BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Defenisi Medan

BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Defenisi Medan
Bila bicara tentang partikel-partikel, maka akan selalu terkait dengan apa yang
disebut dengan medan. Medan adalah sesuatu yang muncul merambah ruang waktu,
tidak seperti partikel yang muncul di hanya satu titik pada suatu waktu, seperti
hanlnya sebuah medan magnet. Medan biasanya direpresentasikan secara sistematis
oleh medan skalar dan medan vektor.
2.1.1Medan Skalar
Medan skalar adalah sebuah fungsi (medan) yang menghasilkan nilai tunggal
pada setiap titik dalam ruang. Namun nilai tunggal pada setiap titik tersebut tidak
cukup untuk mengkarakterisasi besaran lainnya seperti kecepatan angin (selama arah
pada setiap titik dalam ruang sangat perlu).
Contoh Medan Skalar : potensial listrik, temperatur, tekanan atmosfir, ketinggian,
kedalaman dll.
2.1.2 Medan Vektor
Medan vektor adalah sebuah fungsi (medan) yang memiliki besar dan arah
dalam ruang. Misalnya pada medan magnet. Sebuah medan magnet adalah medan
vektor: yaitu berhubungan dengan setiap titik dalam ruang vektor yang dapat berubah
menurut waktu. Arah medan ini adalah seimbang dengan arah jarum kompas yang
diletakkan di dalam medan tersebut.
6
2.2 Defenisi Medan Magnet
Medan magnet adalah suatu medan yang dibentuk dengan menggerakan
muatan listrik (arus listrik) yang menyebabkan munculnya gaya di muatan listrik yang
bergerak lainnya. Medan magnet adalah ruangan di sekitar kutub magnet, yang gaya
tarik/tolaknya masih dirasakan oleh magnet lain. Sebuah medan magnet adalah medan
vektor: yaitu berhubungan dengan setiap titik dalam ruang vektor yang dapat berubah
menurut waktu. Arah dari medan ini adalah seimbang dengan arah jarum
kompas yang diletakkan di dalam medan tersebut. Dalam fisika, Magnetisme adalah
salah satu fenomena yang terjadi pada materi/benda yang dapat memberikan gaya
menarik atau menolak terhadap benda lainnya. Beberapa benda yang memiliki sifat
magnet adalah besi, dan beberapa baja, serta mineral Iodeston; namun, seluruh benda
pasti terpengaruh oleh adanya gaya magnet ini walaupun kecil. Magnet selalu
memiliki dua kutub yaitu: kutub Utara (North/ N) dan kutub Selatan (South/ S).
Walaupun magnet itu dipotong-potong, potongan magnet kecil tersebut akan tetap
memiliki dua kutub.
Medan magnetik didefinisikan sebagai daerah atau ruang di sekitar magnet
yang masih dipengaruhi gaya magnetik. Kuat dan arah medan magnetik dapat juga
dinyatakan oleh garis gaya magnetik. Jumlah garis gaya per satuan penampang
melintang adalah ukuran “kuat medan magnetik”, dilambangkan dengan huruf
“B” dan satuannya “Wb/m2 ” atau “Tesla”. Dan Bumi adalah medan magnet alam.
Kuat medan magnet di suatu titik di dalam medan magnet ialah besar gaya pada suatu
satuan kuat kutub di titik itu di dalam medan magnet m adalah kuat kutub yang
menimbulkan medan magnet dalam Ampere-meter. R jarak dari kutub magnet sampai
titik yang bersangkutan dalam meter. dan H = kuat medan titik itu dalam :
dalam
N
atau
A. m
Weber
. Jumlah garis gaya tiap satuan luas yang tegak lurus kuat medan
m2
magnet disuatu titik sebanding dengan rapat garis-garis gaya dan berbanding terbalik
dengan permeabilitasnya. B= rapat garis-garis gaya=permeabilitas zat itu Rapat garisgaris gaya menyatakan kebesaran induksi magnetik.
7
2.2.1 Medan Magnet Homogen dan Medan Magnet non-Homogen
Gambar 2.1 Medan Magnet Homogen dan non-Homogen
Gambar diatas memperlihatkan penampang sebuah kumparan eksitasi. Di sini terlihat
bahwa garis-garis fluks magnetik di sebelah dalam kumparan terbagi merata pada
seluruh penampang dalam kumparan.
Medan magnet di mana semua garis fluks magnetik sejajar dan berjarak sama
dinamakan medan magnet homogen.
