penaksiran parameter model vector autoregressive integrated (vari)

IndoMS Journal on Statistics
Vol. 2, No. 1 (2014), Page 27-37
PENAKSIRAN PARAMETER MODEL VECTOR AUTOREGRESSIVE
INTEGRATED (VARI) DENGAN METODE MLE DAN PENERAPANNYA
PADA DATA INDEKS HARGA KONSUMEN
Dinda Ariska Wulandari1, Nurul Gusriani2, Budi Nurani Ruchjana3
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Jl. Raya Bandung Sumedang KM 21 Jatinangor Sumedang 45363
Email: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract
Vector Autoregressive Integrated (VARI) models is time series multivariate models
affected by the variable itself and the other variables in previous period with data not
stationary. Stages in VARI models includes differencing, identification, stationary,
parameter estimation, diagnostic testing, and forecasting.
In this research, assuming normally distributed error, estimation parameters VARI
model can be done by the Maximum Likelihood Estimation (MLE) method by
maximizing ln likelihood function. The data used are the Consumer Price Index
(CPI) in Bandung, Bekasi, and Depok in period July 2008 - June 2013.
From the results of analysis, the obtained model is VARI(1,1), which means VAR
model order one and experience first difference. The application of VARI(1,1) model
with MLE method on CPI Bandung, Bekasi, and Depok, shows that each location is
correlated to each other and produce a small enough value of MAPE. CPI forecasting
results for Bandung, Bekasi, and Depok for the next two months has increased with
minimum error in CPI Bandung.
Keywords : time series, VARI, MLE, CPI, MAPE, forecasting.
Abstrak
Model Vector Autoregressive Integrated (VARI) adalah model deret waktu
multivariat yang dipengaruhi oleh variabel itu sendiri dan variabel lain pada periode
sebelumnya dengan data tidak stasioner. Tahapan dalam model VARI meliputi
differencing, identifikasi, stasioneritas, estimasi parameter, uji diagnostik, dan
peramalan.
Pada penelitian ini, dengan asumsi galat berdistribusi normal, estimasi parameter
model VARI dapat menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)
dengan memaksimumkan fungsi ln likelihood. Data yang digunakan adalah Indeks
Harga Konsumen (IHK) di Kota Bandung, Bekasi, dan Depok pada periode Juli 2008
– Juni 2013.
Dari hasil analisis data diperoleh model VARI(1,1), artinya model VAR orde satu
dan proses differencing pertama. Penerapan model VARI(1,1) dengan metode MLE
pada data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok, menunjukkan setiap lokasi saling
berkorelasi dan menghasilkan nilai MAPE yang cukup kecil. Hasil peramalan IHK
2010 Mathematics Subject Classification: 62M10, 62P25.
27
28
Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana
Kota Bandung, Bekasi, dan Depok untuk dua bulan mendatang mengalami
peningkatan dengan galat minimum pada IHK Kota Bandung.
Kata kunci : deret waktu, VARI, MLE, IHK, MAPE, peramalan.
1. Pendahuluan
Salah satu sektor ekonomi yang dianggap penting untuk mewujudkan pembangunan
dalam bidang ekonomi yang bertujuan meningkatkan pendapatan masyarakat adalah Indeks
Harga Konsumen (IHK). IHK adalah angka indeks yang menggambarkan perubahan harga
barang dan jasa yang dikonsumsi oleh masyarakat pada suatu periode waktu yang telah
ditetapkan [3]. Data IHK bersifat fluktuatif artinya data mengandung trend sehingga
membentuk model deret waktu. Salah satu model yang digunakan dalam deret waktu univariat
yaitu model Autoregressive (AR). Model AR adalah suatu model deret waktu yang
menggambarkan pengamatan suatu variabel yang dipengaruhi variabel itu sendiri pada periode
sebelumnya pada data stasioner.
Untuk data yang tidak stasioner atau mengikuti pola trend dilakukan differencing, yaitu
mengurangi nilai data pada suatu periode dengan nilai data periode sebelumnya. Untuk
memodelkan data deret waktu univariat berupa data differencing digunakan model
Autoregressive Integrated (ARI). Untuk data deret waktu multivariat digunakan model Vector
Autoregressive Integrated (VARI).
Model VARI merupakan suatu sistem persamaan yang saling berhubungan dengan
variabel-variabel sebelumnya untuk mengukur data tidak stasioner. Penaksiran parameter
VARI yang sudah dilakukan adalah dengan metode Ordinary Least Squares (OLS).
Berdasarkan asumsi galat pada model VARI berdistribusi normal, estimasi parameter dapat
dilakukan dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Yang menarik bagi peneliti
yaitu, bagaimana menaksir parameter VARI dengan metode MLE dan penerapannya pada data
IHK yang berpola trend tersebut.
Pada penelitian ini dilakukan penaksiran estimasi model VARI dengan metode MLE,
serta penerapannya dalam peramalan IHK di Kota Bandung, Bekasi, dan Depok. Ketiga kota
tersebut merupakan kota dengan populasi terbesar di Provinsi Jawa Barat.
2. Metode
2.1 Data Deret Waktu (Time Series)
Data deret waktu merupakan proses stokastik yaitu rangkaian data yang berupa nilai
pengamatan selama kurun waktu tertentu. Proses stokastik adalah barisan variabel acak yang
diberi urutan atau indeks Zt | t  0, 1, 2, 3,  , dengan Z t adalah variabel acak untuk setiap
waktu t dan t merupakan tahun, bulan, minggu, hari, atau waktu lainnya tergantung situasi [1].
Menurut Makridakis (1991), langkah penting dalam memilih suatu metode deret waktu
(time series) yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data sehingga metode
Penaksiran Parameter Model Vector Autoregressive Integrated (Vari) ...
29
yang paling tepat dengan pola data tersebut dapat diuji. Pola data dapat dibedakan menjadi
empat, yaitu Pola Horisontal, Pola Musiman, Pola Siklis, dan Pola Trend [2].
2.2 Differencing
Salah satu cara untuk menstasionerkan data adalah dengan differencing. Metode ini
dilakukan dengan cara mengurangi nilai data pada suatu periode dengan nilai data periode
sebelumnya. Differencing pertama (first difference) dari suatu data deret waktu
didefinisikan dengan persamaan berikut [1]:
Zt'  1  B  Zt  Zt  Zt 1
Zt dapat
(1)
2.3 Fungsi Autokovarian, Fungsi Autokorelasi (ACF), dan Fungsi Autokorelasi Parsial
(PACF)
2
Proses stasioner Z t  dengan E  Zt   t dan Var  Z t   E  Z t  t     t 2 konstan serta


