Pengantar Logika Matematika - Modul Kuliah Jurusan Matematika

FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Pengantar Dasar Matematika:
Pengantar Logika Matematika
Judul
JJ J
I II
1 dari 330
Drs. I Made Tirta, M.Sc, Ph.D
[email protected]
November 8, 2011
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
2 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
DAFTAR ISI
Judul
JJ J
I II
3 dari 330
1 PERNYATAAN
1.1 Pengertian Umum Logika . . . . . .
1.1.1 Notasi . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Definisi . . . . . . . . . . . .
1.2 Pernyataan Tunggal dan Negasinya .
1.2.1 Pengertian Pernyataan . . .
1.2.2 Pernyataan Tunggal . . . . .
1.2.3 Negasi Pernyataan Tunggal .
1.3 Pernyataan majemuk dan negasinya
1.3.1 Perakit Konjungsi (dan) . . .
1.3.2 Perakit Disjungsi (atau) . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
19
20
21
24
24
25
27
31
31
33
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Tautologi dan Kontradiksi . . . . . . . . . . .
Aljabar pernyataan . . . . . . . . . . . . . .
Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan . .
Perakit-perakit Lain . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Perakit Disjungsi eksklusif . . . . . .
1.7.2 Fungsi / Operator Stroke dan Dagger
Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
39
41
45
45
47
50
51
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
2 PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL
2.1 Implikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Implikasi dan variasinya . . . . . . . . . .
2.3 Biimplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis . . .
2.5 Negasi Pernyataan Bersyarat . . . . . . .
2.6 Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz . .
2.6.1 Hirarki perakit . . . . . . . . . . .
2.6.2 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . .
2.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . .
2.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . .
3 KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL DAN
3.1 Karakteristik . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bentuk Normal Disjungtif (DNF)
3.2.2 Bentuk Normal Konjugtif (CNF)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
61
66
68
70
74
77
77
78
81
82
APLIKASINYA
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
91
93
93
96
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
JJ J
I II
4 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Komplemen Bentuk Normal . . . . . . .
Translasi Bentuk Normal . . . . . . . .
Aplikasi Bentuk Normal . . . . . . . . .
Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan
Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar . . .
Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . .
Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
dan Listrik .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
98
100
103
106
109
119
120
4 KUANTOR
4.1 Tetapan dan Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
4.3 Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Kuantor Universal . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Kuantor Eksistensial . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Negasi Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Notasi lain untuk ∀ dan ∃ . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi . . . . . .
4.7 Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra . . . . . . . . . .
4.8 Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu peubah . .
4.9 Beberapa Bentuk Khusus . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
123
127
129
133
133
134
137
141
142
145
147
150
153
154
5 PENALARAN LOGIS
161
5.1 Argumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2 Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
5 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
Pembuktian Tidak Langsung . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Pembuktian dengan Negasi . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Pembuktian dengan Kontradiksi . . . . . . . . . .
5.3.3 Pembuktian dengan Kontra Positif . . . . . . . . .
Induksi Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Argumen berkuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Translasi kuantor universal dan eksistensial . . . .
5.5.2 Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial . . . .
5.5.3 Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial
Sesat Pikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistem Deduktif dalam Matematika . . . . . . . . . . . . .
Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
176
176
177
178
180
182
182
184
184
187
189
191
192
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
6 dari 330
6 HIMPUNAN
6.1 Definisi dan Jenis Himpunan . . . . . . . . .
6.2 Relasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Operasi Dasar Himpunan . . . . . . .
6.3.2 Sifat-sifat Operasi Himpunan . . . .
6.3.3 Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
6.4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian . .
6.5 Penggunaan Himpunan dalam Silogisme . . .
6.6 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . .
6.7 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
197
201
206
211
211
214
217
223
229
237
238
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7 HIMPUNAN BILANGAN
7.1 Himpunan Bilangan Asli . . . . .
7.2 Himpuan Bilangan Cacah . . . .
7.3 Himpuan Bilangan Bulat . . . .
7.4 Himpuan Bilangan Rasional . . .
7.5 Himpunan Bilangan Irasional dan
7.6 Perkembangan perhitungan π . .
7.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . .
7.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Riil .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
241
245
249
250
251
252
255
258
259
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
261
265
267
270
276
281
283
286
288
289
9 PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR
9.1 Konsep Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Logika bernilai tiga atau lebih . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Himpunan Samar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Himpunan dengan tiga atau lebih kategori keanggotaan
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
293
297
300
305
305
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Himpunan
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Bilangan
. . . . .
. . . . .
. . . . .
8 PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI
8.1 Perkalian Kartesius . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Sifat-sifat Relasi . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Penyajian Relasi dengan Matriks . . . . . . .
8.5 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Jenis-Jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi . . . . . . .
8.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . .
8.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
7 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.4
9.3.2 Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari himpunan . . . 306
Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Glossary
317
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
8 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
DAFTAR GAMBAR
Judul
JJ J
I II
9 dari 330
1.1
Diagram Pembagian kalimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1
Diagram Venn mengilustrasikan A ∩ B . . . . . . . . . . . . . 107
6.1
Diagram
giannya
Diagram
Diagram
Diagram
Diagram
Diagram
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Venn mengilustrasikan himpunan dan himpunanba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Venn mengilustrasikan relasi himpunan . . . . . . .
Venn mengilustrasikan Ac . . . . . . . . . . . . . .
Venn mengilustrasikan A ∩ B . . . . . . . . . . . .
Venn mengilustrasikan A ∪ B . . . . . . . . . . . .
Venn mengilustrasikan A/B dan A + B . . . . . .
Cari Halaman
Kembali
.
.
.
.
.
.
205
208
212
220
221
222
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
Diagram pohon mengilustrasikan subset himpunan . . . . . . 228
Diagram Venn untuk A ⊂ B atau A ∩ B c = ∅ . . . . . . . . . . . 230
Diagram Venn A|| atau A ∩ B = ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Diagram Venn untuk A ∩ B 6= ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Diagram Venn untuk A ∩ B c 6= ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Diagram Venn untuk A||B dan B||C1 ; B||C2 , namun A||C1 , A G C1 234
Diagram Venn untuk A||B, C ⊂ B, maka A||C . . . . . . . . . 235
Diagram Venn untuk A G B, B G C1 dan B G C2 . Namun,
A 6G C1 dan A G C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.15 Diagram Venn untuk A G B dan B ⊆ C, maka A G C . . . . . . 236
7.1
7.2
Diagram Venn mengilustrasikan < . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Diagram mengilustrasikan < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.1
8.2
8.3
8.4
Diagram kartesius mengilustrasikan A × B . . . . . . . . . .
Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke B . . . . . . .
Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A . . . . . . .
Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri
dengan Software R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contoh Grafik Relasi dari {a, b, c, d, e} ke {u, v, w, x, y, z} dengan Software R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagram panah mengilustrasikan fungsi . . . . . . . . . . . .
Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda walau
sebenarnya bentuk dan skalanya sama, tetapi lokasi berbeda
8.5
8.6
8.7
. 266
. 269
. 274
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
10 dari 330
Cari Halaman
Kembali
. 279
Layar Penuh
. 280
. 281
Tutup
. 287
Keluar
9.1
9.2
9.3
9.4
Grafik
Grafik
Grafik
Grafik
keanggotaan M1 . . .
keanggotaan M2 . . .
fungsi keanggotaan K
fungsi keanggotaan J
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
308
309
311
312
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
11 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
12 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
DAFTAR TABEL
Judul
JJ J
I II
13 dari 330
1.1
Tabel Kebenaran Stroke dan Dagger . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1
Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1
3.2
Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi 91
Aljabar Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Kembali
7.1
7.2
Perhitungan π secara analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Perhitungan π dengan mesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Layar Penuh
Cari Halaman
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
14 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
1
Daftar Isi
PERNYATAAN
Judul
JJ J
I II
15 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca memahami
pengertian umum logika, pengertian pernyataan tunggal maupun majemuk
dan negasinya serta mampu menilai kalimat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
16 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca dapat:
1. menyebutkan definisi logika;
2. menyebutkan pengertian pernyataan tunggal;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
3. menentukan negasi sebuah pernyataan tunggal;
Judul
4. membentuk kalimat majemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
5. menentukan negasi kalimat mejemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
JJ J
I II
6. menerapkan prinsip ganda pada kalimat majemuk;
17 dari 330
7. menentukan apakah suatu pernyataan merupakan kontradiksi atau tautologi;
Cari Halaman
8. membuktikan ekuivalensi bentuk logika;
9. menyebutkan definisi perakit disjungsi eksklusif, dagger dan stroke.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Pengertian Umum Logika
2. Pengertian Pernyataan
3. Pernyataan Tunggal dan Negasinya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
4. Pernyataan majemuk dan negasinya
Judul
5. Tautologi dan Kontradiksi
6. Aljabar pernyataan
JJ J
I II
7. Bentuk Ganda dan Prinsip Kegandaan
18 dari 330
8. Perakit-perakit Lain
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.1.
Pengertian Umum Logika
Definisi mengenai logika diberikan oleh para ahli dengan rumusan yang agak
berbeda satu sama lain, tetapi artinya tidak jauh berbeda misalnya menurut
Soekadijo [18] “Logika adalah suatu studi yang sistimatik tentang struktur proposisi dan syarat-syarat umum mengenai penalaran yang sahih dengan menggunakan metode yang mengesampingkan isi atau bahan proposisi
dan hanya membahas bentuk logisnya saja”. Sejalan dengan pendapat di
atas, menurut kamus matematika oleh Borowsky & Borwein [1], dijelaskan
bahwa logika adalah prinsip dan metode khas yang dipergunakan dalam argumentasi atau penalaran yang tidak memperhatikan isi atau konteks dari
bentuk penalaran. Logika yang mengesampingkan isi dari pernyataan dan
hanya melihat bentuknya saja (terutama pada saat mengadakan penalaran),
lebih dikenal dengan istilah logika formal, logika simbolik, logika modern
atau logika matematika. Ciri lain dari logika matematika adalah penalarannya berdasarkan penalaran deduktif, yang didasarkan atas sejumlah unsur tak terdefinisi (undifine term), unsur terdefinisi, asumsi dasar/ aksioma
serta aturan-aturan tertentu yang daripadanya dapat diturunkan teoremateorema. Keseluruhan ini membangun suatu sistem yang disebut sistem
matematika. Lebih lanjut, dalam menetapkan defininsi maupun aksioma
seorang matematisi sesungguhnya, tidak harus menghubungkannya dengan
keadaan nyata (real world/ concrete situation), namun demikian yang terpenting, aksioma atau definisi yang dirumuskan haruslah konsisten tidak
bertentangan satu dengan yang lain. Beberapa buku teks tentang logika
simbolik atau logika matematika diantaranya adalah Copi [2], Gemignani
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
19 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[6], Thomas [20], dan Polimeni & Straight [15].
1.1.1.
Notasi
FMIPA-UNEJ
Notasi adalah alat bantu untuk menyatakan sesuatu. Notasi menyingkat
kalimat verbal yang panjang dengan suatu simbol yang ringkas. Tanpa
menggunakan simbol kita akan mengulang-ulang beberapa kalimat seperti
: “Sembarang mahasiswa Universitas Jember” atau “Sembarang bilangan
real” dan lain-lain. Hal ini bukannya tidak mungkin dilakukan, tetapi tentu
saja akan tidak efisien. Sementara, dengan menggunakan simbol, istilah itu
bisa dipersingkat menjadi “Si-X” atau X.
Beberapa hal yang harus diperhatikan dalam penggunaan notasi yang
baik, antara lain, seperti diuraikan berikut.
1. Beberapa simbol tertentu, secara tetap sudah digunakan untuk menunjukkan hal-hal tertentu. Misalnya, notasi π biasa digunakan sebagai
lambang bilangan irasional 3,1415.... Demikian pula konsensus lainnya yang telah disepakati oleh para ahli harus tetap diikuti. Sebagai
contoh dalam hubungannya dengan tetapan dan peubah, seperti pada
y = ax2 + bx + c, disepakati bahwa hurup-hurup pertama abjad dipergunakan untuk melambangkan tetapan, sedangkan hurup-hurup akhir
dipergunakan sebagai lambang peubah.
2. Sekali simbol telah diperkenalkan sebagai wakil suatu objek, maka secara konsisten, simbol tersebut sebisanya digunakan untuk objek tersebut. Jika suatu objek dapat disimbolkan dengan lebih dari satu macam
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
20 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
simbol dan semua simbol itu akan digunakan tanpa suatu pengkhususan maka hal ini biasanya dijelaskan sejak awal. Sebaliknya jika suatu
notasi terpaksa digunakan untuk objek lain, selain yang telah didefinisikan, maka definisi baru harus diberikan. Hal ini mungkin terjadi
mengingat terbatasnya jumlah simbol yang bisa digunakan sebagai notasi sebaliknya sangat banyak objek yang harus dinotasikan.
1.1.2.
Definisi
Supaya arti istilah-istilah yang dipergunakan jelas, perlu ditetapkan definisi
yang benar. Sekali suatu istilah didefinisikan maka untuk selanjutnya istilah
tersebut dipergunakan dalam arti yang sama. Jika suatu istilah tidak jelas
definisinya maka tidak mustahil dia dipergunakan dalam arti yang berbedabeda, hal ini dapat mengantarkan kita kepada hal yang salah.
Menurut Borowsky & Borwein [1] definisi adalah pernyataan yang tepat
tentang suatu istilah (disebut definiendum) dengan menggunakan istilah lain
yang ekuivalen (disebut definien).
Untuk merumuskan suatu definisi ada beberapa aturan yang perlu diikuti
antara lain (Copi [2]):
1. Definisi sebaiknya menyatakan konotasi yang konvensional (yang disepakati) dari istilah yang didefinisikan. Yang dimaksud dengan konotasi
adalah sifat, karakteristik atau kualitas dari suatu benda.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
21 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
2. Definisi mestinya tidak berbelit-belit (tidak circular). Contoh definisi
Keluar
yang kurang baik adalah : Manusia adalah orang. Binatang adalah
hewan dan sebagainya.
3. Definisi haruslah tidak terlalu luas ataupun terlalu sempit. Contoh
definisi terlalu luas : Manusia adalah binatang berkaki dua. Definisi yang terlalu sempit misalnya : Mamalia adalah binatang berkaki
empat.
4. Definisi tidak boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar, harus
lebih jelas dari yang didefinisikan. Definisi tidak boleh dinyatakan
dalam bahasa metaphora(kiasan /figurative) juga tidak boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar (obscure). Salah satu tujuan perumusan definisi adalah menghilangkan ketidakjelasan dari istilah bukan
sebaliknya membuat menjadi lebih samar/tidak jelas.
5. Definisi seharusnya tidak dinyatakan dalam kalimat negatif jika masih
dapat dinyatakandengan kalimat positif. Definisi yang kurang baik misalnya, “bangku adalah mebel kayu tetapi bukan kursi dan bukan meja”.
Akan tetapi memang ada istilah yang harus didefinisikan dalam bentuk kalimat negatif seperti“botak adalah kepala yang tidak mempunyai
rambut”.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
22 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Unsur yang didefinisikan disebut juga definiendum dan sejumlah symbol yang
dipergunakan untuk menjelaskan definiendum tersebut dinamakan definien.
Definisi yang menyatakan hubungan atara definiendum dengan definien degan tanda sama dengan (=) disebut definisi eksplisit.
Tutup
Keluar
Contoh 1.1.
definisi
z
xn
|{z}
definiendum
}|
{
=x
×
x
×
x
×
·
·
·
×
x
{z
}
|
definien
Mendefinisikan suatu istilah berarti menjelaskan istilah tersebut dengan
menggunakan kata-kata (istilah) yang lain, maka ada tahapan kita harus
menerima suatu istilah tertentu tanpa suatu definisi (selanjutnya ini disebut
istilah tak terdefinisi, undefined term atau premitive symbol). Sebagaimana
dikatakan oleh Bertrand Russel berikut :
Since all terms that defined, are defined by means of other terms,
it is clear that human knowledge must always be content to accept
some terms as an intelligible definition, in order to have a startingpoint for its definition.
Selain definisi, dalam matematika atau logika ada beberapa istilah lain
yang sering dipergunakan diantaranya adalah:aksioma,teorema atau dalil,
asumsi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
23 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.2.
1.2.1.
Pernyataan Tunggal dan Negasinya
Pengertian Pernyataan
Pernyataan disebut juga : kalimat deklaratif, stetemen, proposisi, atau verbal assertion. Beberapa ahli ada yang membedakan istilah pernyataan dan
proposisi, ada pula yang menyamakan saja. Dalam buku ini istilah-istilah
tersebut dipergunakan dengan arti yang sama dan dipakai secara acak. Sebelum kita membicarakan lebih lanjut tentang kalimat deklaratif ini, ada
baiknya kita lihat pembagian kalimat yang umum dilakukan dalam matematika.
Definisi 1.2.1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau
salah tetapi tidak dua-duanya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
24 dari 330
Cari Halaman
Istilah benar dan salah dapat dijadikan sebagai suatu istilah tak terdefinisikan karena bisa kita anggap jelas pernyataan yang bernilai benar dan
pernyataan yang bernilai salah. Dengan demikian, tidak perlu lagi didefinisikan apa yang dimaksud pernyataan bernilai benar atau pernyataan bernilai
salah.
Contoh 1.2. Contoh pernyataan diantaranya:
Kembali
Layar Penuh
Tutup
1. Lima(5) adalah bilangan prima
Keluar
2. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia
3. Dua (2) adalah bilangan prima yang genap
FMIPA-UNEJ
4. Saat ini di ruang 1 Matematika MIPA sedang ada kuliah.
Benar tidaknya kalimat pertama sampai ketiga dapat segera ditentukan,
sedangkan pada kalimat terakhir untuk menentukan benar atau tidaknya
perlu diadakan observasi. Pernyataan yang langsung dapat dinyatakan benar
atau tidaknya disebut pernyataan absolut/mutlak. Sedangkan pernyataan
yang tidak segera diketahui kebenaran atau tidaknya dinamakan pernyataan
empirik. Untuk memudahkan pembahasan, kita lebih banyak membicarakan
pernyataan yang absolut.
Dari segi matematika atau logika, kalimat-kalimat seperti: “lima (5)
mencintai 3”; “ayah habis dibagi anak”; tidak dikatakan sebagai pernyataan
salah, tetapi disebut kalimat yang tidak bermakna (tidak benar, tidak salah).
Hal ini akan menjadi lebih jelas setelah kita membicarakan nilai kebenaran
suatu pernyataan.
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
25 dari 330
Cari Halaman
Kembali
1.2.2.
Pernyataan Tunggal
Layar Penuh
Secara tata bahasa, sebuah kalimat atau pernyataan harus memiliki pokok
kalimat atau pokok persoalan dan kata kerja yang menggambarkan apa yang
dilakukan atau terjadi pada pokok persoalan tadi. Pernyataan yang hanya
memuat satu pokok persoalan disebut pernyataan tunggal.
Tutup
Keluar
Definisi 1.2.2. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya memuat
satu pokok persoalan atau satu ide.
FMIPA-UNEJ
Notasi 1.2.1. Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan hurufhuruf kecil seperti p, q, dan r.
Contoh 1.3. Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat tunggal
p : Lima (5) adalah bilangan prima
q : Sembilan (9) adalah bilangan sempurna
r : Sepuluh (10) adalah bilangan berlebih/abundan abundan
Kebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan dinamakan nilai kebenaran atau nilai logik (truth value) dari pernyataan tersebut dan diotasikan
dengan τ (p). Sebagai simbol dari benar biasa di pakai B (benar), R (right),
T (true) atau 1 sedangkan simbol salah digunakan S (salah), W (wrong),
F (false) atau 0. Penggunaan notasi nilai kebenaran ini harus berpasangan
(B-S, R-W,T-F, l-0). Jadi, pada contoh di atas
(i) nilai kebenaran p adalah benar,τ (p) = 1;
(ii) nilai kebenaran q adalah salah, τ (q) = 0 dan
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
26 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
(iii) nilai kebenaran r adalah salah, τ (r) = 0.
Nilai kebenaran pernyataan dapat pula disusun dalam suatu tabel yang disebut tabel kebenaran (truth table).
Tutup
Keluar
p
1
0
¬p
0
1
FMIPA-UNEJ
1.2.3.
Negasi Pernyataan Tunggal
Daftar Isi
Definisi 1.2.3. Negasi dari pernyataan p adalah suatu pernyataan yang
bernilai salah jika p benar dan bernilai benar jika p salah.
τ (¬p) = 1 jika τ (p) = 0 dan τ (¬p) = 0 jika τ (p) = 1.
(1.1)
Judul
JJ J
I II
27 dari 330
Notasi 1.2.2. Negasi dari p dinotasikan dengan p0 atau ∼ p atau ¬p. (dibaca
“negasi p” ,“tidak p ” , “ bukan p” atau “ingkaran p”).
Jika pernyataan p dan negasinya di buat tabel kebenarannya maka kita
peroleh tabel kebenaran dari ¬p seperti tabel di sebelah kiri.
Contoh 1.4. Buatlah negasi dari kalimat/ pernyataan-pernyataan berikut :
p : Lima (5) adalah bilangan prima;
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
q : sepuluh (10) adalah bilangan abundan.
Keluar
Jawab :
Untuk mencari negasi yang tepat dari pernyataan-pernyataan tersebut
pertama kita buat pernyataan berikut :
¬p : tidak benar 5 adalah bilangan prima;
: lima (5) adalah bukan bilangan prima;
¬q : tidak benar 10 adalah bilangan abundan/ berlebih;
: sepuluh (10) adalah bukan bilangan abundan/berlebih.
Babarapa hal yang harus diperhatikan terkait definisi dan negasi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
1. Kata sifat tidak bisa dijadikan sebagai unsur tak terdefinisi (undefined
term). Jika kata-kata seperti ini dibuat untuk membuat pernyataan,
maka harus didefinisikan terlebih dahulu. Misalnya pada kalimat “Ani
anak yang pandai”, selain butuh observasi juga harus didefinisikan terlebih dahulu tentang kriteria “pandai”, sehingga tidak menimbulkan
penafsiran berbeda1 .
JJ J
I II
28 dari 330
Cari Halaman
2. Jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah.
Jika pernyataan dan negasinya tidak bisa dinilai benar atau salah maka
kalimat tersebut dikatakan kalimat tak bermakna (lihat pembangian
kalimat pada Gambar 1.1). Misalnya, kalimat-kalimat berikut
p
¬p
1
:
:
kakak habis dibagi adik, dan
kakak tidak habis dibagi adik,
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Logika yang berkaitan dengan kata sifat dibahas pada bagian logika samar (fuzzy
logics)
Keluar
keduanya tidak bisa dinilai benar atau salah sehingga keduanya bukan
merupakan pernyataan.
3. Dilihat dari jumlah faktor-faktor sejatinya (termasuk 1) bilangan dibedakan
menjadi bilangan abundan, bilangan sempurna, dan bilangan defisien
berkurang
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
29 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
30 dari 330
Cari Halaman
Gambar 1.1: Diagram pembagian kalimat dilihat dari nilai logikanya
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.3.
Pernyataan majemuk dan negasinya
Beberapa kalimat tunggal, p, q, dapat digabung dengan menggunakan kata
penghubung sehingga membentuk pernyataan baru seperti: p dan q, p atau
q, p yang q dan sebagainya. Pernyataan baru ini disebut pernyataan majemuk. Kata-kata penghubung kedua pernyataan biasa disebut konektor atau
perakit. Berikut dibahas beberapa perakit dasar beserta tabel kebenarannya.
1.3.1.
Perakit Konjungsi (dan)
Salah satu cara menggabungkan pernyataan adalah dengan menggunakan
kata hubung dan. Dalam logika penghubung ini disebut konjungsi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
31 dari 330
Definisi 1.3.1. Konjungsi dari p dan q (ditulis :p ∧ q, dibaca “p dan
q”) adalah pernyataan majemuk yang bernilai benar hanya apabila masingmasing p, maupun q bernilai benar. Sedangkan untuk keadaan lain maka dia
bernilai salah.
Cari Halaman
Kembali
Notasi 1.3.1. Beberapa simbol yang sering digunakan untuk perakit dan ini
adalah : p ∧ q, p × q, p & q atau pq.
Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untuk p ∧ q seperti
pada tabel di sebelah. Dalam membuat tabel kebenaran, banyaknya pasangan yang bisa dibuat dari n pernyataan/ kalimat penyusun adalah 2n , ini
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
disebabkan karena untuk setiap pernyataan hanya ada 2 nilai yang mungkin
(0 atau 1). Perakit konjungsi disebut juga perakit penyertaan, karena harus
menyertakan semua komponen-komponennya dan bernilai benar hanya jika
semua komponennya benar. Dalam kehidupan sehari -hari banyak kata
hubung lain yang mempunyai arti yang sama dengan “dan” yaitu : yang,
tetapi, meskipun, maupun.
Contoh 1.5. Diketahui:
p : dua (2) adalah bilangan genap
q : dua (2) adalah bilangan prima.
Konjungsi p ∧ q dapat dinyatakan sebagai:
p ∧ q : dua (2) adalah bilangan genap dan prima;
p ∧ q : dua (2) adalah bilangan genap yang prima.
Judul
JJ J
I II
32 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Contoh 1.6. Diketahui :
r : Ani adalah anak yang rendah hati;
s : Ani adalah anak yang pandai.
Maka konjungsi r dan s adalah
Tutup
Keluar
r ∧ s : Ani adalah anak yang rendah hati meskipun pandai.
Dalam matematika ada beberapa konsep yang harus dihubungkan dengan
konjungsi.
FMIPA-UNEJ
Contoh 1.7.
Daftar Isi
Jika xy < 0
maka
x>0
x<0
Jika xy ≥ 0 maka x ≥ 0
x≤0
dan
dan
dan
dan
y
y
y
y
< 0, atau
> 0.
≥ 0, atau
≤ 0.
Judul
JJ J
1.3.2.
I II
Perakit Disjungsi (atau)
Selain dengan kata hubung dan pernyataan-pernyataan dapat juga digabung
dengan menggunakan kata hubung atau. Kata hubung ini dalam logika disebut perakit disjungsi.
Definisi 1.3.2. Disjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan
yang dibaca “p atau q”. Pernyataan ini bernilai salah hanya apabila masingmasing p dan q salah. Sedangkan untuk keadaan lain ia bernilai benar.
Notasi 1.3.2. Notasi : notasi yang umum digunakan untuk perakit disjungsi
adalah : p ∨ q; p + q.
33 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∨q
1
1
1
0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
τ (p ∨ q) = 1 jika τ (p) = 1 atau τ (q) = 1 atau τ (p) = τ (q) = 1
(1.2)
Sesuai dengan definisinya, maka tabel kebenaran disjungsi ini adalah seperti
pada tabel di sebelah.