Akan tetapi garis-garis fluks magnetik di sebelah luar kumparan tidak sejajar lagi dan
jaraknya tidak lagi sama besar. Jenis medan magnet semacam ini dinamakan nonhomogen.
2.3 Medan Magnetik Bumi
Matahari memiliki medan magnet yang terdapat pada bagian atmosfer
matahari. Medan magnet ini berperan terhadap berbagai aktivitas yang terjadi di
matahari. Salah satu aktivitas di atmosfer matahari yang berkaitan dengan medan
magnetik matahari adalah ledakan matahari. Ledakan matahari diakibatkan karena
terbukanya salah satu kumparan medan magnet permukaaan matahari. Ledakan ini
melepaskan partikel berenergi tinggi dan radiasi elektromagnetik pada panjang
gelombang sinar-x dan sinar gamma. Partikel yang berenergi tinggi jika mengarah ke
bumi akan mencapai bumi dalam waktu 1-2 hari. Sedangkan radiasi elektromagnetik
energi tingginya akan mencapai bumi hanya dalam waktu sekitar 8 menit.
8
Badai matahari membahayakan bagi makhluk hidup yang peka terhadapa
medan magnetik bumi, misalnya burung-burung, lumba-lumba, dan paus, yang
menggunakan medan magnetik bumi sebagai penentu arah. Bahaya yang lain dialami
oleh astronot yang berada di luar angkasa saat badai matahari terjadi. Sedangkan kita
yang berada di bumi adalah relatif aman karena terlindungi oleh medan magnetik
bumi.
Gambar 2.2 Lapisan Medan Magnetik Bumi
Medan magnet bumi membentang hingga jauh di atas atmosfer dan
membentuk sebuah perisai yang melindungi bumi. Perisai ini diberi nama Sabuk VanAllen. Besarnya energi listrik yang diperlukan untuk menjaga keberadaan medan
magnet seperti ini hampir mencapai satu miliar ampere. Ini setara dengan jumlah
energi listrik yang pernah dibangkitkan umat manusia sepanjang sejarah.
Kebanyakan dari sinar-sinar mematikan yang berasal dari angkasa luar, dan
meteor yang melintas di angkasa tidak mampu menembus sabuk Van Allen. Selain
panas, sinar, dan radiasi, matahari menyemburkan ke arah bumi badai yang terdiri atas
proton dan elektron yang bergerak dengan kecepatan sekitar 1,5 kilometer per detik.
Badai matahari ini merupakan salah satu bahaya paling besar. Namun badai matahari
ini tidak mampu menembus Sabuk Van-Allen yang membentuk medan magnet
berjarak 40 ribu mil (64360 km) dari bumi ini. Saat menghujani medan magnet
tersebut,
badai
matahari
yang
berupa
dibelokkan mengelilingi medan magnet ini.
hujan
partikel
itu
memudar,
dan
9
Gambar 2.3 Pergerakan partikel dalam medan magnetik
Garis-garis magnet bumi yang membentang jauh ke angkasa, menangkap
partikel-partikel bermuatan yang bergerak melingkari garis-garis magnet.
Untuk
mengkaji bagaimana informasi partikel yang bergerak tersebut, diambil persamaan
Dirac. Bila sebuah partikel bermuatan bergerak tegak lurus dengan medan magnet
homogen yang mempengaruhi selama geraknya, maka muatan akan bergerak dengan
lintasan berupa lingkaran seperti pada gambar 2.3. Berikut gambar dibawah ini
mengilustrasikan bagaimana angin/badai matahari dibiaskan oleh medan magnetik
bumi sehingga makhluk di bumi bisa selamat.
Gambar 2.4 Radiasi Matahari yang Dibiaskan oleh Lapisan Magnetosfer
10
2.4 Penggambaran Suatu Partikel dalam Teori Medan Kuantum
Dalam Teori Medan Kuantum setiap partikel memiliki pasangannya atau antipartikelnya yang disebut dengan antimateri. Antipartikel memiliki kesamaan dalam
seluruh informasi sistem partikel tersebut kecuali muatannya yang berlawanan.
Sehingga partikel dan antipartikel sering disebut sebagai pasangan anti partikel yang
berlawanan. Dan jika ditinjau dalam ranah relativitas maka partikel tersebut bergerak
mendekati cahaya sehingga memiliki energi kinetik sebagai tinjauan energi total
sistem partikel.
