bab ii persamaan diferensial orde-kedua

BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-KEDUA
Persamaan diferensial orde-kedua berbentuk
.

=
+
+
bila
( maka
(misalkan
dan
Kasus pertama
=
+
.
+
dan .
)
) ;
)
dan ) fungsi dari
+)
Dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas, kita dapatkan
)
)
" +
)
→
)
)
)
)
dan
Sehingga persamaan di atas dapat ditulis:
)
)
+
)
Merupakan persamaan awal dengan
)
Artinya jika
dan
) adalah penyelesaian persamaan
+

(maka begitu juga
)
+
Persamaan sebelumnya
( jika
kita dapatkan
persamaan orde pertama dari kelompok yang sama :
+
+
( dimana
atau
Dengan metode pemisahan variabel, kita dapatkan
+
. +
+
.
adalah konstanta)
Bila ;
. ;
Dengan cara yang sama,
. ;
akan menjadi penyelesaian dari
persamaan orde-kedua
+
(karena
+
(jika
.
;
. ;.
.;
.
;
;
16
Dengan mensubstitusi kita dapatkan
. .; . ;
. . ;. ;
+. . ;
Bila kedua sisi dibagi dengan . ; maka
;
; +
persamaan kuadratik yang menghasilkan dua nilai m.
kita sebut ; ;
dan ; ;
;
Sehingga
.
dan
. ;
adalah dua penyelesaian bagi
persamaan tersebut.
Maka:
jika
dan
) adalah dua penyelesaian
Maka
) juga merupakan penyelesaian
;
jika
.
dan
. ;
. ; a juga merupakan penyelesaian
Mak
. ;
+
Maka penyelesaian dari
A dan B = konstanta sembarang, ;
kuadratik ;
; +
dan ;
adalah
.
;
.
;
= akar-akar dari persamaan
Persamaan kuadratik ini disebut persamaan karakteristik ;
(;
Contoh: untuk persamaan
Persamaan karakteristik
;
;
Maka penyelesaian dari

;
;
;
dan ;
adalah
.
.
Akar-akar yang real dan berbeda untuk persamaan karteristik
Contoh:

Persamaan karakteristik
;
;
;
;
;
Penyelesaian
.
.
Akar-akar yang real dan sama untuk persamaan karakteristik
Contoh:
Persamaan karakteristik
;
;
;
;
;
Penyelesaian
.
.
Kedua suku di atas dapat dinyatakan sebagai:
.
Tapi setiap persamaan orde-kedua mempunyai dua buah konstanta. Jadi harus
ada suku lain yang membuat konstanta kedua.
17
Sehingga penyelesaian umumnya menjadi
.
.
;
Dengan kata lain
adalah penyelesaian persamaan diferensial
jika persamaan karakteristik mempunyai akar yang real dan sama.
Contoh:
PK = Persamaan karakteristik
;
;
;
;
;

Akar-akar kompleks untuk persamaan karakteristik
Bila PK adalah bilangan kompleks, maka
; ∴
;
∴
dan ;
∴
Maka penyelesaian adalah
∴
∴
∴
∴
.
.
Dari bentuk bilangan kompleks diketahui:
+
+
+
+
Maka penyelesaian
dapat ditulis sebagai
∴
+
∴
+
Bila
( dan
∴
+
∴
+
(maka
Contoh: selesaikan
PK
;
;
;
∴
(
Penyelesaian:
+
18
Bila persamaan berbentuk
Adalah kasus dari persamaan:
+
dengan
+
+
; dapat ditulis sehingga:
;
bila
;
;
Ini sama dengan ;
∴
∴
(
+
;
;
;
Dari fungsi hiperbolik
+
+
+
Penjumlahan persamaan diatas
+
Sehingga
; dapat ditulis sebagai:
+
+
+
+
+
+
Contoh:

;
(;
19
+
+
;

(;
+
+
Kasus sebelumnya:
+
Bila
; bagaimana?
+
Dalam persamaan
, substitusi
;
;
akan membuat sisi kiri diatas sama dengan nol. Karena itu harus ada satu suku
tambahan dalam penyelesaiannya yang membuat sisi sama dengan
bukan
nol. Maka:
;
;
;
fungsi tambahan
;
;
fungsi komplementer (FK)
(sebuah fungsi)
integral khusus (IK)
Contoh : selesaikan
* FK
sisi kiri sana dengan nol
;
;
;
;
FK
* IK (Integral Khusus)
Misal
;
fungsi derajat dua
Substitusi ke persamaan diatas
Penyelesaian Umum:
Menentukan nilai-nilai konstanta
Jika
asumsikan
20
+
+
+
+
Contoh:
Selesaikanlah
;
;
;
;
;
+
misalkan
+
+
+
+
+
+
(
+
+
Penyelesaian Umum:
Contoh:
Selesaikanlah
Solusi :
;
;
;
;
;
Bagi kedua sisi dengan
Maka
Penyelesaian Umum:
Bagaimana menentukan nilai A & B; nilai A & B dapat dicari bila ada informasi
tambahan.
21
Contoh:
Selesaikan persamaan berikut:
; jika
Solusi:
;
;
;
;
+
(
(
+
Penyelesaian Umum:
Karena
+
+
Penyelesaian Umum:
+
+
INGAT!!
Dari persamaan sebelumnya
+
Bila
Bila
disebut persamaan homogen orde-kedua
disebut persamaan non homogen orde-kedua
22