himpunan, bilangan, dan induksi matematika

MATEMATIKA DASAR I
Dosen : Asri Nur Chiquita
Himpunan bilangan dan
skemanya
Skema Himpunan Bilangan
• Himpunan bilangan asli
adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya merupakan bilangan bulat positif.
Ex: N = {1,2,3,4,5,6,......}
• Himpunan bilangan prima
adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya
dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka
1.
Ex: P = {2,3,5,7,11,13,....}
• Himpunan bilangan cacah
adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya merupakan bilangan bulat positif
digabung dengan nol.
Ex: C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
• Himpunan bilangan bulat
adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif,
nol, dan positif.
Ex: B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
• Himpunan bilangan rasional
adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya
merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q  bulat dan q 0 atau dapat
dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
• Himpunan bilangan irasional
adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak
dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, 7
• Himpunan bilangan riil
adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan gabungan dari himpunan bilangan
rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
• Himpunan bilangan imajiner
adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya
merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan
lambang bilangan baru.
contoh: i, 4i, 5i
• Himpunan bilangan kompleks
adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1,
dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
contoh: 2-3i, 8+2
Bilangan bulat
• Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan
yang terdiri dari bilangan :
 Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)
 Nol
:0
 Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)
 Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Garis bilangan bulat

-4

-3

-2
bilangan bulat Negatif

-1
 1
0
Bilangan nol

2

3

4
bilangan bulat positif
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
Bilangan yang habis dibagi dengan 2

Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1
Operasi Hitung Bilangan Bulat
• Penjumlahan
 Sifat Asosiatif  ( a + b ) + c = a + ( b + c )
 Sifat Komutatif  a + b = b + a
 Unsur Identitas terhadap penjumlahan  a + 0 =
0+a
 Unsur invers terhadap penjumlahan  a + (-a) =
(-a) + a
 Bersifat tertutup  a dan b ∈ bilangan bulat maka
a + b = c ; c ∈ bilangan bulat
• Pengurangan
 Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
 Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a–b ≠ b-a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
 Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
 Bersifat tertutup  a dan b ∈ bilangan bulat maka
a - b = c ; c ∈ bilangan bulat
• Perkalian
 a x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = ab
 Sifat Asosiatif  (a x b) x c = a x (b x c)
 Sifat komutatif  a x b = b x a
 Sifat distributif  a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
 Unsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0 atau
ax1=1xa=a
 Bersifat tertutup a x b = c
a, b, c ∈ bilangan bulat
• Pembagian
 Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan
positif  (+) : (+) = (+)
 Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan
positif  (-) : (-) = (+)
 Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah
bilangan negatif  (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)
 Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak
terdefinisi  a : 0  (~) atau 0 : a 0 (nol)
 Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a : b ≠ b : a atau (a:b):c ≠ a : (b:c)
 Bersifat tidak tertutup
Pemangkatan bilangan bulat
Contoh :
3
4 = 4 x 4 x 4 = 64
5
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
Akar pangkat dua
• Akar kuadrat (akar pangkat dua)
Akar kubik (akar pangkat tiga)
Bilangan Riil
• Notasi dari himpunan bilangan riil adalah
• dinyatakan sebagai garis lurus x є  dibaca x
(sembarang bilangan) anggota dari Jika x є
dinyatakan sebagai suatu titik di garis
x
 Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik
pusatnya 0
x
x
-a
0
a
Urutan Pada Garis Bilangan Riil
Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y
atau x lebih kecil dari y
x > y dibaca x berada di sebelah kanan y
atau y lebih kecil dari x
x<y
x
y
x>y
y
x
•  dibaca “ jika dan hanya jika”
• x<y 
y-x positif