Saat ini diketahui bahwa kecepatan cahaya adalah kecepatan yang paling
cepat di alam semesta (mutlak), sehingga partikel- antipartikel memiliki kecepatan
yang tinggi mendekati kecepatan cahaya. Diketahui dalam ilmu fisika bahwa suara
adalah salah satu bentuk gelombang dan dalam fisika kuantum, semua sistem partikel
memiliki sifat gelombang maupun sebaliknya. Maka partikel – antipartikel merupakan
salah satu fenomena dari fisika.
Pada Teori Medan Kuantum, jika partikel bertemu dengan anti-partikelnya
maka akan terjadi fenomena alam yaitu pemusnahan materi atau pemusnahan
pasangan (pair annihilation), proses anihilasi dari musnahnya pasangan partikel ini
akan menghasilkan suatu photon berenergi tinggi (cahaya dengan frekuensi tinggi).
Contohnya adalah positron yang bertemu dengan elektron akan saling memusnahkan
dan menghasilkan suatu cahaya/photon. Inilah partikel-partikel berlawanan yang
saling berbenturan dengan kecepatan tinggi mendekati cahaya dan merupakan
fenomena Fisika kuantum yaitu partikel-gelombang, sehingga bunga-bunga api
(cahaya) yaitu photon yang dihasilkan/terpancar/terpercik dari proses pair anihilation.
Pergerakan proses pemusnahan dan penciptaan partikel dari awal hingga
akhir merupakan suatu kemungkinan dapat dapat diketahui dari solusi gelombangnya
dan hal tersebut terjadi dalam ruang-waktu. Medan magnetik menyebabkan proses
penciptaan dan pemusnahan partikel terjadi secara terus menerus dalam tingkat sub
atom. Hal tersebut terjadi setiap saat dan disetiap tempat serta seimbang.
11
2.5 Energi Relativitas
Energi tidak dapat diciptakan atau dimusnakan, tetapi diubah ke bentuk yang
lain. Pada awal abad ke-20, Einstein menyatakan bahwa massa dan energi adalah dua
hal yang tidak bisa dipisahkan. Sebuah benda yang mempunyai massa akan
mengandung sejumlah energi.
E
= mc2
di mana E adalah energi, madalah massa, dan c adalah kecepatan cahaya dalam
ruang hampa. Energi Relativitas adalah energi total ketika suatu benda dalam keadaan
diam. Teori modern menyatakan bahwa baik massa maupun energi dapat dihancurkan,
tetapi hanya pindah dari satu lokasi ke lokasi lain. Massa dan energi keduanya
dilestarikan secara terpisah dalam relativitas khusus, dan tidak dapat dibuat atau
dihancurkan. Dalam fisika, massa harus dibedakan dari materi , sebuah ide yang lebih
kurang jelas dalam ilmu fisika. E = mc2, kadang-kadang digunakan sebagai penjelasan
atas asal usul energi dalam proses nuklir, tetapi kesetaraan massa-energi tidak
menjelaskan asal-usul energi tersebut. Sebaliknya, hubungan ini hanya menunjukkan
bahwa sejumlah besar energi yang dilepaskan dalam reaksi tersebut dapat
menunjukkan massa yang cukup bahwa massa-rugi dapat diukur, ketika energi yang
dilepaskan (dan massa) telah dihapus dari sistem.
Jika objek bergerak cepat, massa relativistik lebih besar dari massa lain dengan
jumlah yang sama dengan massa yang terkait dengan energi kinetik objek. Sebagai
objek mendekati kecepatan cahaya, massa relativistik tumbuh jauh, karena energi
kinetik tumbuh jauh dan energi ini dikaitkan dengan massa.
Relativistik adalah massa selalu sama dengan total (energi sisa energi
ditambah kinetik) energi dibagi dengan c
2.
Karena massa relativistik adalah persis
sebanding dengan energi, massa relativistik dan energi relativistik hampir sinonim,
satu-satunya perbedaan antara mereka adalah unit . Namun, sambungan atau
relativitas energi total (E r)dengan atau invarian massa diam (m
0)membutuhkan
pertimbangan dari jumlah momentum sistem, dalam sistem dan frame referensi di
mana momentum memiliki nilai bukan nol.
Rumus kemudian diminta untuk menghubungkan berbagai jenis massa dan energi,
12
adalah versi diperpanjang persamaan Einstein, yang disebut hubungan energi1
momentum relativistik. : 𝐸𝑝 = (𝑚2 𝑐 4 + 𝑐 2 𝒑2 )2
Di sini (pc) 2 istilah merupakan kuadrat dari norma Euclidean (panjang vektor
total) dari vektor berbagai momentum dalam sistem, yang mengurangi dengan kuadrat
besar momentum sederhana, jika hanya satu partikel dianggap. Untuk foton dimana
m= 0,persamaan tereduksi menjadi E = pc.
