SP245-052098-803-10 467KB Jul 07 2011 11:17:29 AM

BAB 4
INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika adalah metode pembuktian
untuk proposisi perihal bilangan bulat.

Contoh-contoh proposisi perihal bilangan bulat
:




Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah
n(n+1)/2
Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah
n2
Jumlah n buah bilangan genap positif pertama adalah
n2+n
Untuk semua n≥1, n3+2n adalah kelipatan 3
4.1 PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat
positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk
membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu
menunjukan bahwa :
1. p(1) benar
2. Untuk semua bilangan bulat positif n  1,
jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

Langkah 1 dinamakan Basis Induksi, sedangkan langkah 2
dinamakan Langkah Induksi.

Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa
pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan 1, yang
merupakan bilangan bulat positif terkecil.
Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan
bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis
induksi.
Langkah induksi harus memperlihatkan bahwa
p(n)p(n+1) benar untuk semua bilangan bulat positif.
Bila kedua langkah tsb benar, maka sudah dibuktikan
bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.



4.2 PRINSIP INDUKSI YANG
DIRAMPATKAN

Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk
semua bilangan bulat  n0 , prinsip induksi sederhana dapat
dirampatkan untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai
berikut :
1. p (n0) benar
2. Untuk semua bilangan bulat n  n0, jika p(n) benar
maka p(n+1) juga benar.
4.3 PRINSIP INDUKSI KUAT



Versi induksi yang lebih kuat diperlukan untuk
membuktikan pernyataan mengenai bilangan bulat.Versi
induksi yang lebih kuat adalah sebagai berikut :
1. p (n0) benar
2. Untuk semua bilangan bulat n  n0, jika
p(n0), p(n0+1),….p(n) benar maka p(n+1)
juga benar.
4.4 BENTUK INDUKSI SECARA
UMUM


Bentuk induksi secara umum dibuat supaya dapat
diterapkan tidak hanya untuk pembuktian yang
menyangkut himpunan bilangan bulat positif,
tetapi juga pembuktian yang menyangkut
himpunan objek yang lebih umum.
Syaratnya himpunan objek itu harus memiliki
keterurutan dan mempunyai elemen terkecil.
DEFINISI KETERURUTAN DAN
ELEMEN TERKECIL
Relasi biner “<“ pada himpunan X dikatakan terurut
dengan baik bila memiliki properti berikut :
 Diberikan x, y, z  X, jika x < y dan y < z, maka
x < z.
 Diberikan x, y  X, salah satu dari kemungkinan ini
benar: x < y dan y < x, atau x = y
 Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X,
terdapat elemen x  A sedemikian sehingga
x  y untuk semua y  A .
Dengan kata lain, setiap himpunan bagian tidak kosong
dari X mengandung elemen terkecil.
BENTUK UMUM INDUKSI SECARA
UMUM :

1.
2.
Misalkan X terurut dengan baik oleh “ < “ dan
p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X.
Kita ingin membuktikan bahwa p(x) benar untuk
semua x ∈ X. Untuk membuktikan ini, kita
hanya perlu menunjukkan bahwa :
p(x0) benar, yang dalam hal ini x0 adalah elemen
terkecil di dalam X dan
Untuk semua x > x0 di dalam X, jika p(y) benar
untuk semua y < x, maka p(x) juga benar.