Disjungsi disebut juga alternatif, karena cukup salah satu saja komponennya benar maka disjungsinya benar. Disjungsi yang didefinisikan seperti
di atas disebut disjungsi inklusif (lemah/ weak). Disjungsi ini yang banyak
dibicarakan dalam matematika dan jika dikatakan p atau q maka yang dimaksud adalah disjungsi inklusif ini.
JJ J
I II
34 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Contoh 1.8. Diketahui:
(i) . Jakarta ada dipulau Jawa atau 2 + 3 = 5;
(ii) . sin 90o = 1 atau 2 × 3 = 9;
√
(iii) . akar sembilan ( 9) adalah irasional atau 3 + 7 = 9;
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(iv) . tujuh (7) adalah bilangan komposit atau 8 adalah bilangan prima.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan di atas.
Jawab:
Dengan mudah dapat dipahami bahwa nilai kebenaran kalimat-kalimat
di atas adalah :(i) . B , (ii) . B (iii) . B dan (iv). S
Contoh 1.9. Diketahui :
p : 2 adalah bilangan genap
q : cos 60o = 1, 5
r : matahari terbit dari barat
s : jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180o
Tentukan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
35 dari 330
p ∨ r dan q ∨ s.
Jawab :
Cari Halaman
(i) p ∨ r : 2 adalah bilangan genap atau matahari terbit dari barat;
(ii) q ∨ s : cos 60o = 1, 5 atau jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180o .
Dalam matematika ada kalimat yang harus dihubungkan dengan disjungsi
seperti pada contoh berikut.
Contoh 1.10.
1. Jika xy = 0, maka x = 0 atau y = 0.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
2. x2 = 4, maka x = 2 atau x = −2.
Keluar
Setelah kita mengetahui tiga perakit dasar dalam logika (¬, ∧, ∨), kita tinjau kembali definisi pernyataan dalam matematika yaitu bahwa pernyataan
itu harus bernilai benar atau salah tetapi tidak mungkin sekaligus benar
dan salah, prinsip ini merupakan prinsip dasar logika yang dapat dinyatakan
dalam suatu persamaan berikut ini.
τ (p) = 0 ∨ 1 ∧ ¬(0 ∧ 1)
(1.3)
Prinsip di atas dapat dinyatakan secara lebih luas dan dikenal dengan prinsip
excluded middle yang dinyatakan seperti berikut ini.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
Definisi 1.3.3 (Prinsip Excluded Middle). Salah satu dari pernyataan p
atau q benar tetapi tidak dua-duanya.
h
i
p∨q ∧ ¬ p∧q
(1.4)
I II
36 dari 330
Cari Halaman
Contoh yang paling jelas adalah ketika q = ¬p, yaitu
h
i
p ∨ (¬p) ∧ ¬ p ∧ (¬q)
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.4.
Tautologi dan Kontradiksi
Sebagaimana telah disampaikan sebelumnya, bahwa beberapa pernyataan
dapat digabung untuk membentuk pernyataan majemuk.
Notasi 1.4.1. Pernyataan-pernyataan tunggal p1 , p2 , · · · , pn dapat membentuk suatu pernyatan majemuk yang dihubungkan oleh berbagai perakit dan
dinotasikan dengan P (p1 , p2 , · · · , pn ).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Dilihat dari nilai kebenarannya, ada dua jenis kalimat majemuk yang
istimewa, yaitu kalimat majemuk yang selalu bernilai benar dan kalimat
majemuk yang selalu bernilai salah, terlepas dari nilai kebenaran masingmasing komponennya.
JJ J
I II
37 dari 330
Definisi 1.4.1. Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar (dalam segala hal) tanpa memandang nilai kebenaran komponenkomponennya.
Cari Halaman
Kembali
P (p1 , p2 , · · · , pn ) = T, jika τ P (p1 , p2 , · · · , pn ) = 1
(1.5)
Layar Penuh
untuk semua kemungkinan τ (pi ).
Tutup
Keluar
Definisi 1.4.2. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah (dalam segala hal) tanpa bergantung nilai kebenaran dari komponennya.
P (p1 , p2 , · · · , pn ) = F, jika τ P (p1 , p2 , · · · , pn ) = 0
(1.6)
FMIPA-UNEJ
untuk semua kemungkinan τ (pi ).
Daftar Isi
Kita menggunakan notasi T dan F untuk menunjukkan bahwa nilai pernyataan majemuk tersebut selalu benar atau selalu salah untuk semua kombinasi nilai p1 , p2 , · · · , pn .
Judul
JJ J
Contoh 1.11.
(i) . p ∨ (¬p) adalah suatu tautologi.
I II
38 dari 330
(ii) . p ∧ (¬p) adalah suatu kontradiksi.
Cari Halaman
Tabel kebenaran untuk tautologi dan kontradiksi di atas dapat ditunjukkan dalam dua tabel berikut.
Tabel kebenaran p ∨ (¬p) dan p ∧ q
p ¬p p ∨ (¬p) p ∧ q
1 0
1
0
0 1
1
0
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.5.
Aljabar pernyataan
Susunan pernyataan majemuk dapat juga dianggap sebagai hasil operasi dari
beberapa pernyataan dengan perakit-perakit pernyataan sebagai operasi hitung. Sedangkan sebagai pengganti kesamaan dalam logika kita mengenal
ekuivalensi, (≡). Operasi beserta pernyataannya ini dikenal dengan istilah
aljabar pernyataan atau kalkulus pernyataan.
Definisi 1.5.1. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika pernyataanpernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk setiap keadaan
komponennya
Jika τ P (pl , p2 , ..., pn ) = τ Q(ql , q2 , ..., qn ) maka
P (pl , p2 , ..., pn ) ≡ Q(ql , q2 , ..., qn )
(1.7)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
39 dari 330
Cari Halaman
Definisi yang lain tentang ekuivalensi juga disampaikan pada Definisi 2.4.2
persamaan (2.4) halaman 70 setelah membicarakan ekuivalensi logis.
Jadi dalam aljabar pernyataan kita memiliki:
1. objek: pernyataan-pernyataan, p1 , p2 , · · · , pn ;
2. operator: ¬, ∧, ∨;
Kembali
Layar Penuh
Tutup
3. kesamaan: ≡.
Keluar
Pada bagian ke dua buku ini, akan ditunjukkan bahwa ≡ merupakan
relasi ekuivalensi.
Teorema 1.5.1. Relasi ≡ ini adalah relasi ekuivalensi yaitu :
FMIPA-UNEJ
(i) . p ≡ p (refleksif )
(ii) . Jika p ≡ q maka q ≡ p (simetris)
(iii) . Jika p ≡ q dan q ≡ r maka p ≡ r (transitif )
Contoh 1.12. Buatlah tabel kebenaran dari ¬(p ∨ q) serta (¬p) ∧ (¬q). Tunjukkan/ selidiki bahwa ¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q).
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
Jawab :
40 dari 330
p
1
1
0
0
Tabel kebenaran ¬(p ∨ q) dan (¬p) ∧ (¬q)
q (p ∨ q) ¬(p ∨ q) ¬p ¬q (¬p) ∧ (¬q)
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
Karena nilai kebenaran ¬(p ∨ q) dan (¬p) ∧ (¬q) sama untuk setiap pasangan
nilai komponennya, maka ¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q)
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.6.
Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan
Salah satu sifat yang sangat menarik dalam aljabar logika adalah sifat rangkap
atau dual dari suatu pernyataan majemuk.
Definisi 1.6.1. Bentuk rangkap (dual) dari kalimat majemuk P (p1 , p2 , · · · , pn )
adalah bentuk yang diperoleh dengan menggantikan tanda ∨ dengan ∧ dan
sebaliknya, demikian juga F dengan T dan sebaliknya secara serempak.
Contoh 1.13.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
(i) bentuk rangkap dari p ∧ (q ∨ r) adalah p ∨ (q ∧ r);
41 dari 330
(ii) bentuk rangkap dari p ∨ (¬p) ≡ T adalah p ∧ (¬p) ≡ F
Cari Halaman
Teorema 1.6.1 (Prinsip kerangkapan/dualitas). Jika suatu pernyataan
(teorema) sudah terbukti kebeharannya maka bentuk rangkapnya juga valid.
Kembali
Layar Penuh
Contoh 1.14.
(i) Bentuk p ∨ (¬p) ≡ T adalah valid (merupakan tautologi), maka bentuk
p ∧ (¬p) ≡ F juga valid (merupakan kontradiksi);
Tutup
Keluar
(ii) Bentuk p ∧ p ≡ p adalah valid, maka bentuk p ∨ p ≡ p juga valid.
Berikut disampaikan beberapa sifat dasar aljabar kalimat yang dapat
dibuktikan dengan membuat tabel kebenaran dari bentuk aljabar yang bersangkutan.
Daftar Isi
Teorema 1.6.2 (Negasi ganda).
¬(¬p)) ≡ p
(1.8)
Teorema 1.6.3 (Hukum Komutatif/ pertukaran).
Judul
JJ J
(p ∧ q) ≡ (q ∧ p)
(1.9a)
(p ∨ q) ≡ (q ∨ p)
(1.9b)
I II
42 dari 330
Cari Halaman
Teorema 1.6.4 (Hukum Assosiatif/ pengelompokan).
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
FMIPA-UNEJ
(1.10a)
(1.10b)
Kembali
Layar Penuh
Teorema 1.6.5 (Hukum Identitas).
p ∧ F ≡ F dan p ∧ T ≡ p
p ∨ T ≡ T dan p ∨ F ≡ p
(1.11a)
(1.11b)
Tutup
Keluar
Teorema 1.6.6 (Hukum Komplemen/invers).
p ∧ (¬p) ≡ F dan (¬F ) ≡ T
p ∨ (¬p) ≡ T dan (¬T ) ≡ F
(1.12a)
(1.12b)
Teorema 1.6.7 (Hukum De Morgan).
¬(p ∧ q) ≡ ¬(p) ∨ (¬q)
¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q)
Daftar Isi
(1.13a)
(1.13b)
Teorema 1.6.8 (Hukum Distributif).
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(1.14a)
(1.14b)
I II
43 dari 330
Cari Halaman
(1.15a)
(1.15b)
Kembali
Layar Penuh
Teorema 1.6.10 (Hukum Absorpsi /Penyerapan).
p ∧ (p ∨ q) ≡ p dan p ∨ (p ∧ (¬q)) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p dan p ∧ (p ∨ (¬q) ≡ p
Judul
JJ J
Teorema 1.6.9 (Hukum Idempoten).
p∧p≡p
p∨p≡p
FMIPA-UNEJ
(1.16a)
(1.16b)
Tutup
Keluar
Teorema 1.6.11 (Komplementasi Gabungan).
p ∧ ((¬p) ∨ q) ≡ p ∧ q
p ∨ ((¬p) ∧ q) ≡ p ∨ q
(1.17a)
(1.17b)
Hukum-hukum di atas dapat dibuktikan dengan membuat tabel kebenarannya. Selanjutnya hukum-hukum di atas dapat digunakan untuk membuktikan ekuivalensi yang lain. Jika diminta, maka pembuktian harus diturunkan dari kesepuluh hukum diatas (bukan dengan tabel kebenaran).
Bahkan dalam sistem deduksi yang akan kita pelajari pada bab berikutnya asumsi dasar (aksioma) yang kita pakai sebagai dasar lebih terbatas
lagi dan yang lainnya harus kita turunkan dengan menggunakan aksiomaaksioma atau definisi yang diketahui. Sebenarnya hukum absorpsi dapat
dibuktikan secara deduktif (bukan menggunakan tabel kebenaran) dengan
menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Dalam logika sangat penting sekali
menunjukkan alasan yang dipergunakan pada setiap langkah. Bukti hukum
absorpsi/ penyerapan adalah sebagai berikut ini (lihat Sulistyaningsih [19]).
p ∧ (p ∨ q) ≡ (p ∨ F ) ∧ (p ∨ q)
≡ p ∨ (F ∧ q)
≡p∨F
≡p
identittas
distributif
identitas
identitas
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
44 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.7.
Perakit-perakit Lain
Selain perakit-perakit yang telah disampaikan di depan, ada lagi perakit
lain yang memang tidak banyak dipakai atau dibicarakan yaitu: perakit disjungsi eksklusif, perakit Stroke dan perakit Dagger (lihat Copi [2]). Perakitperakit ini pada prinsipnya dapat didefinisikan sebagai fungsi dari perakit
dasar (¬, ∧, ∨).
1.7.1.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Perakit Disjungsi eksklusif
Selain disjungsi yang telah dibicarakan sebelumnya, yang dikenal dengan istilah disjungsi inklusif, dalam logika ada juga disjungsi yang lain yang disebut
disjungsi eksklusif, seperti didefinisikan berikut ini.
JJ J
I II
45 dari 330
Definisi 1.7.1. Disjungsi eksklusif dari p dengan q (dibaca “atau p
....atau q”) adalah pernyataan yang berarti p atau q tetapi tidak keduanya.
Cari Halaman
Kembali
Notasi 1.7.1. Disjungsi eksklusif p dengan q dinotasikan dengan p ∨ q
Layar Penuh
Secara simbolis dapat dituliskan :
p ∨ q = (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
= (p ∨ q) ∧ p ∧ q
(1.18a)
Tutup
(1.18b)
Keluar
Dari definisi di atas, dapat ditentukankan tabel kebenaran dari disjungsi
eksklusif ini, seperti pada tabel berikut.
Tabel Kebenaran Disjungsi Eksklusif
FMIPA-UNEJ
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
r=
(p ∨ q)
1
1
1
0
s=
(p ∧ q)
1
0
0
0
t=
¬(s)
0
1
1
1
r ∧ t = p∨q
Daftar Isi
0
1
1
0
Dengan demikian, jika seseorang mengajukan alternatif dengan maksud
hanya dipilih salah satu tidak boleh keduanya, maka sebaiknya dan seharusnya dinyatakan dengan disjungsi eksklusif ini. Misalnya, secara matematis,
gadis-gadis, kepada pacarnya, sebaiknya mengatakan : “Silahkan pilih atau
dia atau aku !”, jika dia ingin pacarnya hanya memilih salah satu dari mereka.
Sebab, jika mereka mengatakan : “Pilih dia atau aku !” maka sang lelaki tidak
salah kalau memilih keduanya. Namun, secara alami memang ada kejadian
yang sifatnya eksklusif (saling asing), misalnya seperti contoh berikut ini.
Judul
JJ J
I II
46 dari 330
Cari Halaman
Kembali
1. Pak Amir saat ini sedang memberi kuliah atau rapat.
2. Tiga (3) adalah bilangan ganjil atau genap.
3. Sembilan (9) adalah bilangan prima atau komposit.
Layar Penuh
Tutup
4. Adik sedang bersiul atau gosok gigi.
Keluar
1.7.2.
Fungsi / Operator Stroke dan Dagger
Operator Stroke (/)
Operator Stroke dinotasikan dengan “/ ”. Fungsi atau operator Stroke ini
disebut juga pengingkaran alternatif (The alternative denial). Dalam bentuk
notasi dasar yang telah kita pelajari operasi Stroke ini dapat dinyatakan
sebagai
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Definisi 1.7.2 (Operator Stroke).
p/q = (¬p) ∨ (¬(q)) (alternatif )
(1.19)
JJ J
I II
47 dari 330
Operator Dagger (↓)
Operator Dagger dinotasikan dengan “↓” atau “†”. p ↓ q dibaca “bukan p
dan bukan pula q”, neither p nor q. Operator Dagger disebut juga the joint
denial atau pengingkaran bersama atau konjungsi ingkaran. Dalam bentuk
notasi dasar yang telah kita pelajari operasi dagger ini dapat dinyatakan
sebagai
Definisi 1.7.3 (Operator Dagger).
p ↓ q = ¬p ∧ ¬q
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(bersama-sama)
(1.20)
Keluar
Tabel 1.1: Tabel
p
1
1
0
0
Kebenaran Operator Stroke dan Dagger
q ¬p ¬q p/q p ↓ q
1 0
0
0
0
0 0
1
1
0
1 1
0
1
0
0 1
1
1
1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Dari Definisi 1.7.2 dan Definisi 1.7.3, kita dapat turunkan sifat atau aksioma berikut.
Teorema 1.7.1.
JJ J
I II
48 dari 330
p/q = ¬(p ∧ q)
p ↓ q = ¬(p ∨ q)
(1.21)
(1.22)
Cari Halaman
Kembali
Dari definisi sebelumnya maupun dari teorema di atas, kita dapat menentukan nilai kebenaran dari operator Stroke dan Dagger seperti Tabel Kebenaran 1.1.
Catatan: Untuk menghindarkan penggunaan kurung yang terlalu banyak,
maka diadakan kesepakatan bahwa dalam aljabar pernyataan, urutan/hirarki
operasi ¬, ∧, ∨ adalah yang pertama ¬, lalu diikuti ∧ dan ∨.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 1.15.
¬p ∧ ¬q ∨ p ∧ q ≡ (¬p) ∧ (¬q) ∨ (p ∧ q)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
49 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.8.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sumber
yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain
diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6]. Definisi umum beberapa istilah dalam buku ini selain diambil dari kamus matematika oleh
Borowsky & Borwein [1]. juga diambil dari eksiklopedia matematika oleh
Negoro & Harahap [12].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
50 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.9.
Soal-soal Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut kemudian tentukan negasinya.
FMIPA-UNEJ
1. 7 + 3 =10.
Daftar Isi
2. 7 + 5 > 10 − 4.
Judul
3. Sembilan (9) adalah bilangan ganjil.
4. Bujur sangkar adalah persegi panjang.
5. Jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180.
JJ J
I II
51 dari 330
6. Seratus dua puluh satu (121) adalah bilangan prima.
Cari Halaman
7. Gajah adalah binatang berkaki dua.
8. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.
9. Tujuh (7) adalah bilangan komposit (bukan prima).
10. Matahari terbit dari sebelah timur.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
11. Diketahui :
Keluar
p
q
r
s
t
:
:
:
:
:
Jakarta adalah ibu kota negara RI
3 + 4 =10
persegi panjang adalah suatu bujur sangkar
7 adalah bilangan ganjil
8 adalah bilangan genap
Tentukan :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
(i) . p ∧ q
(ii) . q ∧ r
Judul
(iii) . r ∧ s
(iv) . s ∧ t
12. Buktikan bahwa :
JJ J
I II
52 dari 330
(a) ¬p ≡ p/p
(b) p ∧ q ≡ (p/q)/(p/q)
(c) ¬p ∨ q ≡ (p/p)/(q/q)
h
i
(d) p/q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) ↓ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
h
i
(e) p ↓ q ≡ (p/p)/(q/q)/(q/q)/(p/p)/(q/q)
13. Buatlah tabel kebenaran dari :
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(a) p ∨ ¬q
Keluar
(b) p ∧ ¬q
(c) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)
(d) ¬(¬p ∨ ¬q)
FMIPA-UNEJ
14. Buktikan dengan hukum-hukum aljabar proposisi
(a) ¬(p ∨ q) ∨ p ≡ T
Daftar Isi
(b) p ∧ ¬(p ∨ q) ≡ F
Judul
(c) (p ∧ q) ≡ ¬(¬p ∨ ¬q)
(d) (p ∧ q) ∨ ¬p ≡ ¬p ∨ q
(e) Hukum komplementasi gabungan dan hukum absorpsi yang belum
dibuktikan.
JJ J
I II
53 dari 330
15. Buktikan bahwa (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) = T
16. Buktikan bahwa :
(a) ¬p ≡ p ↓ p
Cari Halaman
Kembali
(b) p ∧ q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
(c) p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
Layar Penuh
(d) p ≡ (p ↓ p) ↓ (p ↓ p
(e) p ↓ (p ↓ p) ≡ F
Tutup
(f) p/(p/p) ≡ T
Keluar
17. Misalkan
p : Angin bertiup
q : Cuaca cerah
FMIPA-UNEJ
Tulis kalimat yang disimbolkan seperti berikut ini :
(a) ¬p
Daftar Isi
(b) ¬p ∧ ¬q
(c) p ∧ q
(d) ¬(p ∧ q)
(e) ¬(p ∨ q)
(f) ¬p ∨ q
Judul
JJ J
I II
54 dari 330
(g) p ∨ q
(h) ¬p ∨ ¬q
Cari Halaman
18. Diketahui
p : Ani anak yang cantik
q : Ani anak yang pandai
Kembali
Layar Penuh
r : Ani anak yang disiplin
Tulis notasi dari pernyataan-pernyataan berikut :
Tutup
(a) Ani adalah anak yang cantik dan pandai.
Keluar
(b) Meskipun tidak pandai, Ani disiplin
(c) Ani adalah anak yang pandai dan disiplin tetapi tidak cantik.
(d) Ani adalah anak yang cantik atau sekaligus pandai dan disiplin.
FMIPA-UNEJ
(e) Mustahil Ani sekaligus pandai dan cantik
(f) Ani tidaklah cantik dan tidak pula pandai.
19. Selidikilah pasangan-pasangan kalimat berikut, tentukan apakah kalimat yang kedua merupakan ingkaran dari kalimat pertama.
(a) Saya haus. Saya tidak haus.
(b) Siti berbaju merah. Siti berbaju putih.
(c) 7 adalah bilangan ganjil dan prima. 7 bukan bilangan ganjil dan
bukan bilangan prima.
(d) Ayah atau Ibu menjemput adik. Ayah menjemput adik tetapi ibu
tidak menjemput adik.
(e) Hari ini cuaca cerah. Hari ini hujan deras.
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
55 dari 330
Cari Halaman
Kembali
(f) 2 + 3 > 7 − 6. 2 + 3 < 7 − 6.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
56 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
2
Daftar Isi
PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL
Judul
JJ J
I II
57 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan memahami
bentuk-bentuk, penilaian serta negasi pernyataan bersyarat, hierarki perakitperakit termasuk perakit bersyarat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
58 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menyebutkan definisi implikasi dan variasinya
2. menyebutkan definisi biimplikasi
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
3. menentukan apakah suatu implikasi merupakan implikasi logis
Judul
4. menentukan apakah suatu biimplikasi merupakan biimplikasi logis
5. menentukan hubungan implikasi dengan perakit dasar (dan, atau, negasi)
6. menentukan negasi kalimat bersyarat
7. menerapkan hierarki perakit
JJ J
I II
59 dari 330
Cari Halaman
8. menerapkan notasi Lukasiewicz
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Implikasi dan variasinya
2. Biimplikasi
3. Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
4. Ekuivalensi dengan perakit dasar
Judul
5. Negasi pernyataan bersyarat
6. Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
Banyak pernyataan-pernyataan dalam matematika berbentuk “jika ... maka...”.
Kalimat atau pernyataan seperti ini disebut kalimat bersyarat atau kondisional. Pernyataan berbentuk “jika ... maka ... ” ini disebut implikasi.
Sedangkan pernyataan berbentuk “jika ... maka dan jika ... maka ...” disebut pernyataan berbentuk implikasi dua arah atau biimplikasi. Biimplikasi
ini lebih umum dinyatakan dengan “... jika dan hanya jika ...” .
JJ J
I II
60 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.1.
Implikasi
Secara matematis kalimat dalam bentuk “jika p maka q” dinotasikan dengan
“p → q” disebut implikasi. Selanjutya “p → q” dapat dibaca:
FMIPA-UNEJ
1. jika p maka q;
2. setiap kali p, (maka) q;
Daftar Isi
3. p hanya jika q;
Judul
4. p syarat cukup (sufficient) untuk q;
5. q syarat perlu (necessary) untuk p.
JJ J
I II
Selanjutnya, pada pernyataan p → q:
1. p disebut anteseden/ hipotesis,
2. q disebut konsekuen/ konklusi/ kesimpulan.
61 dari 330
Cari Halaman
Nilai kebenaran implikasi diberikan pada definisi berikut.
Kembali
Definisi 2.1.1. Implikasi adalah pernyataan yang bernilai salah hanya
apabila hipotesisnya benar tetapi diikuti oleh konklusi yang salah. Untuk
keadaan lain implikasinya benar.
(
0 jika τ (p) = 1 ∧ τ (q) = 0, dan
τ (p → q) =
(2.1)
1 untuk yang lain.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran implikasi
p q p→q
1 1
1
1 0
0
0 1
1
0 0
1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Dari definisi diatas dapat kita buat tabel kebenaran untuk implikasi ini
seperti tabel sebelah.
Sebagaimana telah disinggung dalam bab pendahuluan bahwa seorang
matematisi sebenarnya dapat secara bebas mendefinisikan istilah-istilahnya
secara abstrak (tanpa terikat situasi konkrit), yang penting dia konsisten dan
kosekuen dengan definisi yang dibuat. Sepintas penetapan nilai kebenaran
untuk keadaan ketiga (yaitu : anteseden salah, konklusi benar implikasi kedengarannya agak janggal dan tidak sesuai dengan kondisi riil, akan tetapi
jika kita pikirkan lebih dalam sebenarnya tidak terjadi pertentangan antara nilai kebenaran yang didefinisikan dengan tabel implikasi dengan logika
umum (common sense) dan penetapan nilai kebenaran ini masuk akal.
JJ J
I II
62 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Contoh 2.1. Seseorang berjanji kepada orang lain : “Jika hari tidak hujan,
(maka) saya akan datang.” Yang kita pertanyakan sekarang adalah : kapan orang
yang bicara tadi dikatakan ingkar janji (menyalahi yang diucapkan)? Jawaban
kita adalah jika hari tidak hujan (p benar) tetapi ia tidak datang (q salah).
Tutup
Keluar
Hanya dalam keadaan ini saja. Itu berarti untuk tindakannya yang lain ia tidak
dapat dipersalahkan, yaitu jika hari hujan dan ia tetap datang ia tidak dapat
dipersalahkan.
Kita menetapkan nilai kebenaran dari suatu implikasi selanjutnya adalah
berdasarkan definisi diatas tanpa memperhatikan hubungan antara p dan
q. (tidak harus sebab akibat atau janji). Karena penetapan nilai kebenaran
implikasi maka implikasi ini disebut implikasi material atau implikasi formal.
Contoh 2.2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataann berikut:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
(i) jika 2 + 3 = 5, maka 5 + 3 = 8
JJ J
I II
(ii) jika ika 2 adalah bilangan prima, maka matahari terbit dari barat.
(iii) jika saya lahir di Amerika Serikat, maka sayalah presiden negara tersebut.
63 dari 330
(iv) jika matahari terbit dari barat, maka manusia tidak akan pernah mati.
Cari Halaman
Nilai kebenaran implikasi-implikasi diatas adalah
S (iii)
B dan (iv) B.
(i) B, (ii)
Perhatikan bahwa dalam implikasi, jika antesedennya salah maka implikasinya selalu benar tanpa memperhatikan konklusinya. Ini berarti dari
anteseden yang salah kita dapat bebas menentukan konklusi.
Contoh 2.3. “Jika matahari terbit dari barat” (salah), kita dapat membuat
kesimpulan misalnya:
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. maka manusia bisa terbang;
2. maka manusia tidak pernah mati;
3. maka manusia tidak perlu makan;
dan implikasi yang dibentuk bernilai benar.
Untuk memahami pengertian syarat perlu dan syarat cukup ada baiknya
kita perhatikan definisi berikut :
Definisi 2.1.2. Pernyataan p dikatakan syarat cukup bagi q, apabila q
selalu muncul setiap kali p muncul. Pernyataan q dikatakan sebagai syarat
perlu untuk p apabila p muncul hanya jika q muncul, jika q tidak muncul
maka p juga tidak bisa muncul.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
64 dari 330
Cari Halaman
Contoh 2.4. Jika suatu bilangan prima maka bilangan itu bulat. Bilangan prima
adalah syarat cukup untuk bilangan bulat. Pernyataan bahwa bilangan itu prima
sudah cukup untuk menyatakan bilangan tersebut bulat. Artinya juga, jika kita
ingin bilangan bulat cukup kita mengambil bilangan prima, karena bilangan prima
pasti bulat. Sebaliknya, jika kita mengambil bilangan yang tidak bulat maka
tidak mungkin kita memperoleh bilangan prima. Akan tetapi untuk memperoleh
bilangan bulat tidak perlu (tidak harus) mengambil bilangan prima (4;1 juga
bulat). Supaya suatu bilangan itu prima tidak cukup hanya dikatakan bulat (4,
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8, bulat tetapi tidak prima). Jadi, kita juga peroleh kenyataan bahwa syarat
cukup belum tentu perlu dan syarat perlu belum tentu cukup.
Perhatikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut mempunyai arti yang
sama.
1. Jika matahari bersinar maka udara hangat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
2. Udara hangat, jika matahari bersinar
Judul
3. Setiap kali matahari bersinar, udara hangat
4. Matahari bersinar hanya jika udara hangat.
JJ J
I II
5. Matahari bersinar adalah syarat cukup untuk udara hangat.
65 dari 330
6. Udara hangat adalah syarat perlu untuk matahari bersinar.
7. Matahari bersinar secara implisit berarti udara hangat.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.2.
Implikasi dan variasinya
Dari implikasi p → q, kita dapat membentuk berbagai pernyataan-pernyataan
yaitu:
(i) ¬p → ¬q yang disebut invers
(ii)
q → p disebut konvers
(iii) ¬q → ¬p disebut kontra posisi/ kontra positif
dari implikasi tadi. Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untuk
invers, konvers dan kontra positif sebagai berikut:
Tabel kebenaran invers, konvers dan kontra positif.
p q ¬p ¬q p → q ¬p → ¬q q → p ¬q → ¬p
1 1 0
0
1
1
1
1
1 0 0
1
0
1
1
0
0 1 1
0
1
0
0
1
0 0 1
1
1
1
1
1
Dari tabel di atas terlihat bahwa :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
66 dari 330
Cari Halaman
1. p → q ≡ ¬q → ¬p dan
Kembali
2. ¬p → ¬q ≡ q → p.
Sebenarnya dari definisi syarat cukup dan syarat perlu, sudah jelas bahwa
“jika p maka q” artinya sama dengan “jika tidak ada q maka tidak ada
p” (artinya implikasi ekuivalen dengan kontra positif). Hubungan antara
implikasi, invers, konvers dan kontra positifnya ditunjukkan dengan gambar
berikut.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
p→q
¬p →¬ q
invers
FMIPA-UNEJ
konvers
Kontra
positif
konvers
Daftar Isi
Judul
JJ J
invers
q→p
¬q → ¬p
I II
67 dari 330
Cari Halaman
Diagram Venn mengilustrasikan variasi implikasi, invers, konvers dan
kontrapositip
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel kebenaran biimplikasi
p q p↔q
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
2.3.
Biimplikasi
Pada implikasi p dengan q, pernyataan p maupun q dua-duanya sekaligus
merupakan syarat cukup dan perlu dari yang lainnya.
Judul
JJ J
I II
68 dari 330
Definisi 2.3.1. Biimplikasi dari pernyataan p dan q (dinotasikan dengan
p ↔ q dan dibaca “p jika dan hanya jika (jhj) q” atau “p bila dan hanya bila
(bhb) q”) adalah pernyataan yang bernilai benar jika komponen-komponennya
bernilai sama, serta bernilai salah jika komponen-komponennya bernilai tidak
sama, yaitu
(
1 jika τ (p) = τ (q) dan
τ (p ↔ q) =
(2.2)
0 jika τ (p) 6= τ (q).
Tabel kebenaran biimplikasi adalah seperti tabel sebelah.
Contoh 2.5.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(i) 2 + 3 = 5 ↔ 3 × 5 = 15 (Benar)
Keluar
(ii) 2 adalah prima ↔ 4 adalah ganjil (Salah)
(iii) Matahari terbit dari barat ↔ 2 + 3 = 5 (Salah)
(iv) 2 × 5 = 6 ↔ 33 = 9 (Benar).
Contoh 2.6.
Biimplikasi banyak dipergunakan dalam mendefinisikan sesuatu, misalnya: “Persegi panjang disebut bujur sangkar jika dan hanya jika masingmasing sudutnya 90o dan keempat sisinya sama panjang”. Disini terkandug
pengertian bahwa jika suatu persegi panjang adalah bujur sangkar, maka
keempat sudutnya masing-masing 90o dan keempat sisinya sama panjang.
Sebaliknya jika suatu persegi panjang masing-masing sudutnya 90o dan keempat sisinya sama panjang, maka persegi panjang itu disebut bujur sangkar.
“Suatu bilangan asli (yang tidak sama dengan 1) dikatakan bilangan
prima jika dan hanya jika bilangan itu hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan
itu sendiri”. Definisi ini mengandung pengertian bahwa, jika bilangan asli
selain 1, hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, maka bilangan
itu disebut bilangan prima. Sebaliknya, jika suatu bilangan adalah prima,
maka bilangan itu (tidak sama dengan 1) dan hanya bisa dibagi oleh 1 dan
bilangan itu sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
69 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.4.
Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
Sejauh ini kita memahami bahwa nilai kebenaran suatu implikasi bergantung pada nilai kebenaran hipotesis dan konklusinya. Ada bentuk khusus
dari suatu implikasi yang nilainya selalu benar tanpa bergantung pada nilai
kebenaran dari hipotesis dan konklusinya. Implikasi semacam ini disebut
implikasi logis.
Definisi 2.4.1. Suatu implikasi dikatakan implikasi logis (dinotasikan
dengan p ⇒ q), jika implikasinya merupakan tautologi tanpa memandang
nilai kebenaran komponen-komponennya. Dengan kata lain
P (pl , p2 , ...) ⇒ Q(ql , q2 , ...) jika P (pl , p2 , ...) → Q(ql , q2 , ...) ≡ T.
(2.3)
Seperti halnya nilai kebenaran implikasi, nilai kebenaran biimplikasi juga
ditentukan oleh nilai kebenaran masing-masing komponennya. Jika suatu
biimplikasi selalu bernilai benar maka dia disebut ekuivalensi logis, yang
dinotasikan dengan ⇔.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