2.6
Persamaan Dirac
Dalam fisika, lebih khusus mekanika kuantum relativistik, persamaan Dirac
adalah persamaan gelombang, yang dirumuskan oleh fisikawan Inggris Paul Dirac
pada tahun 1928. Ini memberikan deskripsi dasar spin ½ partikel, seperti elektron,
konsisten dengan kedua prinsip-prinsip mekanika kuantum dan teori relativitas
khusus, dan adalah teori pertama sepenuhnya untunk memperhitungkan relativitas
dalam konteks mekanika kuantum. Ini menyumbang rincian halus dari spektrum
hidrogen dalam cara yang sama sekali ketat.
Persamaan ini juga tersirat adanya suatu bentuk baru dari materi, antimateri,
penemuan sampai sekarang yang tak terduga dan tidak teramati dan benar-benar
mendahului eksperimental. Hal ini juga memberikan pembenaran teoritis untuk
pengenalan beberapa komponen fungsi gelombang dalam teori fenomenologis Pauli
dari spin. Penjelasan Dirac sendiri tentang spin menghasilkan penyatuan mekanika
kuantum dan relativitas, dan akhirnya penemuan positron merupakan salah satu
kemenangan besar dalam fisika teori.
2.6.1 Hamiltonian Dirac
Hamiltonian sistem partikel dengan massa (𝑚) dan memiliki momentum (𝑝)
secara relativistik klasik dipresentasikan dengan
𝐻 2 = 𝒑𝟐 𝑐 2 + 𝑚2 𝑐 4
(2.1)
yang merupakan ekspresi energi relativistik. Apabila persamaan (2.1) diatas dikalikan
dengan persamaan gelombang 𝜓 𝑥 maka
13
𝐻2 𝜓 𝑥
= 𝒑𝟐 𝑐 2 + 𝑚2 𝑐 4 𝜓 𝑥
𝐻 = 𝑐 (𝒑 + 𝑚𝑐 2 )
(2.2)
Dimana x merupakan koordinat ruang waktu, 𝑥 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 . Dengan momentum
dalam ruang tiga dimensi 𝒑 =
𝑝 =
𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 , sehingga
𝑚𝟐 𝑐 2 + 𝑝1 2 + 𝑝2 2 + 𝑝3 2
𝑝 =
1
2
𝑚𝑐, 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3
(2.3)
Maka Hamiltonian pada persamaan (2.2) dapat ditulis
𝐻 = 𝑐 𝑚𝟐 𝑐 2 + 𝑝1 2 + 𝑝2 2 + 𝑝3 2
1
2
𝐻 = 𝑐 𝑝
(2.4)
Persamaan diatas adalah Hamiltonian sistem relativistik dengan diketahui
bahwa energi total dan momentum adalah suatu operator yang bekerja pada suatu
fungsi. Sehingga persamaan diatas harus dioperasikan dengan suatu fungsi yaitu
fungsi gelombang 𝜓 𝑥 ,dan dengan defenisi
𝑝4 =
𝐻
(2.5)
𝑐
𝑝4 adalah momentum baru yang termodifikasi, sehingga persamaan (2.4) menjadi
𝑝4 𝜓 𝑥 = 𝑝 𝜓 𝑥
𝑝4 −
𝑚𝟐 𝑐 2 + 𝑝1 2 + 𝑝2 2 + 𝑝3 2
1
2
𝜓 𝑥 =0
Persamaan diatas memenuhi hubungan antara energi dan momentum.
(2.6)
14
2.4.2 Matrik Dirac
Tensor adalah geometri untuk memperluas pengertian skalar, vector dan
matriks. Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang
membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu
kesatuan.
Matrik Dirac adalah massa partikel yang komponen energi dan momentumnya yang
dituliskan dalam bentuk vektor dimensi empat dikalikan suatu matrik.
Salah satu sifat matrik Dirac antara lain
𝛼1 2 = 𝛼2 2 = 𝛼3 3 = 𝛽 2 = 1
(2.7)
Dimana 𝛼 dan 𝛽 merupakan sinar yang dihasilkan karena adanya partikel dan
antipartikel yang saling bertumbukan.