Cov  Z t , Zt  k  fungsi pada waktu t  t  k  , maka fungsi autokovarian Z t dan Zt  k adalah
 k  E  Zt  t  Zt  k  t  k 
dan fungsi autokorelasi antara Z t dan Zt  k ,
k 
Cov  Z t , Z t  k 
Var  Z t  Var  Z t  k 
(2)
.
(3)
Jika Z t  adalah deret waktu yang berdistribusi normal, maka fungsi autokorelasi
parsial (PACF) antara
Zt dan Z t  k yaitu [4]:
Pk 


ˆ
ˆ
Cov 
 Z t  Z t ), ( Z t  k  Z t  k 
Var  Z t  Zˆ t  Var Z t  k  Zˆ t  k


.
(4)
2.4 Penaksiran Model Autoregressive (ARI) dengan Metode MLE
Jika data deret waktu mengandung trend, maka salah satu cara menstasionerkannya
adalah dengan differencing. Data yang merupakan model AR orde 1 dan mengalami proses
differencing pertama untuk menghasilkan data yang stasioner, akan menjadi model ARI(1,1),
yaitu:
Yt  1Yt 1  at
iid

(5)

dengan, at ~ N 0,  2 dan Yt  Zt  Zt 1 , sehingga persamaan (5) dapat ditulis sebagai
berikut:
Zt  Z t 1  1  Z t 1  Z t  2   at , at ~ N  0,  2  .
iid
Model dikatakan stasioner jika akar-akar polinom  (B)  (1   B)  0 terletak
di luar
lingkaran satuan atau dinyatakan dengan   1 [4]. Dengan asumsi galat berdistribusi normal,
30
Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana
maka parameter model ARI(1,1) dapat diestimasi dengan menggunakan metode MLE dengan
cara memaksimukan fungsi ln likelihood, sehingga dihasilkan penaksiran metode MLE untuk
model ARI(1,1), yaitu:
T
ˆ1 
YY
t t 1
t 2
T
.
Y
(6)
2
t 1
t 2
2.5 Model Vector Autoregressive Integrated (VARI)
Model Vector Autoregressive Integrated (VARI) merupakan pengembangan dari
model Autoregressive Integrated (ARI) yang dipengaruhi oleh variabel itu sendiri dan variabel
lain pada periode sebelumnya dengan data tidak stasioner. Jika data mengalami proses
differencing pertama untuk menghasilkan data yang stasioner, maka bentuk model VAR(1)
menjadi model VARI(1,1) dengan persamaan sebagai berikut:
Y t  ΦY t 1  a t , a t ~ N  0,  2 
iid
(7)
atau,
Yt



 N T 11
 Φ N  N  Y t 1



 N T 11
 at



 NT 11
dengan, Y t  Z t  Z t 1 .
2.6 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) merupakan persentase dari rata-rata mutlak
galat pada tiap periode dibagi dengan nilai aktual pada periode tersebut. MAPE mengindikasi
seberapa besar persentase galat untuk mengetahui ketepatan dugaan model. MAPE dapat
dihitung dengan rumus sebagai berikut [2]:
MAPE 
ˆ
1 n Zt  Zˆt
100%

n t 1 Zt
dengan Zt merupakan data ramalan pada periode t dan
n periode waktu.
2.7 Tahapan Penaksiran Parameter Model VARI dengan Metode MLE
Tahapan-tahapan dalam menaksir parameter VARI sebagai berikut:
1. Mengubah model VARI ke dalam bentuk model linier.
2. Mencari fungsi likelihood model VARI dari fungsi kepadatan peluang gabungan galat.
3. Mentransformasikan fungsi likelihood ke dalam fungsi ln likelihood.