70 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Definisi 2.4.2. Suatu biimplikasi dikatakan ekuivalensi logis, jika biimplikasinya merupakan tautologi, yaitu :
Tutup
P (pl , p2 , ...) ⇔ Q(ql , q2 , ...) jika P (pl , p2 , ...) ↔ Q(ql , q2 , ...) ≡ T.
(2.4)
Keluar
Bandingkan definisi di atas dengan Definisi 1.5.1 persamaan (1.7) pada
halaman 39. Perhatikan bahwa kedua definisi tersebut meskipun perumusannya agak berbeda namun keduanya konsisten dan sesungguhnya ekuivalen
satu dengan lainnya.
Selanjutnya untuk membuktikan bahwa suatu implikasi atau biimplikasi
adalah logis atau tidak, perlu dibuktikan bahwa implikasi atau biimplikasinya
adalah suatu tautologi. Untuk memudahkan pembuktian ini diperlukan
ekuivalensi antara implikasi atau biimplikasi dengan perakit-perakit dasar.
Penurunan secara lebih sistimatis diberikan pada Bab 3.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
Teorema 2.4.1 (Ekuivakensi disjungsi dan implikasi (EDI)).
71 dari 330
p → q ≡ ¬p ∨ q
(2.5)
Teorema 2.4.2 (Ekuivalensi biimplikasi dengan disjungsi, konjungsi).
p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Contoh 2.7.
Buktikan bahwa :
(2.6)
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
1. p ⇒ (p ∨ q)
Keluar
2. (p ∧ q) ⇒ p
3. (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
FMIPA-UNEJ
4. (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
Daftar Isi
5. (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
Judul
6. (p → q) ∧ ¬q ⇒ (¬p)
JJ J
7. (p → q) ∧ (p → r) ⇒ p → (q ∧ r)
72 dari 330
Bukti:
Salah satu cara untuk membuktikan adanya implikasi logis adalah dengan
membuktikan bahwa implikasinya adalah suatu tautologi.
p → (p ∨ q) ≡ ¬p ∨ (p ∨ q)
≡ (¬p ∨ p) ∨ q
≡T ∨q
≡T
I II
persamaan (2.5)
hukum asosiatif
hukum komplemen
hukum identitas
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Maka p ⇒ (p ∨ q).
(p ∧ q) → q ≡ ¬(p ∧ q) ∨ q
≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ q
≡ ¬p ∨ (¬q ∨ q)
≡ ¬p ∨ T
≡T
persamaan (2.5)
hukum De Morgan
hukum Asosiatif
hukum komplemen
hukum identitas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
73 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.5.
Negasi Pernyataan Bersyarat
Negasi kalimat bersyarat dicari melalui negasi dari ekuivalensinya yang terdiri atas perakit-perakit dasar. Ingat bahwa negasi tidak sama baik dengan
invers maupun konvers.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 2.5.1 (Negasi Implikasi). Negasi implikasi adalah
Judul
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q.
(2.7)
JJ J
I II
Bukti:
¬(p → q) ≡ ¬(¬p ∨ q)
≡ ¬(¬p)) ∧ ¬q
≡ p ∧ ¬q
74 dari 330
persamaan (2.5)
De Morgan
negasi ganda
Cari Halaman
Kembali
Contoh 2.8. Negasi dari pernyataan: “Jika matahari bersinar maka udara
hangat.” adalah “Matahari bersinar tetapi udara tidak hangat.”
Ada beberapa variasi bentuk negasi biimplikasi seperti dinyatakan dalam
teorema berikut.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Teorema 2.5.2 (Negasi biimplikasi). Negasi bimplikasi adalah
¬(p ↔ q) ≡ ¬(p → q) ∨ ¬(p → q)
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
≡ ¬p ↔ q
≡ p ↔ ¬q
(2.8a)
(2.8b)
(2.8c)
(2.8d)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Bukti:
¬(p ↔ q) ≡ ¬ (p → q) ∧ (q → p)
≡ ¬(p → q) ∨ ¬(p → q)
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
≡ (p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∧ (p ∧ ¬q) ∨ q
≡ T ∧ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q) ∧ T
≡ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q)
≡ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q)
≡ (¬q ∨ ¬p) ∧ (¬¬p ∨ q)
≡ ¬p ↔ q
atau,
≡ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬¬q)
≡ p ↔ ¬q.
Judul
De Morgan
Teorema 2.7
distributif
JJ J
I II
75 dari 330
distributif
identitas
Cari Halaman
identitas
negasi dobel
Kembali
negasi dobel
Layar Penuh
Dengan demikian pernyataan “Saya datang jika dan hanya jika cuaca
cerah” mempunyai negasi : “Saya datang jika dan hanya jika cuaca tidak
Tutup
Keluar
cerah” atau “Saya tidak datang jika dan hanya jika cuaca cerah”. Untuk
meyakinkan ekuivalensi variasi bentuk-bentuk negasi biimplikasi, kita dapat
membuat tabel kebenarannya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
76 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.6.
2.6.1.
Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
Hirarki perakit
FMIPA-UNEJ
Untuk menghindari penggunaan tanda kurung yang terlalu banyak maka
dalam pembicaraan logika diadakan konsensus tentang hirarki pengerjaan
operasi logika (perakit). Urutan yang harus dikerjakan dalam operasi logika
jika tidak menggunakan tanda kurung adalah :
Daftar Isi
Judul
1. Negasi: ¬
JJ J
2. Konjungsi: ∧
3. Disjungsi: ∨
I II
77 dari 330
4. Implikasi: →
Cari Halaman
5. Biimplikasi: ↔
Kembali
6. Implikasi logis: ⇒
7. Ekuivalensi logis: ⇔ atau ≡
Contoh 2.9. Jika ditulis:
Layar Penuh
Tutup
r ∧ ¬p ∨ q → p ↔ q ∧ ¬r
Keluar
maka diartikan sebagai:
r ∧ (¬p) ∨ q → p
↔ q ∧ (¬r) .
FMIPA-UNEJ
Sedangkan
p∧q ⇒r ≡p∧q →r
Daftar Isi
diartikan sebagai
(p ∧ q) ⇒ r ≡ (p ∧ q) → r .
2.6.2.
Notasi Lukasiewicz
J. Lukasiewicz adalah seorang logisi Polandia yang memperkenalkan suatu
cara penulisan pernyataaan-pernyataan logika, yang juga menghindarkan
penggunaan kurung yang banyak. Notasinya juga sering disebut notasi Polandia (Polish Notation) atau notasi Lukasiewicz seperti pada Copi [2]. Notasi
perakit menurut Lukasiewicz diberikan pada Tabel 2.1
Contoh 2.10. Tentukan Notasi Lukasiewicz dari :
Judul
JJ J
I II
78 dari 330
Cari Halaman
Kembali
(i) ¬p ∨ (q → ¬r)
(ii) p → ¬(q ∨ ¬r) ≡ (¬q ∧ r) ∨ (¬s ∧ t)
Jawab :
Layar Penuh
Tutup
(i) (a) implikasi q dengan negasi r : CqN r
Keluar
Tabel 2.1: Notasi Lukasiewicz untuk perakit logika
Perakit
Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi
(Ekuivalensi)
Notasi Lukasiewicz
N
K
A (=Alternasi)
C
E
Notasi biasa
¬p
p∧q
p∨q
p→q
p↔q
Notasi Lukasiewicz
Np
Kpq
Apq
Cpq
Epq
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
(b) selanjutnya dialternasikan dengan negasi p : AN pCqN r
79 dari 330
(ii)
a. Alternasi q dengan negasi r : AqN r
b. Negasi a. : N AqN r
Cari Halaman
c. Implikasi dp dengan a. : CpN AqN r
d. Konjungsi, Negasi q dengan r : KN qr
Kembali
e. Konjungsi Negasi s dengan t : KN st
f. Alternasi d. dengan e. : AKN qrKN st
Layar Penuh
g. Equivalensi c. dengan f. : ECpN AqN rAKN qrKN st
Jadi notasi terakhir yang porelah : ECpN AqN rAKN qrKN st. Untuk memudahkan mengingat notasi Polandia ini kita ingat N (untuk uner) dan C, A, K, E
Tutup
Keluar
untuk binernya sehingga sering disebut sebagai huruf roti (CAKE Letters)
Contoh 2.11. Tulis Notasi berikut dalam bentuk standar ! CCN qqq dan
ApKrEsCtu
FMIPA-UNEJ
Jawab :
1. (a) N q = ¬q
(b) CN qq = ¬q → q
Daftar Isi
Judul
(c) CCN qqq = ¬q → q → q
2. (a) Ctu = t → u
JJ J
I II
(b) EsCtu = s ↔ (t → u)
(c) KrEsCtu = r ∧ s ↔ (t → u)
h
i
(d) ApKrEsCtu = p ∨ r ∧ s ↔ (t → u)
80 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.7.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber
yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain
diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Copi [2].‘
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
81 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2.8.
Soal-soal Latihan
1. Nyatakan penyataan-pernyataan berikut dalam bentuk jika . . . maka
. . .
FMIPA-UNEJ
(a) Saya akan pergi hanya jika kamu menyuruh.
(b) Setiap kali saya memikirkan pelajaran, saya ingin bermain.
Daftar Isi
(c) Kamu akan menemukan jika mencari.
Judul
(d) Tidak ada manusia yang bisa terbang.
(e) Setiap bilangan asli adalah bulat.
JJ J
I II
(f) Adalah perlu bagi kita makan, untuk hidup.
(g) Untuk membuat segitiga sama kaki adalah cukup dengan membuat segitiga sama sisi.
2. Buatlah pernyataan-pernyataan konversi, inversi dan kontra positif dari
pernyataan-pernyataan berikut :
82 dari 330
Cari Halaman
Kembali
(a) Jika n bilangan asli maka 2n adalah bilangan asli
(b) Jika turun hujan maka tanah basah.
Layar Penuh
(c) Jika 12 adalah bilangan prima, maka 9 adalah bilangan sempurna.
3. Jika syarat cukupnya sekaligus merupakan syarat perlu dan sebaliknya
maka dikatakan implikasi tersebut dapat diganti dengan biimplikasi
Tutup
Keluar
(dua-duanya benar) misalnya “Jika x < 0 maka 2x dapat dikatakan
sebagai: x < 0 jhj 2x < 0. Nyatakan apakah implikasi-implikasi berikut
dapat diubah dengan biimplikasi :
FMIPA-UNEJ
(a) Jika n genap maka 2n genap
(b) Jika x2 positif maka x adalah positif.
Daftar Isi
(c) Jika ketiga sisi segitiga sama, maka ketiga sudutnya sama besar.
(d) Jika x = 3 maka x2 = 9.
Judul
(e) Untuk sembarang himpunan A, B, jika A//B maka A ⊂ B = ∅.
(f) Jika x1 adalah jawab dari persamaan ax + b = 0 maka ax1 + b = 0.
4. Buatlah negasi dan invers dari pernyataan-pernyataan berikut :
JJ J
I II
83 dari 330
(a) Jika 6 adalah bilangan sempurna, maka 7 adalah bilangan ganjil.
(b) Jika n adalah bilangan genap maka 2n adalah genap.
Cari Halaman
(c) 2x + 3 = 4x − 5 jhj 2= 8.
(d) Saya akan datang jhj kamu menyuruh.
5. Diketahui :
Kembali
Layar Penuh
p : segitiga ABC sama kaki
q : segitiga ABC sama sisi
Tutup
r : 5 adalah bilangan prima
Keluar
s : sudut-sudut segitiga ABC masing-masing 600 .
Tulis kalimat yang disimbolkan oleh notasi berikut :
(a) ¬p → q
FMIPA-UNEJ
(b) q ↔ s
(c) ¬(p → r)
Daftar Isi
(d) p ∨ q ↔ r ∧ s
(e) ¬q → ¬r
(f) p ∧ q → q ∧ s
Judul
JJ J
I II
6. Selidikilah valid tidaknya pernyataan berikut:
(a) p ⇒ p ∨ q
84 dari 330
(b) (p → q) ∧ (p → r) ⇒ (p → (q ∧ r)
(c) (p → q) ≡ (q → p)
(d) (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)
Cari Halaman
Kembali
(e) (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)
(f) (p → q) → r ≡ p → (q → r)
Layar Penuh
(g) p ⇒ p
(h) (p → q) ∧ p ⇒ q
Tutup
(i) (p ∨ q) ∧ p ⇒ ¬q
Keluar
(j) ¬(p ∧ q) ∧ p] ⇒ ¬q
7. Ubah dari notasi Lukasiewicz ke notasi biasa.
(a) KcpN qN Apq
FMIPA-UNEJ
(b) ECpN N pN AN qN q
Daftar Isi
(c) CCCKpN qKN rsKAN pN rsq
(d) EN CpN KN prAN pKpN q
Judul
8. Ubah dari notasi standart ke notasi Lukasiewicz
(a) ¬p ∧ q → q ∧ ¬p
(b) ¬(p ∧ q) → ¬p ↔ ¬(p ∧ q) → ¬q
JJ J
I II
85 dari 330
(c) p → q”(p → q)
(d) ¬p → ¬q ∨ r
Cari Halaman
9. Diketahui :
p : udara segar
Kembali
q : cuaca cerah
Layar Penuh
r : matahari bersinar
Nyatakan kalimat-kalimat berikut dengan simbol-simbol yang tepat.
Tutup
(a) Mustahil, jika udara segar cuaca tidak cerah.
Keluar
(b) Jika cuaca tidak cerah udara tidak segar.
(c) Matahari bersinar hanya jika cuaca cerah.
(d) Cuaca cerah jhj matahari bersinar dan udara segar.
FMIPA-UNEJ
(e) Mustahil jika cuaca cerah, udara tidak segar.
10. Diketahui:
Daftar Isi
r : 2 adalah bilangan genap
t : 3 adalah bilangan ganjil
s : 6 adalah bilangan sempurna
Nyatakan kalimat-kalimat yang dinotasikan seperti berikut ini.
(a) ¬(r → s)
Judul
JJ J
I II
86 dari 330
(b) r → s
(c) r → ¬s
Cari Halaman
(d) s → r ∧ t
(e) s ∨ t → r
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
3
Daftar Isi
KARAKTERISTIK, BENTUK NORMAL DAN
APLIKASINYA
Judul
JJ J
I II
87 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan mampu
memahami konsep karakteristik dan bentuk normal serta mengaplikasikannya dalam aljabar logika, himpunan maupun aljabar jaringan listrik.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
88 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menentukan karakteristik suatu bentuk logika
2. mengubah bentuk logika ke bentuk Normal
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
3. mencari komplemen bentuk Normal
Judul
4. mengubah bentuk normal disjungtif ke bentuk normal konjungtif dan
sebaliknya
JJ J
5. mengaplikasikan bentuk Normal baik dalam aljabar logika, himpunan
maupun aljabar jaringan listrik
I II
89 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Karakteristik
2. Bentuk Normal
3. Komplemen Bentuk Normal
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
4. Translasi diantara bentuk normal
Judul
5. Aplikasi bentuk Normal
6. Aplikasi Logika dalam aljabar himpunan dan listrik
JJ J
I II
90 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 3.1: Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∧q
1
0
0
0
p∨q
1
1
1
0
p→q
1
0
1
1
p↔q
1
0
0
1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
3.1.
Karakteristik
Dalam keadaan tertentu kita membutuhkan cara penulisan yang lebih ringkas
untuk menunjukkan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk. Perhatikan
tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi maupun biimplikasi pada
Tabel 3.1
Dari Tabel 3.1, dikatakan bahwa:
JJ J
I II
91 dari 330
Cari Halaman
1. karakteristik dari p ∧ q adalah 1000;
2. karakteristik dari p ∨ q adalah 1110;
3. karakteristik dari p → q adalah 1011, dan
Kembali
Layar Penuh
4. karakteristik dari p ↔ q adalah 1001.
Untuk menentukan karakteristik suatu perakit, perlu diadakan kesepakatan atau konvensi bagaimana kita mengurut nilai logika dalam tabel kebe-
Tutup
Keluar
naran. Dalam diktat ini, kita sepakat bahwa nilai kebenaran pernyataan
disusun berdasarkan urutan yang sistematis yaitu dari benar (1) ke salah
(0).
FMIPA-UNEJ
Definisi 3.1.1. Karakteristik suatu pernyataan majemuk adalah nilai logika
dari pernyataan tersebut dalam tabel kebenaran dengan urutan kemungkinan
nilai yang disepakati.
Daftar Isi
Judul
Contoh 3.1. Dari definisi di atas, kita dapat mencari karakteristik dari bentuk
yang lain misalnya karakteristik dari p ∨ q adalah 0110 karakteristik dari p ↓ q
adalah 0001 dan seterusnya.
JJ J
I II
92 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.2.
Bentuk Normal
Sejauh ini yang telah kita lakukan adalah membuat tabel kebenaran dari
suatu pernyataan yang diberikan. Dengan kata lain, kita mencari karakteristik dari suatu pernyataan. Kita akan mencoba mengerjakan hal yang sebaliknya yaitu bagaimana mencari bentuk suatu pernyataan yang diketahui
karakteristiknya. Misalnya bagaimana bentuk persamaan yang mempunyai
karakteristik 1101 ?
Permasalahan yang dikemukakan diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan bentuk normal. Bentuk normal dibedakan menjadi dua yaitu normal
konjungtif dan normal disjungtif. Untuk memudahkan pembicaraan bentuk
normal ini kita memilih penggunaan simbol dan atau sebagai notasi disjungsi. Sedangkan negasi (¬) dinotasikan dengan 0 . Selanjutnya bentuk
yang dipisahkan oleh + disebut sebagai suku sedangkan bentuk yang dipisahkan oleh × atau . kita sebut sebagai faktor. Misalkan jika pernyataannya hanya 2, p dan q maka bentuk suku-sukunya adalah : pq, pq 0 , p0 q dan p0 q 0
jadi bentuk faktornya adalah (p + q), (p + q 0 ), (p0 + q) dan (p0 + q 0 ). Dengan
demikian pernyataan majemuk dapat dianggap sebagai kumpulan suku-suku
atau faktor-faktor.
3.2.1.
Bentuk Normal Disjungtif (DNF)
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuhnya
jumlah dari suku-suku yang setiap sukunya memuat secara lengkap unsurunsur penyusunnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
93 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.1. Bentuk normal disjungtif ( DNF = Disjunctive Normal Form
) ditandai dengan ciri-ciri berikut :
FMIPA-UNEJ
1. disusun dalam bentuk jumlah suku-suku.
2. tiap-tiap suku memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataan
yang dibicarakan dalam bentuk konjungsi.
Daftar Isi
Judul
Contoh 3.2. Berikut ini adalah contoh pernyataan dalam bentuk DNF
(i) pqr + p0 qr + pqr0 ;
(ii) p0 q + pq + pq 0 ;
JJ J
I II
94 dari 330
(iii) p;
(iv) p + q;
(v) pqr.
Tetapi, bentuk-bentuk seperti : p + qr dan p + pq bukan berbentuk normal sebab suku-sukunya tidak memuat semua pernyataan (pernyataan yang
dibicarakan tidak ada pada setiap sukunya), yaitu ada suku yang hanya mengandung p tanpa mengandung q. Selanjutnya perlu diingat bahwa pq sendiri
merupakan bentuk normal dengan hanya satu suku.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.2. Apabila semua kemungkinan/ semua bentuk suku-suku termuat dalam bentuk normal tersebut dikatakan bentuk normal tersebut adalah
lengkap, dalam hal ini disebut Bentuk Normal Disjungtif Lengkap (CDNF
= Complete Disjunctive Normal Form).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 3.3. Berikut adalah pernyataan-pernyataan yang berbentuk CDNF
(i) pq + pq 0 + p0 q + p0 q 0 dan
(ii) pqr + pqr0 + pq 0 r + pq 0 r0 + p0 qr + p0 qr0 + p0 q 0 r + p0 q 0 r0
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk Normal Disjungsi Lengkap (CDNF) ini
adalah suatu tautologi. Kita mungkin juga mengubah bentuk tidak normal
menjadi suatu bentuk normal atau sebaliknya menyederhanakan suatu bentuk normal sehingga diperoleh bentuk yang meskipun tidak normal tetapi
lebih sederhana.
Contoh 3.4.
(i) Ubahlah p + pq 0 ke bentuk normal
Judul
JJ J
I II
95 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
(ii) Sederhanakan bentuk p0 q + pq 0 + pq
Tutup
Jawab:
Keluar
Untuk mengerjakan hal-hal diatas kita harus menggunakan hukum-hukum
aljabar kalimat / proposisi yang telah diberikan, hanya saja harus diingat dengan baik bahwa untuk menyederhanakan notasi kita menggunakan
p.q = pq untuk p ∧ q, p + q untuk p ∨ q, 1 untuk T dan 0 untuk F .
p + pq 0 ≡ p.1 + pq 0
≡ p(q + q 0 ) + pq 0
≡ pq + pq 0 + pq 0
≡ pq + pq 0 (DNF)
identitas
komplemen
distributif
idempoten
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
pq + pq 0 + p0 q ≡ p(q + q 0 ) + p0 q
≡ p.1 + p0 q
≡ p + p0 q
≡ (p + p0 ).(p + q)
≡ 1.(p + q) ≡ (p + q)
distributif
komplemen
identitas
distributif
komplemen, identitas
I II
96 dari 330
Cari Halaman
Kembali
3.2.2.
Bentuk Normal Konjugtif (CNF)
Layar Penuh
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuhnya
hasikali faktor-faktor yang setiap faktornya memuat secara lengkap unsurunsur penyusunnya dalam bentuk jumlah.
Tutup
Keluar
Definisi 3.2.3. Bentuk Normal Konjungtif (CNF = Conjunctive
Normal Form) adalah bentuk yang ditandai oleh ciri-ciri berikut :
1. disusun dalam bentuk perkalian faktor-faktor.
FMIPA-UNEJ
2. tiap-tiap faktor memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataan
yang dibicarakan.
Daftar Isi
Contoh 3.5. Beberapa pernyataan yang berbentuk CNF
Judul
0
(i) (x + y)(x + y )
(ii) (p + q + r)(p + q 0 + r)(p + q + r)
(iii) (p + q)
JJ J
I II
97 dari 330
Tetapi, p(p + q); p(p + r) bukan dalam bentuk normal.
Cari Halaman
Definisi 3.2.4. Bentuk Normal Konjungsi dikatakan Lengkap ( CCNF
= Complete Conjunctive Normal Form) jika memuat secara lengkap semua bentuk faktor-faktornya.
Kembali
Layar Penuh
Contoh 3.6. Bentuk CCNF untuk dua unsur p dan q adalah
(x + y)(x + y 0 )(x0 + y)(x0 + y 0 )
Tutup
Dapat ditunjukkan bahwa betuk CCNF adalah suatu kontradiksi.
Keluar
3.3.
Komplemen Bentuk Normal
Definisi 3.3.1. Komplemen dari suatu bentuk normal adalah suku-suku atau
faktor-faktor dari bentuk lengkap yang tidak dimuat dalam bentuk normal
tersebut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 3.7. Tentukan komplemen dari:
(i) pq 0 + p0 q
Judul
JJ J
0
0
I II
0 0
(ii) xyz + xyz + xy z + xy z
Jawab:
Suku-suku yang tidak termuat dari dua bentuk di atas adalah masingmasing:
98 dari 330
Cari Halaman
(i) pq + p0 q 0
Kembali
0
0
0
0 0
0 0 0
(iii) x yz + x yz + x y z + x y z
Contoh 3.8. Tentukan komplemen dari :
(i) (x + y 0 )(x0 + y)(x0 + y 0 )
Layar Penuh
Tutup
(ii) (x + y)
Keluar
Jawab :
Faktor- faktor dari bentuk lengkap yang tidak termuat masing- masing
adalah:
(i) (x + y)
(ii) (x + y 0 )(x0 + y)(x0 + y 0 )
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
99 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.4.
Translasi Bentuk Normal
Suatu bentuk CNF dapat diubah atau ditranslasikan ke bentuk DNF atau
sebaliknya baik dengan menggunakan sifat- sifat perakit maupun dengan
membuat negasi dari komplemennya.
Contoh 3.9. Translasikan bentuk CNF ke DNF atau sebaliknya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
(i) (x + y)(x0 + y 0 ), CNF;
Judul
0 0
(ii) xy + x y , DNF.
JJ J
Jawab:
(x + y)(x0 + y 0 ) ≡ (x + y)x0 + (x + y)y 0
≡ xx0 + yx0 + xy 0 + yy 0
≡ 0 + yx0 + xy 0 + 0
≡ yx0 + xy 0 DNF
distributif
distributif
komplemen
identitas
I II
100 dari 330
Cari Halaman
Kembali
xy + x0 y 0 ≡ (xy + x0 )(xy + y 0 )
≡ (x + x0 )(y + x0 )(x + y 0 )(y + y 0 )
≡ 1.(y + x0 )(x + y 0 ).1
≡ (y + x0 )(x + y 0 ) CNF
distributif
distributif
komplemen
identitas
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dapat dibayangkan bahwa semakin kompleks bentuknya, operasi yang dilibatkan juga semakin kompleks sehingga tidak semua bentuk dapat diselesaikan dengan mudah dengan cara di atas. Untuk itu dapat dipergunakan
cara negasi komplemen.
Aturan 3.4.1. Langkah langkah untuk mengubah dari bentuk CNF ke DNF
dan sebaliknya
1. Tentukan komplemen dari bentuk yang dimiliki, yaitu suku atau faktor
dari CDNF atau CCNF yang tidak ada dalam pernyataan yang dimiliki;
2. Tentukan negasi dari komplemen yang diperoleh
Maka bentuk yang diperoleh sudah berubah dari CNF ke DNF atau sebaliknya, tetapi masih ekuivalen dalam artian nilai kebenarannya masih sama.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
101 dari 330
Cari Halaman
Contoh 3.10. Ubah bentuknya dengan aturan di atas.
1. Bentuk CNF (x + y)(x0 + y 0 ),
(a) komplemen:(x0 + y)(x + y 0 )
i0
(b) negasi komplemen: (x0 + y)(x + y 0 ) .
(c) Selanjutnya dengan menerapkan hukum De Morgan, diperoleh
xy 0 + x0 y yang merupakan bentuk DNF.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
2. Diketahui bentuk DNF xyz + xyz 0 + xy 0 z + xy 0 z 0 + x0 yz
(a) komplemennya x0 yz 0 + x0 y 0 z + x0 y 0 z 0
i0
h
0
0
0 0
0 0 0
(b) negasinya: x yz + x y z + x y z .
(c) Hukum De Morgan menghasilkan bentuk CNF (x + y 0 + z)(x +
y + z 0 )(x + y + z).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
102 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.5.
Aplikasi Bentuk Normal
Sebagaimana telah disampaikan di depan, manfaat utama bentuk Normal
ini adalah dalam menentukan bentuk persamaan yang diketahui karakteristiknya. Sebagimana telah dipelajari sebelumnya nilai karakteristik terdiri
atas 0 dan 1.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Aturan 3.5.1. Jika kita perhatikan nilai 1 dari karakteristiknya maka aturannya adalah sebagai berikut :
1. bentuk yang diperoleh adalah DNF;
2. tiap baris yang bernilai 1 merupakan satu suku dengan nilai 1 berarti
bentuk adalah positif dan nilai 0 berarti negasi (0 ).
Aturan 3.5.2. Jika yang kita perhatikan adalah nilai 0 dari karakteristiknya
maka aturannya adalah:
1. bentuk yang diperoleh adalah bentuk CNF;
2. tiap baris yang bernilai 0 berbentuk positif dan yang bernilai 1 berbentuk negasi (0 ).
Untuk mengerjakan yang lebih sederhana kita memilih bentuk CNF atau
DNF sesuai dengan jumlah yang lebih sedikit dari yang lain yaitu :
Judul
JJ J
I II
103 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1. jika 1 lebih sedikit, gunakan DNF
2. jika 0 lebih sedikit gunakan CNF
Contoh 3.11. Tentukan persamaaan yang mempunyai karakteristik 10001001
Karena 1 lebih sedikit, maka kita menggunakan bentuk DNF.
p
p
0
p0
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
0
0
0
1
1
0
0
q0
r
1
1
0
0
1
0
0
0
r0
y
1
0
0
0
1
0
0
1
pqr
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
0
p qr
104 dari 330
p0 q 0 r 0
y = pqr + p0 qr + p0 q 0 r0
Cari Halaman
Kembali
Kita peroleh bentuk DNF dengan 3 suku ( ada tiga karakteristik 1 ) yaitu
y = pqr + p0 qr + p0 q 0 r0 .
Tugas kita selanjutnya adalah menyederhanakan bentuk normal ini dengan
hukum-hukum yang telah dipelajari. Kita bisa periksa ( cek ) kebenarannya
dengan membuat tabel kebenarannya.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 3.12. Tentukan persamaan dengan karakteristik 01111110
Karena 0 lebih sedikit kita menggunakan bentuk CNF
p0
p
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
0
0
0
1
1
0
0
q
r
1
1
0
0
1
0
0
0
r
y
0
1
1
1
1
1
1
0
FMIPA-UNEJ
p0 + q 0 + r 0
Daftar Isi
Judul
JJ J
p+q+r
I II
y = (p + q + r)(p0 + q 0 + r0 )
105 dari 330
Maka bentuk yang kita peroleh adalah CNF dengan dua faktor yaitu
Cari Halaman
y = (p + q + r)(p0 + q 0 + r0 ).
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 3.2: Hubungan antara aljabar Boole, Aljabar Himpunan, Aljabar
Proposisi dan aljabar jaringan listrik
No Aspek
Aljb. Proposisi Aljb. Himpunan Aljb. Listrik
1 Unsur
pernyataan
himpunan
saklar
p, q, r
A, B, C
A, B, C
2 Negasi
¬p
()c
saklar balik
3 Konjugsi
∧
∩
seri
4 Disjungsi
∨
∪
paralel
5 Implikasi logis
⇒
⊆
6 Ekuivalensi
ekuivalensi
kesamaan
ekuivalensi
7 Nilai global
T
S
tertutup
8 Nilai global
F
∅
terbuka
9 nilai lokal
1
∈
tertutup
9 nilai lokal
0
6 in
terbuka
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
106 dari 330
Cari Halaman
3.6.
Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan Listrik
Kembali
Hukum-hukum logika dapat diterapkan dalam aljabar jaringan listrik (electrical network atau electrical switching). Pada dasarnya semua pembahasan
ini didasari oleh aljabar Boole. Keharmonisan aljabar Boole, logika himpunan dan aljabar jaringan listrik dapat ditunjukkan dengan tabel berikut
:
Dalam himpunan didefinisikan bahwa A∩B adalah himpunan yang hanya
Layar Penuh
Tutup
Keluar
A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
B
JJ J
I II
107 dari 330
Cari Halaman
Gambar 3.1: Diagram Venn mengilustrasikanA ∩ B
Kembali
beranggotakan unsur-unsur yang yang sekaligus ∈ A dan ∈ B. Tabel keanggotaan untuk A ∩ B dilihat pada tabel berikut. Perhatikan bahwa tabel
kebenaran A ∩ B ini ekuivalen dengan tabel kebenaran konjungsi p ∧ q.
Layar Penuh
Tutup
Tabel Keanggotaan A ∧ B dan tabel kebenaran A ∩ B
Keluar
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A∧B
A
1
∈
dan ∈
0
0
∈
/
0
∈
/
B
∈
∈
/
∈
∈
/
A∩B
∈
∈
/
∈
/
∈
/
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
108 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.7.
Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar
Rangkaian seri
Dalam aljabar jaringan listrik rangkaian seri identik dengan konjungsi seperti
diilustrasikan pada gambar berikut
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Jaringan/ rangkaian listrik mengilustrasikan AB
Judul
JJ J
A
I II
B
109 dari 330
Cari Halaman
L
Kembali
Layar Penuh
Keterangan :
1. Jika suatu jaringan dirangkai seri dan salah satu saja saklarnya dibuka
(off) maka arus listrik tidak dapat lewat dan lampu padam (off).
Tutup
Keluar
2. Dalam pembicaraan jaringan listrik ini kita hanya memperhatikan susunan.
rangkaian saklarnya, sumber listrik dan lampu biasanya diabaikan.
Kondisi aliran listrik berdasarkan terbuka dan tertutupnya saklar A dan
B ditunjukkan dalam tabel berikut. Bandingkan tabel tersebut dengan tabel
kebenaran A ∧ B dan tabel keanggotaan A ∩ B.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Tabel aliran listrik (kondisi menyala/tidaknya lampu L
dilihat dari kondisi tertutup/terbukanya saklar Adan B
A
B
L
tertutup (1) tertutup(1) menyala (1)
tertutup (1) terbuka(0)
padam (0)
terbuka (0) tertutup(1) padam (0)
terbuka (0) terbuka(0)
padam (0)
Rangkaian paralel
Rangkaian paralel seperti pada Gambar identik dengan aljabar perakit disjungsi
Keterangan :
Judul
JJ J
I II
110 dari 330
Cari Halaman
Kembali
1. Pada rangkaian paralel arus listrik bisa lewat jika salah satu saklarnya
di on/ ditutup.
Layar Penuh
2. Jika salah satu/semua dibuka/on arus listrik dapat lewat dan lampu
menyala.
Tutup
Keluar
p
on
on
off
off
q A+B
on
on
off
on
on
on
off
off
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Rangkaian negasi
Judul
0
Rangkaian A dan A dipasang sedemikian sehingga jika p on maka otomatis
p0 off dan sebaliknya.
Ketiga rangkaian di atas (negasi, seri , paralel ) yang merupakan rangkaian dari bentuk dasar (negasi, konjungsi, dan disjungsi) disebut rangkaian
dasar. Rangkaian-rangkaian lain seperti implikasi, biimplikasi, Nor (Not
Or), Nand (Not And) dan lain-lainnya, dapat diturunkan dari rangkaianrangkaian dasar diatas. Sebagai aplikasi dari bentuk normal, kita juga dapat
merangkai jaringan listrik dengan bermacam-macam hasil (out put/karakteristik
) yang kita inginkan.
Contoh 3.13. Tiga buah saklar dirangkai dan dihubungkan pada sebuah bel.
Ternyata bel tersebut hanya berbunyi apabila tepat satu saja dari ketiga saklar
diatas di tekan (on). Jika sekaligus dua saklar atau lebih di-on-kan bel tidak mau
berbunyi. Tentukan bagaimana saklar-saklar tadi dirangkai.
JJ J
I II
111 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Jawab:
Keluar
Misalkan ketiga saklar itu adalah x, y, z (kita juga bisa menggunakan
huruf besar A, B, C) hasil yang terjadi adalah sebagai berikut:
x
1
1
1
1
0
0
0
0
y
1
1
0
0
1
1
0
0
z
1
0
1
0
1
0
1
0
keluaran
0
0
0
1*)
0
1 *)
1*)
0
Tanda *) menunjukkan bahwa dalam keadaan ini bel berbunyi (output = 1),
yang lain padam, tidak berbunyi (output= 0). Karena banyaknya berbunyi
( 1 ) lebih sedikit kita gunakan bentuk DNF dan persamaan rangkaiannya
adalah:
xy 0 z 0 + x0 yz 0 + x0 y 0 z
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
112 dari 330
Cari Halaman
Kembali
atau
(x(¬y(¬z)((¬x(y(¬z)((¬x(¬y(z).