Dari persamaan kuantum relativistik Dirac yaitu
𝑖ħ
𝜕
= 𝛽𝑚𝑐 2 + (𝑖ħ𝑐(𝜶𝑘 ))
𝜕𝑡
= 𝑖ħ𝑐 𝜶𝑘  + 𝛽𝑚𝑐 2
Jika dioperasikan dengan fungsi gelombang 𝜓 𝑥
(2.8)
dan dengan sifat matrik Dirac
serta didefenisikan matriks gama yaitu
𝛾𝑘 = −𝛽𝜶𝑘
=
0 − 𝛼𝜅
−𝛼𝜅 0
dan
𝛾0 = 𝛾4 = 𝛽
(2.9)
Dimana gamma dalam hal ini yaitu sinar yang dihasilkan karena adanya partikel dan
antipartikel yang saling bertumbukan.
Maka persamaan dapat ditulis menjadi
𝛾𝑘 𝜓(𝑥) +
𝑚𝑐
ħ
𝜓(𝑥)  𝛾4
𝑖 𝜕
𝑐 𝜕𝑡
𝜓(𝑥) = 0
(2.10)
15
Perubahan
ini terjadi karena adanya penambahan sifat matriks Dirac dan
didefenisikan dengan matriks gamma.
Jika dinotasikan
a.
b.
c.
𝛾𝜇 = 𝛾𝑘 , 𝛾4
𝜕
𝜕𝑥𝜇
𝜕
𝜕𝑥𝜇
=
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
+
,
𝜕
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
−
𝑖 𝜕
𝑐 𝜕𝑡
(2.11)
𝜕
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥 4
Karena matrik  berorde empat maka fungsi gelombang 𝜓 𝑥 haruslah matrik kolom
4x1.
𝜓(𝑥) =
𝜓1 𝑥
𝜓2 𝑥
𝜓3 𝑥
𝜓4(𝑥)
(2.12)
Matrik diatas sering disebut bispinor (spinor Dirac).
Dengan menggunakan defenisi pada persamaan (2.10) didefenisikan konjugat hermit
a. 𝜓(𝑥) = 𝜓 +(𝑥)
b.
c.
𝜕
+
𝜕𝑥𝑘
𝜕
𝜕𝑥 4
+
=
𝜕
(2.13)
𝜕𝑥𝑘
= −
𝜕
𝜕𝑥 4
16
2.3 Persamaan Dirac Dalam Pengaruh Medan Magnetik
Telah diketahui bahwa peralihan dari klasik ke kuantum dilakukan dengan
merubah besaran momentum dan energi total menjadi suatu operator yang beroperasi
pada suatu fungsi keadaan 𝜓 𝑥 .
𝐸  𝑖ħ
𝜕
𝜕𝑡
𝑃   𝑖ħ
(2.14)
Peralihan dari klasik ke kuantum diatas adalah peralihan yang berlaku bagi
partikel bebas. Untuk partikel bermuatan listrik yang berada dalam ruangan bermedan
magnetik, haruslah dilakukan penyesuaian. Diketahui bahwa medan magnetik adalah
curl dari suatu potensial vektor
𝐵 =   Ā𝛼 (𝑥)
(2.15)
Dengan defenisi dari potensial vektor dalam bentuk vektor empat, dimana vektor
empat merupakan vektor yang berdimensi empat,
Ā𝛼 (𝑥) = ( 𝑐ф (𝑥0 ), Ā𝛼 (𝑥))
(2.16)
Dengan demikian momentum dari suatu partikel bermuatan yang berada dalam
pengaruh medan magnetik berubah menjadi
𝑃   𝑖ħ +
𝑞
𝑐
Ā𝛼 (𝑥)
(2.17)
Dengan q adalah muatan dari partikel tersebut dan c adalah kecepatan cahaya. Dengan
demikian persamaan Dirac yang merupakan dasar dari persamaan gerak partikel
fermionik menjadi berubah bentuk untuk partikel bermuatan listrik didalam pengaruh
medan magnetik. Dengan persamaan kuantum Dirac untuk partikel bebas
𝜕
𝑖ħ 𝜕𝑡 𝜓(𝑥) = {𝑐( 𝑖ħ𝜶𝑘  + 𝑚𝑐𝛽)}𝜓(𝑥)
(2.18)
Dengan berubahnya momentum untuk partikel bermuatan dalam pengaruh medan
magnetic, sehingga persamaan kuantum relativistic Dirac dalam pengaruh medan
magnetic menjadi
𝜕
𝑖ħ 𝜕𝑡 𝜓(𝑥) = (𝜎𝑘 (𝑖ħ𝑐 + 𝑞 Ā𝛼 (𝑥)) + 𝛽𝑚𝑐 2 )𝜓(𝑥)
(2.19)