HIMPUNAN Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali

HIMPUNAN
A. Pendahuluan
Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk
berkebangsaan Jerman
Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan, namun th
1920-an menjadi landasan matematika.
Kata lain dari himpunan yaitu: set, gugus, kelompok, kumpulan.
B. Pengertian himpunan dan macam himpunan
Dalam matematika, himpunan merupakan pengertian pangkal (tidak didefinisikan, undefined
term). Untuk memahaminya, himpunan sering diartikan sebagai kumpulan objek-objek (abstrak
atau konkret) yang didefinisikan dengan jelas (well defined), jadi keanggotaannya harus jelas
Didefinisikan dengan jelas, berarti himpunan dapat mengklasifikasikan objek kedalam anggota
atau bukan anggota himpunan itu.
• Contoh himpunan:
 Kumpulan nama-nama hewan-hewan berkaki empat
 Kumpulan bilangan bulat antara 3 dan 8
 Kumpulan nama-nama mahasiswa PGSD
• Contoh kumpulan yang bukan himpunan:
 Kumpulan bunga-bunga yang indah
 Kumpulan lukisan yang indah
 Kumpulan nama-nama mhs PGSD yang cantik.
Deskripsi Himpunan
• Nama himpunan berupa huruf kapital (Mis.: A, B, G, H, S, C)
• Notasi himpunan berupa kurung kurawal
Contoh:
W : { d, m, p, t }
Objek yang dibicarakan dalam himpunan (Mis. d, m, p, t ) disebut anggota (elemen, unsur) dan ditulis
di dalam kurung kurawal tersebut
Tanda Keanggotaan
Relasi anggota dengan himpunan menggunakan notasi ““ dan yang bukan anggota menggunakan
notasi “”
Contoh:
H : { d, m, p, t }
p  { d, m, p, t } atau p  W
b  { d, m, p, t } atau b  W
Banyaknya anggota H dinotasikan dengan n(H)
Jadi n(H) = 4.
Menyatakan Himpunan
1)Cara tabulasi (rooster method, pendaftaran):
Menuliskan anggotanya satu per satu dalam kurung kurawal.
A : {merah, kuning, hijau}
H : {ayam, itik, bebek, angsa}
Anggota-anggota yang sama dianggap sebagai satu anggota
{6, 4, 7, 9, 6, 9, 2} = {2, 4, 6, 7, 9}
{p, c, a, m, p, m, h} memiliki 5 anggota
2)Cara deskriptif (rule method, cara aturan/metode pembentukan himpun-an)
Menuliskan aturan atau perumusan tentang sifat keanggotaannya
M : {x3  x  16, x bilangan genap}
H : {x x nama-nama hewan berkaki dua}
P : {xx bilangan prima kurang dari 15}.
Macam-Macam Himpunan
a) Himpunan kosong
• Suatu himpunan H disebut himpunan kosong jika n(H) = 0.
• Notasi untuk himpunan kosong adalah Ø atau { }
• Contoh himpunan kosong:
 Himp nama-nama hewan berkaki tiga
 Himp bilangan asli kurang dari satu
 Himp bilangan prima genap antara 10 dan 20
 Himp nama-nama dosen unila yg berusia lebih dari 500 tahun.
b) Himpunan bagian
• Himpunan A disebut himpunan bagian (Subset) dari himpunan B jika setiap anggota A
juga menjadi anggota B
• Himpunan bagian dari {a, d, t} adalah
Ø,
{a}, {d}, {t}, {a, d}, {a, t}, {d,t}, dan
{a, d, t} → ada delapan himpunan bagian
• Himpunan bagian sejati dari {a, d, t} adalah
Ø,
{a}, {d}, {t}, {a, d}, {a, t}, {d,t}.
c) Himpunan semesta
Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang
dibicarakan
Himpunan semesta dari {1,2,3,4,5} antara lain adalah:
a) {0,1,2,3,4,5,6}
b) {x|x bilangan asli}
c) Himpunan bilangan cacah kurang dari 20.