Contoh 3.14.
Ubah ekspresi berikut ke bentuk DNF
Layar Penuh
Tutup
(i) (x + y 0 )
Keluar
(ii) (pqr0 ) + (pr) + (pq)
Jawab :
(i) Bentuk (x + y 0 ) adalah berbentuk CNF , maka cara merubah ke bentuk DNF nya kita lakukan dengan mencari negasi dari komplemennya.
Komplemen bentuk ini adalah: (x + y)(x0 + y)(x0 + y 0 ). Negasi komplemennya adalah:
= ((x + y)(x0 + y)(x0 + y 0 )0 )0
= (x + y)0 + (x0 + y)0 + (x0 + y 0 )
= x0 y 0 + xy 0 + xy(DNF)
(ii) Bentuk pqr0 + pr + pq, suku pertamanya sudah lengkap, tinggal suku
kedua dan ketiga yang tidak lengkap. Suku kedua tidak mengandung
q. Kita bisa menganggap pr = pr.1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
113 dari 330
Cari Halaman
0
pr = pr(q + q )
= pqr + pq 0 r
identitas
distributif
Kembali
Suku ketiga tidak mengandung r, maka
Layar Penuh
pq = pq.1
= pq(r + r0 )
= pqr + pqr0
ident. & komp.
distributif
Tutup
Keluar
Jadi kita peroleh :
pqr + pq 0 r + pqr0
Contoh 3.15. Ubah ekspresi berikut ke bentuk CN F.
FMIPA-UNEJ
1. p0 q + pq
Daftar Isi
2. p(q + r)
Judul
Jawab:
JJ J
1. Bentuk p0 q + pq adalah DN F , karenanya kita translasikan dengan
menggunakan negasi komplemennya. Komplemennya adalah : (pq 0 +
p0 q 0 ). Negasinya:
I II
114 dari 330
Cari Halaman
(pq 0 + p0 q 0 )0 = (pq 0 )(p0 q 0 )0
= (p0 + q)(p + q).
Kembali
Jadi bentuk CN F nya adalah :
Layar Penuh
0
(p + q)(p + q)
Tutup
2. p(q + r) ; terdiri atas dua faktor, yaitu faktor pertama p tidak lengkap,
Keluar
dan faktor kedua (q + r) juga tidak lengkap
p=p+0
identitas
0
= p + (q.q )
komplemen
= (p + q)(p + q 0 )
distributif
0
= ((p + q) + 0)((p + q) + 0)
identitas
0
0
0
= ((p + q) + (rr ))((p + q ) + (rr ))
komplemen
0
0
0
0
= (p + q + r)(p + q + r )(p + q + r)(p + q + r ) distributif.
(q + r) tidak mengandung p
(q + r) = (q + r) + 0
= (q + r) + pp0
= (q + r + p)(q + r + p0 )
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
identitas
komplemen
distributif
I II
115 dari 330
Cari Halaman
Jadi bentuk keseluruhannya adalah :
(p + q + r)(p + q + r0 )(p + q 0 + r)(p + q 0 + r0 )(q + r + p)(q + r + p0 )
atau
Kembali
Layar Penuh
(p + q + r)(p0 + q + r)(p + q 0 + r)(p + q + r0 )(p + q 0 + r0 )
Tutup
( dengan menerapkan hukum distributuf dan idempoten )
Keluar
p
1
1
0
0
q keluaran
1
1
0
0
1
0
1
1
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 3.16. Tentukan persamaan yang mempunyai karakteristik 1001.
Judul
Jawab :
Misalkan unsur-unsurnya adalah p dan q, maka
Banyaknya 1 dan 0 sama jadi bisa memakai DN F maupun CN F. Misalkan 0 kita jadikan pedoman maka kita peroleh :
JJ J
I II
116 dari 330
y = (p0 + q)(p + q 0 ) (CNF).
Cari Halaman
Contoh 3.17. Suatu alat peraga logika terdiri atas tiga saklar dan sebuah
lampu. Ternyata lampu tersebut menyala hanya apabila ketiga saklar tersebut
di-on-kan atau jika ketiga saklar di-off-kan. Tentukan persamaan rangkaiannya.
Kembali
Layar Penuh
Jawab:
Lampu menyala (1 ) hanya pada dua keadaan A = B = C = 1atau A =
B = C = 0 (A, B, C menunjukkan saklar-saklarnya ). Dengan menggunakan
nilai 1 berarti kita menuju bentuk DNF dan unsur-unsur bernilai 1 adalah
Tutup
Keluar
positif, yang bernilai 0 adalah beerbentuk negasi. Dengan demikian kita
peroleh persamaannya :
y = ABC + A0 B 0 C 0 .
Contoh 3.18. Empat orang anak masing-masing Ali , Budi , Citra dan Didiek menghadapi saklar yang dihubungkan pada sebuah lampu. Ternyata lampu
tersebut dalam keadaan:
(i) Jika Ali dan Citra meng-on-kan saklarnya sedangkan Budi dan Didiek
tidak, lampu menyala.
(ii) Jika Citra sendiri meng-onkan saklarnya sedang yang lainnya tidak,
lampu menyala.
(iii) Jika keempat-empatnya serempak meng-on-kan saklarnya lampu menyala.
Untuk keadaan yang lain-lainnya lampu padam. Tentukan persamaan
rangkaiannya.
Jawab:
Misalkan saklar yang mereka hadapi adalah A, B, C, D. Untuk menyelesaikan ini kita bisa membuat semacam tabel kebenarannya atau langsung
dengan hanya memperhatikan keadaan-keadaan pada saat lampunya menyala
yaitu :
(i) hanya Ali dan Citra yang meng-onkan lampu
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
117 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
AB 0 CD0 (B dan D dalam bentuk negasi)
Keluar
(ii) hanya Citra sendiri yang meng-onkan saklar
A0 B 0 CD0 ( hanya C yang tidak negasi )
FMIPA-UNEJ
(iii) Keempat-empatnya serempak meng-onkan saklar
ABCD
Jadi persamaannya y = ABCD + AB 0 CD0 + A0 B 0 CD0 . Langkah berikutnya tinggal menyederhanakan bentuk tadi jika memang diangggap perlu.
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
118 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.8.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh aplikasi logika atau aljabar Boole dalam aljabar
jaringan listrik selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya. Selain itu dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Lipschutz [9],
Nissanke [14], Sulistyaningsih [19] dan Siang [17].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
119 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3.9.
Soal-soal Latihan
1. Tentukan persamaan yang paling sederhana dari bentuk yang mempunyai karakteristik berikut:
FMIPA-UNEJ
(a) 01010001
Daftar Isi
(b) 01101111
(c) 00110011
Judul
(d) 00111011
JJ J
2. Pikirkan persamaan rangkaian listrik dengan tiga saklar A, B, C dengan
ketentuan:
(a) Arus mengalir setiap kali A on dan C off kecuali jika sekaligus A
dan B on (arus tidak mengalir).
I II
120 dari 330
Cari Halaman
(b) Jika B on dan A dan C off arus mengalir.
Kembali
3. Empat peserta cerdas cermat masing-masing menghadapi sebuah saklar yang dihubungkan pada sebuah bel. Juri ingin agar bel tersebut
berbunyi hanya apabila salah satu saja dari keempat kelompok tersebut
yang meng-onkan saklarnya. Sedangkan jika lebih dari satu kelompok
mengonkan saklarnya bersama-sama bel tidak boleh berbunyi. Cobalah
anda bantu juri merangkaikan bel dan saklarnya tersebut.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Seorang bapak berhasrat agar lampu kebunnya dapat dimatikan maupun
dihidupkan masing-masing dari tiga tempat (ruang tamu (T) , garasi
(G) , ruang tengah (H)). Jadi jika ia ingin menghidupkan atau mematikan
lampu kebunnya ia harus dapat melakukannya melalui saklar T , saklar
G maupun H. Bantulah bapak ini membuat persamaan rangkaiannya.
5. Buatlah rangkaian dari persamaan berikut :
(a) (A + B)(A0 ((B 0 + (A0 B 0 )
(b) ((A + B)C) + (A0 B 0 C 0 )
(c) ((A + B) ↔ C) (A + C)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
121 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
122 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
4
Daftar Isi
KUANTOR
Judul
JJ J
I II
123 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan memahami kuantor
serta mampu menggunakannya dalam menyelesikan soal-soal logika yang
mengandung kuantor.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
124 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan dapat
1. memberi contoh tetapan dan peubah
2. memberi contoh kalimat matematika terbuka maupun tertutup
3. memberi kuantor universal maupun eksistensial yang sesuai untuk suatu kalimat
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
4. mencari negasi suatu pernyataan berkuantor
JJ J
I II
5. mencari contoh penyanggah suatu pernyataan berkuantor
6. menentukan kuantor untuk pernyataan yang mengandung perakit
7. menentukan kuantor untuk pernyataan dengan lebih dari 1 peubah
125 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Tetapan dan peubah
2. Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
3. Kuator universal dan Kuantor eksistensial
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
4. Negasi kuantor
Judul
5. Contoh penyanggah
6. Kuantor dengan disjungsi, konjungsi dan implikasi
JJ J
I II
7. Kuantor lebih dari satu peubah
126 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.1.
Tetapan dan Peubah
Dalam matematika, notasi yang melambangkan unsur dibedakan atas dua
macam yaitu yang mewakili unsur yang bersifat tetap dan unsur yang berubah.
Definisi 4.1.1. Tetapan atau konstanta adalah lambang yang mewakili
suatu elemen tertentu yang bersifat khusus atau bersifat tetap dalam suatu
semesta pembicaraan.
Definisi 4.1.2. Semesta pembicaraan adalah kumpulan yang menjadi
sumber atau asal unsur-unsur yang dibicarakan.
Dalam matematika, terutama dalam bentuk umum fungsi maupun persamaan, tetapan biasanya disimbolkan dengan huruf-huruf pertama dari abjad seperti : a, b, c, ...
Contoh 4.1. Dalam pernyataan-pernyataan berikut, simbol yang digaris bawahi
adalah suatu tetapan.
((i) 2 adalah bilangan asli.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
127 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
(ii) Ani berbaju merah.
Tutup
(iii) Betuk umum pungsi linier adalah y = ax + b.
Keluar
Pada contoh di atas, Ani meskipun kita tidak tahu persis siapa orangnya,
namun Ani tidak dikatakan sebagai peubah karena jelas Ani menunjukkan
nama seseorang tertentu tidak semua orang dapat disebut Ani. Pada contoh
(iii) a, b meskipun tidak diketahui dengan persis, tetapi keduanya adalah
suatu tetapan yang tidak berubah sebagaimana halnya x dan y.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 4.1.3. Peubah atau variabel adalah lambang yang masih mewakili suatu elemen umum yang belum dikhususkan atau yang nilainya berubahubah pada semesta pembicarannya.
Judul
JJ J
Contoh 4.2. Bagian-bagian yang digarisbawahi pada contoh kalimat berikut
adalah peubah. Pada umumnya peubah dilambangkan dengan huruf-huruf terahkir dari abjad seperti : x, y, z.
I II
128 dari 330
Cari Halaman
(i) x adalah bilangan asli
(ii) Manusia berbaju merah
Kembali
(iii) Bentuk umum fungsi linier adalah y = ax + b
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.2.
Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
Dalam pembahasan matematika, banyak dilibatkan kalimat-kalimat ataupun
pernyataan-pernyataan yang memuat simbol-simbol matematika. Kalimatkalimat tersebut ada yang berbentuk pernyataan ada yang tidak.
Definisi 4.2.1. Kalimat matematika adalah kalimat yang memuat simbolsimbol matematika seperti peubah, tetapan dan operator lainnya.
Definisi 4.2.2. Kalimat matematika terbuka adalah kalimat matematika yang belum bisa dinilai benar atau salah.
Definisi 4.2.3. Kalimat matematika tertutup (disebut juga pernyataan
matematis) adalah kalimat matematika yang sudah bisa dinilai benar atau
salah.
Contoh 4.3. Kalimat p(x) : x + 2 ≥ 7, adalah suatu kalimat matematika
terbuka, karena belum bisa dinilai bear atau salah. Misalkan semesta pembicaraannya adalah himpunan semua bilangan real. Berarti x adalah anggota
dari himpunan bilangan real. Jika kita gantikan x dengan sembarang bilangan
real x ≥ 5 maka terbentuklah pernyataan yang bernilai benar. Sebaliknya jika
kita gantikan x dengan bilangan-bilangan x < 5 , maka terbentuk pernyataan
yang bernilai salah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
129 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada kalimat terbuka p(x) dengan semesta U , setiap kali kita mengambil
elemen u dari U , maka p(x) = p(u) bernilai tepat salah satu benar atau
salah . Semua elemen x ∈ U yang menyebabkan p(x) bernilai benar disebut
himpunan penyelesaian/ himpunan kebenaran (truth set/ solution set) dari
p dan dinotasika dengan Tp .
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 4.2.1. Untuk p, kalimat terbuka pada U , maka untuk setiap u ∈ U
atau τ (p(u)) = 1, atau τ (p(u)) = 0.
Definisi 4.2.4. Himpunan kebenaran atau himpunan penyelesaian
adalah himpunan semua unsur dari semesta pembicaraan yang menyebabkan
terjadinya kalimat/ pernyataan yang bernilai benar.
Tp = {u ∈ U, τ p(u) = 1}
Judul
JJ J
I II
130 dari 330
Cari Halaman
Contoh 4.4.
Kembali
(i) Perhatikan kalimat terbuka : x + 2 ≥ 10, x bilangan asli, maka Tp =
{x ≥ 8, x bilagan asli }.
Layar Penuh
2
(ii) Misalkan p(x); x < 0 ; x bilangan real, maka Tp = ∅
(iii) Misalkan p(y); y 2 ≥ 0; y bilangan real, maka Tp = U = <. Semua
bilangan real jika dikuadratkan akan lebih atau sama dengan nol.
Tutup
Keluar
Teorema 4.2.2. Suatu kalimat terbuka dapat dinyatakan kalimat tertutup
dengan menggantikan peubahnya dengan tetapan dari semesta pembicaraannya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 4.5.
(i) Misalkan p(n) : n + 2 > 8 adalah kalimat terbuka, misalnya pada
semesta N (himpunan semua bilangan asli), maka
Judul
JJ J
I II
(a) p(2) : 2 + 2 > 8 adalah pernyataan salah.
(b) p(8) : 8 + 2 > 8 adalah pernyataan benar.
131 dari 330
(ii) q(x) : x2 − 2x + 1 = 0 adalah kalimat terbuka pada <, maka:
(a) q(2) : 22 − 2.2 + 1 = 0 adalah pernyataan salah dan
(b) q(1) : 12 − 2.1 + 1 = 0 adalah pernyataan benar
Telah disampaikan diatas bahwa jika p(x) kalimat terbuka pada semesta
U maka p(x) bisa benar untuk semua x ∈ U , yaitu Tp = U . Benar untuk beberapa atau tak satu pun x ∈ U . Secara implisit ini berarti dengan
memberikan kata -kata : Setiap, beberapa atau tak satupun , di depan kalimat terbuka tasi maka kalimat terbuka tadi maka kalimat terbuka tadi akan
menjadi pernyataan yang bernilai benar atau salah.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.6.
1. p(x) : x + 2 ≥ 8 adalah kalimat terbuka pada N , maka :
(a) untuk semua x ∈ N berlaku x + 2 ≥ 8, adalah pernyataan salah,
FMIPA-UNEJ
(b) ada x bilangan asli yang bersifat x + 2 ≥ 8 adalah benar.
Daftar Isi
2
2. p(x) : x < 0; x bilangan asli adalah kalimat terbuka, maka:
(a) ada x bilangan asli yang bersifat x2 < 0 adalah salah;
Judul
(b) tidak satupun x bersifat x2 < 0 adalah benar.
JJ J
Jadi istilah-istilah terdapat, semua, taksatupun dapat megubah kalimat terbuka menjadi peryataan.
I II
132 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.3.
Kuantor
Istilah-istilah : terdapat , semua/ setiap, dengan demikian, dan sejenisnya, dapat digunakan untuk mengukur keberadaan himpunan penyelesaian (unsur-unsur yang menyebabkan p(x) bernilai benar). Kata-kata ini
dalam logika disebut kuantor/ quantifier (to quantify = mengukur). Kuantor
dibedakan menjadi kuantor universal dan kuantor eksistensial.
4.3.1.
Kuantor Universal
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U maka
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
∀x ∈ U, p(x) atau ∀x, p(x) atau ∀x, τ (p(x)) = 1
133 dari 330
adalah pernyataan yang dibaca : “untuk semua/ setiap x ∈ U x bersifat
p” atau “semua x bersifat p”, atau “untuk semua x pernyataan p(x) adalah
benar”. Notasi ∀ yang dibaca “setiap” atau “semua” disebut kuantor
universal. Perlu kita catat bahwa p(x) sendiri adalah suatu kalimat terbuka,
akan tetapi akan tetapi ∀x, p(x) adalah suatu pernyataan.
Definisi 4.3.1. Nilai kebenaran pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah
τ ∀x, p(x) = 1 jika dan hanya jika Tp = U.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.7. Misalkan
(i) p(x) : x + 2 ≥ 3 dengan semesta N , maka Tp = N . sehingga ∀x ∈
N, x + 2 ≥ 3 adalah benar. Demikian juga dengan
(ii) p(x) : x + 2 = 10 dengan semesta N maka Tp = {8}, sehingga ∀x ∈
N, x + 2 = 10 adalah salah.
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa
(iii) ∀x ∈ <, x2 < 0 adalah salah dan
(iv) ∀x ∈ <, x2 + 2x + 8 > 0 adalah benar.
4.3.2.
Kuantor Eksistensial
Misalkan p adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U , maka:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
134 dari 330
∃x ∈ U, p(x) atau ∃x, 3 p(x) atau ∃x, 3 τ (p(x)) = 1
Cari Halaman
adalah pernyataan yang dibaca : “terdapat x yang bersifat p”, atau “beberapa x bersifat p”, atau “paling sedikit satu x bersifat p. Notasi ∃ yang
dibaca : “beberapa” , “terdapat”, “paling sedikit satu ” disebut kuantor
eksistensial.
Kembali
Layar Penuh
Definisi 4.3.2. Nilai kebenaran kuantor eksistensial adalah
τ ∃x, p(x) = 1, jika dan hanya jika Tp 6= ∅.
Tutup
Keluar
Contoh 4.8.
(i) p(x) : x2 − 4x + 4 = 0 untuk semesta <, dengan Tp = {2}, maka
∃x, x2 − 4x + 4 = 0 untuk semesta < adalah benar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
2
2
(ii) p(x) : x − 2x + 4 = 0 untuk semesta <, dengan Tp = ∅, maka ∃x, x −
4x + 4 = 0 adalah salah.
Dalam menggunakan kata-kata “terdapat x”, biasanya ditambahkan juga
istilah “sedemikian sehingga” yang dalam logika dinotasikan dengan “3 ”
Contoh 4.9. Notasi logika dari pernyataan “terdapat bilangan asli sedemikian
sehingga kuadratnya lebih dari 26 tetapi tidak lebih dari 100” adalah ∃x ∈ N, 3
26 < x2 ≤ 100.
Judul
JJ J
I II
135 dari 330
Cari Halaman
Kuantor Universal dan eksistensial masing-masing dapat digunakan untuk mendefinisikan Irisan dan gabungan dari keluarga himpunan {Ai , i =
1, 2, 3, · · · };
(i) Irisan (Interseksi) keluarga himpunan. adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang muncul pada setiap himpunan, yaitu:
\
Ai = {x|x ∈ Ai , ∀i ∈ I}
Kembali
Layar Penuh
Tutup
i∈I
Keluar
(ii) Gabungan (Union) dari keluarga himpunan adalah himpunan yang
beranggotakan unsur-unsur yang cukup muncul pada salah satu himpunan Ai tadi
[
Ai = {x|∃i ∈ I 3 x ∈ Ai}
FMIPA-UNEJ
i∈I
Pembahasan yang lebih rinci akan disampaikan pada Bab Pada Bab 6.
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
136 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.4.
Negasi Kuantor
Seperti halnya pada pernyataan tanpa kuantor, pada dasarnya negasi diperoleh dengan melakukan penyangkalan terhadap kalimat bersangkutan. Misalnya penyangkalan terhadap pernyataan : “Semua manusia berhati dengki”,
mengandung pengertian bahwa tidak semua manusia berhati dengki, atau,
“setidak-tidaknya ada satu manusia yang tidak berhati dengki”. Secara simbolis dapat dituliskan:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
(∀x ∈ M )(x berhati dengki )) ≡ ∀x ∈ M, d(x)
¬ ∀x ∈ M )(x berhati dengki ) ≡ ¬ ∀x ∈ M, d(x)
∃(x ∈ M )(x tidak berhati dengki) ≡ ∃x ∈ M 3 d(x)
JJ J
I II
137 dari 330
Kita peroleh kesimpulan bahwa :
h
i
¬ (∀x) p(x)) = ∃x, 3 p(x).
Cari Halaman
(4.1)
Hasil di atas dapat diangap sebagai penerapan hukum De Morgan pada
pernyataan yang mengandung kuantor. Pernyataan/ kalimat x tidak bersifat
p biasa dinotasikan dengan“¬p(x)” atau “p(x)” atau “6 p(x)”.
Contoh 4.10. Tuliskan Kalimat / pernyataan berikut dengan tanda kuantor yang tepat dan tentukan negasinya. Demikian pula tulis secara lengkap
bagaimana pengucapan negasinya.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(i) “Semua bilangan asli n bersifat n + 2 ≥ 10.”
Jawab
Notasi p
Negasi ¬p
:
:
≡
∀n ∈ N, n + 2 ≥ 10.
∃n ∈ N, 3 n + 2 10
∃n ∈ N, 3 n + 2 < 10
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Pernyataan di atas dapat diucapkan sebagai “beberapa bilangan asli
jika ditambah 2 hasilnya kurang dari 10”, atau “beberapa bilangan asli
n bersifat n + 2 < 10”.
(ii) “Setiap manusia dapat mati”
Judul
JJ J
I II
Jawab:
Notasi : p
Negasi : ¬p
≡ (∀x ∈ M )(x dapat mati)
≡ (∀x ∈ M )m(x)
≡ (∃x ∈ M ), 3 (xtidak dapat mati)
≡ (∃x ∈ M ), 3 (m(x))
Ada manusia yang tidak dapat mati.
Selanjutnya negasi dari pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial dicari dengan cara yang sama. Misalnya sanggahan terhadap pernyataan:“Ada manusia yang bisa terbang” adalah: “Tidak benar (mustahil)
ada manusia yang dapat terbang”. Pernyataan ini mengandung arti bahwa
semua manusia tidak dapat terbang. Secara simbolis kita dapat ditulis:
138 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
∃xh ∈ M 3 x dapat terbang i
¬ ∃x ∈ M (xdapat terbang)
≡
≡
∃x ∈ M, t(x)
¬ x ∈ M, t(x)
∀x ∈ M (x tidak dapat terbang) ≡ ∀x ∈ M, t(x)
Jadi, secara umum kita peroleh
h
i
¬ (∃x) 3 q(x)) = ∀x, q(x).
FMIPA-UNEJ
(4.2)
Perhatikan bahwa nilai kebenaran p dengan ¬p untuk p yang mengandung
kuantor adalah saling berlawanan, sebagaimana p yang tidak mengandung
kuantor.
Contoh 4.11. Tuliskan notasi pernyataan berikut dengan tepat. Selanjutnya
tentukan negasi dan pengucapannya.
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
139 dari 330
i Ada bilangan prima yang genap
Jawab :
Cari Halaman
misalkan P adalah bilangan prima, dan g : bersifat genap.
Notasi : ∃x ∈ P, g(x)
Negasi : ∀x ∈ P, g(x)
: semua bilangan prima, tidak genap.
Kembali
Layar Penuh
ii Semua bujur sangkar adalah persegi panjang
Jawab :
Tutup
misalkan B : bujur sangkar p : persegi panjang.
Keluar
Notasi : ∀x ∈ B, p(x)
Negasi : ∃x ∈ B, 3 p(x)
Ada bujur sangkar yang bukan persegi panjang.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
140 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.5.
Notasi lain untuk ∀ dan ∃
Misalkan U = {2, 3, 5} dan p(x): x adalah bilangan prima, maka pernyataan
: “2 adalah bilangan prima dan 3 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan prima” dapat dinotasikan dengan : p(8) ∧ p(3) ∧ p(5) = ∀u ∈ U, p(u).
Pernyataan ini berarti: “setiap u ∈ U bersifat p(u). Jadi kita peroleh :
^
∀u ∈ U, p(u) ≡
p(u)
(4.3)
u∈U
Demikian pula kalimat : “2 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan
prima atau 5 adalah bilangan prima” dapat dinotasikan :p(2) ∨ p(3) ∨ p(5) ≡
W
u∈U p(u). Pernyataan di atas sama artinya dengan setidaknya (paling tidak)
ada satu elemen U yang bersifat p yaitu : ∃u ∈ U p(u). Jadi
_
∃u ∈ U, p(u) ≡
p(u)
(4.4)
u∈U
Jadi notasi∧ dan ∨ juga dapat dipergunakan selain notasi ∀ dan ∃.
Catatan : Jika U adalah himpunan yang berhingga maka pernyataan
(4.3) dan (4.4) dapat dibuat. Tetapi untuk U yang takberhingga hanya (4.4)
yang dibuat.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
141 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.6.
Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi
Penggunaan kuantor dapat bersama-sama dengan konektif atau perakit perakit pernyataan seperti dijungsi, konjungsi maupun implikasi.
FMIPA-UNEJ
Contoh 4.12. Berikut ini adalah beberapa contoh kuantor yang bergabung
dengan beberapa perakit logika yang telah dipelajari.
Daftar Isi
1. Untuk semua bilangan asli, jika dia prima (P), maka dia ganjil (G)
Judul
∀x ∈ <, P (x) → G(x)
JJ J
2. Semua segitiga sama sisi (S) adalah sama kaki(K). Pernyataan ini
ekuivalen dengan “untuk semua segitiga, jika dia sama sisi maka dia
sama kaki”.
∀x ∈ G, S(x) → K(x)
I II
142 dari 330
Cari Halaman
3. Ada bilangan prima (P) yang genap (A). Pernyataan ini ekuivalen dengan “ada bilangan asli (N) yang sekaligus prima (P) dan genap (A)”.
∃x ∈ N 3 P (x) ∧ A(x)
Kembali
Layar Penuh
4. Untuk semua bilangan bulat, jika tidak ganjil, pastilah dia genap dan
tidak mungkin dua-duanya.
Tutup
∀x ∈ B, G(x)∨A(x)
Keluar
Apabila P (x) adalah kalimat majemuk yang mengandung perakit, maka
negasinya adalah
h
i
¬ (∀x) P (x)) = ∃x, 3 p(x).
(4.5)
FMIPA-UNEJ
demikian juga
h
i
¬ (∃x) 3 q(x)) = ∀x, q(x).
(4.6)
dengan P (x) maupun Q(x) mengikuti aturan negasi perakit seperti hukum
De Morgan.
Berikut adalah negasi dari pernyataan berkuantor yang bergabung dengan beberapa perakit logika seperti pada contoh-contoh berikut
Contoh 4.13. Ada bilangan asli yang prima(P) tetapi tidak ganjil(G)
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
143 dari 330
∃x ∈ N, 3 P (x) ∧ ¬G(x)
Cari Halaman
Contoh 4.14. Ada segitiga sama sisi (S) yang tidak sama kaki(K).
Kembali
∃x ∈ G, S(x) ∧ ¬K(x)
Contoh 4.15. Semua bilangan prima (P) tidak genap (A). Pernyataan ini ekuivalen dengan “untuk semua bilangan asli (N) jika dia prima (P) maka dia tidak
genap (A)”.
∀x ∈ N, P (x) → ¬A(x)
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.16. Ada bilangan bulat yang tidak ganjil dan tidak genap atau ada
bilangan bulat yang sekaligus ganjil dan genap.
"
#
∃x ∈ B,
¬G(x) ∧ ¬A(x) ∨ G(x) ∧ A(x)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
144 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.7.
Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra
Perhatikan bahwa ¬∀x, P (x) ≡ ∃x, P (x) yang dapat diartikan bahwa pernyataan “tidak benar bahwa semua x bersifat P , ekuivalen dengan pernyataan“ada x tidak bersifat P ”. Jadi untuk mengatakan bahwa kalimat
∀x, P (x) salah, ekuivalen dengan menunjukkan bahwa ¬∀x, P (x) benar.
Pernyataan terakhir ini ekuivalen dengan menunjukkan bahwa paling tidak
ada satu x yang tidak bersifat P . x yang tidak bersifat P disebut contoh
penyanggah/ kontra (counter example) dari pernyataan ∀x, P (x).
Teorema 4.7.1. Pernyataan ∀x, p(x) bernilai salah jika ada contoh penyanggahnya dan bernilai benar jika tidak ada contoh penyanggahnya.
∃x, 6 p(x) ⇒ τ ∀x, p(x) = 0
6 ∃x, 6 p(x) ⇒ τ ∀x, p(x) = 1
Pada contoh-contoh berikut kita dapat menentukan nilai kebenaran pernyataannya dengan menentukan contoh penyanggahnya.
Contoh 4.17. Pernyataan ∀x, |x| > 0 bernilai salah karena ada x = 0 dengan
|x| ≯ 0.
Contoh 4.18. Pernyataan
∀x, x2 > x bernilai salah karena ada x =
1
1
2
x = 4 ≯ x= 2
1
2
dengan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
145 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 4.19. Semua bilangan prima (P) adalah ganjil (G) atau untuk setiap
bilangan riil, jika dia prima pastilah ganjil.
∀x, x ∈ P →∈ G
Pernyataan ini adalah salah karena ada contoh penyanggahnya, yaitu
∃x = 2 3 x ∈ P ∧ x ∈
/G
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Contoh 4.20. Pernyataan berikut adalah benar, karena tidak ada contoh penyanggahnya.
∀x, x ∈ P →∈ G
JJ J
I II
146 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.8.
Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu peubah
Untuk kalimat terbuka dengan lebih dari satu peubah, pada prinsipnya tiaptiap peubah disajikan dengan kuantor masing-masing. Misalkan ada beberapa himpuan A1 , A2 , · · · , An . Suatu kalimat terbuka pada A1 × A2 × · · · × An
dinotasikan dengan p(x1 , x2 , · · · , xn ) dengan sifat bahwa p(x1 , x2 , · · · , xn )
bernilai benar atau salah (tetapi tidak keduanya) untuk suatu (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈
A1 × A2 × · · · × An
Contoh 4.21. Misalkan M adalah himpunan laki-laki dan W adalah himpunan
perempuan, maka: “x suami dari y” adalah kalimat terbuka pada M × W dan
kalimat : “x istri dari y” adalah kalimat terbuka pada W × M .
Contoh 4.22. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut untuk
semesta U = {1, 2, 3}.
i ∀x, ∃y, x2 + y 2 < 14
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
147 dari 330
Cari Halaman
ii ∃x, ∀y, x2 + y 2 < 14
Kembali
iii ∀x, ∀y, x2 + y 2 < 14
Jawab:
i Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa setiap kali kita mengambil x ∈ U , kita dapat mengambil beberapa y ∈ U , sedemikian sehingga
x2 + y 2 < 14.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Jika kita ambil x = 1 maka kita bisa ambil y = 1, 2, 3
x=2
y = 1, 2, 3
x=3
y = 1, 2
Jadi pernyataan [i] bernilai:benar.
ii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa ada x ∈ U yang berlaku
untuk semua y ∈ U sedemikian sehingga x2 +y 2 < 14. Dari pernyataan
[i] di atas terlihat bahwa jika kita ambil x = 1, 2, maka nilai x ini
berlaku untuk semua y ∈ U sedemikian sehingga x2 + y 2 < 14. Jadi
pernyataan [ii] bernilai benar.
iii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa untuk semua x ∈ U dan
semua y ∈ U berlaku x2 + y 2 < 14. Dari pernyataan [i] di atas terlihat
bahwa jika kita ambil x = 3 dan y = 3 tidak berlaku x2 + y 2 < 14. Jadi
pernyataan [iii] bernilai salah.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
148 dari 330
Cari Halaman
Contoh 4.23. Untuk semesta U = {1, 2, 3} selidiki apakah pernyataan berikut
benar atau salah
∀x, ∀y, ∃z, 3 x2 + y 2 ≤ 2z 2
Jawab:
Untuk sembarang atau semua x, y ∈ U terdapat atau dapat diambil z ∈ U
sedemikian sehingga x2 + y 2 ≤ 2z 2 . Pernyataan ini benar karena tidak ada
contoh penyanggahnya. Namun untuk lebih jelasnya kita dapat memeriksa
semua pasangan x dan y seperti berikut ini:
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
x
1
1
1
2
2
2
3
3
3
y
1
2
3
1
2
3
1
2
3
z
3
3
3
3
3
3
3
3
3
x2 + y 2
2
5
10
5
8
13
10
13
18
≤
2z 2
18
18
18
18
18
18
18
18
18
Nilai(B/S)
B
B
B
B
B
B
B
B
B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
Teorema 4.8.1. Jika x dan y berasal dari semesta yang sama, maka berlaku
1. ∀x, ∀y p(x, y) ≡ ∀x, y p(x, y) ≡ ∀y, ∀x p(x, y)
149 dari 330
2. ∃x, ∃y p(x, y) ≡ ∃x, y p(x, y) ≡ ∃y, ∃x p(x, y)
Cari Halaman
3. ∀x, ∃y p(x, y) ⇒ ∃y, f orallx p(x, y)
4. ∀x p(x) ⇔ ¬ ∃x 3 p(x)
5. ∀x p(x) ∧ ∀x q(x) ⇔ ∀x p(x) ∧ q(x)
6. ∃x p(x) ∨ ∃x q(x) ⇔ ∃x p(x) ∨ q(x)
7. ∀x p(x) ∨ ∀x q(x) ⇒ ∀x p(x) ∨ q(x)
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.9.
Beberapa Bentuk Khusus
Selain kuantor dalam bentuk umum ∀ dan ∃ ada bentuk kuantor khusus
seperti pada berikut ini, yang berlaku apabila peubahnya berasal dari semesta
yang sama. Apabila semestanya tidak sama, maka sifat-sifat tersebut belum
tentu berlaku.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. Terdapat dengan tunggal x yang bersifat p.
∃! x p(x)
2. Ada sebanyak-banyaknya satu objek bersifat p. Ini berarti jika ada x
dan y masing-masing bersifat p, maka x = y.
(∀x, y) p(x) ∧ p(y) ⇔ x = y
3. Setidaknya ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang tidak
sama masing-masing bersifat p.
∃x, y (x 6= y) ∧ p(x) ∧ p(y)
