File

Aditya Baharudin, Eka Syaeful Bahri, Sri Anggi Wahyuni
dan Rosyanti.
Modul Matematika SMP Kelas VII
OPERASI HITUNG BENTUK
ALJABAR
Cv. Ekadityanggiyoz
KATAPENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah swt
karna berkat rahmat dan karunia Nya kami bisa
menyelesaikan
buku
ini.
Buku
ini
di
buat
untuk
mempermudah siswa kelas VII dalam mempelajari operasi
hitung bentuk aljabar.
Selain
buku
ini
di
susun
bertujuan
untuk
meningkatkan pemahaman siswa dalam mempelajari
operasi hitung bentuk aljabar, buku ini juga berisi tentan
cara menggunkan Quis Maker yang berisi tentang soal-soal
latihan.
Denagan demikian, buku ini kami susun. Kami
menyadari dalam penyusan buku ini masih memiliki
berbagai kekurangan. Namun mudah-mudahan buku ini
dapat membantu pemahaman siswa dalam mempelajari
operasi hitung bentuk aljabar. Selamat membaca dan
semoga sukses.
Cirebon, 30 Oktober 2012
Penulis
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
i
DAFTAR PUSTAKA
KATA PENGANTAR
...................................................
i
DAFTAR PUSTAKA
...................................................
ii
TUJUAN PEMBELAJARAN
...................................................
1
OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
......................
APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
2
.......
24
SOAL LATIHAN
...................................................
26
DAFTAR PUSTAKA
..................................................
28
QUIS MAKER
..................................................
29
BIODATA KELOMPOK
..................................................
30
DESKRIPSI KERJA
..................................................
31
PERAN
KOMPUTER
MATEMATIKA
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
DALAM
PEMBELAJARAAN
.................................................
32
ii
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan
dapat:
 Menjelaskan
pengertian
Koefisien,
Variabel,
Konstanta, suku satu, suku dua, dan suku tiga dalam
variabel yang sama atau berbeda,
 Menyelesaikan operasi tambahan, kurang, kali, bagi
dan pangkat dari suku satu dan suku dua,
 Menyelesaikan pembagian dengan suku sejenis atau
tidak sejenis,
 Memfaktorkan suku bentuk aljabar sampai dengan
suku tiga,
 Menyederhanakan pembagian suku,
 Menyelesaikan perpangkatan konstanta dan suku,
 Menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi,
dan pangkat dari pecahan bentuk aljabar dengan
penyebut suku satu dan suku dua,
 Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
1
OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini,
kalian harus menguasai konsep mengenai faktor sekutu,
kelipatan
persekutuan
terkecil
(KPK),
dan
faktor
persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan atau lebih.
Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasi hitungnya
selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajari
bab berikutnya. Perhatikan uraian berikut.
A. Variabel, Konstanta, dan Faktor
Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9.
Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut
variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan
yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel
disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan
dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.
Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas
disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk
aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.
Perhatikan koefisien masing-masing suku pada
bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
2
5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8,
dan pada suku –6y adalah –6.
B. Pengertian Suku pada Bentuk Aljabar
1. Suku Tunggal dan Suku Banyak
Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika
yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk
mewakili bilangan yang belum diketahui.
Bentuk-bentuk seperti 5𝑎, − 5𝑎2 𝑏, 2𝑝 + 5, 7𝑝2 −
𝑝𝑞, 8𝑥 − 4𝑦 + 9, 𝑑𝑎𝑛 6𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 8𝑦
disebut
bentuk
aljabar.
Bentuk aljabar seperti
4𝑎 𝑑𝑎𝑛 − 5𝑎2 𝑏
disebut
bentuk aljabar suku satu atau suku tunggal.
Bentuk aljabar seperti 7𝑝2 − 𝑝𝑞 𝑑𝑎𝑛 2𝑝 + 5 disebut
bentuk aljabar suku dua atau binom.
Bentuk
aljabar
seperti
8𝑥 − 4𝑦 + 9 𝑑𝑎𝑛 6𝑥 2 +
3𝑥𝑦 − 8𝑦 disebut bentuk aljabar suku tiga atau trinom.
Bentuk aljabar yang terdiri dari beberapa suku
disebut suku banyak atau polinom, misalnya:
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
3
2𝑎 − 5𝑎𝑏 + 4𝑎𝑐
suku tiga
𝑝3 + 2𝑝2 − 7𝑝 − 8
suku empat
Suku banyak
2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis
a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau
konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh
operasi jumlah atau selisih. Suku-suku sejenis adalah
suku yang memiliki variabel dan pangkat dari
masing-masing variabel yang sama.
Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...
b) Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel
dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak
sama.
Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...
c) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak
dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...
d) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan
oleh satu operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...
e) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan
oleh dua operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
4
f) Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku
disebut suku banyak.
Contoh:
Tentukan koefisien dari x2 dan faktor dari masing-masing
bentuk aljabar berikut.
a. 7𝑥 2
b. 3𝑥 2 + 5
c. 2𝑥 2 + 4𝑥 − 3
Penyelesaian:
a. 7𝑥 2 = 7 × x × x
Koefisien dari 𝑥 2 adalah 7. Faktor dari 7𝑥 2 adalah 1,
7, x, 𝑥 2 , 7x, dan 7𝑥 2 .
b. 3𝑥 2 + 5 = 3 × x × x + 5 × 1
Koefisien dari 𝑥 2 adalah 3. Faktor dari 3𝑥 2 adalah 1,
3, x, 𝑥 2 , 3x, dan 3𝑥 2 . Faktor dari 5 adalah 1 dan 5.
c.
2𝑥 2 + 4𝑥 − 3 = 2 × x × x + 4 × x – 3 × 1
Koefisien dari 𝑥 2 adalah 2. Faktor dari 2𝑥 2 adalah 1,
2, x, 𝑥 2 dan 2x. Koefisien dari 4x adalah 4. Faktor
dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x. Faktor dari –3 adalah
–3, –1, 1, dan 3.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
5
C. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil
pengurangan pada bentuk aljabar, perlu diperhatikan halhal berikut ini.
a. Suku-suku yang sejenis.
b. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
pengurangan, yaitu:
i.
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐) atau 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
ii. 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 − 𝑐) atau 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐
c. Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu:
i.
Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah
bilangan bulat positif.
ii. Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah
bilangan bulat positi.
iii. Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan
bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat
negatif.
Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan di atas,
maka hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
6
bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih
sederhana dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis.
Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk
aljabar berikut.
a.
–4ax + 7ax
b. 2𝑥 2 (– 3x + 2) + (4𝑥 2 – 5x + 1)
c. (3𝑥 2 + 5) – (4𝑥 2 – 3a + 2)
Penyelesaian:
a.
–4ax + 7ax = (–4 + 7)ax = 3ax
b. (2𝑥 2 – 3x + 2) + (4𝑥 2 – 5x + 1)
= 2𝑥 2 – 3x + 2 + 4𝑥 2 – 5x + 1
= 2𝑥 2 +4𝑥 2 – 3x – 5x + 2 + 1
= (2 + 4) 𝑥 2 + (–3 – 5) x + (2 + 1) (kelompokkan
suku-suku sejenis) = 6𝑥 2 – 8x + 3
c. (3𝑥 2 + 5) – (4𝑥 2 – 3a + 2) = 3𝑥 2 + 5 – 4𝑥 2 + 3a – 2
= 3𝑥 2 – 4𝑥 2 + 3a + 5 – 2
= (3 – 4) 𝑎2 + 3a + (5 – 2) = –𝑎2 + 3a + 3
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
7
2. Perkalian
Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian
bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap
penjumlahan, yaitu a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dan sifat
distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a × (b –
c) = (a × b) – (a × c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c.
Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar
Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk
aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.
k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + kb
contoh:
Jabarkan
bentuk
aljabar
berikut,
kemudian
sederhanakanlah.
a. 4(p + q)
b. 5(ax + by)
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)
d. –8(2x – y + 3z)
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
8
Penyelesaian:
a. 4(p + q) = 4p + 4q
b. 5(ax + by) = 5ax + 5by
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6
= (3 + 42)x – 6 + 6 = 45x
d. –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z
b. Perkalian antara dua bentuk aljabar
Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan
bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua
bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif
perkalian terhadap pengurangan. Selain dengan cara
tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk
aljabar,
dapat
menggunakan
cara
sebagai
berikut.
Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua
dengan suku dua berikut.
(ax + b) (cx + d) = ax × cx + ax × d + b × cx + b × d
= 𝑎𝑐𝑥 2 + (ad + bc) x + bd
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
9
Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk
mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat
digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.
a. (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)
= 𝑎𝑥(𝑐𝑥 + 𝑑) + 𝑏(𝑐𝑥 + 𝑑)
= 𝑎𝑥 × 𝑐𝑥 + 𝑎𝑥 × 𝑑 + 𝑏 × 𝑐𝑥 + 𝑏 × 𝑑
= 𝑎𝑐𝑥 2 + 𝑎𝑑𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 + 𝑏𝑑
= 𝑎𝑐𝑥 2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑥 + 𝑏𝑑
Contoh:
Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam
bentuk jumlah atau selisih.