d) Himpunan terhingga dan himpunan takhingga
•
•
Himpunan H disebut himp terhingga (finite set) jika n(H) = c, c bilangan cacah
Contoh:
G : Himpunan nama-nama hari dalam seminggu
N : {7,8,9,10, …, 2015}
Himpunan D disebut himp takhingga (infinite set, transfinite set) jika n(D) = ~
Contoh:
F = {2, 3, 4, 5, …}
M : {x2  x  4, x bilangan real}
e) Himpunan terbilang dan himpunan tak terbilang
 Himpunan terbilang , anggotanya dapat ditunjukkan satu per satu
Contoh:
P = {4,5,6, …}
Q = {r, s, t, v, w, k, d, a}
R = {1, 2, 3, …, 138}.
 Himpunan tak terbilang, anggotanya tidak dapat ditunjukkan satu per satu (kontinu)
Contoh:
D = {x0  x  7, x bilangan rasional}
F = {xx  4, x bilangan real positip}.
f) Himpunan terbatas
 Himpunan terbatas yaitu himpunan yang mempunyai batas
Ada himpunan terbatas kiri dan ada himpunan terbatas kanan
Contoh:
K = {4, 1, 3, 8, 6}
L = {0  x  7, x bilangan asli}
B = {0  x  7, x bilangan bulat}.
Himpunan terbatas biasanya beranggotakan bilangan.
Batas yang kecil disebut batas bawah, dan batas yang besar disebut batas atas
Unsur yang menjadi batas itu tidak harus menjadi anggota himpunan
Pada himpunan terhingga yang ditulis secara tabulasi, anggota terkecil menjadi batas bawah,
dan anggota terbesar menjadi batas atas.
Khusus untuk bil real, himpunan tak terbilang (kontinu) bisa dinyatakan dengan interval atau
selang
a) {x | 2 x  7} = (2,7]
b) {x | 2  x  7} = [2,7)
c) {x | 2 x  7} = (2,7)
d) {x | 2  x  7} = [2,7].
C. Relasi himpunan
a. Dua Himpunan Sama
Kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama
A = B  AB dan BA
Contoh:
A = {5, 2, 7, 2, 9, 8, 7}
B = {8, 8, 2, 7, 5, 9, 8, 5}
maka A = B.
b. Dua himpunan Saling Lepas (Disjoin)
Kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota yang sama
Contoh:
P = {a, b, c, d}
Q = {2, 4, 6, 8, 9, 3}
Himpunan P dan Q dikatakan saling lepas, ditulis A//B.
c. Dua himpunan saling berpotongan
Antar kedua himpunan tsb, ada anggota yang sama dan ada anggota yang tidak sama
A = {5, 8, 2, 9}
B = {14, 2, 8, 7, 26}
Himpunan A dan B saling berpotongan (saling beririsan).
d. Dua himpunan, yang satu bagian dari himpunan kedua
Himpunan A disebut himpunan bagian (Subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga
menjadi anggota B, ditulis A⊂B.
e. Dua himpunan yang Ekivalen.
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B).
Contoh:
A = { 4,6,3,2,2,6}
B = { r, k, d, w}
Maka A~B
D. Operasi himpunan
a) Union (gabungan) dua himpunan
•
•
•
AB = {x|xA atau xB}
Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A
atau anggota B.
Contoh:
A = {a,c,e}
B = {b, c, d}
maka AB = {a, b, c, d, e}
b) Intersection (Irisan) dua himpunan
•
•
AB = {x|xA dan xB}
Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan
sekaligus juga anggota B.
•
Contoh:
A = {a,c,d,e}
B = {a, b, e, f, g}
maka A  B = {a, e}
c) Pengurangan himpunan
•
•
•
A – B = {x|xA dan xB}
A – B berarti suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A tetapi tidak menjadi anggota
B.
Contoh:
A = {a,c,d,e}
B = {a, b, e, k, g}
A – B = {c, d}
B – A = {b, k, g}
d) Penjumlahan himpunan (Beda Setangkup)
•
•
•
A  B = (A – B)  (B – A)
A  B berarti suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A saja atau anggota B saja.