4. Tepat ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang tidak sama
masing-masing bersifat p dan setiap objek ketiga yang bersifat p, maka
objek ketiga ini pasti sama dengan salah satu dua objek pertama.
∃x, y (x 6= y) ∧ p(x) ∧ p(y) ∧ (∀z) p(z) ⇒ (z = x ∨ z = y)
Judul
JJ J
I II
150 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5. Sebanyak-banyaknya ada dua objek bersifat p. Berarti bisa ada dua,
satu atau tidak ada objek yang bersifat p.
∀x, y, z p(x) ∧ p(y) ∧ p(z) ⇒ (x = y) ∨ (x = z) ∨ (y = z)
FMIPA-UNEJ
6. Setidaknya ada satu objek bersifat p
Daftar Isi
∃x p(x)
Judul
Contoh 4.24.
= { Pak Ali, Pak Amir,Pak Budi } merupakan
himpunan suami
W
= { Ny. Budi, Ny. Amir, Ny. Ali, Ny. Ton, Ny. Hasan }
merupakan himpunan istri.
s(x, y) : x suami y
t(x, y) : x istri y
Us = M ×W dan Ut = W ×M. Selanjutnya selidiki nilai kebenaran pernyataanpernyataan
Misalkan M
JJ J
I II
151 dari 330
Cari Halaman
Kembali
i ∀x ∈ M, ∃y ∈ W, s(x, y).
ii ∃y ∈ W, ∀x ∈ M, s(x, y).
iii ∃x ∈ W, ∃y ∈ M, s(x, y).
Layar Penuh
Tutup
iv ∃x ∈ W, ∃y ∈ M, t(x, y).
Keluar
v ∀x ∈ W, ∃y ∈ M, t(x, y).
Jawab:
i Pernyataan ∀x ∈ M, ∃y ∈ W, s(x, y) berarti bahwa untuk setiap orang
anggota M terdapat perempuan anggota W sedemikian sehingga x
suami y. Dengan kata lain setiap suami di M ada istrinya di W . Pernyataan ini benar.
FMIPA-UNEJ
ii Pernyataan ∃y ∈ W, ∀x ∈ M, s(x, y) berarti ada perempuan anggota
W yangberlaku untuk semua laki-laki angggota M sehingga laki-laki
tersebut suami perempuan tadi. Dengan kata lain ada beberapa perempuan yang menjadi istri semua laki-laki di M . Pernyataan ini salah.
Judul
iii Pernyataan ∃x ∈ W, ∃y ∈ M, s(x, y) berarti dari anggota M dan W
dapat dibuat pasangan suami-istri. Pernyataan ini benar.
iv Pernyataan ∃x ∈ W, ∃y ∈ M, t(x, y) identik dengan pernyataan (iii)
jadi bernilai benar.
v Pernyataan ∀x ∈ W, ∃y ∈ M, t(x, y) berarti bahwa untuk semua
perempuan anggota W dapat ditentukan laki-laki anggota M sehingga
dia menjadi istri laki-laki ini. Pernyataan ini salah karena ada contoh
penyanggah yaitu untuk Ny. Hasan tidak dapat ditentukan laki-laki
anggota M sehigga Ny. Hasan istri laki-laki tersebut.
Daftar Isi
JJ J
I II
152 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.10.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini dapat dibaca beberapa
sumber yang telah dikutip sebelumnya. Slain itu dapat juga dibaca beberapa
sumber lain di antaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Polimeni
& Straight [15], Fletcher et al. [5].
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
153 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4.11.
Latihan
1. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat (6 ∃, ∃!, ∃, ∀) sehingga pernyataanpernyataan berikut menjadi benar untuk semesta pembicaraan <. Selanjutnya berikan himpunan penyelesaiannya.
(a) (. . . x) x2 = 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
(b) (. . . x) cos xo = 3
(c) (. . . x) x2 + 2x + 1 = 0
Judul
(d) (. . . x) x2 + 5x + 6 = 0
(e) (. . . x) x2 + 2x + 4 = 0
JJ J
I II
(f) (. . . x) (. . . y) x > y
(g) (. . . x (. . . y) xy = y
154 dari 330
(h) (. . . x (. . . y) (. . . z) x = y = z
Cari Halaman
(i) (. . . x (. . . y) (. . . z) x + y = z
2. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat (6 ∃, ∃!, ∃, ∀) sehingga pernyataanpernyataan berikut menjadi benar untuk semesta pembicaraan himpunan manusia. Selanjutnya tentukan negasinya.
Kembali
Layar Penuh
(a) (. . . x) (x ada yang melahirkan).
(b) (. . . x) (x berkaki lima).
Tutup
(c) (. . . x) (. . . y) (x adalah saudara kandung y).
Keluar
(d) (. . . x) (. . . y) (x tepat sama dengan y).
(e) (. . . x) (. . . y) (x adalah suami y).
(f) (. . . x) (. . . y) (. . . y) (x, y, z saling mengenal).
3. Misalkan
M (x)
P (x)
W (x)
r(x)
q(x, y)
t(x, y)
:
:
:
:
:
:
x
x
x
x
x
x
adalah manusia
adalah pria
adalah wanita
suka merokok
dan y saling mencintai
lebih cerdas dari y
Untuk masing-masing soal berikut tentukan simbol logikanya, simbol negasinya
dan pengucapan negasinya. Selanjutnya dengan menggunakan dunia
riil sebagai semesta tentukan yang mana dari pernyataan (atau negasinya) yang bernilai benar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
155 dari 330
Cari Halaman
(a) Setiap pria lebih cerdas dari setiap wanita.
Kembali
(b) Ada wanita yang lebih cerdas dari beberapa pria.
(c) Setiap manusia adalah pria atau wanita tetapi tidak dua-duanya.
Layar Penuh
(d) Setidaknya ada satu wanita yang suka merokok.
(e) Ada beberapa pria dan wanita yang saling menciantai.
Tutup
(f) Setiap pria tidak lebih cerdas dari setiap wanita.
Keluar
(g) Paling tidak ada 3 laki-laki yang suka merokok.
(h) Paling banyak hanya ada 2 wanita yang suka merokok.
4. Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) ∀x, |x| > 0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
2
(b) ∃x 3 x = x
(c) ∀x∃y 3
x
y
=1
Judul
(d) ∀x∃y 3 xy = x
(e) ∃x∀y 3 xy = y
(f) ∀(x, y) p(x) ∨ q(x)
(g) ∀(x, y) p(x, y) → q(x, y)
5. Diketahui:
N (x) :
P (x) :
G(x) :
I(x) :
C(x) :
S(x) :
J(x) :
JJ J
I II
156 dari 330
Cari Halaman
x
x
x
x
x
x
x
adalah
adalah
adalah
adalah
adalah
adalah
adalah
bilangan asli.
bilangan prima.
bilangan genap.
bilangan ganjil.
bilangan cacah.
bujur sangkar.
persegi panjang.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Tentukan notasi pernyataan-pernyataan berikut:
Keluar
(a) Setiap bilangan asli adalah ganjil atau genap, tetapi tidak keduanya.
(b) Setiap bilangan asli aalah bilangan cacah.
(c) Terdapat bilangan yang sekaligus prima dan genap.
FMIPA-UNEJ
(d) Tidak ada bilangan asli yang ganjil.
(e) Semua bujur sangkar adalah persegi panjang.
Daftar Isi
(f) setiap bilagan prima adalah bilangan asli.
Judul
6. Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dengan notasi yang ditunjuk:
(a) Orang yang bangun pagi memperoleh udara segar. O(x) : x
adalah orang, S(x) : x adalah udara segar, p(x, y) : x memperoleh
y.
(b) Setiap mawar memiliki duri. M (x) : x adalah mawar, D(x) : x
adalah duri, p(x, y) : x memiliki y.
(c) Singa yang mati lebih berbahaya dari anjing hidup. S(x) : x
adalah singa, M (x) : x adalah mati, A(x) : x adalah anjing, H(x) :
x adalah hidup, B(x, y) : X lebih berbahaya dari y.
(d) Semua manusia tidak mengetahui sesuatu, sebelum dia mempelajarinya. M (x) : x adalah manusia,T (x, y) : x tidak mengetahui y,
B(x, y) : x mempelajari y.
7. Nyatakan apakah kalimat-kalimat berikut merupakan suatu kalimat
terbuka (bermakna) pada himpunan yang diberikan.
JJ J
I II
157 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) x + 2 < 1 untuk semesta himpunan bilangan asli.
(b) x2 + 2x + 1 = 0 untuk semesta bilangan riil.
(c) x + 3 > 5 untuk semesta bilangan kompleks.
2
o
2
FMIPA-UNEJ
o
(d) sin x + cos x = 1 untuk semesta bilangan riil.
(e) x mencintai y untuk semesta bilangan kompleks.
sin xo
o
(f) tan x =
untuk semesta bilangan riil.
cos xo
Daftar Isi
Judul
8. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) ∀x ∈ <, x + 3 > 3
(b) ∃x ∈ < 3 x − 5 < 4
(c) ∃x, p(x) ∨ ∀y, q(y)
(d) ∀x, y p(x, y) → q(x, y)
(e) ∃x, y p(x, y) ∧ q(x, y)
(f) ∀ > 0, ∃N0 , 3 ∀N, N > N0 → |aN | < 9. Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, }. Tentukan himpunan penyelaian dari
kalimat-kalimat terbuka berikut.
(a) ∃x 3 2x + 3 < 7.
JJ J
I II
158 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(b) ∃x 3 x adalah genap.
Keluar
(c) ∃x 3 x bukan prima.
(d) ∃x 3 xx = x
10. Untuk semesta U = {2, 3, 4, . . . , 8, 9} tentukan contoh penyanggah
pernyataan-pernyataan berikut.
(a) ∀x, x + 5 < 12.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
(b) ∀x, x adalah prima.
(c) ∀x, x2 > 1.
(d) ∀x, x + 5 > 7.
Judul
JJ J
I II
159 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
160 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
5
Daftar Isi
PENALARAN LOGIS
Judul
JJ J
I II
161 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan memahami
tehnik-tehnik penarikan kesimpulan yang valid baik secara langsung (deduktif), tak langsung, maupun secara induktif. Nantinya diharapkan mampu
menerapkannya dalam pembuktian teorema-teorema di berbagai bidang matematika.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
162 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menyebutkan definisi argumen
2. mengguakan berbagai bentuk argumen yang valid dalam menrik kesimpulan
3. menggunakan pembuktian tidak langsung
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
4. menggunakan Induksi Matematika
JJ J
I II
5. menggunakan tehnik Argumen yang mengandung kuantor
6. menghindarkan sesat Pikir
163 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Argumen
2. Bentuk-Bentuk argumen yang valid
3. Pembuktian tidak langsung
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
4. Induksi Matematika
Judul
5. Argumen berkuantor
6. Sesat Pikir
JJ J
I II
164 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.1.
Argumen
Definisi 5.1.1. Argumen adalah suatu proposisi/ pernyataan majemuk yang
memuat sekumpulan pernyataan-pernyataan P1 , P2 , ...Pn (disebut premis) dan
diikuti suatu pernyataan lain Q yang disebut disebut konklusi /kesimpulan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Notasi : Argumen secara umum dinotasikan dengan:
Judul
P1 , P2 , . . . Pn ` Q
Karena argumen itu adalah suatu proporsi/ pernyataan maka ia dapat bernilai benar atau salah. Argumen yang benar disebut argumen valid /sah /sahih.
Sedangkan argumen yang tidak benar disebut argumen yang invalid /sesat
/fallacy.
Definisi 5.1.2. Suatu argumen dikatakan valid jika kesimpulannya merupakan implikasi logis dari premis-premisnya, yaitu:
P1 , P2 , . . . Pn ` Q jhj P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ · · · ∧ P n ⇒ Q atau
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ · · · ∧ P n → Q ≡ T
JJ J
I II
165 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Karena suatu tautologi akan tetap benar tanpa bergantung pada isi pernyataanpernyataannya maka vadilitas argumen juga tidak bergantung pada isi pernyataanpernyataan baik pada premis maupun konklusinya. Ia hanya bergantung
Tutup
Keluar
pada bentuknya, apakah suatu tautologi atau tidak. Ini adalah ciri khas
dari logika matematika yang bersifat formal. Untuk lebih jelasnya berikut
dikutipkan pendapat Lipschutz (1974:27) berikut :
FMIPA-UNEJ
We emphasize that the validity of an argument does not depend
upon the truth values nor the content of the statement appearing
in the argument, but upon the particular form of the argument.
Contoh 5.1.
Daftar Isi
Judul
P1 : Jika orang hidup membujang maka ia akan tidak bahagia
P2 : Jika orang tidak bahagia maka ia akan mati muda
Q : Jadi (∴)orang yang hidup membujang akan mati muda.
Untuk menyelidiki valid tidaknya argumen di atas kita buat bentuk/ simbol, misalkan:
p : hidup membujang (orang hidup membujang)
q : orang hidup bahagia
r : orang mati muda
Kita peroleh :
JJ J
I II
166 dari 330
Cari Halaman
Kembali
(p → q, q → r) → (p → r)
Layar Penuh
Kita bisa membuktikan/ menunjukkan bahwa:
Tutup
(p → q, q → r) ⇒ (p → r)
Keluar
Jadi penalaran diatas adalah benar/ logis/ valid, terlepas dari keadaan
yang sebenarnya (the concrete situation).
kata-kata jadi, oleh karena itu, kesimpulan, dalam matematika sering
dinotasikan dengan ∴.
FMIPA-UNEJ
Contoh 5.2.
Daftar Isi
P1
:
Jika dua sisi segitiga sama panjang maka sudut-sudut
dihadapannya sama besar
P2 :
Sudut dihadapannya sama besar
Q :
Jadi sisi (dua sisi) segitiga sama panjang.
Sepintas kesimpulan di atas nampak valid, karena pernyataan kesimpulan
sesuai dengan kenyataan sifat-sifat dalam geometri. Tetapi dilihat dari cara
penarikan kesimpulannya, penalaran diatas tidak sah /sesat. Kita dapat
menyelidiki bahwa bentuk:
(p → q) ∧ q → r
bukan tautologi.
Judul
JJ J
I II
167 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.2.
Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid
Telah diuraikan di depan bahwa validitas suatu argumen bergantung pada
bentuknya apakah merupakan implikasi logis atau tidak. Dengan demikian
sembarang implikasi logis dapat dijadikan argumen yang valid. Berikut ini
diberikan beberapa bentuk implikasi logis yang umum dipakai dalam penarikan kesimpulan.
1. Simplifikasi
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Bentuk umum
p∧q `p
JJ J
I II
p∧q `q
Simplifikasi ini merupakan penalaran yang paling sederhana dan dengan mudah dapat dipahami bahwa jika p∧q benar maka baik p maupun
q adalah benar.
168 dari 330
Cari Halaman
Contoh 5.3.
Kembali
2 dan 5 adalah bilangan prima
2 adalah bilangan prima
Layar Penuh
2. Konjungsi
Tutup
Bentuk umum :
p, q ` p ∧ q
Keluar
Contoh 5.4.
2 adalah bilangan prima
2 adalah bilangan genap
2 adalah bilangan prima dan genap
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
3. Adisi
Bentuk umum :
p`p∨q
q `p∨q
Judul
JJ J
I II
Contoh 5.5.
169 dari 330
2 adalah bilangan prima
2 atau 8 adalah bilangan prima
Cari Halaman
4. Silogisme disjungtif
Kembali
Bentuk umum :
p ∨ q, ¬p ` q
Layar Penuh
Pernyataan p ∨ q benar jika salah satu atau keduanya benar, karena
itu, jika p tidak benar maka logis kita simpulkan q benar.
Tutup
Contoh 5.6.
Keluar
2 atau 8 adalah bilangan prima
8 bukan bilangan prima
2 adalah bilangan prima
FMIPA-UNEJ
Contoh 5.7.
Ayah atau ibu menjemput adik
Ayah tidak menjemput adik
Ibu menjemput adik
Daftar Isi
Judul
5. Silogisme Disjungsi Eksklusif
JJ J
Bentuk umum :
I II
p∨q, p ` ¬q
Pada disjungsi eksklusif kebenaran komponennya tidak terjadi bersamasama. Jadi jika p benar haruslah q salah (tidak terjadi).
170 dari 330
Cari Halaman
Contoh 5.8.
Ayah sedang di pasar atau di kantor
Ayah sedang di kantor
Ayah tidak sedang di pasar
Kembali
Layar Penuh
6. Modus Ponens/ Hukum Detasemen
Tutup
Bentuk umum :
p → q, p ` q
Keluar
Bukti validitasnya dapat ditunjukkan berikut :
(p → q) ∧ p ≡ (¬p ∨ q) ∧ p
≡ (¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p)
≡ 0 ∨ (q ∧ p)
≡q∧p
⇒q
ekuivalensi
distributif
komplemen
identitas
simplifikasi
Jadi (p → q) ∧ p ⇒ q dan p → q, p ` q.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Contoh 5.9.
Jika matahari terbit dari barat maka manusia tidak pernah mati
Matahari terbit dari barat
Manusia tidak pernah mati
JJ J
I II
171 dari 330
7. Modus Tolens
Bentuk umum :
Cari Halaman
p → q, ¬q ` ¬p
Bukti :
Kembali
(p → q) ∧ ¬q ≡ (¬p ∨ q) ∧ ¬q
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q)
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ 0
≡ (6= p ∧ ¬q)
⇒ ¬p
EDI
distributif
komplemen
identitas
simplifikasi
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Pada penerapan hukum simplifikasi di atas ¬p∧¬q karena ¬q diketahui,
maka tidak perlu digunakan sebagai kesimpulan dan kesimpulan kita
adalah ¬p.
FMIPA-UNEJ
8. Silogisme Hipotetik
Bentuk umum :
p → q, q → r ` p → r
Salah satu cara untuk membuktikannya adalah sebagai berikut ini.
Misalkan:
Daftar Isi
Judul
JJ J
P1 : p → r
P2 : q → r
Di lain pihak secara keseluruhan implikasinya dapat diubah
Andaikan p
⇒q
⇒r
⇒p → r
I II
172 dari 330
Cari Halaman
Kembali
berdasar P1 dan Modes Ponen
berdasar P2 dan Modes Ponen
Layar Penuh
Tutup
Dengan kata lain pengandaian p akan menghasilkan kesimpulan r.
Keluar
9. Dilema Kontruktif
Bentuk umum :
p → q, r → s, p ∨ r ` q ∨ s
FMIPA-UNEJ
Dilema kontruktif ini adalah merupakan bentuk Modus Ponens yang
lengkap (gabungan dua modus ponen). Ini dapat dipahami sebagai
berikut : p syarat cukup untuk q dan r syarat cukup untuk s, jika salah
satu dari p atau r muncul pastilah salah satu q atau s muncul.(Bisa
juga dilakukan dengan membuktikan tautologinya)
Contoh 5.10.
Daftar Isi
Judul
JJ J
Jika hari hujan maka tanah basah
Jika kamu datang maka saya senang
Hari ini hujan atau kamu datang
Tanah basah atau saya senang
Bentuk lain, yang lebih sederhana dari Dilema konstruktif ini adalah:
(p → q), (r → q), (p ∨ r) ` q
Yang merupakan bentuk modus ponen. Untuk membuktikan validitasnya kita harus membuktikan implikasi logisnya kita harus membuktikan
bahwa :
(p → q) ∧ (r → q) ∧ (p ∨ r) ⇒ q
I II
173 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Contoh 5.11.
Keluar
Jika hari hujan maka tanah basah
Jika tanah disiram maka tanah basah
Hari hujan atau tanah disiram
Maka tanah basah
FMIPA-UNEJ
10. Dilema Destruktif
Daftar Isi
Bentuk umum :
(p → q), (r → s), (¬q ∨ ¬s) ` (¬p ∨ ¬r)
Karena q adalah syarat perlu untuk p dan s syarat perlu untuk r maka,
jika q atau s tidak terjadi maka p atau r juga tidak terjadi.
Judul
JJ J
I II
174 dari 330
Contoh 5.12.
Jika hari hujan maka tanah basah
Jika kamu datang maka saya senang
Tanah tidak basah atau saya tidak senang
Hari tidak hujan atau kamu tidak datang
Bentuk lain yang termasuk dilema destruktif adalah :
(p → q), (p → r), ¬(q ∧ r) ` ¬p
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Contoh 5.13.
Keluar
Jika suatu bilangan asli maka bilangan itu bulat
Jika
√ suatu bilangan asli maka bilangan itu rasional
√2 tidak sekaligus bulat dan rasional
2 bukan bilangan asli
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
175 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.3.
Pembuktian Tidak Langsung
Kadang-kadang dalam membuktikan suatu pernyataan matematis kita tidak
dapat/ tidak praktis membuktikan langsung dari premis-premisnya. Beberapa cara pembuktian yang umum dikelompokkan ke dalam bukti tidak langsung ini adalah :
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. Bukti negasi atau bukti dengan contoh kontra/ penyanggah
2. Bukti kotradiksi (Absurditas/ Reduksio ad Absurdum/ Argument by
cotradiction)
3. Bukti kontra positif
4. Bukti pemilihan dan pencoretan.
5.3.1.
Pembuktian dengan Negasi
Kita telah mengetahui bahwa p dan ¬p mempunyai nilai kebenaran yang
bertentangan. Jika p benar maka ¬p salah. Dengan demikian jika kita dapat membuktikan ¬p salah sama halnya membuktikan ¬p benar, sebaliknya
jika kita dapat menunjukkan ¬p benar berarti kita telah membuktikan p
salah. Dalam argumen berkuantor universal kita dapat menunjukkan valid/
tidaknya dengan menunjukkan contoh-contohnya.
Judul
JJ J
I II
176 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
∃xo ∈ U, p(xo ) ` ¬ ∀(x ∈ U, p(x)
Keluar
@xo ∈ U, p(x) ` ∀x ∈ U, p(x)
Di sini xo dikatakan sebagai contoh penyanggah dan pembuktian dengan
cara menunjukkan contoh penyanggah disebut pembuktian dengan negasi.
FMIPA-UNEJ
Contoh 5.14.
p: setiap bilangan prima adalah ganjil.
Jika kita ingin menunjukkan bahwa p adalah salah, maka kita dapat
melakukannya dengan menunjukkan bahwa ¬p adalah benar, dengan ¬p
adalah “ada bilangan prima yang tidak ganjil”. Pernyataan ini (¬p) adalah
pernyataan yang bernilai benar, yaitu ada xo = 2 yang merupakan bilangan
prima tidak ganjil. 2 disebut contoh penyanggah dari pernyataan p.
Contoh 5.15. p: setiap bilangan asli adalah bulat.
Negasi pernyataan tersebut, ¬p adalah: “terdapat bilangan asli yang
tidak bulat”. Penyataan ¬p tidak benar, karena tidak ada bilangan asli
yang tidak bulat (contoh kontranya tidak ada, ∅). Jadi pernyataan p benar.
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
177 dari 330
Cari Halaman
Kembali
5.3.2.
Pembuktian dengan Kontradiksi
Layar Penuh
Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan kita dapat juga mengandaikan
bahwa pernyataan itu salah, dari pengandaian ini akan ditemukan suatu kontradiksi. Dari kontradiksi yang terjadi disimpulkan bahwa pengandaian ini
salah. Bukti ini sering juga disebut bukti pengandaian .
Tutup
Keluar
Bentuk pembuktian ini adalah :
¬p → F ` p
Pengambilan ¬p disini adalah suatu pengandaian.
FMIPA-UNEJ
Contoh 5.16.
Daftar Isi
Buktikan bahwa “himpunan kosong adalah subset sembarang himpunan
H”, ∅ ⊆ H.
Bukti :
Misalkan pernyataan “himpunan kosong adalah subset sembarang himpunan H” adalah p. Andaikan yang benar adalah ¬p, “∅ bukan subset dari
H”. Ini berarti (dari definisi tentang subset):
∃x ∈ ∅, tetapi x ∈ H.
Pernyataan x ∈ ∅ adalah suatu kontradiksi, sebab ∅ tidak pernah memiliki
suatu elemen. Ini berarti pengandaian harus diingkar, yaitu yang bear adalah
¬(¬p) ≡ p. Kesimpulannya, yang benar adalah p : ∅ ⊆ H
Judul
JJ J
I II
178 dari 330
Cari Halaman
Kembali
5.3.3.
Pembuktian dengan Kontra Positif
Layar Penuh
Membuktikan bahwa p adalah syarat cukup untuk q sama halnya membuktikan q adalah syarat perlu untuk p. Ini berarti jika q tidak muncul, maka p
tidak muncul. Jadi:
¬q → ¬p ⇒ p → q
Tutup
Keluar
Contoh : Jika Abang tidak punya uang maka adik tidak sayang Kesimpulannya : Jika adik sayang abang berarti (maka) Abang lagi punya uang.
Kita menganggap ruas kanan adalah kesimpulan/ konsekuensinya logis dari
ruas kiri. Meskipun kenyataan berlaku ≡, tetapi dalam hal ini kita hanya
memperhatikan → saja.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
179 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.4.
Induksi Matematika
Dalam matematika khususnya yang menyangkut himpunan bilangan asli
dikenal juga pembuktian lain yang disebut Induksi Matematika/ Induksi
Lengkap. Sebenarnya pembuktian ini bukanlah induksi tetapi suatu deduksi
yang di dasarkan atas aksioma/ postulat Peano tentang bilangan asli. Postulat dari Peano menyatakan bahwa
Sembarang subset K dari N dengan sifat
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
1. 1 ∈ K.
2. jika untuk sembarang k ∈, maka k ∗ = k + 1 ∈ K,
JJ J
I II
3. maka K = N Postulat ini dapat dipakai sebagai suatu pembuktian
180 dari 330
P (1), (p(k) → p(k + 1) ` p(n), ∀n ∈ N
Cari Halaman
Secara rinci langkah-langkah induksi matematika untuk membuktikan bahwa
P (n) berlaku untuk semua n ∈ N adalah sebagai berikut:
Kembali
Langkah 1 (awal) buktikan P (1)
Langkah 2 (hipotesis induktif ) andaikan P (k)
Langkah 3 (kesimpulan induktif ) buktikan P (k + 1)
Layar Penuh
Tutup
Contoh 5.17.
Keluar
Buktikan, bahwa untuk semua n ∈ N berlaku
1 + 2 + 3 + · · · + n = 1/2n(n + 1)
FMIPA-UNEJ
Bukti :
i Periksa untuk n = 1
Daftar Isi
1 = 1/2(1 + 1) (Benar)
Judul
ii Misalkan untuk sembarang k berlaku :
1 + 2 + ... + k = 1/2k(k + 1)
iii Maka untuk k∗ = k + 1
1
1 + 2 + ... + k + k + 1 = k(k + 1) + (k + 1)
2
1
= (k + 1)( k + 1)
2
1
= (k + 1)(k + 2)
2
1
= (k + 1)(k + 1 + 1)
2
1
= k ∗ (k ∗ + 1) untuk k ∗ = k + 1
2
JJ J
I II
181 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.5.
5.5.1.
Argumen berkuantor
Translasi kuantor universal dan eksistensial
Perhatikan empat pernyataan berikut :
FMIPA-UNEJ
(i) Setiap/ semua P bersifat Q
Daftar Isi
(ii) Taksatupun P bersifat Q
(iii) Sebagian P bersifat Q
Judul
(iv) Sebagian P tidak bersifat Q
Pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan baik dengan kuantor universal maupun eksistensial.
JJ J
I II
182 dari 330
Dengan kuantor universal
(i) ∀x, P (x) → Q(x)
(ii) ∀x, P (x) → Q(x)
Cari Halaman
Kembali
(iii) ¬(∀x)(P (x) → Q(x)
(iv) ¬[(∀x)(P (x) → Q(x))]
Pernyataan sebagian P bersifat Q sama artinya bahwa tidak benar bahwa
untuk semua x jika x bersifat P maka x tidak bersifat Q. Ingat bahwa
¬(p → q) ≡ (p ∧ ¬q) dan ¬(p ∧ ¬q) ≡ (p → q).
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Dengan kuantor eksistensial
Kalimat atau pernyataan (i), sama artinya dengan tidak benar bahwa ada x
yang bersifat P tetapi tidak bersifat Q. Pernytaan (ii) sama artinya dengan
: tidak benar bahwa ada x yang sekaligus bersifat P dan Q. Jadi notasinya :
FMIPA-UNEJ
h
i
(i) ¬ ∃x, 3 P (x) ∧ Q(x)
Daftar Isi
h
i
(ii) ¬ ∃x, 3 P (x) ∧ Q(x)
Judul
(iii) ∃x, 3 P (x) ∧ Q(x)
(iv) ∃x, 3 P (x) ∧ Q(x).
Kita peroleh kesamaan berikut :
JJ J
I II
183 dari 330
Cari Halaman
(i) (∀x)(P (x) → Q(x)) ≡ ¬(∃x) P (x) ∧ Q(x)
Kembali
(ii) (∀x) P (x) → Q(x) ≡ ¬(∃x) P (x) ∧ Q(x)
Layar Penuh
(iii) ¬(∀x) P (x) → Q(x) ≡ (∃x) P (x) ∧ Q(x)
Tutup
(iv) ¬(∀x) P (x) → Q(x) ≡ (∃x) P (x) ∧ Q(x)
Keluar
5.5.2.
Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial
Perhatikan pernyataan : (∀x)(P (x)), yang berarti kita dapat mengambil
tetapan a ∈ U , secara bebas dan kita peroleh P (a). Jadi kita telah mengkhususkan
dari peubah x ke suatu tetapan a, dengan kata lain kita memberikan contoh. Prinsip ini disebut dengan Spesifikasi Universal (US = Universally
Specified = UI = Universal Instantiation). Perhatikan bahwa pemunculan a
di sini adalah bebas (free occurrence) karena P (x) berlaku untuk semua x.
U S : (∀x)(p(x)) ` P (a), a ∈ U (bebas)
Sebaliknya dari pernyataan (∃x)(P (x)), kita hanya dapat mengambil elemen (tetapan) a tertentu yang bersifat P atau P (a). Dengan demikian
kita juga dapat mengambil contoh ataupun menspesifikasikan yang disebut
pengambilan
Spesifikasi Eksistensial (ES = EI = Existentially Specified = Existentially
Instantiation).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
184 dari 330
Cari Halaman
ES : (∃x)(P (x)) ` P (a), a ∈ U (terbatas)
5.5.3.
Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial
Apabila untuk sembarang (arbitrary) a kita menemukan P (a) maka kita dapat menggeneralisasikan bahwa setiap x, P (x). Ingat bahwa a diambil secara
sembarang (arbitrarily selected). Generalisasi ini disebut Generalisasi Universal (UG).
U G : a ∈ U, P (a)(∀x)(P (x))asembarang
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Apabila a adalah elemen teretentu (diambil dengan memilih beberapa
saja ), maka kita dapat mengadakan generalisasi yaitu terdapat x yang bersifat P , prinsip ini disebut Generalisasi Eksistensial (EG)
EG : (a ∈ U ), P (a)(∃x)(P (x))atertentu
Secara umum apabila premis-premisnya hanya memuat kuantor universal
dan kita hanya menggunakan U S dan U G persoalannya agak mudah dibandingkan dengan penggunaan kuantor universal dan eksistensial bersama-sama
ES dan EG. Untuk itu perlu diperhatikan dalam penggunaannys:
(i) Tidak benar
(∃x)(x 6= y) ` (y 6= y)
Ada suatu x yang tidak sama dengan y. x yang dimaksud adalah x 6= y
jadi x tidak dapat digantikan dengan y
(ii) Kita tidak dapat menggunakan ES sebagai kesimpulan dari
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
185 dari 330
Cari Halaman
(∀x)(∃y)F (x, y) ` (∃y)(∀x)F (x, y)
(iii) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan
(∃x)P (x), (∃x)Q(x) ` (∃x) P (x) ∧ Q(x)
(iv) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan sembarang
unsur
(∃x)P (x) ` P (y)
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Kesimpulan-kesimpulan (generalisasi) di atas dikenal sebagai konsekuensi
(kesimpulan) yang tidak diinginkan yang sering mengelirukan (unwanted consequences).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
186 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.6.
Sesat Pikir
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan argumen yang tidak valid dikatakan
sesat pikir.
Contoh 5.18.
Jika hari hujan maka tanah basah
Tanah basah
Hari hujan
Penarikan kesimpulan hari hujan dari tanah basah adalah tidak sah /
sesat. Kita dapat membuktikan bahwa (p → q) ∧ q → p adalah bukan
tautologi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
187 dari 330
Cari Halaman
Contoh 5.19.
Kembali
Jika hari hujan maka tanah basah
Hari tidak hujan
Tanah tidak basah
Adalah
penarikan
kesimpulan
yang
tidak
sah
/
sesat.
sebab
(p →
q) ∧ (¬p) → ¬q bukan tautologi. Akan tetapi berbeda halnya jika premis
mayornya dinyatakan dengan biimplikasi seperti misalnya :
Layar Penuh
Tutup
Keluar
P1
:
P2
:
K1 :
atau
P3 :
K2 :
Suatu banguan segiempat disebut bujur sangkar Keempat
sudutnya = 90o dan keempat sisinya sama panjang.
Segi empat ABCD , AB = CD = BC = AD dan ∠A =
∠B = ∠C = ∠D = 90o
ABCD bujur sangkar
P QRS bukan bujur sangkar
Salah satu sisinya tidak sama dengan yang lain atau Salah
satu sudutnya bukan 90o
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Dapat dibuktikan bahwa
(p ↔ q), ¬p ` ¬q
JJ J
I II
(p ↔ q), q ` p
188 dari 330
dua-duanya valid.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.7.
Sistem Deduktif dalam Matematika
Teori matematika (yang lebih sering disebut sebagai matematika murni) dapat dipandang suatu sistem deduktif yang tidak harus terkait dengan dunia
nyata. Sebagai sistem deduktif matematika terdiri atas beberapa komponen
diantaranya:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. unsur primitif atau unsur tak terdefinisi;
2. definisi yang biasanya terdiri atas sekumpulan aksioma atau postulat;
3. aturan yang mengatur bagaimana suatu operasi dalam sistem tersebut
diberlakukan;
4. teorema atau proposisi yang merupakan sekumpulan sifat-sifat yang
diturunkan dari definisis dan aturan yang ada;
5. lemma yang merupakan teorama bantu yang diperlukan untuk membuktikan teorema utama;
Judul
JJ J
I II
189 dari 330
Cari Halaman
Kembali
6. korolari yang merupakan konsekuensi logis dari suatu teorema yang
dianggap terlalu dekat untuk dipisah menjadi teorema lain;
Layar Penuh
7. konjektur yang belum bisa dibuktikan.
Aksioma dalam sistem matematika harus memenuhi syarat utama yang
disebut syarat konsistensi yaitu antara satu aksioma dengan aksioma lain
Tutup
Keluar
dalam suatu sistem tidak boleh ada kontradiksi. Dengan demikian, dapat
juga dijamin bahwa teorema-teorama yang diturunkan juga terbebas dari