Sifat–sifat bilangan real
• Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti
berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
 Penambahan  x<y  x+z <y+z
 Relasi urutan  dibaca “kurang dari atau sama dengan”
 dibaca “lebih dari atau sama dengan”
x  y  y - x positif atau nol
Untuk setiap bilangan real a, b dan c
berlaku sifat urutan berikut:
•
•
•
•
•
a
a
a
a
a
<
<
<
<
>
ba+c<b+c
ba-c<b–c
b, c > 0  ac < bc
b, c < 0  ac > bc
0  1 0
a
1 1
• Jika a dan b bertanda sama maka a  b  
b a
Interval bilangan real
Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis
bilangan real yang mengandung paling sedikit 2
bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real
yang terletak diantara keduanya.
Untuk setiap x, a, b, c  R,
1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup
2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup
atau terbuka
3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka
atau tertutup
4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka
Selang (interval)
himpunan
bilangan real
tertentu yang
didefinisikan
dan
dilambangkan
sebagai
berikut:
Penulisan Penulisan himpunan
(a,b)
{x є  | a < x < b}
[a,b]
{x є  | a ≤ x ≤ b}
[a,b)
{x є  | a ≤ x < b}
(a,b]
{x є  | a < x ∞ b}
(a,∞)
{x є  | x > a}
[a, ∞)
{x є  | x ≥ a}
(-∞,b)
{x є  | x < b}
(-∞,b]
{x є  | x ≤ b}
(-∞, ∞)

Grafik
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
Ketidaksamaan
• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti
mencari interval atau interval-interval dari bilangan
yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.
• Cara menyelesaikan ketidaksamaan :
1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama
2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif
3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi
tanda ketidaksaman berubah
Contoh:
Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah
kumpulan solusinya pada garis bilangan real!
a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x
x2
2
b.
x4
c. (x – 1)2 ≤ 4
Nilai Mutlak
 x , x0
• Definisi nilai mutlak : x 
 x, x0
• Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan
|x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.
• |x| dapat juga didefinisikan sebagai: x 
• Secara Geometri:
|x| menyatakan jarak dari x ke titik asal.
|x – y| = jarak diantara x dan y
x2
Sifat nilai mutlak
•
•

