TEORI HIMPUNAN

TEORI
HIMPUNAN
DEFINISI
Himpunan :
setiap daftar, kumpulan atau kelas objek-objek
yang didefinisikan secara jelas
Objek-objek dalam himpunan dapat berupa apa
saja dan disebut sebagai elemen atau anggota
suatu himpunan.
MENDEFINISIKAN HIMPUNAN
Bisa dengan 2 cara:
• Mendaftar anggota-anggotanya
• Mendefinisikan aturan/sifat dari anggotanya
Contoh:
a. Bilangan 1,3,5,7,9
b. Bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 10
c. Andi, Beni, Cici, Dita
d. Mahasiswa yang tidak masuk kuliah hari ini
NOTASI HIMPUNAN
• Himpunan dinyatakan dengan huruf besar
• Elemen/anggota suatu himpunan dinyatakan
dengan huruf kecil dan ditulis dalam tanda
kurung kurawal { }
CONTOH
• A = {1,3,5,7,9,11}
• B = {xx bilangan ganjil positif dan x < 12}
• X  A dibaca : x termasuk/di dalam himpunan A
BEBERAPA HIMPUNAN BILANGAN
•
•
•
•
N+
N
Z
Q
= himp. bilangan asli = {1,2,3,...}
= himp. bilangan cacah = {0,1,2,3,...}
= himp. bilangan bulat = {0, ±1,±2,±3,...}
= himp. bilangan pecahan
= {p/q; p,q Z, q≠0}
• R = himp. bilangan real
= himp. bilangan yang berbentuk p+d1d2... di
mana pZ dan d1d2...adalah urutan
berhingga atau tak berhingga bilangan
desimal
LATIHAN
LATIHAN
KESAMAAN 2 HIMPUNAN
Dua himpunan dikatakan sama bila keduanya
memiliki elemen yang sama
CONTOH
• Jika A = {3,4} dan B = {4,3} maka A=B
• Jika P = {1,2,3} dan Q = {3,3,2,1,1} maka P=Q
• Jika M = {5,6,7} dan N = {6,7} maka M N
CONTOH
HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan A disebut himpunan bagian dari
himpunan B bila A tercakup dalam B
2 macam simbol himpunan bagian :
• A  B : A adalah himpunan bagian dari B, jadi
setiap elemen A adalah elemen B juga. Tetap ada
kemungkinan bahwa A=B
• A  B : A adalah himpunan bagian sejati dari B,
jadi setiap elemen A adalah elemen B juga tetapi
AB
TEORI HIMPUNAN BAGIAN
1.
2.
3.
4.
Untuk sebarang himpunan A berlaku   A  S
Untuk sebarang himpunan A berlaku A  A
Jika A  B dan B  C maka A  C
A=B jika dan hanya jika A  B dan B A
CONTOH
CONTOH
OPERASI HIMPUNAN
GABUNGAN/UNION
Gabungan/Union A dan B, disimbolkan A  B :
himpunan yang elemen-elemennya adalah
elemen A ATAU elemen B.
A  B = {x x A atau x  B}
CONTOH:
A = { xx real, x < -2}, B = { xx real, x > 5}
A  B = {x x real, x <-2 atau x >5}
OPERASI HIMPUNAN
IRISAN /INTERSECTION
Irisan/Intersection A dan B, disimbolkan A  B :
himpunan yang elemen-elemennya adalah
elemen A DAN elemen B
A  B = {x x A dan x  B}
CONTOH:
A = { xx real, x > -2} B = { xx real, x > 5} maka
A  B = {x x real, x > -2 dan x >5}
= {x x real, x >5}
OPERASI HIMPUNAN
KOMPLEMEN ABSOLUT
• Secara singkat disebut komplemen dari A
• Disimbolkan A’
• Adalah himpunan yang memuat elemenelemen S (himpunan semesta) yang bukan
merupakan elemen himpunan A
CONTOH :
S = {1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3,4}, B = {1,3,5}
A’ = {5,6}, B’ = {2,4,6}
OPERASI HIMPUNAN
KOMPLEMEN RELATIF
• Disimbolkan A\B
• Adalah himpunan yang memuat elemenelemen A yang bukan merupakan elemen B.