kontradiksi. Syarat yang kedua, namun tidak dianggap mendesak adalah
syarat independensi yaitu aksioma-aksioma yang menjadi definisi tidak
ada yang dapat diturunkan dari aksioma lainnya. Karena kalau terjadi
demikian, maka aksioma tersebut sesungguhnya telah menjadi suatu teorema. Kegiatan mendefinisikan suatu sistem (misalnya Aljabar Boole, Grup
atau Ring) dengan jumlah aksioma seminim mungkin, merupakan suatu
topik penelitian tersendiri yang cukup menarik dalam bidang matematika
murni.
Beberapa sistem aksioma yang penting yang banyak dikenal dalam matematika diantaranya adalah Sistem Aksioma Aljabar Boole dan beberapa
struktur dalam matematika seperti grup/kelompok, ring/gelanggang
dan field/medan. Sistem aksioma ini banyak dibahas dalam aljabar abstrak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
190 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.8.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber
yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain
diantaranya Enderton [4], Thomas [20], Gemignani [6], Lipschutz [9], dan
Polimeni & Straight [15]. Sedangkan untuk melihat beberapa contoh sistem
aksioma dalam matematika dapat dibaca beberapa referensi tentang aljabar
boole maupun aljabar abstrak.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
191 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
5.9.
Soal-soal Latihan
1. Selidiki apakah argumen-argumen beriku valid atau tidak.
(a) p → q, q → p ` p ↔ q
(b) p → q, ¬p ` ¬q
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
(c) p → q, ¬p ` q
(d) p → q, r → q ` r → ¬p
2. Selidiki apakah penarikan kesimpulan ini sah / valid atau tidak.
(a) Argumen
Jika saya belajar maka saya lulus ujian
Jika saya tidak menikah maka saya tidak lulus ujian
Jika saya belajar maka saya menikah
(b) Argumen
Jika 2 bilangan genap maka 7 bilangan prima
7 bukan bilangan prima atau 9 bilangan sempurna
9 adalah bilangan sempurna
Judul
JJ J
I II
192 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
(c) Argumen
Setiap manusia adalah makhluk Tuhan
Setan adalah makhluk Tuhan
Setan adalah manusia
Tutup
Keluar
(d) Argumen
Semua bujur sangkar adalah persegi panjang
Tidak ada persegi panjang yang bukan jajaran genjang
Bujur sangkar adalah jajaran genjang
(e) Argumen
Jika matahari terbit dari barat maka 2 + 2 = 5
Jika manusia bermuka dua maka matahari terbit dari barat
2 + 2 6= 5
Manusia tidak bermuka dua
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
3. Jika dapat berikan kesimpulannya agar argumen-argumen berikut valid.
Tentukan prinsip apa yang dipakai.
193 dari 330
(a) Argumen
Setiap manusia adalah hewan
Einstein adalah manusia
K ...............................................
(b) Argumen
Siti adalah mahasiswa
Siti adalah pegawai negeri
K ..................................................
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(c) Argumen
Keluar
Saya naik kelas atau tidak diberi hadiah
Saya tidak naik kelas atau saya senang
Saya tidak senang
K ........................................................
(d) Argumen
Atau ayah atau ibu menjemput adik (tapi tidak keduanya)
Ayah menjemput adik
K ..............................................................
(e) Argumen
Jika 2 + 3 = 5 maka 6 adalah bilangan sempurna
Jika 2 × 7 = 14 maka 8 adalah bilangan asli
6 bukan bilangan sempurna atau 8 bukan bilangan asli
K .................................................................
(f) Argumen
Jika Paris ada di Perancis maka 3 + 5 = 6
Jika 4 + 5 = 9 maka 72 = 14
Paris ada di Perancis atau 4 + 5 = 9
K .....................................................................
(g) Argumen
Jika 2 = 3 maka 62 = 12
Jika 3 + 2 = 6 maka 62 = 12
62 6= 12
K ..........................................................
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
194 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
4. Selidiki valid (sah) atau tidaknya penarikan kesimpulan berikut :
(a) Argumen
Jika London tidak di Denmark, maka Paris tidak di Perancis
Paris di Perancis
London di Denmark
(b) Argumen
Jika saya belajar, maka saya tidak jatuh (gagal) dalam matematika
Saya tidak belajar
Saya jatuh dalam matematika
(c) Argumen
Jika 6 adalah genap, maka 2 adalah bukan pembagi 7
5 bukan prima atau 2 adalah pembagi 7
5 adalah prima
6 adalah bukan genap
(d) Argumen
Pada hari ini ulang tahun istriku, kuberikan dia bunga
Hari ini ulang tahun istriku atau saya terlambat ke kantor
Saya tidak memberikan bunga istriku hari ini
Hari ini saya terlambat ke kantor
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
195 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
(e) Argumen
Keluar
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajar
Saya belajar atau saya lulus ujian
Saya bekerja
Saya lulus ujian
(f) Argumen
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajar
Saya belajar atau saya lulus ujian
Saya lulus ujian
Saya bekerja
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
196 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
6
Daftar Isi
HIMPUNAN
Judul
JJ J
I II
197 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep himpunan beserta operasinya serta menggunakannya dalam
menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
198 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat:
1. memberi contoh berbagai jenis himpunan;
2. menentukan relasi dua himpunan;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
3. menyelesaikan operasi dasar himpunan;
Judul
4. menentukan sifat-sifat operasi himpunan;
5. menyelesaikan jumlah dan selisih himpunan;
JJ J
I II
6. menunjukkan sifat-sifat relasi ⊆;
199 dari 330
7. menggunakan himpunan untuk memeriksa validitas silogisme.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Definisi dan jenis himpunan
2. Relasi himpunan
3. Operasi dasar himpunan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
4. Sifat-sifat operasi himpunan
Judul
5. Operasi jumlah dan selisih himpunan
6. Sifat-sifat relasi himpunan bagian/ subset (⊆)
JJ J
I II
7. Pengguaan himpuan dalam silogisme
200 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.1.
Definisi dan Jenis Himpunan
Himpunan pada dasarnya adalah kumpulan objek, namun dalam himpunan
‘tradisional’ kumpulan ini dibatasi dengan jelas, dalam arti dengan jelas dapat ditentukan apakah suatu objek termasuk dalam suatu kumpulan atau
tidak. Selain itu dalam himpunan ‘tradisional’ (untuk membedakan dengan pengertian himpunan samar atau fuzzy set) tidak ada perbedaan tingkat
keangggotaan suatu objek pada suatu himpunan. Berbeda dengan himpunan
organisasi yang anggotanya mungkin dibedakan atas anggota aktif, pasif dan
lain sebagainya. Himpunan sering juga disebut gugus (Lihat misalnya Nasoetion [11]).
Orang yang dianggap sebagai pengenal himpunan adalah matematikawan
Jerman George Cantor (1845-1918). Cantor menggunakan istilah ”menge”
dalam bahasa German yang berarti “Hasil usaha penghimpunan beberapa
benda yang memiliki ciri pembeda tertentu, menjadi kesatuan”. Dalam bahasa Inggris “menge” disebut set (Nasoetion [11, hal.15]).
Definisi 6.1.1. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang dibatasi dengan tegas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
201 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Himpunan pada umumya dinotasikan dengan huruf besar dan objek yang
menjadi angggota ditulis diatara kurung kurawal, {}. Objek yang menjadi
anggota suatu himpunan disebut unsur atau elemen. Unsur-unsur suatu
himpunan dapat dinyatakan dengan menulis keseluruhannya (disebut cara
Tutup
Keluar
tabulasi atau dengan menulis aturan yang menjadi ciri (disebut cara rumusan atau deskripsi).
Contoh 6.1. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, maka dengan jelas dapat ditentukan
FMIPA-UNEJ
i 2 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 ∈ A.
ii 3 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 3 ∈ A.
iii 4 bukan merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 6∈ A.
Himpunan A dapat juga dinyatakan sebagai himpunan bilangan prima sama atau
dibawah 17, dalam notasi matematika
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
A = {x|x ≤ 17 ∧ x : prima} atau
A = {x : x ≤ 17 dan x adalah prima} atau
A = {x; x ≤ 17 dan x adalah prima}
Antara x dan deskripsinya umumnya digunakan tanda “|”, namun ada
juga yang menggunakan tanda “:” dan “;”. (Ruseffendi [16])
Contoh 6.2. G adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150
cm sampai dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan
60 kg. Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti,
setiap kita mengambil seorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur dengan
pasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah dia termasuk dalam
kategori dimaksud. Jadi G adalah suatu himpunan.
202 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 6.3. M adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidak
jelas kriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukan merupakan suatu himpunan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia termasuk
gadis manis atau tidak.
Definisi 6.1.2. Himpunan semesta, dinotasikan dengan S atau U adalah
himpunan dari semua objek yang dibicarakan (menjadi pembicaraan)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Himpunan semesta disebut juga himpunan universal (universal set).
JJ J
I II
Contoh 6.4. Beberapa contoh himpunan semesta misalnya
i U adalah himpunan bilangan riil,
ii U adalah himpunan manusia.
Definisi 6.1.3. Kardinal suatu himpunan adalah banyaknya unsur dari himpunan tersebut. Kardinal himpunan A dinotasikan dengan #(A)
203 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Contoh 6.5. Untuk A = {1, 3, 5, 7, 9}, maka #(A) = 5.
Dilihat dari kardinalnya himpunan dapat dibedakan menjadi himpunan
kosong, himpunan berhingga dan himunan takhingga.
Tutup
Keluar
Definisi 6.1.4. Himpunan kosong atau empty set atau void set, dinotasikan dengan ∅ atau {} adalah himpunan yang tidak memiliki unsur dengan
kata lain
A = ∅ jika dan hanya jika #(A) = 0
Definisi 6.1.5. Himpunan berhingga atau finite set adalah himpunan
yang kardinalnya 0 atau merupakan bilangan asli tertentu
A himpunan berhingga jika dan hanya jika 0 ≤ #(A) < ∞
Definisi 6.1.6. Himpunan takhingga adalah himpunan yang kardinalnya
tak hingga
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
A himpunan takhingga jika dan hanya jika #(A) = ∞
204 dari 330
Contoh 6.6. H adalah himpunan manusia berkaki lima adalah merupakan himpunan kosong.
Cari Halaman
Contoh 6.7. A = {2, 3, 5, 7} adalah merupakan himpunan berhingga.
Contoh 6.8. N himpuan seluruh bilangan bulat adalah merupakan himpunan
takhingga.
Himpunan dapat diilustrasikan dengan diagram yang disebut diagram
Venn. Diagram Venn terdiri atas persegi panjang untuk mengambarkan
himpunan semesta, kurva tertutup untuk menggambarkan himpunan dan
titik-titik untuk menggambarkan unsur-unsur himpunan seperti pada Gambar 6.1.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
S=U
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
A
205 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Gambar 6.1: Contoh Diagram Venn
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.2.
Relasi Himpunan
Dilihat dari unsur-unsur yang menyusun himpunan-himpunan, beberapa himpunan mungkin sama sekali tidak memiliki unsur yang sama, memiliki beberapa unsur yang sama, atau semua unsur-unsurnya sama.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 6.2.1 (Himpunan Saling lepas). Dua himpunan dikatakan saling
lepas disjoint set jika kedua himpunan itu sama sekali tidak memiliki unsur
bersama.
A||B jika dan hanya jika ∀x, (x ∈ A → x 6∈ B) ∧ (x ∈ B → x 6∈ A)
Definisi 6.2.2 (Himpunan berpotongan). Dua himpunan dikatakan berpotongan (dinotasikan G) jika kedua himpunan itu memiliki beberapa unsur
bersama.
A G B jika dan hanya jika ∃x 3 x ∈ A ∧ x ∈ B
Definisi 6.2.3 (Himpunan sama). Dua himpunan dikatakan sama jika semua unsur masing-masing himpunan merupakan unsur bersama.
Judul
JJ J
I II
206 dari 330
Cari Halaman
Kembali
A = B jika dan hanya jika ∀x, x ∈ A ↔ x ∈ B
Layar Penuh
Definisi 6.2.4 (Himpunan ekuivalen). Dua himpunan dikatakan ekuivalen
jika keduanya memiliki kardinal yang sama.
Tutup
A ≡ B ↔ #(A) = #(B)
Keluar
Definisi 6.2.5 (Himpunan bagian). Suatu himpunan dikatakan himpunan
bagian (subset) dari himpunan lain, jika seluruh unsurnya merupakan unsur
himpunan lain tadi.
FMIPA-UNEJ
A ⊆ B ↔ ∀x, (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Teorema 6.2.1 (Kesamaan dua himpunan).
A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Bukti:
Berdasarkan definisi maka jika A = B berlaku:
⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B
⇒∀x, (x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
⇒(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Sebaliknya jika (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) berlaku:
⇒∀x, (x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B
⇒A = B
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
207 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Contoh 6.9. Jika A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5} maka A ⊆ B.
Keluar
U=S
B
C
FMIPA-UNEJ
A
Daftar Isi
D
Judul
JJ J
Gambar 6.2: Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan
Ilustrasi himpunan bagian, himpunan lepas dan himpunan berpotongan
diberikan pada Gambar 6.2. Pada gambar tersebut diilustrasikan A ⊆ B, A
maupun B masing-masing lepas dengan C maupun D, namun C berpotongan
dengan D.
I II
208 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Teorema 6.2.2. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga yang
Keluar
bersifat A ⊆ B dan A ≡ B, maka A = B
Definisi 6.2.6 (Keluarga himpunan). Keluarga himpunan adalah himpunan
yang unsur-unsurnya adalah himpunan-himpunan.
Definisi 6.2.7 (Himpunan kuasa). Himpunan kuasa dari suatu himpunan
adalah keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunan
tadi.
PA = {B|B ⊆ A}
Contoh 6.10. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka A||B.
Contoh 6.11. Jika C = {4, 5, 7, 9} dan D = {5, 7, 11, 12, 15}, maka A berpotongan dengan (G) B
Contoh 6.12. A = {2, 3, 5} dan B = {3, 2, 5} adalah merupakan himpunan
yang sama.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
209 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Contoh 6.13. Jika A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 5}, C = {a, b, c} maka
i A≡B≡C
ii A G B
Layar Penuh
Tutup
iii A||C dan B||C
Keluar
Contoh 6.14. Jika A, B, C adalah suatu himpunan, maka K = {A, B, C}
adalah keluarga himpunan.
Contoh 6.15. Jika A = {1, 2}, maka PA = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}. Jika B =
{a, b, c} maka PB = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 6.2.3. Jika #(A) = n maka #(PA ) = 2n .
Judul
JJ J
I II
210 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.
6.3.1.
Operasi Himpunan
Operasi Dasar Himpunan
Ada tiga operasi dasar dalam himpunan yaitu: operasi uner komplemen (()c ),
operasi biner irisan (∩) dan gabungan (∪). Ketiga operasi ini ekuivalen
dengan operasi negasi, konjungsi dan disjungsi pada logika. Selain itu pada
himpunan juga dikenal operasi selisih dan perkalian himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Definisi 6.3.1 (Operasi Komplemen). Komplemen suatu himpunan adalah
himpuan yang beranggotakan unsur-unsur dari semesta pembicaraan yang
tidak menjadi unsur himpuan bersangkutan.
Ac = {x|x ∈ U ∧ x 6∈ A}
JJ J
I II
211 dari 330
Cari Halaman
Contoh 6.16. Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9}
Kembali
maka
1. Ac = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
2. B c = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
Layar Penuh
Tutup
Ilustrasi grafis komplemen himpunan diberikan pada Gambar 6.3.
Keluar
A
FMIPA-UNEJ
AA
Daftar Isi
Judul
JJ J
Gambar 6.3: Diagram Venn untuk Ac
I II
212 dari 330
Cari Halaman
Definisi 6.3.2 (Operasi Irisan). Irisan dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur bersama kedua
himpunan.
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Kembali
Layar Penuh
Teorema 6.3.1.
A⊆B ⇔A∩B =A
Tutup
Keluar
Contoh 6.17.
Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9} maka A ∩ B = {5}
Diagram Venn irisan dua himpunan diberikan pada Gambar 6.4.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 6.3.3 (Operasi Gabungan). Gabungan dua buah himpunan adalah
himpunan yang beranggotakan semua unsur-unsur yang menjadi unsur salah
satu atau kedua himpunan.
Judul
JJ J
I II
A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
213 dari 330
Cari Halaman
Contoh 6.18.
Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9} maka A ∪ B =
{1, 3, 5, 7, 9} Ilustrasi diagram Venn dari gabungan himpunan diberikan pada
Gambar 6.5.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.2.
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Secara prinsip, himpunan dengan operasinya merupakan Aljabar Boole, sehingga dalil-dalil yang berlaku pada opersi perakit logika dan aljabar Boole
juga berlaku pada operasi himpunan. Demikian juga sifat dualitas berlaku
pula pada himpunan. Dengan demikian pembuktian sifat-sifat operasi pada
himpunan analog dengan pembuktian pada aljabar perakit.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Teorema 6.3.2 (Komplemen Ganda). Untuk sembarang himpunan A berlaku:
(Ac )c = A
(6.1)
Teorema 6.3.3 ( Sifat Komutatif/ Pertukaran). Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku:
A∩B =B∩A
(6.2a)
A∪B =B∪A
JJ J
I II
214 dari 330
Cari Halaman
(6.2b)
Kembali
Teorema 6.3.4 ( Sifat Asosiatif/ Pengelompokan). Untuk sembarang himpunan A, B dan C berlaku:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Layar Penuh
(6.3a)
Tutup
(A ∪ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
(6.3b)
Keluar
Teorema 6.3.5 ( Sifat Identitas). Terdapat identitas untuk interseksi (∅)
dan identitas untuk gabungan (U ) dan untuk setiap himpunan A berlaku
A ∩ U = A dan A ∩ ∅ = ∅
(6.4a)
A ∪ U = U dan A ∪ ∅ = A
(6.4b)
Teorema 6.3.6 ( Sifat Komplemen). Untuk setiap A terdapat dengan tunggal Ac sehingga
(A ∩ Ac ) = ∅
(6.5a)
c
(A ∪ A ) = U
Daftar Isi
Judul
(6.5b)
JJ J
Teorema 6.3.7 (Komplemen identitas).
∅c = U
(6.6a)
c
U =∅
I II
215 dari 330
(6.6b)
Teorema 6.3.8 (Hukum De Morgan). Untuk sembarang himpunan A dan
B berlaku
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
(6.7a)
c
FMIPA-UNEJ
c
(A ∪ B) = A ∩ B
c
Kembali
(6.7b)
Teorema 6.3.9 ( Hukum Distributif). Untuk sembarang himpunan A, B
dan C berlaku:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(6.8a)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Cari Halaman
Layar Penuh
Tutup
(6.8b)
Keluar
Teorema 6.3.10 ( Sifat Idempoten). Untuk sembarang himpunan A berlaku
A∩A=A
(6.9a)
A∪A=A
(6.9b)
Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada Teorema 6.2.1 yaitu A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A. Berikut
diambil salah satu sifat sebagai contoh pembuktian, misalnya A∩B = B ∩A.
Bukti:
Ambil sembarang unsur x ∈ (A ∩ B)
⇒(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
⇒(x ∈ B) ∧ (x ∈ A)
⇒x ∈ (B ∩ A)
⇒(A ∩ B) ⊆ (B ∩ A)
definisi A ∩ B
komutatif konjungsi
definisi B ∩ A
definisi A ⊆ B
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
216 dari 330
Cari Halaman
Sebaliknya, ambil sembarang unsur y ∈ B ∩ A
⇒(y ∈ B) ∧ (y ∈ A)
⇒(y ∈ A) ∧ (y ∈ B)
⇒y ∈ (A ∩ B)
⇒(B ∩ A) ⊆ (A ∩ B)
definisi B ∩ A
komutatif konjungsi
definisi A ∩ B
definisi B ⊆ A
Karena (A ∩ B) ⊆ (B ∩ A) dan (B ∩ A) ⊆ (A ∩ B), berdasarkan Teorema
6.2.1, maka (B ∩ A) = (A ∩ B)
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.3.3.
Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Selain operasi dasar komplemen, gabungan dan irisan, dalam operasi himpunan dikenal juga operasi jumlah dan selisih yang definisinya dapat dirumuskan dengan menggunakan operasi dasar tadi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 6.3.4 (Operasi Selisih). Selisih dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunan pertama yang tidak menjadi unsur himpunan pengurang.
A/B = A − B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Judul
JJ J
I II
Teorema 6.3.11.
A/B = A ∩ B c
Definisi 6.3.5 (Operasi Jumlah). Jumlah dua himpunan adalah himpunan
yang beranggotakan semua unsur yang menjadi anggota salah satu himpunan.
A + B = {(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ (A ∩ B)}
Contoh 6.19. Jika A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {4, 5, 6, 8, 10} maka
1. A ∩ B = {5}
217 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
2. A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Keluar
3. A/B = {1, 5, 7, 9}
4. B/A = {4, 6, 8, 10}
5. A + B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlah serta hubungannya dengan operasi dasar sebelumnya diberikan pada teorema-teorama
berikut. Ilustrasi dapat menggunakan diagram Venn sedangkan pembuktian
secara formal dapat menggunakan definisi kesamaan dua himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
Teorema 6.3.12. Untuk sembarang himpunan A, B
A + B = (A ∪ B)/(A ∩ B)
218 dari 330
Cari Halaman
Teorema 6.3.13. Untuk sembarang himpunan A, B
A + B = (A/B) ∪ (B/A)
Kembali
Layar Penuh
Teorema 6.3.14 (Komutatif jumlah). Untuk sembarang himpunan A, B
Tutup
A+B =B+A
Keluar
Teorema 6.3.15 (Distributif Selisih). Untuk sembarang himpunan A, B, C
(A ∪ B)/C = (A/C) ∪ (B/C)
(6.10a)
(A ∩ B)/C = (A/C) ∩ (B/C)
(6.10b)
Definisi 6.3.6 (Partisi himpunan). Himpunan A dan B dikatakan partisi
dari himpunan C jika dan hanya jika A dan B saling lepas dan gabungannya
sama dengan C.
A, B partisi dari C ↔ (A ∩ B = ∅) ∧ (A ∪ B = C)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
219 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
A
Judul
JJ J
I II
220 dari 330
B
Cari Halaman
Kembali
Gambar 6.4: Diagram Venn A ∩ B
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
B
Judul
JJ J
I II
221 dari 330
A
Cari Halaman
Kembali
Gambar 6.5: Diagram Venn A ∪ B
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
A
A
B
JJ J
I II
222 dari 330
B
Cari Halaman
Gambar 6.6: Diagram Venn A/B dan A + B
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.4.
Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Konsep himpunan bagian (⊂) ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada
himpunan, karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan untuk mempelajari sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 6.4.1. Relasi ⊆ adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif tetapi
non simetrik yaitu:
∀A, A ⊆ A
(6.11a)
∀(A, B, C) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ⊆ C)
(6.11b)
∀(A, B) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) ⇒ (A = B)
(6.11c)
Teorema 6.4.2. Untuk sembarang himpunan A dari semesta U maka
1. A ⊆ A
Judul
JJ J
I II
223 dari 330
Cari Halaman
2. ∅ ⊆ A
Kembali
3. A ⊆ U
Layar Penuh
Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian butir 2.
dan butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti pengandaian.
Bukti 3.:
Tutup
Keluar
Andaikan A 6⊆ U berarti ∃x ∈ A, 3 x 6∈ U . Tetapi berdasarkan definisi
U tidak ada x ∈
/ U . Oleh karena itu terjadi kontradiksi dan pengandaian
harus diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan A, maka A ⊆ U
FMIPA-UNEJ
Teorema 6.4.3.
A⊆B ⇔A∪B =B
Daftar Isi
Judul
Bukti: Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya
JJ J
1. (A ⊆ B) ⇒ A ∪ B = B
2. A ⊆ B ⇐ (A ∪ B = B)
I II
224 dari 330
3. (A ∪ B) ⊆ B)
Cari Halaman
4. B ⊆ (A ∪ B)
Jika A ⊆ B maka ∀x ∈ A ⇔ x ∈ B. Ambil sembarang y ∈ (A ∪ B)
⇒(y ∈ A) ∨ (y ∈ B)
⇒(y ∈ B) ∨ (y ∈ B)
⇒(y ∈ B)
⇒(A ∪ B) ⊆ ∩B)
definisi A ∩ B
A⊆B
idempoten ∨
definisi B ⊆ A
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ambil sembarang z ∈ B
⇒(z ∈ A) ∨ (z ∈ B)
⇒(y ∈ (A ∪ B)
⇒(y ∈ B)
⇒(A ∪ B) ⊆ ∩B)
sifat additif ∨
A⊆B
idempoten ∨
definisi B ⊆ A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Berarti kita telah membuktikan bahwa
Judul
A⊆B ⇒A∪B =B
Untuk hal sebaliknya, misalkan A ∪ B = B, berarti A ∪ B ⊆ B, karenanya
⇒∀x x ∈ (A ∪ B), ⇒ x ∈ B
⇒ 6 ∃x 3 x ∈ (A ∪ B), ∧x 6∈ B
⇒ 6 ∃x 3 (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ B
⇒(6 ∃x ∈ A) ∧ (6 ∃x ∈ B) 3 x 6∈ B
⇒(6 ∃x ∈ A) 3 x 6∈ B
⇒∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
⇒A ⊆ B
JJ J
I II
225 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Teorema 6.4.4. Untuk himpunan semesta U dan himpunan A
Tutup
U ⊆A⇔A=U
Keluar
Teorema 6.4.5.
A⊆∅⇔A=∅
Teorema 6.4.6. Untuk sembarang himpunan A dan B,
FMIPA-UNEJ
A ⊆ A ∪ B dan B ⊆ A ∪ B
Daftar Isi
Teorema 6.4.7. Untuk sembarang himpunan A dan B,
(A ∩ B) ⊆ A dan (A ∩ B) ⊆ B
Judul
Teorema 6.4.8. Untuk sembarang himpunan A dan B,
JJ J
I II
(A/B) ⊆ A dan (B/A) ⊆ B
Teorema 6.4.9. Untuk A, B, C ⊆ U
(A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ∩ B) ⊆ (A ∪ B) ⊆ C
226 dari 330
(6.12)
Cari Halaman
Teorema 6.4.10. Untuk A, B, C ⊆ U
Kembali
(A ⊆ C) ∨ (B ⊆ C) ⇒ (A ∩ B) ⊆ C
(6.13)
Layar Penuh
Teorema 6.4.11. Untuk A, B, C ⊆ U
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C
(6.14)
Tutup
Keluar
Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga diilustrasikan
dengan menggunakan diagram subset yang pada dasarnya merupakan pohon subset. Dengan pohon subset, himpunan-himpunan digambarkan dalam
diagram pohon. Himpunan yang mejadi subset dari himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari himpunan yang menjadi supersetnya dan dihubungkan
dengan garis. Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubunganantara sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat
garis kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam
hal hubungan “subset dari” maka ada dua hal yang selalu benar yaitu:
1. setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta S dan
2. himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, (∅)
adalah subset dari setiap himpunan.
Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah himpunan semesta
dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong.
Misalkan diketahui subset-sebset A, B, C, D, E dari S mempunyai hubungan sebagai berikut: A ⊆ B, B ⊆ C, D ⊆ B. maka diagram pohon
lengkapnya adalah seperti pada bagian kiri Gambar 6.7, sedangkan jika S =
{1, 2, 3, · · · , 10} X = {1, 3, 5, 7, 9}, Y = {2, 4, 6, 8, 10}, Z = {2, 3, 5, 7} W =
{2, 4} dan V = {2} maka diagram pohhon lengkapnya adalah seperti pada
bagian kanan Gambar 6.7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
227 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
U
C
U=S
E
X
Y
B
A
Z
Judul
W
D
V
{}
JJ J
I II
{}
228 dari 330
Cari Halaman
Gambar 6.7: Diagram pohon untuk A, B, C, D (kiri) dan untuk S, X, Y, Z dan
V (kanan)
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.5.
Penggunaan Himpunan dalam Silogisme
Pada Subbab 5.5 telah dibicarakan tata cara penarikan kesimpulan dengan
argumen yang mengandung kuantor. Dalam subbab ini kita akan membahas
hal serupa dengan menggunakan bantuan himpunan khususnya relasi himpunan dan diagram Venn. Berikut diberikan rangkuman kondisi unsur dua
himpunan (A dan B) beserta hubungan yang terjadi diantaranya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Relasi A A ∩ B
dengan
B
semua unsur A menjadi A ⊂ B
A∩B = A
unsur B (universal affiratau A∩B c =
mative)
∅
semua unsur A tidak A ⊂ B c A ∩ B = ∅
menjadi unsur B (universal negative)
sebagian unsur A men- A G B
A ∩ B 6= ∅
jadi unsur B (particular
affirmative)
sebagian unsur A tidak A G B
A ∩ B c 6= ∅
menjadi unsur B (particular negative)
No Unsur A dan B
1
2
3
4
Diagram
Venn
JJ J
I II
Gambar 6.8
229 dari 330
Gambar 6.9
Gambar 6.10
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Gambar 6.11
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
A
Judul
B
JJ J
I II
230 dari 330
Cari Halaman
Gambar 6.8: Diagram Venn untuk A ⊂ B atau A ∩ B c = ∅
Kembali
Berikut diuraikan sifat-sifat relasi himpunan yang terkait dengan penarikan kesimpulan secara silogisme.
Layar Penuh
Tutup
Teorema 6.5.1. Untuk A, B, C ⊆ U jika A himpunan bagian dari B dan
Keluar
B
FMIPA-UNEJ
A
Daftar Isi
Judul
Gambar 6.9: Diagram Venn A|| atau A ∩ B = ∅
JJ J
A himpunan bagian dari C maka A himpunan bagian dari C
(A ∩ B c = ∅) ∧ (B ∩ C c = ∅) ↔ (A ∩ C c = ∅)
(6.15)
Teorema 6.5.2. Untuk A, B, C ⊆ U jika A beririsan dengan B dan B
beririsan dengan C,
(A ∩ B = ∅) ∧ (B ∩ C = ∅)
I II
231 dari 330
Cari Halaman
(6.16)
Kembali
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
Teorema 6.5.3. Untuk A, B, C ⊆ U jika A lepas dengan B dan B lepas
dengan C,
(A ∩ B 6= ∅) ∧ (B ∩ C 6= ∅)
(6.17)
Layar Penuh
Tutup
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
A
B
Judul
JJ J
I II
232 dari 330
Cari Halaman
Gambar 6.10: Diagram Venn untuk A ∩ B 6= ∅
Kembali
Aturan 6.5.1. Secara umum ada 7 aturan mendasar dalam penarikan kesimpulan seperti di atas
Layar Penuh
1. Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua pernyataan negatif.