•
•
•
•
•
|-a| = |a|
|ab| = |a||b|
a
a

b b
|a + b| ≤ |a| + |b|
|x|2 = x2
|x| < a jika dan hanya jika - a < x < a
|x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a
|x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2
Contoh :
• Selesaikan persamaan berikut:
|2x – 5|=9
• Tentukan solusi dari ketaksamaan berikut:
x5 9
5
2
x
1
SOAL
1. x  5  2 x  6
2. 2 x  11  x  1
3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan
t  a  a t ?
INDUKSI MATEMATIKA
• Induksi matematika adalah : Metode
pembuktian untuk pernyataan perihal
bilangan bulat.
• Induksi matematik merupakan teknik
pembuktian yang baku di dalam
matematika.
1. Proposisi Perihal Bilangan
Bulat.
• Pernyataan perihal bilangan bulat
mengkaitkan suatu masalah yang
dihubungkan dengan bilangan bulat.
• Untuk memberikan ilustrasi mengenai
pernyataan yang dimaksud,
diperlihatkan dengan memberikan
contoh berikut :
Contoh 1
:
Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan
: ”Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n
adalah n (n+1) / 2.”
Buktikan bahwa p(n) benar!
Jika dicoba dengan beberapa nilai n, memang
timbul dugaan bahwa p(n) benar, misalnya untuk
n = 5,
p(5) adalah : “Jumlah bilangan bulat positif dari
1 sampai 5 adalah 5 (5+1)/2.
Terlihat bahwa :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 5 (6) / 2
Contoh 2 :
Jika ingin menemukan rumus jumlah dari n buah bilangan
ganjil positif yang pertama. Misalnya untuk n = 1, 2, 3, 4, 5,
perhatikan jumlah n bilangan ganjil positif pertama ,
n=11=1
n=21+3=4
n=31+3+5=9
n = 4  1 + 3 + 5 + 7 = 16
n = 5  1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Dari nilai-nilai penjumlahan, bahwa jumlah n buah bilangan
ganjil yang pertama adalah n2
Contoh-contoh proposisi perihal bilangan bulat yang lainnya :
1. Setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai
perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
2. Untuk semua n ≥ 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3.
3. Untk membayar biaya pos sebesar n sen dolar (n ≥ 8) selalu dapat
digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen dolar.
4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu
lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamu maka jumlah
jabat tangan yang terjadi adalah n(n – 1)/2.
5. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah
himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2.
2. Prinsip Induksi Sederhana
• Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal
bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan
bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat
positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita
hanya perlu menunjukan bahwa :
1. p(1) benar, dan
2. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar
untuk semua bilangan bulat positif n  1.
Basis Induksi dan Langkah Induksi
• Langkah 1 dinamakan Basis Induksi,
sedangkan langkah 2 dinamakan Langkah
Induksi.
• Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang
menyatakan bahwa p(n) benar.
• Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
• Bila kedua langkah tsb benar, maka sudah
dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua
bilangan bulat positif n.
• Basis induksi digunakan untuk
memperlihatkan bahwa pernyataan
tersebut benar bila n diganti
dengan 1, yang merupakan
bilangan bulat positif terkecil.
• Langkah induksi harus
memperlihatkan bahwa p(n) 
p(n+1) benar untuk semua bilangan
bulat positif.
Contoh 4.1 :
Tunjukkan bahwa untuk n  1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
melalui induksi matematika
(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1 kita peroleh
1 = 1(1+1)/2
= 1(2)/2
1=1
(ii) Langkah induksi :
kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,
1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2
1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2
1+2+3+…+n+(n+1) = (1+2+3+…+n) + (n+1)
= [n(n+1)/2] + (n+1)
= [(n2 +n)/2] + (n+1)
= [(n2 +n)/2] + [(2n+2)/2]
= (n2 + 3n + 2)/2
= (n+1)(n+2)/2
sama
= (n+1) [(n+1)+1] /2
Karena langkah (i) dan (ii) telah dibuktikan benar, maka untuk
semua bilangan bulat positif n, terbukti bahwa untuk semua n  1,
1+2+3+…+n = n(n+1)/2
Contoh 4.3 :
Tunjukkan bahwa untuk n  1, bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3
melalui induksi matematika
(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1,
13 + 2(1) = 3 adalah kelipatan 3
(ii) Langkah induksi :
kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,
(n+1)3 + 2(n+1) adalah kelipatan 3
Hal ini dapat kita tunjukkan sbb:
(n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (2n + 2)
= (n3 + 2n) + (3n2 + 3n + 3)
= (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)
kelipatan 3
segitiga Pascal
1
1
2
1
3
1
1
1
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
(x+y)0 = 1
(x+y)1 = x + y
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x+y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5x y4 + y5
3. Prinsip Induksi yang Dirampatkan.
• Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan
p(n) benar untuk semua bilangan bulat 
n0 , prinsip induksi sederhana dapat
dirampatkan untuk menunjukkannya,
dengan cara sebagai berikut :
1. p (n0) benar, dan
2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar
untuk semua bilangan bulat n  n0
Contoh 4.5 :
Untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan
induksi matematika bahwa 20+21+22+…+2n = 2n+1-1
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua
bilangan bulat tidak negatif n, 20+21+22+…+2n = 2n+1-1
(i) Basis induksi : p(0) benar, karena untuk n = 0 (bilangan bulat
tidak negatif pertama), kita peroleh :
20 = 1 = 20+1 – 1
= 21 – 1
=2 – 1
=1
(ii) Langkah induksi : misalkan p(n) benar, yaitu proposisi
20  21  22      2n  2n1  1
Diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan
bahwa p(n+1) juga benar, yaitu
20  21  22      2n  2n1  2n11  1
Hal ini kita tunjukkan sbb :

 2  1  2
 2  2   1
 2  2   1

20  21  2 2      2 n  2 n 1  20  21  2 2      2 n  2n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
 2n2  1
2
 n 11
1
sama