Contoh:
A = {a,c,d,e}
B = {a, b, e, k, g}
A  B = {b, c, d, k, g}
B  A = {b, c, d, k, g}
e) Perkalian (persilangan) himpunan
•
•
•
A X B = {(x,y) | xA dan yB}
Persilangan dari himpunan A ke B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah (x,y) di
mana x anggota A dan y anggota B.
Contoh:
A = {a,b,c}
B = {1, 2}
maka A X B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c, 2)}
B X A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2, c)}
E. Sifat-sifat Operasi Himpunan
1. sifat komutatif
A ∩ B = B ∩ A dan A U B = B U A
2. sifat asosiatif
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dan A U (B U C) = (A U B) U C
3. sifat distributif
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) dan A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
4. Hukum De Morgan
(A ∩ B)C = S AC ∩ BC dan (A U B)C = AC U BC
5. Hukum Identitas
A U A = A, A ∩ A = A, A U Ø = A , A ∩ Ø = Ø dan A U AC =S dan S ∩ AC = Ø
S U A = S, S ∩ A = A, dan (Ø)C = S , (S)C = Ø, dan (AC)C = A
6. sifat dasar himpunan
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n (A U B) jika A ∩ B ≠ Ø
n(A U B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B) jika A U B ≠ Ø
n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
F. Himpunan Bilangan
Bilangan Asli
Barisan bilangan asli
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….
Himpunan bilangan asli A : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….}
Contoh bilangan asli: 7, 4, 9, 28, 13.
Bilangan asli merupakan bilangan yang berkaitan dengan hasil membilang (berkaitan dengan
ranking).
Bilangan Prima
Contoh bilangan prima
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
Bilangan prima:
- bilangan yang mempunyai tepat dua faktor.
- Bilangan bulat lebih dari satu yang habis dibagi hanya oleh 1 dan bilangan itu
sendiri.
Bilangan
Faktor
Banyak
faktor
Jumlah
faktor
2
1,2
2
3
3
1,3
2
4
5
1,5
2
6
7
1,7
2
8
Bilangan Komposit
Contoh bilangan komposit: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22.
- Bilangan komposit adalah bilangan yang mempunyai lebih dari dua faktor
- Bilangan asli lebih besar dari satu yang bukan bilangan prima.
Banyak Jumlah
Bilangan
Faktor
faktor
faktor
4
1,2,4
3
7
6
1,2,3,6
4
12
8
1,2,4,8
4
15
9
1,3,9
3
13
10
1,2,5,10
4
18
12
1,2,3,4,6,12
6
…
14
1,2,7,14
4
…
15
1,3,5,15
4
…
24
1,2,3,4,6,8,12,24
8
…
36
1,2,3,4,6,9,12,18,36
9
…
48
1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
10
…
120
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,18,20,24,30,
40, 60, 120
16
…
1,2,4,5,10,20,25,50,100
9
…
100
Bilangan genap: bilangan yang habis dibagi dua.
0, 2, 4, 6, 8, 10, …
Bilangan ganjil: bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua.
1,3,5,7,9,11,13,15, …
Bilangan Cacah
Barisan bilangan Cacah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….
Himpunan bilangan Cacah C : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….}
C = A { 0 }
Bilangan cacah adalah bilangan yang menyatakan
banyaknya anggota sebuah himpunan
Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat merupakan gabungan
dari himpunan bilangan Cacah dan himpunan bilangan
bulat negatip.
{ …, -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…}
Himpunan bilangan bulat negatip : (-1, -2, -3, -4, -5, -6, …}
Bilangan rasional
Bilangan Irrasional
Bilangan Real (nyata)
Bilangan imajiner
Bilangan Kompleks
Contoh bilangan imajiner: i
i adalah suatu bilangan yang jika dikuadratkan
menghasilkan -1.
i 2 = -1
i 4
=1