Jika A||B (Tidak ada unsur A menjadi unsur B), dan B||C (tidak ada
unsur B menjadi unsur C), maka tidak ada kesimpulan yang dapat
diambil tentang hubungan A dan C (bisa berhubungan, bisa tidak,
Tutup
Keluar
A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
B
JJ J
I II
233 dari 330
Cari Halaman
Gambar 6.11: Diagram Venn untuk A ∩ B c 6= ∅
Kembali
lihat Gambar 6.12).
Layar Penuh
2. Jika salah satu premis negatif, maka kesimpulan juga negatif. Jika
A||B (tidak ada unsur A yang menjadi B dan C ⊆ B (C bagian dari
B, maka A||C (tidak ada unsur A yang menjadi C. (lihat Gambar
6.13.
Tutup
Keluar
C2
C1
FMIPA-UNEJ
A
B
Daftar Isi
Gambar 6.12: Diagram Venn untuk A||B dan B||C1 ; B||C2 , namun A||C1 , A G
C1
Judul
JJ J
3. Jika kedua premis positif, maka kesimpulannya juga positif. Jika A ⊆ B
(semua unsur A menjadi unsur B dan B ⊆ C (semua unsur B menjadi
unsur C, maka A ⊆ C (semua unsur A menjadi unsur C).
4. Dalam sillogisme harus ada Unsur (terma/ term) tengah/ antara dan
harus terdistribusi setidaknya sekali dalam premis mayor atau premis
minor.
5. Semua unsur yang muncul dalam kesimpulan, harus juga muncul dalam
premis mayor atau premis minor.
6. Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua premis khusus (particular premises), baik yang positif (afirmatif) maupun yang negatif.
Jika A∩B 6= ∅ (Jika ada unsur A yang menjadi unsur B) dan B ∩C 6= ∅
I II
234 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
C
Daftar Isi
A
B
Judul
JJ J
Gambar 6.13: Diagram Venn untuk A||B, C ⊂ B, maka A||C
(ada unsur B menjadi unsur C), maka tidak ada kesimpulan yang
bisa diambil tentang A ∩ C (lihat Gambar 6.14.)
7. Jika salah satu premis betuknya khusus (eksistensial), maka kesimpulan
juga berbentuk khusus (eksistensial). Jika A ∩ B 6= ∅ (ada unsur A
menjadi unsur B) dan ada beberapa kondisi lain (B ⊂ C, semua unsur
B menjadi unsur C ), maka kesimpulan yang pasti, yang dapat diambil
adalah A ∩ C 6= ∅ (ada unsur A menjadi unsur C, lihat Gambar 6.15).
I II
235 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
C2
FMIPA-UNEJ
C1
A
B
Daftar Isi
Judul
Gambar 6.14: Diagram Venn untuk A G B, B G C1 dan B G C2 . Namun, A 6G C1
dan A G C2
JJ J
I II
236 dari 330
Cari Halaman
C
Kembali
A
B
Layar Penuh
Gambar 6.15: Diagram Venn untuk A G B dan B ⊆ C, maka A G C
Tutup
Keluar
6.6.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber
yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi [16], Nasoetion [11], Lipschutz [9], Polimeni & Straight
[15] dan Courant & Robbins [3] . Secara umum hampir semua buku teks
tetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
237 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
6.7.
Soal-soal Latihan
1. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini:
(a) ∅ ∈ {2, 3}
FMIPA-UNEJ
(b) {1, 2, 3} = {2, 3, 1}
(c) {x ≤ 16|x : prima} ⊆ {0, 1, 2, · · · , 13}
Daftar Isi
(d) {1, 3, 5, · · · } ≡ {1, 2, 3, · · · }
(e) {1, 3, 5, · · · } ⊆ {1, 2, 3, · · · }
2. Untuk himpunan-himpunan berikut, tentukan semua subset-subsetnya.
Selanjutnya buat masing-masing diagram subsetnya.
(a) {2, 3, 4}
Judul
JJ J
I II
238 dari 330
(b) {∅, {2, 3}}
(c) {a, b, c, d}
Cari Halaman
3. Buktikan Teorema 6.4.1 pada halaman 223.
Kembali
4. Buktikan Teorema 6.4.4 pada halaman 225.
5. Buktikan Teorema 6.4.10 pada halaman 226.
6. Tentukan apakah hubungan antara A dan C bisa dibuat, jika ya tentukan hubungannya, jika tidak, sebutkan alasannya (aturan mana yang
tidak terpenuhi, atau yang menyebabkan tidak bisa disimpulkan):
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) A ⊆ B,B ⊆ C
(b) A ⊆ B,C ⊆ B
(c) A G B,B G C
FMIPA-UNEJ
(d) A||B, B||C
7. Tentukan kesimpulan yang bisa diambil dari premis-premis berikut.
Jika tidak ada kesimpulan yang bisa diambil sebutkan alasannya.
Daftar Isi
Judul
(a) P1: Semua burung bisa tertawa; P2: Semua cecak bisa tertawa
(Simpulkan hubungan burung dengan cecak)
(b) P1: Semua yang bertelor bisa terbang; P2: Ada binatang berkaki
empat yang bertelor (adakah binatang berkaki empat yang bisa
terbang?).
(c) P1: Ada mahasiswa yang menjadi wartawan, P2: Ada wartawan
yang suka memeras (apakah ada mahasiswa yang suka memeras?)
(d) P1: Tidak ada mahasiswa yang menjadi pelawak, P2: tidak ada
pelawak yang serius (apakah maahasiswa serius atau tidak ?)
(e) P1: semua bujur sangkar memiliki 4 sudut siku-siku; P2:Semua
persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku (apakah bujur sangkar
itu (sama dengan) persegi panjang?)
8. Buat gambar subset dari serangkaian himpunan-himpunan A, B, C, D, E
dan ∅ berikut:
JJ J
I II
239 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
(a) A = {1, 2, 3, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 3, 5}, D = {2, 5}, E =
{1, 5}
(b) A = {a, b, c, d}, B = {b, c, d}, C = {a, b, c}, D = {b, c}, E = {b, d}
FMIPA-UNEJ
9. Buatlah himpunan yang memenuhi struktur subset seperti pada gambar berikut:
U=S
X
P
U
Y
Z
C
Daftar Isi
Judul
E
F
JJ J
W
V
{}
I II
B
A
D
{}
240 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
7
Daftar Isi
HIMPUNAN BILANGAN
Judul
JJ J
I II
241 dari 330
Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun penggunaannya tidak bisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak dini. Untuk menggambarkan bilangan, kita menggunakan lambang bilangan (angka).
Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematka umumnya, lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilangan Hindu-Arab yang terdiri
atas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk menunjukkan tingkatan dan
urutan ada lambang bilagan lain yang disebut lambang bilangan Romawi
(i,ii,iii,iv,v ...). Pada subbab ini akan dibahas beberapa himpunan bilangan
yang penting.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Mahasiswa memahami himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan
riil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
242 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Mahasiswa dapat menyebutkan ciri-ciri, contoh, dan sifat-sifat operasi hitung
dalam himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
243 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. himpunan Bilangan Asli;
2. himpunan Bilangan Cacah;
3. himpunan Bilangan Bulat;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
4. himpunan Bilangan Rasional;
Judul
5. himpunan Bilangan ;
6. himpunan Bilangan Riil;
JJ J
I II
244 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.1.
Himpunan Bilangan Asli
Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilangan ini
merupakan bilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita ingin menghitung banyaknya sesuatu yang ada di sekuitar kita.
FMIPA-UNEJ
Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, · · · }
Daftar Isi
Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah penjumlahan dan perkalian dengan beberapa sifat berikut:
Judul
Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
∀x, y ∈ N, x + y ∈ N
∀x, y ∈ N, (x.y ∈ N )
JJ J
I II
245 dari 330
Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik penjumlahan dan perkalian, yaitu:
∀x, y ∈ N x + y = y + x
x.y = y.x
∀x, y, z ∈ N x + (y + z) = (x + y) + z
x.(y.z) = (x.y).z
Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
∀x, y, z ∈ N (x + y)z = xz + yz
Keluar
Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identitas penjumlahan.
∃1, 3 ∀x ∈ N x.1 = 1.x = x
FMIPA-UNEJ
tetapi
6 ∃ e ∈ N, 3 ∀x ∈ N x + e = e + x = x
Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut:
1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupun
perkalian.
∀x(6= 1) ∈ N, 6 ∃x0 ∈ N, 3 x.x0 = 1
2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
∃ x, y ∈ N 3 (x − y) 6∈ N dan
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
246 dari 330
Cari Halaman
∃ x, y ∈ N 3 (x/y) 6∈ N
Kembali
Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan komposit.
Bilangan prima1 adalah bilangan yang hanya dapat dibagi bilangan itu sendiri
dan 1. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan prima. Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit. Jadi
1
Layar Penuh
Tutup
Teori tentang himpunan bilangan prima dapat dilihat pada beberapa sumber diantaranya Courant & Robbins [3, hal 21-31]
Keluar
1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 · · · }
2. Himpunan bilangan Komposit = N/P
FMIPA-UNEJ
Definisi 7.1.1. Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k ∗ adalah bilangan
asli berikutnya setelah bilagan asli k. Jadi k ∗ = k + 1.
Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebut
Postulat Peano yang mengatakan bahwa Untuk S ⊆ N , berlaku
h
i
(1 ∈ N ) ∧ (∀ k ∈ S ⇒ k ∗ ∈ S) ⇒ (S = N )
(7.1)
Persamaan (7.1) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dari N , berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S maka
pengurutnya (k ∗ ) juga pada S, maka S adalah himpunan seluruh bilangan
asli.
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
247 dari 330
Cari Halaman
Kembali
h
i
(n1 ∈ N ) ∧ (∀ (k > n1 ) ∈ S ⇒ k ∈ S) ⇒ (S = {n1 , n1 + 1, n1 + 2, · · · })
(7.2)
Persamaan (7.2) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dari N , berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1 pada S
maka pengurutnya (k ∗ ) juga pada S, maka S adalah himpunan bilangan asli
mulai dari n1 , yaitu S = {n1 , n1 + 1, n1 + 2, · · · }.
∗
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Postulat Peano di atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggunakan induksi matematika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yang
dapat dirumuskan sebagai berikut:
h
i
P (1) ∧ ∀ k, P (k) ⇒ P (k ∗ ) ⇒ P (n), ∀ n ∈ N
(7.3)
Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait dengan
himpunan bilangan Asli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak terhitung.
Definisi 7.1.2. Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau himpunan diskrit, jika himpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagian
atau seluruh himpunan bilangan Asli. Jika tidak demikian maka himpunan
dikatakan himpunan takterhitung yang merupakan himpunan kontinu.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
248 dari 330
Cari Halaman
Contoh 7.1. H = {1, 3, 5, · · · },Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilangan
bulat adalah termasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan H = {x|1 <
x < 2, x ∈ <}, himpunan bilangann Rasional, himpunan bilangan Riil adalah
himpunan tak terhitung.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.2.
Himpuan Bilangan Cacah
Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak mempunyai
identitas penjumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli digabung dengan 0
sebagai unsur identitas penjumlahan, maka terbentuklah himpunan bilangan
Cacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga himpunan bilangan kardinal,
karena bilangan cacah ini dipergunakan untuk mementukan kardinal suatu
himpunan. Kardinal himpunan ∅ adalah 0. Jadi bilangan cacah atau bilangan kardinal mulai dari 0.
Himpunan bilangan Cacah(C) = N ∪ {0} = {0, 1, 2, · · · }
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga berlaku
pada himpunan bilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku pada himpunanbilangan asli (identitas penjumlahan, berlaku pada himpunan bilangan
cacah. Himpunan bilangan cacah meskipun memiliki identitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak memiliki invers penjumlahan maupun invers
perkalian.
Sifat 5 Identitas Penjumlahan
∃ 0 ∈ C, 3 ∀c ∈ C, 0 + c = c + 0 = c
Tetapi
∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c0 ∈ C 3 c + c0 = 0
I II
249 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.3.
Himpuan Bilangan Bulat
Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse penjumlahannya, maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z.
FMIPA-UNEJ
Z = C ∪ {−1, −2, · · · } = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · }
Daftar Isi
Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan,
tetapi bukan invers perkalian.
Judul
Sifat 6 Invers Penjumlahan.
∀ c ∈ C, ∃ c0 ∈ C 3 c + c0 = 0
JJ J
I II
250 dari 330
Tetapi,
∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c0 ∈ C 3 c.c0 = 1
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.4.
Himpuan Bilangan Rasional
Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers perkaliannya, maka terbentuklah himpunan bilangan Rasional, Q. Disamping itu bilangan rasional juga tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian (termasuk
perkalian dengan inversdari unsur lainnya). Secara umum bilangan rasional
didefinisika seperti pada definisi berikut ini.
Definisi 7.4.1. Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk a/b dengan b 6= 0. Dalam bentuk desimal q dapat dinyatakan
sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal takhingga tapi berulang.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
251 dari 330
Contoh 7.2. 1/5 = 0, 20 dan 1/3 = 0, 33333... = 0, 33 adalah bilanganbilangan rasional
Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers penjumlahan, maupun invers perkalian.
Sifat 7 Invers Perkalian
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
0
0
∀ x ∈ Q, ∃ x ∈ Q 3 x + x = 0 dan
Tutup
∀ x(6= 0) ∈ C, ∃ x0 ∈ Q 3 c.c0 = 1
Keluar
7.5.
Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
U=R
Judul
N
JJ J
C Z
I II
Q
252 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Gambar 7.1: Diagram Venn mengilustrasikan himpunan Bilangan Riil
Layar Penuh
Dalam himpunan bilangan rasional persamaan xn = y untuk n ≥ 2 tidak
memiliki penyelesaian. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa
tidak ada bilangan rasional x sedemikian sehingga xn = 2. Dengan kata lain,
Tutup
Keluar
√
n
2 bukan bilangan rasional. Bilangan-bilangan yang tidak rasional, yaitu
bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat (a/b),
disebut
bilangan irasional. Bilangan rasional selain merupaka bilangan akar
√
( n a) juga termasuk didalamnya adalah bilangan yang dinyatakan dalam
bentuk pecahan desimal takhingga tapi tak berulang. Ada dua bilangan irasional yang sangat penting yaitu bilangan Euler e yang diperkenalkan Euler
tahun 1748 dan bilangan Archimedes π. Bilangan e didefinisikan sebagai
∞
X
1
1
1
1
= 1 + + + + ···
e=
n
1! 2! 3!
n=0
dan pendekatan π diberikann oleh banyak matematisi diantaranya adalah
John Wallis dengan rumus
∞ π Y
2n
2n
=
2 n=1 2n + 1 2n − 1
(Courant & Robbins [3]) Gabungan antara himpunan bilangan Rasional dan
himpunan bilangan Irasional disebut bilagan Riil R. Secara diagram struktur
Himpunan Bilangan dapat digambarkan pada Gambar 7.1.
Sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan dapat dirangkum seperti
pada Tabel berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
253 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
No Sifat-sifat Operasi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Identitas Penjumlahan (0), 0 +
a=a+0=a
Identitas Perkalian(1), 1a = a1 =
a
Kumutatif Penjumlahan a + b =
b+a
Kumutatif Perkalian ab = ba
Asosiatif Penjumlahan (a + b) +
c = a + (b + c)
Asosiatif Perkalian (ab)c = a(bc)
Invers Penjumlahan a + (−a) = 0
Invers Perkalian a(1/a) = 1
Distributif Perkalian terhadap
Penjumlahan a(b + c) = ab + ac
Tertutup terhadap Operasi Invers
Penjumlahan a + (−b) = c
Tertutup terhadap Operasi Invers
Perkalian a(1/b) = c
Tertutup terhadap Operasi ab = c
Himpunan Bilangan
N C
Z
Q <
× X X X X
FMIPA-UNEJ
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Daftar Isi
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Judul
X
×
×
X
X
×
×
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
×
×
X
X
X
×
×
×
X
X
×
×
×
×
X
JJ J
I II
254 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.6.
Perkembangan perhitungan π
FMIPA-UNEJ
Riil
Rasional Q
Irasional
Bulat Z
Pecah
Cacah C
Bulat Neg
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
255 dari 330
Asli N
0
Cari Halaman
Gambar 7.2: Diagram struktur mengilustrasikan pembagian himpunan Bilangan Riil
Kembali
Sejak zaman dahulu diketahui bahwa rasio luas lingkaran terhadap kuadrat
jaraknya dan rasio keliling lingkaran dengan diameternya adalah konstan.
Namun, pada awalnya belum diketahui bahwa kedua konstanta tersebut
adalah sama. Buku-buku kuno menggunakan konstanta yang berbeda untuk
kedua rasio tersebut.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Perhitungan π menarik perhatian sejak zaman sebelum masehi (sekuitar
1650 SM, di Mesir Kuno digunakan pendekatan π = 3, 16.). Kalkulasi teoritis
sepertinya dimulai oleh Archimedes (287-212 SM) yang mendapatkan pendekatan
223/71 < π < 22/7.
Sejak itu sampai sekarang banyak sekali para matematisi yang melakukan
perhitungan baik secara analitik maupun dengan menggunakan komputer.
Pada zaman modern sekarang akurasi perhitungan π sempat dijadikan salah
satu tes untuk mengukur kecanggihan komputer maupun suatu algorithma.
Beberapa hasil perhitungan π diberiikan pada Tabel 7.1 dan Tabel 7.2
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
Tabel
Matematisi
Rhind papyrus
Archimedes
Aryabhata
Brahmagupta
Fibonacci
Madhava
Newton
Rutherford
Shanks
7.1: Perhitungan π secara analitik
Waktu
Desimal Nilai
2000 SM 1
3.16045 (= 4(8/9)2 )
250 SM 3
3.1418
499
4
3.1416 (= √
62832/2000)
640
1
3.1622 (= 10)
1220
3
3.141818
1400
11
3.14159265359
1665
16
3.1415926535897932
1824
208
hanya 152 benar
1874
707
hanya 527 benar
I II
256 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tabel 7.2: Perhitungan π dengan mesin
Matematisi
Ferguson
Ferguson, Wrench
Smith, Wrench
Reitwiesner dkk.
Nicholson, Jeenel
Felton
Genuys
Felton
Guilloud
Shanks, Wrench
Guilloud, Filliatre
Guilloud, Dichampt
Guilloud, Bouyer
Miyoshi, Kanada
Guilloud
Kanada, Yoshino, Tamura
Ushiro, Kanada
Gosper
Bailey
Kanada, Tamura, Kubo
Kanada, Tamura
Chudnovskys
Kanada, Tamura
Chudnovskys
Kanada, Tamura
Chudnovskys
Kanada, Tamura
Waktu
1947
1947
1949
1949
1954
1957
1958
1958
1959
1961
1966
1967
1973
1981
1982
1982
1983
1985
1986
1987
1988
1989
1989
1989
1989
1994
1995
Desimal
710
808
1120
2037
3092
7480
10000
10021
16167
100265
250000
500000
1001250
2000036
2000050
16777206
10013395
17526200
29360111
134217700
201326551
525229270
536870898
1011196691
1073741799
4044000000
3221225466
Mesin
Kalkulator
Kalkulator
Kalkulator
ENIAC
NORAC
PEGASUS
IBM 704
PEGASUS
IBM 704
IBM 7090
IBM 7030
CDC 6600
CDC 7600
FACOM M-200
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
257 dari 330
Cari Halaman
HITACHI M-280H
HITACHI S-810/20
SYMBOLICS 3670
CRAY-2
NEC SX-2
HITACHI S-820/80
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.7.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sumber
yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi [16], Nasoetion [11], Lipschutz [9], Polimeni & Straight
bk:PolimeniStraight85 dan Courant & Robbins [3]. Bagi yang berminat
mempelajari bilangan dari sisi sejarahnya dapat membaca Haza’s et al. [7].
Secara umum hampir semua buku teks tetang matematika mulai dengan
pembahasan tentang himpunan.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
258 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
7.8.
Soal-soal Latihan
1. Berikan dua contoh bilangan desimal yang takberhingga dan berulang.
2. Tentukan bentuk pecahan biasa dari contoh di atas.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
259 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
260 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
8
PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
261 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep dan sifat-sifat relasi dan fungsi serta menggunakannya dalam
menyelesaikan permasalahan yang berhubungan relasi dan fungsi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
262 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat
1. menyelesaikan perkalian Kartesius dua himpunan
2. memberi contoh berbagai jenis relasi dengan sifat-sifatnya
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
3. memberi contoh berbagai jenis fungsi dengan sifat-sifatnya
Judul
JJ J
I II
263 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Perkalian Kartesius
2. Relasi dan sifat-sifatnya
3. Fungsi
Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada juga
operasi himpunan yang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkalian
kartesius.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
264 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.1.
Perkalian Kartesius
Definisi 8.1.1 (Operasi Perkalian). Perkalian (atau disebut juga perkalian
kartesius) dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua
pasangan berurut unsur pertamanya berasal dari himpunan terkali dan unsur
keduanya berasal dari himpunan pengali.
A × B = {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B}
Contoh 8.1. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {4, 5} maka
1. A × B = {(1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
265 dari 330
2. B × A = {(4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
Cari Halaman
Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan pasangan
terurut, dapat juga dinyatakan dengan grafik kartesius. seperti pada Gambar
8.1.
Teorema 8.1.1. Untuk sembarang A dan B, secara umum berlaku:
1. A × B 6= B × A
Kembali
Layar Penuh
Tutup
2. A × B ≡ B × A
Keluar
6
B
4
FMIPA-UNEJ
2
Daftar Isi
0
Judul
0
2
4
JJ J
6
A
Gambar 8.1: Diagram kartesius mengilustrasikan A × B
I II
266 dari 330
Cari Halaman
3. (A × B) = (B × A) ⇔ A = B
Kembali
Definisi 8.1.2.
A × A = A2 = {(a1 , a2 )|a1 , a2 ∈ A}
n
A
| ×A×
{z. . . × A} = A = {(a1 , a2 , . . . , an )|ai ∈ A, i = 1, 2, . . . , n}
n
(8.1a)
Layar Penuh
(8.1b)
Tutup
Keluar
8.2.
Relasi
Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagian
dari perkalian dua himpunan bersangkutan. Relasi dari himpunan A ke B
dinotasikan dengan RA×B atau R : A → B. Ada tiga komponen yang harus
dipenuhi oleh suatu relasi R : A → B yaitu:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domin, yaitu
himpuan A yang yang akan dihubungkan dengan suatu himpunan lain.
2. Adanya daerah kawan yang disebut kodomin, yaitu himpunan B yang
menjadi kawan himpunan A.
3. Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal A dan himpunan
kawan B.
Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara diantaranya adalah dengan mengguakan diagram panah, himpunan pasangan
berurut. Jika pasangan berurut (x, y) merupakan ang-gota dari R maka
dinotasikan dengan (x, y) ∈ R, jika tidak maka dinotasikan (x, y) 6∈ R.
Judul
JJ J
I II
267 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Contoh 8.2. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan pengawanan
Layar Penuh
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), · · · }
Tutup
atau
R = {(x, y)|y ≤ x; x, y ∈ N }
Keluar
Contoh 8.3. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan R(n) = 2n
dapat dinyatakan dengan R = {(x, y)|y = 2x, x ∈ N }
Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan disebut daerah hasil/ range dari R. Pada contoh diatas daerah hasil HR adalah
himpunan bilangan bulat positif, yaitu HR = {2, 4, 6, · · · }.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
268 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
269 dari 330
A
B
Cari Halaman
Kembali
Gambar 8.2: Diagram panah untukrelasi A ke B, atau ARB
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.3.
Sifat-sifat Relasi
Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadi
beberapa jenis diantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawan
kedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan. Berikut adalah definisi formal
dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 8.3.1. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika
Judul
∀x, (x, x) ∈ R
Definisi 8.3.2. Relasi R dikatakan bersifat non-refleksif jika
∃x, (x, x) 6∈ R
Definisi 8.3.3. Relasi R dikatakan bersifat irrefleksif jika
JJ J
I II
270 dari 330
Cari Halaman
∀x, (x, x) 6∈ R
Kembali
Definisi 8.3.4. Relasi R dikatakan bersifat simetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
Layar Penuh
Definisi 8.3.5. Relasi R dikatakan bersifat non-simetrik jika
Tutup
∃x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Keluar
Definisi 8.3.6. Relasi R dikatakan bersifat asimetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Definisi 8.3.7. Relasi R dikatakan bersifat transitif jika
h
i
∀x, y, z (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
Definisi 8.3.8. Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitif
disebut relasi ekuivalensi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
Contoh 8.4. Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi refleksif.
I II
271 dari 330
1. Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil.
Cari Halaman
∀x, x = x yaitu (xRx)
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0.
Kembali
Layar Penuh
∀x, x faktor dari x yaitu (xRx)
Tutup
4. Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya sendiri.
Keluar
Contoh 8.5. Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif.
1. Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0 tidak dapat
dibagi 0)
2. Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak mencintai
dirinya sendiri.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 8.6. Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif.
1. Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yang
tidak sama dengan dirinya sendiri.
2. Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yag
kurang dari dirinya sendiri.
Judul
JJ J
I II
272 dari 330
3. Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih
gemuk dari dirinya sendiri.
4. Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih
cantik dari dirinya sendiri.
Cari Halaman
Kembali
Contoh 8.7. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik.
1. Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
Layar Penuh
Tutup
3. Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia
Keluar
Contoh 8.8. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik.
i Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi mencintai pada himpunan manusia
Contoh 8.9. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Judul
JJ J
I II
Contoh 8.10. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
273 dari 330
Cari Halaman
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Kembali
Definisi 8.3.9. Relasi R dikatakan bersifat non-transitif jika
h
i
∃x, y, z (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) 6∈ R
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.11. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif.
i Relasi berpotongan pada himpunan.
ii Relasi mengenal pada himpunan manusia
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Definisi 8.3.10. Relasi R dikatakan bersifat intransitif jika
h
i
∀x, y, z (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) 6∈ R
Judul
JJ J
I II
274 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Gambar 8.3: Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A
Secara grafik, dalam bentuk diagram panah, beberapa jenis relasi dari
A ke A digambarkan dalam Gambar 8.3. Dalam diagram tersebut panah
melingkar menunjukkan pengawanan ke dirinya sendiri (refleksif).
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 8.12. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat intransitif.
i Relasi pangkat kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
i Relasi akar kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
ii Relasi pacar dari pada himpunan manusia.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 8.13. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi.
i Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi kongruensi pada himbunan segitiga.
Judul
JJ J
I II
iii Relasi kesejajaran pada himbunan garis.
275 dari 330
iv Relasi sama tinggi pada himpunan manusia.
v Relasi sama berat pada himpunan manusia.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.4.
Penyajian Relasi dengan Matriks
Selain dengan cara diagram panah, reasi juga dapat disajikan dalam bentuk
matriks. Dalam hal ini matriks representasinya memiliki ciri-ciri sebagai
berikut.
1. Baris matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan domain;
2. Kolom matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan kodomain;
3. Jika dua unsur memiliki relasi maka unsur matriks yang bersesuaian
adal 1, jika tidak maka unsurnya adalah 0.
Contoh 8.14.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
276 dari 330
Misalkan R1 adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c} dengan aturan
Cari Halaman
R1 = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a), (4, b)}
Kembali
.
Misalkan pula R2 adalah relasi dari A ke dirinya sendiri dengan aturan
R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 4)}
Layar Penuh
Tutup
, maka dalam bentuk matriks dapat disajukan sebagai berikut:
Keluar