1. (2x + 3) (3x – 2)
2. (–4a + b) (4a + 2b)
3. (2x – 1) (x2 – 2x + 4)
4. (x + 2) (x – 2)
Penyelesaian:
1. Cara (1) dengan sifat distributif.
(2x + 3) (3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)
= 6x2 – 4x + 9x – 6
= 6x2 + 5x – 6
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
10
Cara (2) dengan skema.
(2x + 3) (3x – 2) = 2x × 3x + 2x × (–2) + 3 × 3x + 3
× (–2)
= 6𝑥 2 – 4x + 9x – 6
= 6𝑥 2 + 5x – 6
2. Cara (1) dengan sifat distributif.
(–4a + b) (4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)
= – 16𝑎2 – 8ab + 4ab + 2𝑏 2
= –16𝑎2 – 4ab + 2𝑏 2
Cara (2) dengan skema.
(–4a + b) (4a + 2b)
= (–4a) × 4a + (–4a) × 2b + b × 4a + b × 2b
= –16𝑎2 – 8ab + 4ab + 2𝑏 2
= –16𝑎2 – 4ab + 2𝑏 2
3. Cara (1) dengan sifat distributif.
(2x – 1) (x2 – 2x + 4)
= 2x (𝑥 2 – 2x + 4) – 1(𝑥 2 – 2x + 4)
= 2𝑥 3 – 4𝑥 2 + 8x – 𝑥 2 + 2x – 4
= 2𝑥 3 – 4𝑥 2 – 𝑥 2 + 8x + 2x – 4
= 2𝑥 3 – 5𝑥 2 + 10x – 4
Cara (2) dengan skema.
(2x – 1) (𝑥 2 – 2x + 4) = 2x × 𝑥 2 +2x×(–2x) + 2x × 4
+(–1)× 𝑥 2 + (– 1) × (–2x) + (–1) ∙ 4
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
11
= 2𝑥 3 – 4𝑥 2 + 8x – 𝑥 2 + 2x – 4
= 2𝑥 3 – 4𝑥 2 – 𝑥 2 + 8x + 2x – 4
= 2𝑥 3 – 5𝑥 2 + 10x – 4
3. Perpangkatan
a. Arti Pemangkatan Bentuk Aljabar
Pemangkatan
suatu
bilangan
diperoleh
dari
perkalian berulang untuk bilangan yang sama. Jadi, untuk
sebarang bilangan 𝑎, maka 𝑎2 = 𝑎 × 𝑎. Dalam pemangkatan
bentuk aljabar, perlu dibedakan pengertian-pengertian
berikut ini:
i). 3𝑎2 dengan (3𝑎)2
Pada bentuk 3𝑎2 , yang dikuadratkan hanya 𝑎,
sedangkan pada bentuk (3𝑎)2 , yang dikuadratkan
adalah 3𝑎. Jadi, 3𝑎2 , tidak sama dengan (3𝑎)2 .
3𝑎2 = 3 × 𝑎 × 𝑎 dan (3𝑎)2 = (3𝑎) × (3𝑎)
ii). − (3𝑎)2 dengan (−3𝑎)2
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
12
Pada bentuk − (3𝑎)2, yang dikuadratkan hanya 3𝑎,
sedangkan pada bentuk (−3𝑎)2 , yang dikuadratkan
adalah −3𝑎. Jadi, − (3𝑎)2 tidak sama dengan
(−3𝑎)2 .
− (3𝑎)2 = −(3𝑎 × 3𝑎)
dan
(−3𝑎)2 = (−3𝑎) ×
(−3𝑎)
b. Pemangkatan Suku Dua
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua,
koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal.
Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada
penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)𝑛 , dengan n
bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.
 (𝑎 + 𝑏)1 = (𝑎 + 𝑏)
→ koefisiennya 1 1
 (𝑎 + 𝑏)2 = (a + b) (a + b)
= 𝑎2 + ab + ab+ 𝑏 2
= 𝑎2 + 2ab+ 𝑏 2
→ koefisiennya 1 2 1
 (𝑎 + 𝑏)3 = (a + b) (𝑎 + 𝑏)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2)
= 𝑎3 + 2𝑎2 b + a𝑏 2 + 𝑎2 b + 2a𝑏 2 + 𝑏 3
= 𝑎3 + 3𝑎2 b + 3a𝑏 2 + 𝑏 3
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
→ koefisiennya 1 3 3 1
13
dan seterusnya. Adapun pangkat dari a (unsur pertama)
pada (𝑎 + 𝑏)𝑛 dimulai dari 𝑎𝑛 kemudian berkurang satu
demi satu dan terakhir 𝑎1 pada suku ke-n. Sebaliknya,
pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan 𝑏1 pada suku
ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir 𝑏 𝑛 pada
suku ke-(n +1).
Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari
penjabaran bentuk aljabar (𝑎 + 𝑏)𝑛 di atas. Pola koefisien
tersebut ditentukan menurut segitiga Pascal berikut.
(𝑎 + 𝑏)0
1
(𝑎 + 𝑏)1
1
(𝑎 + 𝑏)2
1
(𝑎 + 𝑏)3
1
(𝑎 + 𝑏)4
1
(𝑎 + 𝑏)5
(𝑎 + 𝑏)6
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
1
4
10
20
1
5
15
1
6
14
1
Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada
di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang
berdekatan yang berada di atasnya.
Contoh:
1) Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.
𝑎. (2𝑝)2
𝑏. −(3𝑥 2 𝑦𝑧 3 )3
𝑐. (−3𝑝2 𝑞)2
2) Jabarkan bentuk aljabar berikut.
𝑎. (3𝑥 + 5)2
𝑏. (2𝑥 − 3𝑦)2
𝑐. (𝑥 + 3𝑦)3
𝑑. (𝑥 − 4)4
1) Penyelesaian:
a. (2𝑝)2 = (2p) × (2p) = 4𝑝2
b. – (3𝑥 2 𝑦𝑧 3 )3 = –(3𝑥 2 𝑦𝑧 3 ) × (3𝑥 2 𝑦𝑧 3 ) × (3𝑥 2 𝑦𝑧 3 )
= −27𝑥 6 𝑦 3 𝑧 9
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
15
c.
(−3𝑝2 𝑞)2 = (−3𝑝2 𝑞) × (−3𝑝2 𝑞) = 9𝑝4 𝑞 2
2) Penyelesaian
a.
(3𝑥 + 5)2 = 1(3𝑥)2 + 2 × 3x × 5 + 1 × 52
= 9x2 + 30x + 2
b. (2𝑥 − 3𝑦)2
= 1(2𝑥)2 + 2(2x) (–3y) + 1 ×
(−3𝑦)2
= 4𝑥 2 – 12xy + 9𝑦 2
𝑐. (𝑥 + 3𝑦)3= 1𝑥 3 +3× 4𝑥 2 × (3𝑦)1+3× (x)×
(3𝑦)2+1× (3𝑦)3
= 𝑥 3 + 9𝑥 2 y + 27x𝑦 2 + 27𝑦 3
𝑑. (𝑎 − 4)4 = 1𝑎4 + 4 × 𝑎3 × (−4)1 + 6 × 𝑎2 ×
(−4)2 + 4 × a × (−4)3 + 1 × (−4)4
= 𝑎4 – 16 × 𝑎3 + 6𝑎2 × 16 + 4a × (–64) + 1 ×
256
= 𝑎4 – 16𝑎3 + 96𝑎2 – 256a + 256
4. Pembagian Bentuk Aljabar
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh
dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masingmasing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan
pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
16
Contoh:
Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut.
1. 3xy : 2y
2. 6𝑎3 𝑏 2 : 3𝑎2 b
3. 𝑥 3 y : (𝑥 2 𝑦 2 : xy)
4. (24𝑝2 q + 18p𝑞 2 ) : 3pq
Penyelesaian:
1.
𝟑𝒙 𝒚
𝟐𝒚
=
𝟑
𝟐
𝑥
(faktor sekutu y)
6 𝑎3 𝑏 2
2. 6𝑎3 𝑏 2 : 3𝑎2 b =
3 𝑎2
𝑏
=
3𝑎2 𝑏 ×2 𝑎 𝑏
(faktor
3 𝑎2
sekutu
3𝑎2 𝑏)
=2𝑎𝑏
𝑥2 𝑦2
3. 𝑥 3 𝑦 ÷ (𝑥 2 𝑦 2 ∶ 𝑥 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 ∶ (
= 𝑥3𝑦 ∶ (
𝑥𝑦 ×𝑥𝑦
𝑥𝑦
= 𝑥3𝑦 ∶ 𝑥 𝑦 =
)
)
𝑥3 𝑦
𝑥𝑦
=
𝑥 𝑦 × 𝑥2
𝑥𝑦
4. (24𝑝2 𝑞 + 18𝑝𝑞 2 ) ∶ 3𝑝𝑞 =
=
𝑥𝑦
= 𝑥2
24𝑝2 𝑞+18𝑝𝑞 2
3 𝑝𝑞
6𝑝𝑞 (4𝑝+3𝑞)
3𝑝𝑞
= 2(4𝑝 + 3𝑞)
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
17
5. Substitusi pada Bentuk Aljabar
Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan
cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabelvariabel bentuk aljabar tersebut.