4. Mencari turunan pertama dari fungsi ln likelihood terhadap parameter  .
5. Maksimumkan turunan fungsi ln likelihood untuk memperoleh nilai parameter ̂ .
(8)
Penaksiran Parameter Model Vector Autoregressive Integrated (Vari) ...
31
2.8 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data Indeks Harga
Konsumen (IHK) di Kota Bandung, Bekasi, dan Depok secara bulanan yang bersumber dari
website Badan Pusat Statistik. Untuk menentukan model, digunakan data pada periode Juli 2008
– Juni 2013, sedangkan untuk peramalan, digunakan data periode Juli – Agustus 2013.
2.9 Variabel Penelitian
Variabel-variabel yang digunakan dalam penelitian ini yaitu:
Z1,t = IHK Kota Bandung
Z 2,t = IHK Kota Bekasi
Z 3,t = IHK Kota Depok
Y1,t = Data Differencing IHK Kota Bandung
Y2,t = Data Differencing IHK Kota Bekasi
Y3,t = Data Differencing IHK Kota Depok.
2.10
Tahapan Analisis Data
1. Data Tiga Lokasi, data yang digunakan adalah data IHK di Kota Bandung, Bekasi, dan
Depok periode Juli 2008 – Juni 2013 yang sudah dipusatkan, selanjutnya, membuat analisis
statistik deskriptif dan grafik untuk masing-masing data yang telah dipusatkan.
2. Kestasioneran Data, data dikatakan tidak stasioner jika data mengandung trend serta pada
plot ACF dan PACF meluruh sangat perlahan. Jika data tidak stasioner perlu dilakukan
proses differencing.
3. Identifikasi Model ARI(1,1), dikatakan model ARI(1,1) jika pada plot ACF menurun secara
eksponensial menuju nol dan plot PACF terpotong pada lag 1.
4. Kestasioneran Model ARI(1,1), model dikatakan stasioner apabila   1 atau 1    1.
5. Estimasi Model VARI(1,1), jika untuk ketiga lokasi diidentifikasi model AR1(1,1) dan
model tersebut sudah stasioner, maka dapat dibentuk model VARI(1,1).
6. Penaksiran Parameter Model VARI(1,1), dengan asumsi galat berdistribusi normal, taksiran
parameter model VARI(1,1) diperoleh menggunakan metode MLE.
7. Perhitungan MAPE, untuk mengetahui apakah model VARI(1,1) dengan metode MLE
sudah baik dan cocok untuk digunakan pada data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok,
ditunjukkan pada perhitungan Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yang minimum.
8. Peramalan, setelah didapat model yang sesuai, maka tahapan selanjutnya adalah peramalan
jangka pendek pada data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok periode Juli – Agustus
2013.
32
Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana
3
Hasil dan Pembahasan
3.1 Penaksiran Parameter Model VARI dengan Metode MLE
Asumsi galat pada model VARI(1,1) berdistribusi normal, sehingga parameter model
VARI(1,1) dapat diestimasi menggunakan metode MLE dengan cara memaksimukan fungsi ln
likelihood. Misal, untuk lokasi N  3 dan waktu T  3 , maka model VARI(1,1) menjadi:
Y t321  Φ3333 Y t 1321  at321 dapat ditulis dalam bentuk:


Y
0
0
0
0  

     Y Y Y   0 0



  
 Y  
 Y Y Y 
0
0
0
0

  
     0 0
 






 Y     0 0
Y
Y
Y
0   0
0
0  
 


 
Y   0
0
0   0
0
0  
  Y    Y Y
 
 Y Y
  0
  Y    0
0
0
Y
0
0 
  
 
 
   
  0
 

0
0
0
0
0
Y
Y
Y
Y

 
 

 
 





12
  a1,2  
   
13
  a2,2  
21 
 a3,2  


22
  a1,3   .
23 
 a  

 2,3  
31
 
 a3,3 
32 

33 
11
1,2
1,1
2,1
3,1
2,2
1,1
2,1
3,1
3,2
1,3
1,2
2,2
1,1
2,1
3,1
1,2
2,2
3, 2
3,2
1,2
2,3
2,2
3,2
3,3

y
X
Persamaan di atas disederhanakan dengan persamaan linier, yaitu:
y  X  
(9)
sehingga fungsi likelihoodnya yaitu:


L ,  2 
  1 y  X ' y  X 




2

2
1
 2 
2
n
e
.
(10)
2
Fungsi ln likelihood menjadi,
 
ln L ,  2
n
1
    2 ln  2   2  y  X   y  X  .
'
2
2
Persamaan (11) diturunkan terhadap  ,
 
 ln L , 

2
 
1

2
 y  X    X  .
'
Memaksimumkan fungsi likelihood pada persamaan (12), maka:
1
'
y  X    X   0
2

 y ' X   ' X' X  0
(11)
(12)
Penaksiran Parameter Model Vector Autoregressive Integrated (Vari) ...

 '  y ' X X' X
Dengan menghilangkan transpose pada

1
.
33
(13)
 ' , persamaan (13) menjadi:
1
ˆ   X' X  X' y .
(14)
Maka taksiran MLE untuk model VARI(1,1) pada, N  3 dan T  3 menjadi:
1
Φ̂1
91
'
'
  Y t 13332 Y t 13233  Y t 13332 Y t321 .


Taksiran MLE untuk model VARI(1,1) pada N lokasi dan waktu T secara umum, yaitu:
1
'
 '

Φ̂1
  Y t 1  NN  NT 1  Y t 1 NT 1  NN   Y t 1  NN  NT 1  Y t NT 1 1 (15)


 
 



 NN 1 


 