 1

R1 = 
 2
 3
4
a
1
0
1
0
b
1
0
0
1
c
0
1
0
0


 1

R2 = 
 2
 3
4


,


1
1
0
1
0
2
0
1
0
0
3
1
0
1
0
4
0
0
0
1






Representasi relasi dengan matriks merupakann bidang yang berkembang
melalui teori graph. Matriks representasi tersebut biasda disebut matriks
ajasen adjacent matrix. Representasi dengan matriks memungkinkan kita
memanfaatkan perangkat lunak (software) untuk menggambar grafik dari
relasi. Hal ini bermanfaat ntuk menggambar relasi dengan unsur yang cukup
banyak. Pada contoh berikut baik matriks relasi maupun grafiknya seperti
pada Gambar 8.4 dihasilkan dengan program R.
y
x
z
u
v
p
r
t
s
y
0
1
1
1
0
0
0
0
0
x
0
0
0
1
0
0
0
0
0
z
0
0
0
1
1
0
0
0
0
u
1
0
0
0
0
0
0
0
0
v
1
1
1
1
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
1
1
0
r
0
0
0
0
0
1
0
1
1
t
0
0
0
0
0
1
1
0
1
s
0
0
0
0
0
1
1
1
0
q
0
1
0
0
0
0
0
0
0
a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
277 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
q
a
c
b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
Selanjutnya relasi dari {a, b, c, d} ke {x, y, z} dapat juga disajikan dalam
bentuk matriks, dengan mendefinisikan unsur matriks yang bersesuaian. Lihat matriks berikut dan grafiknya pada Gambar 8.5.
x
a
b
c
d
y
z
u
e
v
w
x
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
y
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
z
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
u
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
e
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
v
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
w
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
278 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
x
y
FMIPA-UNEJ
q
z
Daftar Isi
c
Judul
u
s
JJ J
a
I II
b
v
279 dari 330
p
t
Cari Halaman
r
Kembali
Gambar 8.4: Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri
dengan Software R
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
a
u
v
Daftar Isi
b
Judul
w
c
JJ J
I II
x
280 dari 330
d
y
Cari Halaman
e
z
Kembali
Gambar 8.5: Contoh Grafik Relasi dari {a, b, c, d, e} ke {u, v, w, x, y, z} dengan Software R
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
A
B
Gambar 8.6: Diagram mengilustrasikan fungsi dari A ke B
JJ J
I II
281 dari 330
Cari Halaman
8.5.
Fungsi
Kembali
Perhatikan bahwa relasi R : A → B adalah himpunan bagian dari A ×
B. Dalam keadaan demikian bisa jadi ada unsur A yang tidak mempunyai
kawandi B atau suatu unsur di A memiliki lebih dari satu kawan di B.
Beberapa relasi yang sifatnya khusus disebut, yaitu tidak memiliki sifat tadi
disebut fungsi. Dengan kata lain, setiap unsur di A memiliki satu dan hanya
satu kawan unsur B.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Definisi 8.5.1. f : A → B adalah suatu hubungan yang memiliki sifat
bahwa
∀a ∈ A, ∃!, b ∈ B, 3 b = f (a)
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Dalam fungsi ada tiga komponen yang harus dipenuhi yaitu
1. Domain (daerah asal), misalnya himpunan A.
2. Kodomain (daerah kawan), misalnya himpunan B.
Judul
JJ J
I II
3. Aturan pemetaan b = f (a) atau y = f (x) jika fungsinya dari X ke Y.
Dilihat pada diagram panah, maka diagram panah suatu fungsi memiliki
ciri-ciri sebagai berikut:
282 dari 330
Cari Halaman
1. ada panah yang keluar dari domain,
2. panah yang keluar untuk masing-masing unsur hanya ada 1,
Kembali
3. tidak ada unsur yang tidak memiliki panah keluar.
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.6.
Jenis-Jenis Fungsi
Dalam fungsi tidak disyaratkan bahwa semua unsur kodomain harus memiliki
prakawan di domain. Demikian juga tidak ada keharusan bahwa dua unsur
asal harus memiliki kawan yang berbeda. Dilihat dari cara pengambilan
unsur daerah kawan, fungsi dapat dibedakan menjadi beberapa macam yaitu
surjektif, injektif dan bijektif. Fungsi injektif dari suatu himpunan ke dirinya
sendiri sering disebut sebagai permutasi.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Definisi 8.6.1. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi satu-satu (injektif ),
jika setiap unsur berbeda memiliki kawan yang berbeda pula.
f : injektif ↔ ∀x1 , x2 (x1 6= x2 ) ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
JJ J
I II
283 dari 330
Definisi 8.6.2. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi pada (surjektif ), jika
setiap unsur daerah kawan memiliki prakawan atau prabayangan.
Cari Halaman
f : surjektif ↔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X 3, y = f (x)
Definisi 8.6.3. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi korespondensi satusatu (bijektif ), jika f sekaligus injektif dan surjektif.
f : bijektif ↔ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X 3, y = f (x) dan (f (x1 ) = f (x2 )) ⇒ (x1 = x2 )
Teorema 8.6.1. Jika suatu fungsi f dari X yang berhingga ke dirinya
sendiri bersifat injektif, maka dia akan bersifat surjektif, sehingga dia juga
merupakan korespondensi satu-satu.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Bukti:
Andaikan f tidak bersifat surjektif, berarti ada x1 ∈ X sedemikian sehingga tidak ada x sehingga x1 = f (x), sehingga RA 6= A. Tetapi karena
f satu-satu berarti DA = A ≡ RA . Karena RA ⊆ A, RA ≡ A berarti
RA = A(lihat Teorema 6.2.2). Ini merupakan kontradiksi (A 6= A). Oleh
karena itu haruslah juga f bersifat surjektif. Sifat ini tidak berlaku untuk
himpunan tak hingga. Misalnya jika X = N dan f (n) = 2n−1, maka f bersifat injektif, tetapi tidak surjektif, karena bilangan asli dipetakan satu-satu
ke subsetnya, himpunan bilangan asli ganjil.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
Teorema 8.6.2. Jika suatu fungsi dari X yang berhingga ke dirinya sendiri
bersifat surjektif, maka dia akan bersifat injektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
I II
284 dari 330
Cari Halaman
Dilihat dari bentuk hubungan antara x ∈ X dengan y ∈ Y pada fungsi
dari X ke Y., fungsi dapat dibedakan atas:
P
1. fungsi aljabar (polinomial), yaitu fungsi yang berbentuk y = ni=0 ai xi .
beberapa fungsi istimewa termasuk dalam kelompok ini adalah
Kembali
Layar Penuh
(a) fungsi konstan, yaitu bila ai = 0,untuk ∀i 6= 0;
(b) fungsi linier, yaitu bila n = 1 dan a1 6= 0
Tutup
(c) fungsi kuadrat, yaitu bila n = 2 dan a2 6= 0
Keluar
2. fungsi transenden, yaitu fungsi-fungsi selain fungsi aljabar seperti fungsi
trigonmetri (mengandung fungsi sin, cos, dll), fungsi log dan exponensial ( [10]).
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
285 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.7.
Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi
. Fungsi memiliki tiga karakteristik utama yaitu bentuk skala dan lokasi.
Sebagai contoh ambil fungsi yang sederhana yaitu fungsi kuadrat, y = x2 .
Fungsi memiliki bentuk khas yag disebut parabola. Skala parabola pada
suatu nilai a apakah membuka lebar atau sempit, membuka ke atas atau
ke bawah. Sehingga bentuk yang lebih umum y = ax2 , a 6= 0 tetap
mempunyai bentuk sama tetapi dengan sekala berbeda tergantung nilai a.
Selanjutnya jika lokasi fungsi digeser sepanjang sumbu X maupun sumbu
Y , maka menghasilkan persamaan fungsi dengan bentuk fungsi lebih umum
yaitu y = a(x − xp )2 + yp . Fungsi ini adalah fungsi kuadrat dengan puncak
(xp , yp ) dengan bentuk parabola dan membuka (skala) sesuai dengan nilai
a. Dengan kata lain parabola yang dihasilkan hanya berbeser lokasi tanpa
mengubah bentuk, maupun skala (jika a tetap). Ilustrasi tentang bentuk,
skala dan lokasi fungsi diberikan pada Gambar 8.7.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
286 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Y=a(x−xp)^2+yp
20
15
Judul
10
Daftar Isi
JJ J
I II
5
Y
25
FMIPA-UNEJ
0
287 dari 330
−5
Cari Halaman
Kembali
−4
−2
0
2
4
X
Layar Penuh
Gambar 8.7: Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda walau
sebenarnya bentuk dan skalanya sama, tetapi lokasi berbeda
Tutup
Keluar
8.8.
Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber
yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain
diantaranya Ruseffendi[16], Nasoetion [11], Lipschutz[9], Polimeni & Straight
[15]. Secara umum hampir semua buku teks tentang kalkulus, pada bagian
awalnya membahas relasi dan fungsi. Khusus untuk perangkat lunak program
R dapat dilihat lansung pada situs http://www.r-project.org.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
288 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8.9.
Soal-soal Latihan
1. Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {1, 3, 5} tentukan
(a) A × B
FMIPA-UNEJ
(b) B × A
Daftar Isi
2. Diketahui H adalah himpunan bilangan asli kurang dari 17. Buatlah
relasi dari H kedirinya sendiri yang menggambarkan:
Judul
(a) h1 kelipatan dari h2
(b) h1 faktor dari h2
JJ J
I II
3. Buatlah relasi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat
289 dari 330
(a) refleksif dan simetrik tetapi non-transitif
(b) irefleksif tetapi simetrik dan transitif
Cari Halaman
(c) refleksif dan non-simetrik tetapi transitif
4. Buatlah fungsi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat
(a) injektif dan surjektif
Kembali
Layar Penuh
(b) injektif tetapi tidak surjektif
(c) tidak injektif dan tidak surjektif
Tutup
5. Buatlah fungsi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri yang bersifat
Keluar
(a) injektif dan surjektif
(b) injektif tetapi tidak surjektif
(c) tidak injektif dan tidak surjektif
FMIPA-UNEJ
Kesimpulan apa yang dapat anda petik dari soal ini.
6. Buktikan Teorema 8.6.2 pada halaman 284.
7. Diketahui A = {1, 3, 5} dan B = {a, b, c}. Tentukan berapa banyaknya
fungsi (sebutkan fungsi apa saja) yang bisa dibuat dari A ke B yang
bersifat
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
(a) umum (fungsi biasa)
(b) injektif
290 dari 330
(c) surjektif
(d) bijekttif
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
8. Sebutkan ada berapa kondisi relasi yang menyebabkan dia tidak menjadi fungsi.
9. Perhatikan diagram relasi berikut. Tentukan sifat-sifat relasi yang diwakili. Apakah bersifat refleksif, simetrik atau transitif?
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
291 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
292 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
BAB
9
PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
293 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca mengenal dan memahami konsep logika dan himpunan samar serta mampu membedakannya dengan himpunan atau logika yag telah dibicarakan pada bab
sebelumnya.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
294 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat
1. menyebutkan definisi logika samar
2. menyebutkan definisi himpunan samar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
3. memberi contoh logika samar
Judul
4. memberi contoh himpunan samar
JJ J
I II
295 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Materi
1. Konsep Dasar
2. Logika bernilai-3 atau lebih
3. Memodelkan tingkat keanggotaan himpunan
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
296 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.1.
Konsep Dasar
Sejauh ini kita telah mempelajari logika dengan nilai kebenaran yang mutlak,
0 atau 1. Logika ini selanjutnya disebut logika biner (bernilai 2). Padahal di
masyarakat dikenal banyak hal yang sulit ditentukan secara mutlak apakah
suatu itu benar atau salah. Masyarakat biasa menyebut sebagai wilayah
abu-abu (grey area. Demikian juga dalam hal himpunan, kita belum bisa
membicarakan himpunan dengan kriteria bersifat kualitatif. Sifat-sifat atau
keadaan seperti:“cantik, manis, muda, tinggi” adalah merupakan kondisi
yang tidak bisa dinilai secara mutlak. Setiap orang mungkin saja mempuyai
penilaian yang berbeda terhadap objek yang sama. Logika samar maupun
himpunan samar fuzzy logics & fuzzy set logika atau himpunan yang mempertimbangkan nilai keberan atau keanggotaan yang bersifat samar (tidak
mutlak). Namun, dalam kenyataan justru fenomena samar-samar ini yang
banyak dijumpai di masyarakat.
Nilai kebenaran suatu pernyataan p yang dinotasikan dengan τp pada
logika biner dapat dianggap sebagai suatu fungsi indikator yang memetakan
p ke himpunan {0, 1}, seperti dinyatakan dalam definisi berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
297 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Definisi 9.1.1. Nilai kebenaran p pada logika biner didefinisikan sebagai
τp : p → {0, 1} dengan
1 jika p benar
(9.1)
τp (p) =
0 jika p salah
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Demikian juga keanggotaan suatu unsur x pada himpunan biner, A dapat
dianggap sebagai fungsi karakteristik atau fungsi indikator ξA yang memetakan
setiap anggota ke salah satu dari dua kategori, yaitu menjadi anggota (1)
atau bukan anggota (0). Jadi daerah kawan atau hasilnya hanyalah {0, 1}.
Formalnya, fungsi indikator keanggotaan dalam himpunan A didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi 9.1.2. Keanggotaan pada himpunan biner A didefinisikan sebagai
ξA : S → {0, 1} dengan
1 jika x ∈ A
ξA (x) =
(9.2)
0 jika x 6∈ A
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
298 dari 330
Ide fungsi indikator di atas lalu diperluar untuk memungkinkan suatu
unsur memperoleh nilai antara 0 dan 1. Ada banyak hal yang tidak dapat
diukur secara mutlak dengan hanya dua kategori, diantaranya adalah:
1. kondisi sifat seseorang atau sesuatu seperti kecil, tinggi, muda;
2. kondisi keberadaan sesuatu seperti tidak ada, sedikit, banyak, kebanyakan, sebagian besar semua;
3. kondisi hubungan seperti sama, mirip, lebih baik dan lain-lain;
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
4. kondisi kebenaran seperti salah, relatif benar, benar sekali;
Keluar
5. kondisi kemungkinan seperti, tidak mungkin, mungkin, mungkin sekali,
pasti.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
299 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.2.
Logika bernilai tiga atau lebih
Logika matematika tradisional1 dapat juga dikatakan sebagai logika dengan 2
kategori, yaitu 0 dan 1. Salah satu bentuk generalisasi yang paling sederhana
adalah dengan menambahkan satu kategori lagi, misalkan s yang menyatakan
bahwa nilai kebenarannya masih samar (ragu-rahu).
Dengan logika bernilai tiga ini maka nilai kebenaran pada logika ini merupakan fungsi indikator dengan definisi berikut.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
Definisi 9.2.1. Nilai kebenaran p pada logika matematika ‘bernilai-3’ didefinisikan sebagai τs : p → {0, s, 1} dengan

 1 jika p benar
0 jika p salah
(9.3)
τs (p) =

s jika p bukan salah satu di atas.
JJ J
I II
300 dari 330
Cari Halaman
Karena nilai kebenaran dapat dianggap sebagai bilangan riil, atau setidaknya bilangan rasional, 0 < s < 1, maka operator ¬, ∧, ∨ dapat didefinisikan sebagai berikut.
Kembali
Layar Penuh
1
Sebenarnya logika matematika sendiri sudah termasuk kategori logika modern, namun
dengan munculnya logika samar, maka dari kaca mata logika samar, logika matemtika
dapat dianggap sebagai logika tradisional
Tutup
Keluar
Definisi 9.2.2. Nilai kebenaran logika samar dari pernyataan-pernyataan
p, q, r, · · · , masing-masing dengan nilai kebenaran kontinu pada [0,1] didefinisikan sebagai
FMIPA-UNEJ
τs (¬p) = 1 − τs (p)
τs (p ∧ q) = minimum{τs (p), τs (q)}
τs (p ∨ q) = maksimum{τs (p), τs (q)}
(9.4)
(9.5)
(9.6)
Daftar Isi
Judul
x dan y merupakan nilai dari suatu pernyataan, yang berada pada interval
[0,1], maka nilai kebenaran dari hasil operasi konektif dasar seperti pada
Definisi 9.2.2 dapat dinyatakan sebagai berikut:
JJ J
I II
301 dari 330
¬x = 1 − x
x ∧ y = min{x, y}
x ∨ y = min{x, y}
Cari Halaman
Dengan demikian, untuk kategori penilaian 3, yaitu 0,s dan 1, maka tabel
kebenaran ¬p, p ∧ q dan p ∨ q dapat didefinisikan sebagai berikut ini.
Kembali
Layar Penuh
∧
0
s
1
0
0
0
0
s 1
0 0
s s
s 1
∨
0
s
1
0
0
s
1
s
s
s
1
1
1
1
1
0
s
1
¬
1
s
0
Tutup
Keluar
Dengan cara yang sama kita juga dapat membuat tabel kebenaran untuk
implikasi → dan biimplikasi ↔. Sebagaimana pada logika biasa, maka p →
q ≡ (¬p ∨ q), maka s → 0 ≡ ¬s ∨ 0 ≡ s sedangkan dan seterusnya.
→
0
s
1
0 s 1
1 1 1
s 1 1
0 s 1
↔
0
s
1
FMIPA-UNEJ
0 s 1
1 s 0
s 1 s
0 s 1
Contoh 9.1. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut:
p : Ani adalah gadis cantik
q : Ali adalah pemuda cerdas
r : Setiap manusia perlu makan
t : Ada negara dengan tiga ibukota
Jika pernyataan emperik yang belum diketahui kebenarannya, nilainya dinyatakan
dengan s, maka nilai kebenaran pernyataan berikut adalah:
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
302 dari 330
Cari Halaman
1. τ (p) = s, τ (q) = s, τ (r) = 1, τ (t) = 0;
2. τ (p ∧ r) = s,τ (p ∨ r) = 1;
Kembali
3. τ (q ∧ t) = 0, τ (q ∨ t) = s.
Layar Penuh
Sebagaimana disinggung pada pembukaan subbab sebelumnya bahwa fungsi
keanggotaan atau kebenaran dapat diberi nilai secara bebas pada interval
[0,1]. Hal ini memungkinkan kita membuat sistim logika dengan lebih dari 3
nilai.
Tutup
Keluar
Definisi 9.2.3. Nilai kebenaran samar dari pernyataan p, dinotasikan dengan fs adalah suatu fungsi dari p ke [0, 1]. Selanjutnya fs dikatakan sebagai
fungsi kebenaran.
Definisi 9.2.4. Nilai kebenaran p
isikan sebagai τs : p → [0, 1] dengan

1
jika

0
jika
τs (p) =

0 < f (s) < 1 jika
FMIPA-UNEJ
pada logika matematika dapat didefinDaftar Isi
p benar
p salah
p bukan salah satu di atas.
Judul
(9.7)
f (s) dapat berupa fungsi yang menunjukkan derajat keyakinan seseorang
terhadap nilai kebenaran p. Jika P adalah himpunan pernyataan-pernyataan
dengan nilai kebenaran berada pada interval [0,1], maka operasi pernyataan
dengan konektif ¬, ∧, ∨ maupun yang lainnya dapat dilakukan dengan menggunakan Definsi 9.2.2. Dengan kata lain definisi tersebut juga berlaku untuk
sistim yang mempunyai nilai lebih dari 3 kategori, bahkan untuk sistim yang
mempunyai nilai kebenaran kontinu.
JJ J
I II
303 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Teorema 9.2.1. Pada logika samar, berlaku hukum komutatif baik untuk ∧
maupun ∨
Tutup
Keluar
Bukti:
x ∧ y = min(x, y)
= min(y, x)
=y∧x
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Teorema 9.2.2. Pada logika samar, berlaku hukum asosiatif baik untuk ∧
maupun ∨
Judul
JJ J
I II
304 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
9.3.
9.3.1.
Himpunan Samar
Himpunan dengan tiga atau lebih kategori keanggotaan
Seperti halnya pada logika samar. Himpunan samar juga mempunyai tingkat
keanggotaan yang lebih luas dari sekedar ∈ dan ∈.
/ Perluasan yang paling
sederhana adalah mengelompokkan keanggotaan menjadi tiga kategori:
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
1. anggota (pasti) (∈)
Judul
2. anggota (ragu-ragu) (s)
3. bukan anggota (∈)
/
JJ J
Contoh 9.2. Misalkan kita memiliki sejumlah calon mahasiswa dengan kondisi
Niai Ujian matematika (M ) dan Penghasilan orang tua dalam jutaan rupiah (P )
sebagai berikut:
Calon
a
b
c
d
e
M
6,5
4,0
9,0
6,0
8,0
P
25,0
0,1
10,0
1,0
1,5
Jika A adalah himpunan calon mahasiswa cerdas dan B adalah himpunan
calon mahasiswa kaya, maka keanggotaan dari a, b, · · · , e terhadap A dan B
salah satunya dapat ditentukan sebagai berikut:
I II
305 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Unsur A
a
s
b
∈
/
c
∈
d
s
e
∈
9.3.2.
B
∈
∈
/
∈
s
s
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari himpunan
Judul
Tingkat keanggotaan himpunan selain dapat dikategorikan menjadi beberapa
kategori, juga dapat didefinisikan secara kontinu.
Definisi 9.3.1. Keanggotaan samar dari suatu himpunan S adalah suatu
fungsi dari S ke [0, 1].
JJ J
I II
306 dari 330
Cari Halaman
Untuk suatu himpunan samar, misalnya S, fungsi A : S → [0, 1] dikatakan
fungsi keanggotaan dan nilai A(x) disebut tingkat keanggotaan dari x pada
himpuan samar A. Tentu saja fungsi keanggotaan untuk suatu masalah
yang sama dapat berbeda-beda. Jika x merupakan suatu kualitas/ sifat yang
dapat diukur secara kuantitaif (misalnya umur, tinggi badan, berat badan),
maka fungsi derajat keanggotaan ini dapat didefinisikan sebagai fungsi dari
kuantitas tadi yag dipetakan ke [0,1]. Dengan kata lain kita dapat membuat
model keanggotaan secara kontinu untuk sesuatu sifat yang dapat dinyatakan
dalam bentuk angka.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Contoh 9.3. Misalkan kita ingin membuat model keanggotaan dari himpunan
orang muda. Status muda atau tidak dapat dilihat dari umur yang dinyatakan
dalam bentuk angka. Dengan demikian kita dapat membuat model yang menghubungkan
umur dengan keanggotaan himpunan. Misalkan pula untuk membuat himpunan
orang muda seperti ini ada beberapa pendapat. Satu kelompok masyarakat sepakat/ yakin bahwa umur dibawah 25 tahun adalah muda, dan di atas 45 tahun
bukan muda lagi. Tetapi banyak diantara mereka yang menganggap antara 25
sampai 45 tahun juga masih tergolong muda. Kenggotaan ini dapat dirumuskan
dengan Mi (x). Kelompok lain misalnya mempunyai kriteria berbeda. Mereka
sepakat/ yakin bahwa dibawah 30 tahun adalah muda sedangkan di atas 50 tahun
sudah tidak muda lagi. Sedangkan mereka juga menganggap antara 30 dan 50
tahun juga masih bisa dikelompokkan muda (walaupun samar-samar). Fungsi
keanggotaan M diberikan pada persamaan (9.8a) dan grafiknya diberikan pada
Gambar 9.1.
M1 (x) =


1
45−x
20


0
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
307 dari 330
Cari Halaman
jika x < 25
jika 25 < x < 45
jika x > 45
(9.8a)
Misalkan pula bagi kelompok yang lebih senior memiliki model yang
sedikit berbeda (tidak ada keraguan kategori muda untuk usia dibawah 30
dan tidak ada keraguan tidak muda untuk usia di atas 50 tahun), maka salah
satu modelnya adalah seperti pada persamaan (9.8b) dengan grafik seperti
Gambar 9.2.
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.5
FMIPA-UNEJ
1.0
Daftar Isi
0.5
Judul
JJ J
0.0
Muda
Gambar 9.1: Grafik keanggotaan M1
I II
-0.5
308 dari 330
10
20
30
40
50
Cari Halaman
Umur
Kembali


1
M2 (x) = 1 −


0
x−30 2
20
jika x < 30
jika 30 < x < 50
jika x > 50
(9.8b)
Contoh 9.4. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan orang kaya.
Untuk ini misalkan pula masyarakat sepakat bahwa penghasilan dibawah Rp 1
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.5
FMIPA-UNEJ
1.0
Daftar Isi
0.5
Judul
JJ J
0.0
Muda
Gambar 9.2: Grafik keanggotaan M2
I II
-0.5
309 dari 330
10
20
30
40
50
Umur
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
juta tidak dapat dikatakan kaya, sedangkan penghasilan diatas 5 juta sebulan
sudah pasti termasuk kelompok kaya. Maka salah satu fungsi keanggotaan untuk
Tutup
Keluar
masalah ini adalah seperti persamaan (9.9) dengan grafik seperti Gambar 9.3.


0
untuk x < 0, 5 × 106

q
x−0,5×106
K(x) =
(9.9)
untuk 0, 5 × 106 < x < 5106
4,5×106


1
untuk x > 5 × 106
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Contoh 9.5. Misalkan pula kita membuat model keanggotaan himpunan jarang
ditentukan dengan mendefinisikan istilah jarang dengan proporsi keberadaan x
sebagai berikut:
1. benar mutlak (bernilai 1, berarti benar jarang) jika tidak ada sama sekali;
2. mutlak tidak benar (bernilai 0, berarti tidak benar jarang) jika ada lebih
dari 1/2
3. 1 − 4x22 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x adalah proporsi
keberadaan.
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti persamaan (9.10) dengan
grafik seperti pada Gambar 9.3.


jika x < 0
1
2
J(x) = 1 − 4x
(9.10)
jika 0 < x < 1/2


0
jika x > 1/2
Judul
JJ J
I II
310 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
1.5
FMIPA-UNEJ
1.0
Daftar Isi
0.5
Judul
JJ J
0.0
Kaya
Gambar 9.3: Grafik fungsi keanggotaan K
-0.5
311 dari 330
0
1
2
3
4
5
Penghasilan
Grafik dari fungsi ini dapat dilihat pada Gambar 9.4
Contoh 9.6. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan sebagian
besar. Maka pertama kita tentukan karakteristik dari keberadaan tersebut. Salah
satu yang bisa dilakukan adalah dengan melihat prosentase keberadaan objek
yang kita jadikan perhatian. Misalkan pula kita didefinisikan sebagai berikut:
2
I II
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 1 − 12x2 + 16x3
Keluar
1.5
FMIPA-UNEJ
1.0
Daftar Isi
0.5
Judul
JJ J
0.0
Jarang
Gambar 9.4: Grafik fungsi keanggotaan J
I II
-0.5
312 dari 330
0.0
0.5
1.0
1.5
Proporsi
Cari Halaman
Kembali
1. benar mutlak (sebagian besar, bernilai 1) jika adanya lebih dari separuh
(0.5);
2. salah mutlak (tidak benar sebagian besar, bernilai 0) jika adanya 0 (tidak
ada);
Layar Penuh
Tutup
Keluar
3. 8x33 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x menunjukkan proporsi
keberadaan.
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti pada persamaan (9.11).


jika x < 0
0
3
(9.11)
S(x) = 8x
jika 0 < x < 1/2


1
jika x > 1/2
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
313 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
3
kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 4x2
Keluar
9.4.
Bacaan Lebih Lanjut
Teori tentang himpunan samar (fuzzy sets) dimulai oleh L.A. Zadeh, seorang ahli teori kontrol, pada tahun 1965. Walaupun pada awalnya mendapat banyak penolakan, terutama dari kalangan statistisi, dewasa ini teori
samar berkembang cukup pesat dan banyak diapliasikan dalam automatisasi
alat-alat elektronika. Automatisasi dengan sistim atau logika samar diklaim
mendapatkan hasil yang lebih sempurna (dibandingkan dengan tehnik digital yang berdasarkan logika 2 nilai) dan dalam pengendalian robot akan
menghasilkan robot yang lebih cerdas dan lebih mendekati prilaku manusia.
1. mesin cuci, yang dipelopori oleh perusahan Matsushita tahun 1990.
Dengan kontrol menggunakan logika samar mesin cuci lebih cerdas
dalam membaca jenis dan tingkat kotoran pakaian serta mengatur prilaku mesin cuci;
2. pengatur transmisi automatis pada mobil dipelopori oleh perusahan
mobil Nissan. Dengan sistim ini mobil dapat menghemat bahan bakar
sampai 12 sampai 17 %. Tahun 1992 perusahan mobil Mitsubishi menerapkan logika samar bukan saja pada transmisi tetapi juga pada suspensi, kemudi dan daya 4 roda serta pengatur udara;
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
314 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
3. kamera dan video. Kamera dan video yang dilengkapi dengan sistim
logika samar dapat menghasilkan perhitungan penyinaran yang dan
kontrol yang lebih sempurna sehingga menghasilkan gambar yang lebih
baik.
Tutup
Keluar
Bagi pemula, buku tulisan Nguyen & Walker [13] cukup memadai sebagai
tahap awal mendalami logika samar. Aplikasi logika samar pada pengambilan keputusan dapat dibaca pada Kusumadewi & Purnomo [8]. Sedangkan
aplikasi dalam sistim dan kontrol dapat dibaca pada Wang [21]. Pada buku
yang sama Wang juga menguraikan arah dan cabang pengembangan teori
samar.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
315 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
316 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
GLOSSARY
Judul
JJ J
I II
317 dari 330
A
abundan Bilangan abundan/berlebih adalah bilangan yang memiliki jumlah faktor sejati (termasuk 1), melebihi bilangan itu sendiri.
aksioma
asumsi
Aksioma adalah pernyataan yang diterima kebenarannya dalam
rangka membangun suatu teori, yang menghasilkan teorema-teorema
dalam buku ini aksioma dianggap sama dengan postulat.
Asumsi adalah pernyataan yang dianggap benar dalam argumentasi tertentu dan dipergunakan sebagai hipotesis untuk menurunkan suatu kesimpulan.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
D
defisien
Bilangan defisien/berkurang adalah bilangan yang memiliki
jumlah faktor sejati (termasuk 1), kurang dari bilangan itu sendiri.
K
Daftar Isi
konjektur Konjektur adalah pernyataan tentang sifat suatu sistem yang
diduga benar tetapi belum bisa dibuktikan secara deduktif.
korolari
FMIPA-UNEJ
Korolari/akibat langsung adalah konsekuensi logis dari suatu teorema yang sangat dekat kaitannya dengan teorema sebelumnya.
Judul
JJ J
I II
318 dari 330
L
lemma
Lemma adalah suatu sifat yang bergantung pada sistem di luar
yang dibahas yang dibuktikan untuk menyederhanakan pembuktian teorema yang diperlukan.
P
proposisi Proposisi dalam sistem matematika adalah suatu pernyataan tentang sifat-sifat suatu sistem, hampir sama dengan teorema hanya
saja pembuktiannya tidak seformal teorema.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
S
sempurna Bilangan sempurna adalah bilangan yang memiliki jumlah faktor sejati (termasuk 1), sama dengan bilangan itu sendiri.
FMIPA-UNEJ
T
Daftar Isi
teorema
Teorema adalah pernyataan atau rumus yang dapat diturunkan
dari suatu sistim aksioma dengan menerapkan aturan-aturan yang
berlaku pada sistim bersangkutan.
Judul
JJ J
I II
319 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
320 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
DAFTAR PUSTAKA
Judul
JJ J
I II
321 dari 330
[1] E.J. Borowsky and J.M. Borwein. Collins Dictionary Mathematics.
Collins, Great Britain, 1989.
[2] I. M. Copi. Symbolic Logic. The Macmillan Company, New York, 1961.
[3] R. Courant and H. Robbins. What is Mathematics? An Elementary
Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press, Oxford, 1978.
[4] H.B. Enderton. Mathematical Introduction to Logic. Academic Press,
1972.
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
[5] P. Fletcher, H. Hoyle and C.W. Patty. Foundation of Discrete Mathematics. PWS-Kent Pub. Co., Boston, 1991.
[6] M.C. Gemignani. Basic Concept of Mathematics and Logic. Addison
Wisley Pub.Co., 1968.
[7] S.K. Haza’s, S. Dyastriningrum & I. Ngathoillah. Sejarah Matematika,
Klasik dan Modern. UAD Presss, Yogyakarta, 2004.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
[8] S. Kusumadewi and H. Purnomo. Aplikasi Logika Fuzzy untuk pendukung Keputusan. Graha Ilmu, Yogyakarta, 2004.
JJ J
[9] S. Lipschutz. Set Theory and Relatd Topics. Schaum’s Outline Series,
McGraw-Hill Book Co., New York, 1974.
[10] M.A. Munem and D.J. Foulis. Calculus with Analytic Geometry. Worth
Publisher, Inc, New York, 1978.
[11] A.H. Nasoetion. Landasan Matematika. Bharata Karya Aksara, Jakarta,
1980.
I II
322 dari 330
Cari Halaman
Kembali
[12] S. Negoro & B. Harahap. Ensiklopedia Matematika. Ghalia Indonesia,
Jakarta, 1990.
Layar Penuh
[13] H.T. Nguyen and E. A. Walker. A First Course in Fuzzy Logic. Chapman
& Hall/CRC, London, 2nd edition, 2000.
Tutup
Keluar
[14] N. Nissanke. Introductory Logic and Sets for Computer Scientists.
Addison-Wesley Longman Lmt., England:Harlow, 1999.
[15] A.D. Polimeni and H.J. Straight. Foundations of Discrete Mathematics.
Brooks/Cole Pub. Co., California, 1985.
[16] E.T. Ruseffendi. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Tarsito,
Bandung, 3 edition, 1982.
[17] J.J. Siang. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.
Andi, Yogyakarta, 2002.
[18] R. Soekadijo. Logika Dasar. Gramedia, Jakarta, 1983.
[19] S. Sulistyaningsih. Mengenal Tehnik Dasar Komputer. M2S, Bandung,
1984.
[20] N.L. Thomas. Modern Logic-an Introduction. Barnes & Noble, New
York, 1968.
[21] L-X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice-Hall
International Inc., London, 1997.
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
323 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
INDEKS PENULIS
Daftar Isi
Judul
JJ J
Borowsky, 8, 9, 22
Borwein, 8, 9, 22
Harahap, 22
Haza’s, 111
Copi, 8, 9, 20, 34, 35
Courant, 101, 110, 111
Lipschutz, 81, 101, 111, 123
Enderton, 22, 35, 66, 81
Nasoetion, 86, 101, 111, 123
Negoro, 22
Ngathoillah, 111
Nguyen, 135
Fletcher, 66
Polimeni, 8, 66, 81, 101, 111, 123
Gemignani, 8, 22, 35, 66, 81
Robbins, 101, 110, 111
Dyastriningrum, 111
I II
324 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
Ruseffendi, 86, 101, 111, 123
Soekadijo, 8
Straight, 8, 66, 81, 101, 111, 123
Sulistyaningsih, 19
Thomas, 8, 22, 35, 66, 81
Walker, 135
Wang, 135
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
325 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
FMIPA-UNEJ
INDEKS SUBJEK
Daftar Isi
Judul
JJ J
anteseden, 27
argumen
kesimpulan, 71
premis, 71
bentuk normal, 41
CCNF, 43
CDNF, 41
CNF, 42
disjungtif, 41
lengkap, 41
DNF, 41
konjungtif, 42
lengkap, 43
biimplikasi, 27
bilangan
abundan, 11–13
Archimedes, 109
defisien, 13
Euler, 109
komposit, 22
prima, 22
sejarah, 111
sempurna, 13
I II
326 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
biner, 35
bukti
tak langsung, 76
kontradiksi, 76
negasi, 76
pengandaian, 76
penyanggah, 76
Dagger, 21
deduktif, 81
definisi, 9
diagram
kartesius, 114
panah, 115, 122
pohon, 99
Venn, 88, 91–93, 95, 109, 111
diagram Venn, 47, 89
dilema
destruktif, 75
konstruktif, 74, 75
dual, 18
ekuivalen, 17
ekuivalensi
biimplikasi, 32
implikasi, 32
logis, 31
faktor, 41
fungsi
aljabar, 123
karakteristik
bentuk, 123
lokasi, 123
skala, 123
transenden, 123
trigonometri, 123
fuzzy, 128
gabungan, 59
generalisasi
universal, 79
gugus, 86
himpunan, 86
bagian, 89
berhingga, 87
berpotongan, 88
bilangan
asli, 57
cacah, 108
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
327 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
kardinal, 108
diskrit, 107
ekuivalen, 89
elemen, 86
deskripsi, 86
tabulasi, 86
keluarga, 90
kontinu, 107
kosong, 87
kuasa, 90
partisi, 96
penyelesaian, 56
saling lepas, 88
sama, 88
samar, 86
semesta, 87
subset
sifat-sifat, 96, 98–100
takhingga, 87
terhitung, 107
unsur, 86
hipotesis, 27
hirarki
perakit, 21, 34
implikasi, 27
formal, 28
logis, 31
material, 28
induksi
lengkap, 77
matematika, 77, 107
irisan, 59
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
jaringan
listrik, 46
kalimat
matematika, 56
terbuka, 56
tertutup, 56
karakteristik, 40
kardinal
himpunan, 87
kebenaran
nilai, 11
tabel
konjungsi, 13
negasi, 12
kesimpulan, 27
JJ J
I II
328 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
konklusi, 27
konsekuen, 27
konstanta, 55
kontra, 76
kontradiksi, 16, 43
kuantor
eksistensial, 57
universal, 57
kuantor eksistensial, 78, 79
kuantor universal, 78
negasi, 12
biimplikasi, 33
implikasi, 33
tunggal, 12
notasi, 8
Lukasiewicz, 34
operasi himpunan
gabungan, 91
irisan, 91
jumlah, 95, 96
kartesius, 113
komplemen, 90
selisih, 95, 96
sifat-sifat, 92
parabola, 123
Peano, 77
pengingkaran
alternatif, 21
bersama, 21
pengurut, 107
penyanggah, 76
perakit, 13
dan, 13
dasar, 15
disjungsi, 14
eksklusif, 20
konjungsi, 13
permutasi, 122
pernyataan
aljabar, 17
kalkulus, 17
kondisional, 27
majemuk, 13
tunggal, 11
peubah, 55
primitif, 81
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
329 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar
rangkap, 18
uner, 35
samar, 128
himpunan, 131
logika, 128, 130
assosiatif, 130
komutatif, 130
konektif, 129
semesta
pembicaraan, 55
seri, 47
simbol, 8
spesifikasi
eksistensial, 79
universal, 79
Stroke, 21
subset, 89
suku, 41
syarat
cukup, 28, 29
perlu, 28, 29
variabel, 55
tautologi, 16, 42
tetapan, 55
translasi, 44
FMIPA-UNEJ
Daftar Isi
Judul
JJ J
I II
330 dari 330
Cari Halaman
Kembali
Layar Penuh
Tutup
Keluar