CONTOH:
S = {1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3,4}, B = {1,3,5}
A\B = {2}, B\A = {5}
LATIHAN (1)
Pada himpunan semesta mahasiswa diketahui
himpunan-himpunan berikut :
A = {mahasiswa Teknik Informatika}
B = {mahasiswa semester 3}
C = {mahasiswa yang berkacamata}
Tentukan anggota dari masing-masing himpunan di
bawah ini :
a. AB
c. B\C
e. (AB)\C’
b. AC
d. B’
f. B\ (AC)
LATIHAN (2)
Pada himpunan semesta mahasiswa diketahui himpunanhimpunan berikut :
P = {mahasiswa Teknik Informatika}
Q = {mahasiswa yang suka membaca}
R = {mahasiswa yang menyukai musik}
Tuliskan himpunan yang anggotanya adalah :
a. mahasiswa Teknik Informatika yang tidak menyukai musik
b. mahasiswa Teknik Informatika yang menyukai musik dan
suka membaca
c. mahasiswa Teknik Informatika yang suka membaca atau
musik
LATIHAN (3)
Pada himpunan bilangan real diketahui
A={x  -3<x<4}
B={x x 2}
Tentukan :
a. AB
b. AB
c. A’
d. B’
e. A\B
f. B\ A
LATIHAN (4)
Pada himpunan bilangan real diketahui
A = {x-3 < x < 4}
B={x -6  x  2}
Tentukan :
a. AB
b. AB
c. A’
d. B’
e. A\B
f. B\ A
HUKUM-HUKUM
PADA OPERASI HIMPUNAN (1)
IDEMPOTEN
(1a). A A = A
(1b). A  A = A
ASOSIATIF
(2a). (A B) C = A(BC)
(2b). (A B) C = A(BC)
KOMUTATIF
(3a). A  B = B  A
(3b). A  B = B  A
HUKUM-HUKUM
PADA OPERASI HIMPUNAN (2)
DISTRIBUTIF
(4a). A (B C) = (AB)  (AC)
(4b). A (B C) = (AB)  (AC)
IDENTITAS
(5a). A   = A
(5b). A  S= A
(6A). A  S = S
(6b). A   = 
INVOLUSI
(7a). (A’)’ = A
HUKUM-HUKUM
PADA OPERASI HIMPUNAN (3)
KOMPLEMEN
(8a). A  A’ = S
(8b). A  A’ = 
(9a). S’ = 
(9b). ‘ = S
DE MORGAN
(10a). (A B)’ = A’  B’
(10b). (A  B)’ = A’  B’
HIMPUNAN
BERHINGGA/TAK BERHINGGA
HIMPUNAN BERHINGGA :
terdiri dari sejumlah tertentu elemen yang
berbeda
DENGAN KATA LAIN :
bila elemen yang berbeda dari himpunan ini
dihitung, maka proses penghitungannya dapat
berakhir
Bila tidak demikian, maka himpunannya adalah
tak berhingga.
CONTOH
HIMPUNAN BERHINGGA :
A = {x  x ganjil dan -5 < x < 10}
B = {y  y bilangan bulat dan y2 + 1 = 10}
C = {t  t gunung di dunia}
HIMPUNAN TAK BERHINGGA :
P = {p  p bilangan real, 2<p<20}
R = {r  r bilangan bulat, r+2 >4}
BANYAK ELEMEN HIMPUNAN
• Bila A adalah sebuah himpunan berhingga maka
banyak elemen dari A disimbolkan dengan n(A)
• A ≠ n(A)
CONTOH :
A = {x  x ganjil, -5<x<4} = { -4, -3,- 2, -1, 0, 1, 2, 3} 
n(A) = 8
B = {y  y bilangan bulat, y2 + 1 = 10} = {-3, 3}  n(B)
=2
RUMUS
Jika A, B dan C adalah himpunan berhingga
maka :
• A  B dan A  B adalah himpunan berhingga
• n (A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
• A  B  C adalah himpunan berhingga
• n (ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) –
n(AC) – n(BC) + n(ABC)
CONTOH
Di sebuah perusahaan daur ulang terdapat 32
orang yang bertugas mengumpulkan kertas
atau botol, 30 orang mengumpulkan kertas
dan 14 orang mengumpulkan botol.
a. Tentukan banyaknya orang yang :
b. Mengumpulkan kertas dan botol
c. Mengumpulkan kertas saja
d. Mengumpulkan botol saja
CONTOH
K = {pengumpul kertas}  n(K) = 30
B = {pengumpul botol}  n(B) = 14
(KB) = {pengumpul kertas atau botol}  n(KB) = 32
a. pengumpul kertas dan botol = K  B
n (KB) = n(K) + n(B) – n(KB) = 30 + 14 – 32 = 12
b. pengumpul kertas saja = K\B
n(K\B) = n(K) – n(KB) = 30 – 12 = 18
c. pengumpul botol saja = B\K
n(B\K) = n(B) – n(KB) = 14 – 12 = 2
LATIHAN
Pada sekumpulan mahasiswa di suatu kelas ditanyakan
bahasa pemrograman apa yang mereka kuasai, JAVA
atau VISUALBASIC (VB). Ternyata, 65 orang
menguasai JAVA , 15 orang tidak menguasai JAVA, 16
orang menguasai VB, 5 orang tidak menguasai JAVA
dan VB. Tentukan banyak mahasiswa yang :
a. ada di kelas tersebut
b. menguasai PASCAL dan BASIC
c. hanya menguasai PASCAL
POWER SET
• Disimbolkan dengan P(A)
• Adalah suatu himpunan yang anggotanya
adalah himpunan bagian dari A
CONTOH:
A = {1,2,3}
P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
PERKALIAN HIMPUNAN/
PERKALIAN CARTESIAN
Perkalian himpunan A dan B adalah himpunan
pasangan berurut (a,b) dimana a adalah elemen
A dan b adalah elemen B
A x B = {(a,b)| aA dan bB}
CONTOH:
A= {1,2,3} B= {x,y}
A x B = {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}
B x A = {(x,1), (x,2), (x,3), (y,1), (y,2), (y,3)}
LATIHAN
1. Let A = {w, x, y, z} and B = {a, b}. Use the set-roster
notation to write each of the following sets, and
indicate the number of elements that are in each set:
a. A × B
b. B × A
c. A × A
d. B × B
2. Let S = {2, 4, 6} and T = {1, 3, 5}. Use the set-roster
notation to write each of the following sets, and
indicate the number of elements that are in each set:
a. S × T
b. T × S
c. S × S
d. T × T