dengan Y t  Z t  Z t 1 .
3.2 Data Tiga Lokasi
Tabel 1. Statistik Deskriptif Data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok
Lokasi
Mean
Standar Deviasi
N
-14
Bandung
-5,021322 x 10
6,285707
60
Bekasi
-9,471446 x 10-15
8,213524
60
Depok
1,633950 x 10-14
8,292139
60
Penyebaran data terhadap pusat data (rata-rata) untuk nilai IHK Kota Bandung adalah
6,285707 sedangkan untuk IHK Kota Bekasi sebesar 8,213524 dan IHK Kota Depok adalah
8,292139.
Berdasarkan grafik data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok diperoleh bahwa data
mengandung trend serta fungsi ACF dan PACF yang meluruh sangat perlahan, maka dapat
dikatakan bahwa data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok belum stasioner sehingga
dilakukan differencing.
3.3 Proses Differencing
Tabel 2. Statistik Deskriptif Data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan DepokDifferencing
Pertama
Lokasi
Mean
Standar Deviasi
N
Bandung
0,3742373
0,5007174
59
Bekasi
0,4766102
0,7162898
59
Depok
0,4830508
0,7243505
59
Berdasarkan Tabel 2, penyebaran data terhadap pusat data (rata-rata) untuk nilai IHK
differencing pertama Kota Bandung adalah 0,5007174, Kota Bekasi sebesar 0,7162898 dan
Kota Depok adalah 0,7243505. Data hasil differencing lebih baik, yang ditunjukkan oleh nilai
standar deviasi yang lebih kecil.
Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana
Time Series Plot of Data
-0.5 0.5 1.5
IHK$Bandung.Diff1Lag1
34
0
10
20
30
40
50
60
Time
-1 0 1 2-0.2 0.4 1.0
IHK$Bekasi.Diff1Lag1ACF
Series
IHK$Bandung.Diff1Lag1
Gambar 1. Grafik IHK
Kota
Bandung Differencing Pertama
Time Series Plot of Data
0
5
10
15
20
25
Lag
0
10
20
30
40
50
60
Series IHK$Bandung.Diff1Lag1
-1.0 0.5 2.0 -0.2 0.4-0.31.00.0 0.3
Time
Series IHK$Bekasi.Diff1Lag1
5
0
10 Series Plot 15
Time
of Data
5
Lag
10
20
15
25
20
25
Lag
0
Series IHK$Bekasi.Diff1Lag1
10
-0.2 0.4 1.0-0.3 0.0 0.3
Partial ACF
IHK$Depok.Diff1Lag1 ACF Partial ACF
Gambar 2. Grafik IHK Kota Bekasi Differencing Pertama
20
30
40
50
60
Time
Gambar 3. Grafik IHK Kota Depok Differencing Pertama
Series IHK$Depok.Diff1Lag1
5
10
15
20
25
ACF
Setelah di differencing, dihasilkan grafik data IHK di Kota Bandung, Bekasi, dan
Depok menggunakan bantuan software R 2.11.1. Pada Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3,
dapat dilihat bahwa data sudah cukup stabil. Oleh karena itu data hasil differencing pertama
untuk IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok sudah stasioner sehingga data differencing
pertama bisa digunakan pada model ARI.
Lag
0
5
10
15
20
25
Lag
-0.2 0.1
Partial ACF
Series IHK$Depok.Diff1Lag1
3.4 Identifikasi Model ARI(1,1)
Data yang digunakan diidentifikasi menggunakan grafik ACF dan PACF dengan
bantuan software R 2.11.1, yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
5
10
15
20
25
Lag
Gambar 4. Grafik ACF dan PACF IHK Kota Bandung Differencing Pertama
Penaksiran Parameter Model Vector Autoregressive Integrated (Vari) ...
35
Gambar 5. Grafik ACF dan PACF IHK Kota Bekasi Differencing Pertama
Gambar 6. Grafik ACF dan PACF IHK Kota Depok Differencing Pertama
Pada Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6, terlihat bahwa pada grafik ACF dari lag ke1 hingga seterusnya menurun secara eksponensial dan pada grafik PACF terlihat bahwa lag ke1 keluar dari garis bartlett sehingga dapat dikatakan bahwa data signifikan pada lag ke-1.
Artinya data untuk data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok differencing pertama dapat
dimodelkan dengan menggunakan model ARI(1,1).
3.5 Kestasioneran Model ARI(1,1)
Hasil estimasi model ARI(1,1) dengan metode MLE data IHK, untuk Kota Bandung
didapat nilai parameter ˆ1  0, 5951 . Nilai parameter untuk Kota Bekasi yaitu ˆ1  0, 5409 .
