1 5
x
x
dx
+
=
+
x
dx
 
  =
2
3
5
 5 2
 5 3
5
3
4
 
4
=
3
2
+
 
1 5
x
5
5
3
1
1
(243-32) + (312 – 243)
5
5
= 618,6
B. PENERAPAN EKONOMI
1.) Surplus Konsumen

Surplus konsumen (consumer`s surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih
atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat
harga pasar suatu barang.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
5
6

Fungsi permintaan P = f(Q)
Menunjukkan jumlah suatu barang yang akan dibeli konsumen pada tingkat harga
tertentu

Jika tingkat harga pasar : Pe, maka konsumen yang bersedia membayar dengan
harga > Pe, hal ini memberi keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar
barang dengan harga Pe

Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukan oleh luas area dibawah
kurva permintaan tetapi diatas tingkat harga pasar.
P
 
D 0, P̂
Pc
Surplus kons. (Cs)
E ( Qe ,Pe)
P = f(Q)
F ( Q̂ ,0)
O
Q
Cs :  Pe DE dengan rentang wilayah yang dibatasi Q = 0 sebagai batas bawah dan
Q = Qe sebagai batas atas
Besarnya Surplus konsumen
Qe
Cs =
 f (Q)dQ  Q P
e
e
0
Dalam fungsi permintaan berbentuk P = f (Q)
Pˆ
Cs =
 f ( p)dp
Pe
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
6
7
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f (p), P̂ : nilai P untuk Q = 0 atau penggal
kurva permintaan pada sebagian harga
Maka :
Qe
Cs =

pˆ
 f ( p)dp
f (Q)dQ  Qe Pe =
pe
0
1). Kasus :
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 48 – 0,03 p2
Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30
Penyel:
Q = 48 – 0,03 p2
Jika p = 0  Q = 48
Jika Q = 0  p = 40 = p̂
Jika p = pe = 30  Q = Qe = 21
P
40
Cs
30
0
E
21
48
Q
pˆ
Cs =

40
 (48  0,03 p
f ( p)dp =
pe
30


= 48 p  0,01 p 3
2
)dp
40
30
= [48(40) – (0,01)(40)3 ] – [ 48(30) – (0,01)(30)3]
= (1920 - 64) - (1440 – 270) = 110
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
7
8
2. Hitunglah surplus konsumen dengan 2 macam cara untuk fungsi permintaan
Q = 40 – 2p yang tingkat harga pasarnya 10.
Penyel:
Q = 40 – 2 p
 p = 20 – 0,5 Q
Jika p = 0  Q = 40
Jika Q = 0  p = 20 = p̂
Jika p = pe = 10  Q = Qe = 20
P
20
Cs
(Pe) 10
E
0
20
(Qe)
40
Q
Cara pertama:
Qe
Cs =
 f (Q)dQ  Q P
e
e
0

= 20Q  0,25Q 2

20
0
Qe
=
 (20  0,5Q)dQ  (20)(10)
0
 200
= [20(20) – 0,25(20)2] – [20(0) – 0,25(0)2] -200
= 400 – 100 – 0 – 200 = 100
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
8
9
Cara ke dua:
pˆ
Cs =
 f ( p)dp
pe
20
=
 (20  2 p)dp
20

= 40 p  p 2

20
10
= [40(20) – (20)2] – [40(10) – (10)2] = 400 -300 = 100
2. Surplus Produsen

Mencerminkan suatu keuntungan lebih yang dinikmati oleh produsen tertentu
berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawakan.

Fungsi Penawaran P = f(Q) menunjukan jumlah barang yang akan dijual oleh
produsen pada tingkat harga tertentu.

Jika tingkat harga pasar : Pe, maka bagi produsen yang bersedia menjual
dengan harga yang < Pe, hal ini merupakan keuntungan baginya. Sebab dapat
menjual barangnya dengan harga Pe (lebih tinggi dari harga jual semula yang
direncanakan)

Secara geometri, besarnya surplus produsen ditunjukan oleh luas area diatas
kurve penawaran, tetapi di bawah tingkat harga pasar.
P
P = f (Q)
Pe
E (Qc , Pc)
Surplus produksi (Ps)
 
D 0, P̂
0
Qc
Q
Surplus produsen : Ps adalah  Pe DE, dengan rentang wilayah yang dibagi Q = 0
sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas
Besarnya Ps adalah :
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
9
10
Qe
Ps = Qe Pe -
 f (Q)dQ
0
Dalam hal ini fs penawaran berbentu p = f(Q)
Atau
pe
 f ( P)dP
Ps =
pˆ
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Q = f(P).
P adalah nilai P untuk Q = 0 atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga, maka :
Qe
Ps = Qe Pe -
 f (Q)dQ
pe
 f ( P)dP
=
pˆ
0
Kasus:
Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,5Q + 3. Berapa surplus Berapa
surplus produsen bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10. Lakukan
perhitungan dengan 2 acara.
Penyelesaian :
P = 0,5 Q + 3  Q = -6 + 2 P
P = 0  Q = -6
Q = 0  P = 3 = p̂
Pe = 10
Qe = 14
P
10
3
-6
Cara pertama:
0
Qe
Ps = Qe Pe -

14
> Q
14
f (Q)dQ = (14)(10) -
0
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
 ((0,5)Q  3)dQ
0
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
10
11

 
= 140 - 0,25(14) 2  3(14)  0,25(0) 2  3(0)

= 140 - 91 - 0 = 49
Cara Kedua
pˆ
Ps =

10
f ( P)dp =
pe
 (6  2P)dp
3

=  6P  P 2

10
3
= [-6(10)+102] – [-6(3)+(3)2)
= 40 – (-9) = 49
2). Penawaran dan permintaan akan suatu barang dipasar masing-masing dintunjukan
oleh Q = - 30 + 5P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah masing-masing surplus yang
diperoleh konsumen dan produsen.
Penyelesaian :
Penawaran
Permintaan
Q = -30 + 5 P
Q = 60 – 4 P
P = 6 + 0,2 Q
P= 15 - 0,25 Q
Keseimbangan pasar Qs = Qd
-30 + 5 P = 60 – 4P
9 P = 90
P = 10 ≡ Pe
Q = 60 – 4P
= 60 – 4(10) = 20 = Qe
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
11
12
P
15
Cs
Qs
E (20,10)
(Pe) 10
6
Ps
Qd
Ps
20
60
Q
(Qe)
Surplus konsumen
Qe
Cs =
 f (Q)dQ  Q P
e
e
20e
 (15  0,25Q)dQ  (20)(10)
=
0
0

= 15Q  0,125Q 2

20
0
 200
= 250 – 200 = 50
Surplus produsen
Qe
Ps = Qe Pe -
 f (Q)dQ =
20
(20)(10) -
0

200 - 6Q  0,1Q 2
 (6  0.2Q)dQ
0

20
0
= 200 - 160 = 40
Pustaka :
Dumairy.1999.Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Ed.2.BPFE.Yogyakarta.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Dra. Yuni Astuti, MS. MATEMATIKA EKONOMI
12