Contoh:
a. Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.
b. Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2𝑥 2 – xy +
3𝑦 2 .
Penyelesaian:
a. Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh
5 – 2m = 5 – 2(3) = 5 – 6 = –1
b. Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh
2𝑥 2 – xy + 3𝑦 2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2
2(16) – (–12) + 3(9)
= 32 + 12 + 27 = 71
D. PECAHAN BENTUK ALJABAR
Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai
bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
18
kalian akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar,
yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau keduaduanya
𝑎
2
4
memuat
3𝑎
, 𝑝 , 7𝑏𝑐 ,
𝑚+3
𝑛
, 𝑑𝑎𝑛
bentuk
𝑥2
𝑥+𝑦
aljabar.
Misalnya
.
1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling
sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak
mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya
tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan
bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi
pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari
keduanya. Konsep dalam pecahan, yaitu:
a. Penyebut suatu pecahan tidak boleh nol
b. Suatu pecahan tidak boleh disederhanakan dengan
cara membagi pembilang dan penyebut dengan nol,
karena pembagian dengan nol tidak didefinisikan.
Contoh:
1.
2−𝑥
𝑥 2 −4
=
=
2−𝑥
(𝑥+2)(𝑥−2)
−(𝑥−2)
(𝑥+2)(𝑥−2)
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
19
=
2.
−1
= −
𝑥+2
𝑥4− 1
2−2𝑥 2
𝑥+2
(𝑥 2 +1)(𝑥 2 −1)
=
2(1−𝑥 2 )
(𝑥 2 +1)(𝑥2 −1)
=
=
1
−2(𝑥 2 −1)
𝑥 2 +1
−2
= −
𝑥 2 +1
2
2. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar
Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui
bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada
pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya,
kemudian
menjumlahkan
atau
mengurangkan
pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk
menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari
penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga
berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan
bentuk pecahan aljabar.
Contoh:
Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan
aljabar berikut.
a)
1
2𝑝
5
+ 3𝑞
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
20
b)
c)
1
2
− 𝑘+1
𝑘−3
𝑚+2
𝑚
−
𝑛−1
𝑛
Penyelesaian:
a)
1
5
1×3𝑞
5×2𝑝
+ 3𝑞 = 2𝑝×3𝑞 + 2𝑝×3𝑞
2𝑝
3𝑞
10𝑝
= 6𝑝𝑞 + 6𝑝𝑞
3𝑞+10𝑝
=
b)
6𝑝𝑞
1
2
𝑘−3
1(𝑘+1)
2(𝑘−3)
− 𝑘+1 = (𝑘−3)(𝑘+1) − (𝑘−3)(𝑘+1)
𝑘+1
2(𝑘−3)
= 𝑘 2 −2𝑘−3 − 𝑘 2 −2𝑘−3
=
c)
𝑘+1−2𝑘−6
𝑘 2 −2𝑘−3
𝑚+2
𝑚
=
=
=
−
𝑛−1
𝑛
𝑚𝑛+2𝑛
𝑚𝑛
−
=
=
−𝑘+7
𝑘 2 −2𝑘−3
𝑛(𝑚+2)
𝑚×𝑛
−
𝑚(𝑛−1)
𝑛×𝑚
(𝑚𝑛−𝑚)
𝑛𝑚
𝑚𝑛+2𝑛−𝑚𝑛+𝑚
𝑚𝑛
𝑚𝑛−𝑚𝑛+2𝑛+𝑚
𝑚𝑛
=
2𝑛+𝑚
𝑚𝑛
3. Perkalian dan pembagian
Ingat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan
yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
21
𝑎 𝑐 𝑎𝑐
× =
; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏, 𝑑 ≠ 0
𝑏 𝑑 𝑏𝑑
Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan
aljabar.
Contoh:
Tentukan hasil perkalian pecahan bentuk aljabar berikut.
a.
b.
c.
4
3𝑎
×
𝑥−1
𝑦
𝑎𝑏
2
×
𝑥 2 +1
5
𝑦+1
𝑥
×
2𝑥
3
Penyelesaian:
a.
b.
c.
4
3𝑎
×
𝑥−1
𝑦
2
×
𝑥 2 +1
5
𝑎𝑏
4×𝑎𝑏
= 3𝑎×2 =
𝑦+1
×
Kalian
𝑥
2𝑥
3
=
=
4𝑎𝑏
6𝑎
=
(𝑥−1)(𝑦+1)
𝑦× 𝑥
(𝑥 2 +1)2𝑥
pasti
5×3
=
2𝑏
=
3
𝑥𝑦−𝑦+𝑥−1
𝑦𝑥
2𝑥 3 +2𝑥
masih
15
=
𝑥𝑦+𝑥−𝑦−1
𝑥𝑦
2𝑥
= 15 (𝑥 2 + 1)
ingat
bahwa
pembagian
merupakan invers (operasi kebalikan) dari operasi
perkalian. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa membagi
dengan suatu pecahan sama artinya dengan mengalikan
terhadap kebalikan pecahan tersebut.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
22
𝑎:
𝑏
𝑐 𝑎𝑐
=𝑎× =
𝑐
𝑏
𝑏
untuk
𝑏 ≠ 0,
𝑐≠0
𝑎
𝑎 1
𝑎
:𝑐 = × =
𝑏
𝑏 𝑐 𝑏𝑐
untuk
𝑏 ≠ 0,
𝑐≠0
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎𝑑
: = × =
𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏𝑐
untuk
𝑏 ≠ 0,
𝑐≠0
Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan
bentuk aljabar.
Contoh:
Sederhanakan pembagian pecahan aljabar berikut.
a.
b.
c.
4𝑝
3𝑞
3𝑎
𝑏
𝑎𝑏
𝑐
∶
∶
∶
2𝑞
9𝑝
𝑐
4𝑏 2
𝑏2
𝑎𝑐
Penyelesaian:
a.
b.
c.
4𝑝
3𝑞
3𝑎
𝑏
𝑎𝑏
𝑐
∶
∶
∶
2𝑞
4𝑝
9𝑝
= 3𝑞 × 2𝑞 =
9𝑝
𝑐
4𝑏 2
𝑏2
𝑎𝑐
=
=
3𝑎
𝑏
𝑎𝑏
×
4𝑏 2
𝑐
𝑎𝑐
36𝑝2
6𝑞 2
=
× 1𝑏2 =
1𝑐
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
=
12𝑎𝑏 2
𝑏𝑐
𝑎2 𝑏𝑐
𝑏2 𝑐
6𝑝2
𝑞2
=
=
12𝑎𝑏
𝑐
𝑎2
𝑏
23
APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Mungkin saat belajar Matematika di Sekolah Dasar
kelas 1 atau 2 kita akan diberi soal seperti ini, “2 + Berapa?
= 5”, bukankah itu serupa dengan “2+x= 5, berapakah nilai
x?” Setelah kita hitung maka akan menemukan jawabannya,
yaitu 3. Selanjutnya, berikut adalah salah satu contoh
kejadian yang mengaplikasikan aljabar dalam kehidupan
sehari-hari. Attention please......!!!
“Aplikasi Aljabar bagi Ibu Rumah Tangga”
Manfaat aplikasi Aljabar bagi Ibu Rumah Tangga
adalah untuk memanajemen uang gaji, uang saku anak,
uang sekolah anak, dll. Contoh memanajemen uang bagi Ibu
Rumah Tangga adalah sebagai berikut :
Seorang Ibu setiap bulan mendapat gaji sebesar Rp
2.000.000,00. Ia diberi uang tambahan dari suaminya
sebesar
Rp
4.000.000,00
perbulan.
Dibutuhkan
Rp
1.000.000,00 untuk uang belanja perbulan. Uang kesehatan
Rp 500.000,00 dan uang sekolah total dari ke-2 anaknya
sebesar Rp 3.000.000,00. Sang Ibu bingung, berapa uang
saku perorangan yang harus ia berikan untuk kedua
anaknya tiap minggu tetapi uang perbulannya harus masih
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
24
tersisa Rp 1.000.000,00 untuk ditabung. Jika Ibu itu pintar
Aljabar maka Ibu itu dapat menentukan uang saku tersebut
secara tepat, tapi jika tidak? Hemm… silakan dibayangkan
sendiri sesuai imajinasi masing-masing ya…
Cara
mengerjakan
permasalahan
di
atas
denganmenggunakan Aljabar:
Kita anggap uang saku setiap anak perminggu
sebagai x
 (2.000.000 + 4.000.000) − 1.000.000 =
1.000.000 + 500.000 + 3.000.000 + (4 × 2𝑥)
 6.000.000 − 1.000.000 = 4.500.000 + 8x
 5.000.000 − 4.500.000 = 8𝑥
 500.000 = 8𝑥
 𝑥=
500.000
8
 𝑥 = 62.500
{Mengapa (4 × 2𝑥) karena 1 bulan = 4 minggu dan 2x itu
adalah uang saku 2 orang anak}.
Jadi, uang saku setiap anak dalam waktu seminggu
adalah Rp 62.500,00. Dengan matematika dan sistem
Aljabar, cukup simple kan?
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
25
SOLA LATIHAN
A. Pilihan Ganda
1. Hasil dari (2𝑥 − 3)2 adalah…..
c. 4𝑥 2 + 12𝑥 − 9
a. 4𝑥 2 − 12𝑥 − 9
b. 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9
d. 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9
2. Bentuk sederhana dari 3𝑎 − 6𝑏 + 2𝑏 − 5𝑎 adalah …
a. 8𝑎 − 6𝑏
c. 2𝑎 + 4𝑏
b. −2𝑎 + 4𝑏
d. −2𝑎 − 4𝑏
3. (3𝑎 + 4𝑏 − 2𝑐) − (−3𝑎 + 4𝑏 − 𝑐) = …..
a. 6𝑎 + 𝑐
b. 6𝑎 − 𝑐
c. 8𝑏 − 3𝑐
d. 8𝑏 + 3𝑐
4. Bentuk sederhana dari dari (5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧) − (5𝑥 − 2𝑦 −
4𝑧) adalah …..
a. 10𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧
b. 10𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧
c. – 𝑦 − 6𝑧
d. 𝑦 + 6𝑧
5. Diketahui bentuk aljabar 𝑎2 + 𝑏𝑐 + 2𝑏𝑐 + 𝑏 2 − 10. Banyak
suku pada bentuk aljabar tersebut adalah …..
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
6. Hasil kali (2𝑥 − 5)2 adalah…
a. 4𝑥 2 − 10𝑥 + 25
c. 4𝑥 2 − 20𝑥 + 25
2
b. 4𝑥 − 20𝑥 − 25
d. 4𝑥 2 − 10𝑥 − 25
7. Jika 𝑎 = −3, 𝑏 = 4, 𝑐 = −5, maka nilai dari (2𝑎 + 4𝑏 −
3𝑐) − (𝑎 − 𝑏 + 𝑐) adalah…
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
26
a. 37
c. -15
b. 15
d. -37
8. Bentuk sederhana dari 4(2x - 5y) – 5(x + 3y) adalah…
a. 3x – 2y
c. 3x – 23y
b. 3x – 5y
d. 3x - 35t
9. Ditentukan 𝑝 = −3 dan 𝑞 = 2, maka nilai dari 𝑝2 − 3𝑝𝑞 +
2𝑞 2 adalah…
a. -1
c. 47
b. 35
d. 50
10. Jika 𝐴 = 4𝑥 2 + 3𝑥 dan 𝐵 = 5𝑥 − 𝑥 2 , maka A – 2B =….
a. 6𝑥 2 − 7𝑥
c. 3𝑥 2 − 7
2
b. 4𝑥 − 7𝑥
d. 2𝑥 2 − 7
B. Esai
1. Sederhanakan bentuk aljabar 5𝑥 3 + 12𝑥 − 2𝑥 3 + 3 !
2. Berapakah banyaknya suku dari bentuk aljabar 3𝑥 2 𝑦 2 −
6𝑥𝑦 + 9𝑥 ?
3. Apabila 𝑎 = 3, 𝑏 = −2 dan 𝑐 = 5, maka tentukan nilai
dari bentuk aljabar 2 + 3bc !
4. Sederhanakan bentuk aljabar
36𝑥𝑦 2 +18𝑥 2 𝑦 3
9𝑥𝑦
!
5. Sederhanakan bentuk aljabar (2x – 3) (4x + 1) !
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
27
DAFTAR PUSTAKA
Adinawan, M. Cholik., dan Sugijono. 2007. MATEMATIKA
untuk SMP Kelas VIII Semester 1. Jakarta: Erlangga.
Banendro. 2010. Buku Ajar Matematika Semester Ganjil Kelas
VII. Solo: Putra Kertonatan.
Nuharini Dewi, Wahyuni Tri. 2008. Matematika Konsep dan
Aplikasinya Untuk SMP/MTS Kelas VII. Jakarta : CV.
Usaha Makmur.
http://istiyanto.com/soal-dan-pembahasan-aljabaruntuk-smp-kelas-7/
http://masjoker.wordpress.com/2009/10/28/operasialjabar-materi-smp-kelas-viii-semester-1/
http://proofits.blogspot.com/2012/08/berbicara-tentangmatematika-tak-akan.html
http://repository.upi.edu/operator/upload/s_d015_0231
49_chapter2.pdf
http://www.scribd.com/doc/10320502/MATEMATIKAKELAS-7
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
28
QUIS MAKER
Pedoman Penggunaan Quiz Maker :
a. Masukan CD yang sudah berisikan data Quis
Maker ke dalam DVD/CD RW ROM.
b. Tunggu sampi muncul folder DVD/CD RW Drive
(F:).
c. Pilih Flash Player yang bernama ”Operasi Hitung
Bentuk Aljabar”.
d. Jika diminta untuk masukan kata sandi, masukan
kata sandi “aljabar”.
e. Setelah memasukan kata sandi, pilih continue.
f. Setelah itu kerjakan setiap soal yang ada.
g. Di tampilan akhir terdapat hasil pengerjaan, jika
ingin melihat jawaban yang benar atau salah.
Pilih review.
h. Pilih review feedback pada setiap soal yang
sudah
dikerjakan, maka akan ditampilkan
jwaban kita yang benar atau yang salah.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
29
BIODATA PENULIS
Aditya Baharudinsyah, lahir di
Cirebon pada tanggal 12 Agustus 1993.
Alamat
di
Cirebon.
E-mail
:
[email protected].
Sri Anggi Wahyuni, lahir di
Majalengka pada tanggal 15 Maret
1993. Alamat di Majalengka. E-mail :
[email protected].
Rosyanti, lahir di Pandeglang
pada tanggal 12 November 1992.
Alamat
di
Banten.
E-mail
:
lahir
di
[email protected].
Eka
Syaeful
Bahri,
Kuningan pada tanggal 31 Agustus
1993. Alamat di Cirebon. E-mail :
[email protected].
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
30
DESKRIPSI KERJA KELOMPOK
Desain Grafis
: Sri Anggi Wahyuni
Tuan Rumah
: Sri Anggi Wahyuni
Desain Cover
: Eka Syaeful Bahri
Ide dan Kretif
: Aditya Baharudinsyah
Penasehat
: Aditya Baharudinsyah
Editor
: Eka Syaeful Bahri
Penulis
: Aditya B., Eka Syaeful Bahri,
Rosyanti dan Sri Anggi Wahyuni.
Bank Soal-soal
: Rosyanti
Bank Kelompok
: Rosyanti
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
31
PERAN KOMPUTER DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Dalam dunia pendidikan saat ini, komputer menjadi peran yang
sangat dibutuhkan untuk meningkatkan kualitas pembelajaran sehari-hari.
Banyak hal abstrak atau imajinatif yang sulit untuk dibayangkan oleh
siswa, kini dapat ditampilkan melalui simulasi komputer. Hal ini tentu saja
akan lebih menyederhanakan pemikiran siswa dalam memahami suatu
materi pembelajaran, seperti matematika.
Dalam pembelajaran matematika, komputer banyak digunakan
untuk materi yang memerlukan gambar, animasi, visualisasi dan warna,
misalnya
geometri.
Clements
(1989:267-268)
menyatakan
bahwa
pembelajaran geometri dengan komputer perlu dilakukan. Satu hal yang
paling penting adalah komputer dapat membuat konsep matematika
(khususnya geometri) yang abstrak dan sulit, menjadi lebih konkret dan
jelas. Selain itu masih banyak lagi materi matematika yang dapat diajarkan
dengan menggunakan komputer (Abdussakir & Sudarman, 2000:5).
National Council of Supervisor menyatakan bahwa komputer lebih
baik digunakan untuk mengembangkan 10 kemampuan dasar dalam
matematika, diantaranya yaitu :
a. Problem Solving.
b. Aplikasi Matematika dalam Kehidupan Sehari-hari
c. Peluang
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
32
d. Estimasi dan Aproksimasi
e. Kemampuan Berhitung
f. Geometri
g. Pengukuran
h. Membaca,
Menginterpretasi
dan
Mengkonstruksi
Tabel,
Diagram dan Grafik
i. Penggunaan Matematika untuk Prediksi
j. “Melek” komputer.
Saat ini, teknologi juga mengambil peran sebagai kemajuan bangsa.
Maka secara tidak langsung, kemajuan tingkat pendidikan suatu bangsa
juga diukur dari teknologi. Komputer merupakan suatu teknologi buatan
manusia. Komputer dalam dunia pendidikan digunakan sebagai media
pembelajaran. Biasanya berfungsi untuk menyampaikan materi yang
bersifat abstrak, seperti yang ada pada matematika. Dari hal tersebut,
diharapkan
siswa
lebih
mudah
untuk
menangkap
konsep-konsep
matematika yang sedang diajarkan oleh seorang pengajar. Walaupun
komputer dapat memudahkan seorang siswa untuk memahami materi
pembelajaran, tidak ada satu komputer pun yang dapat mengambil alih
peran seorang guru sebagai pendidik dan pengajar.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
33