Nilai parameter untuk Kota Depok yaitu ˆ1  0, 6157 . Dari ketiga variabel, parameter ˆ1
memenuhi syarat ˆ  1 , dapat dikatakan bahwa model ARI(1,1) untuk ketiga variabel sudah
1
stasioner.
3.6 Estimasi Parameter Model VARI(1,1) dengan Metode MLE
Menggunakan bantun Microsoft Office Excel 2013, diperoleh nilai parameter untuk
masing-masing lokasi, ˆ11  0, 23822 , ˆ12  0,40291 , ˆ13  0, 06023 , ˆ21  0, 02338 ,
ˆ22  0,12499 , ˆ23  0,48064 , ˆ31  0,31719 , ˆ32  0,18163 dan ˆ33  0,28067 .
Hasil yang diperoleh untuk model VARI(1,1) dengan metode MLE sebagai berikut:
ˆ
(16)
Y1,t  0, 23822 Y1,t 1  0, 40291 Y2,t 1  0, 06023 Y3,t 1
ˆ
Y2,t  0, 02338 Y1,t 1  0,12499 Y2,t 1  0, 48064 Y3,t 1
(17)
36
Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana
ˆ
Y3,t  0,31719 Y1,t 1  0,18163 Y2,t 1  0, 28067 Y3,t 1 .
(18)
Hasil persamaan (16), (17), dan (18), menyatakan bahwa model VARI(1,1) dengan
metode MLE untuk data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok membentuk model VAR(2).
3.7 Peramalan
Selanjutnya dilakukan perhitungan Mean Absolute Percentage Error pada masingmasing lokasi untuk mengetahui model yang sudah distimasi sudah layak atau belum untuk
digunakan.
Tabel 3. Mean Absolute Percentage Error
Lokasi
MAPE (%)
Bandung
6,17028
Bekasi
8,05083
Depok
7,81827
Dapat dilihat nilai galat untuk lokasi Bandung sebesar 6,17028% dari nilai aktual,
Bekasi sebesar 8,05083%, dan 7,81827%, sehingga model VARI(1,1) dengan metode MLE
sudah layak digunakan untuk peramalan, karena memberikan nilai MAPE yang cukup kecil.
Tabel 4. Hasil Peramalan IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok Tahun 2013
Bulan Juli 2013
Bulan Agustus 2013
Lokasi
Aktual
Taksiran
Galat
Aktual
Taksiran
Galat
Bandung
137,56
134,49
3,07
139,46
135,25
4,21
Bekasi
144,44
140,29
4,15
146,94
141,26
5,68
Depok
146,27
141,47
4,8
147,81
142,53
5,28
Berdasarkan Tabel 4 terlihat hasil peramalan IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok
untuk dua bulan kedepan pada periode Juli – Agustus 2013 mengalami peningkatan, namun
mengalami penurunan dari data aktualnya, dengan nilai galat terkecil pada IHK Kota Bandung
4. Simpulan
Berdasarkan uraian dan analisis data yang telah dilakukan, maka disimpulkan bahwa:
1. Data deret waktu univariat berupa data differencing menggunakan model ARI. Jika model
ARI pada tiga lokasi digabungkan, maka menjadi model VARI. Dengan asumsi galat
berdistribusi normal, penaksiran parameter model VARI dapat dilakukan menggunakan
metode MLE yaitu memaksimumkan turunan fungsi ln likelihood.
2. Data IHK Kota Bandung, Bekasi, dan Depok mengandung trend, sehingga model yang
sesuai yaitu VARI(1,1) karena setiap data melalui proses differencing pertamadan
merupakan model ARI(1,1). Model VARI(1,1) yang diperoleh dapat dinyatakan sebagai
model VAR(2). Model VARI(1,1) dengan metode MLE pada data IHK Kota Bandung,
Bekasi, dan Depok menghasilkan nilai MAPE yang cukup kecil, dengan hasil peramalan
untuk dua bulan mendatang periode Juli – Agustus 2013 mengalami peningkatan dan nilai
galat terkecil terdapat pada data IHK Kota Bandung.
Penaksiran Parameter Model Vector Autoregressive Integrated (Vari) ...
37
Daftar Pustaka
[1] Cryer, J.D. dan Chan, K. 2008. Time Series Analysis; With Applications in R. New
York: Springer.
[2] Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. 1991. Metode dan Aplikasi
Peramalan. Jakarta: Erlangga.
[3] Mankiw, N.G. 2007. Makroekonomi. Jakarta: Erlangga.
[4] Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis; Univariate and Multivariate Methods.
Department of Statistics Temple University: Addison-Wesley Publishing Company.
[5] http://www.bps.go.id. (diakses pada tanggal 20 September 2013)
38
Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana