LOGIKA MATEMATIKA Materi SMA/SMK/MA kelas X

LOGIKA MATEMATIKA
Materi SMA/SMK/MA
kelas X
“Orang yang paling sempurna bukanlah orang dengan otak yang sempurna,
melainkan orang yang dapat mempergunakan sebaiknya-baiknya dari bagian
otaknya yang kurang sempurna”
~ Aristoteles ~
1|Logika Matematika
PRAKATA
Puji syukur senantiasa kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa,
karena dengan rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan buku
Matematika untuk SMA/MA dengan lancar dan baik.
Ucapan terima kasih Penyusun haturkan kepada Dosen Pembimbing Mata
Kuliah Program Komputer I, Dede Trie K., S.Si., M.Pd. yang telah membimbing,
mengarahkan, dan mendukung pembuatan buku ini, atas kebaikannya semoga
Allah SWT memberikan pahala yang berlipat ganda.
Buku ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Program
Komputer I, kami berharap buku ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa
UNSWAGATI terutama penulis yang ingin mengetahui tentang “Logika
Matematika”
Buku ini disajikan dengan pendekatan pemecahan masalah. Dengan
pendekatan ini, siswa diharapkan dapat aktif dalam pembelajaran dan memiliki
ketrampilan
dalam
memahami
masalah,
membuat
model
matematika,
menyelesaikan masalah, dan menafsirkan solusinya. Selain itu, buku ini juga
disajikan dengan bahasa yang lugas dan sederhana sehingga mudah dipahami.
Dengan pola penyajian buku ini, diharapkan dapat membantu dan mempermudah
pemahaman
matematika
siswa.
Setelah
memahami
matematika
secara
komprehensif, siswa akan memiliki sikap ulet dan percaya diri dalam
memecahkan masalah dalam kehidupan sehari–hari.
Akhirnya kami menyadari bahwa buku ini tidaklah sempurna. Segala
kritik dan saran membangun untuk menyempurnakan buku ini sangat kami
nantikan. Kepada semua pihak yang membantu terselesainya buku ini, kami
ucapkan terima kasih. Semoga buku ini bermanfaat bagi semua pihak. Selamat
belajar dan semoga sukses.
“Isti Nur’aeni dan Yuyun Trisnawati”
2|Logika Matematika
DAFTAR ISI
Prakata ........................................................................................................................i
Daftar Isi.....................................................................................................................ii
Logika Matematika ....................................................................................................1
A. Pernyataan , Kalimat Terbuka, dan Ingkaran Pernyataan ..............................2
B. Pernyataan Berkuantor ...................................................................................
C. Pernyataan Majemuk ......................................................................................
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi .................................................................
E. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ............................................................
F. Negasi dari Pernyataan Majemuk ..................................................................
G. Tautologi dan Kontradiksi .............................................................................
H. Penarikan Kesimpulan ...................................................................................
I. Aplikasi Logika Matematika dalam Kehidupan Sehari-hari ..........................
Latihan Soal dan Pembahasan ....................................................................................
Petunjuk Penggunaan Quiz Makker ...........................................................................
Daftar Pustaka ............................................................................................................
3|Logika Matematika
Tujuan Pembelajarn :
1.
Menentukan pernyataan dan bukan pernyataan yang dijumpai
dalam kehidupan sehari-hari.
2.
Menentukan nilai kebenaran suatu kalimat yang dijumpai dalam
kehidupan sehari-hari.
3.
Menentukan nilai kebenaran suatu kalimat majemuk dan
menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
4.
Menentukan kalimat yang ekivalen dengan suatu kalimat yang
diketahui.
5.
Menentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari suatu
implikasi serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
6.
Menggunakan modus ponens, modus tolens, dan silogisme
untuk menarik kesimpulan dalam kehidupan sehari-hari.
4|Logika Matematika
5|Logika Matematika
A. Pernyataan , Kalimat Terbuka, dan Ingkaran Pernyataan.
1. Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah
tetapi tidak
sekaligus kedua-duanya.
Contoh :
a. Hasil kali 5 dan 4 adalah 20
b. Semua unggas dapat terbang
c. Ada bilangan prima yang genap
Contoh a dan c adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b
penyataan yang bernilai salah.
Contoh kalimat yang bukan pernyataan :
a. Semoga nanti engkau naik kelas
b. Tolong tutupkan pintu itu
c. Apakah ali sudah makan ?
Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb.
Misalnya :
P : Semua bilangan prima adalah ganjil
q : Jakarta ibukota Indonesia
Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu :
a. Dasar empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan
pada saat tertentu.
Contoh :

Rambut adik panjang

Besok pagi cuaca cerah
6|Logika Matematika
b. Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan menurut
kaidah atau hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh
waktu dan tempat.
Contoh :

Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800

Tugu muda terletak di kota Semarang
2. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai
kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau
variabel.
Contoh :
a.
2x + 3 = 9
b.
5 + n adalah bilangan prima
c.
Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah
3. Ingkaran dari pernyataan
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang
mengingkari pernyataan semula.
Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak
p”.
Tabel kebenarannya sebagai berikut :
P
~p
B
S
S
B
Contoh :
a)
p
: Ayah pergi ke pasar
~ p : Ayah tidak pergi ke pasar
b)
q
: 2 + 5 < 10
~ q : 2 + 5  10
7|Logika Matematika
B. Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran
kuantitas. Ada 2 macam kuantor, yaitu :
1. Kuantor Universal
Dalam pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang
menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan
 (dibaca untuk semua atau untuk setiap).
Contoh :

 x  R, x2 > 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real
maka berlaku x2 > 0.

Semua ikan bernafas dengan insang.
2. Kuantor Eksistensial
Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan
yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor
Eksistensial dinotasikan dengan  ( dibaca ada, beberapa, terdapat,
sebagian).
Contoh :

 x  R, x2 + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real
dimana x2 + 3x – 10 < 0

Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru
Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan
sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor
universal.
Contoh :
a. p : Semua ikan bernafas dengan insang
~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang
: Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru
: Tidak semua ikan bernafas dengan insang
8|Logika Matematika
b. q : Beberapa siswa SMA malas belajar
~ q : Semua siswa SMA tidak malas belajar
C. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan
tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung.
Ada 4 macam pernyataan majemuk :
1. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”.
Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan " p  q" yang
dibaca p dan q.
Tabel kebenarannya :
P
q
" p  q"
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika
kedua pernyataan bernilai benar.
Contoh
p : 34 = 51
bernilai salah
q :2+5=7
bernilai benar
p  q : 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 bernilai salah
2. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.
Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan p  q dan dibaca p atau q
9|Logika Matematika
Tabel kebenarannya :
P
Q
pq
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua
pernyataan bernilai salah.
Contoh
P
: jumlah dari 2 dan 5 adalah 7
(pernyataan bernilai benar)
q
: Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)
P V q : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di
Jakarta (pernyataan bernilai benar)
3. Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ....
maka.......”Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p  q
yang dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat
perlu bagi q” atau “q syarat cukup bagi p”
Dari implikasi p  q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa
q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.
Tabel kebenarannya :
P
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
10 | L o g i k a M a t e m a t i k a
Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika
sebabnya benar dan akibatnya salah.
Contoh :
P:5+4=7
(pernyataan salah)
q : Indonesia di benua eropa
(pernyatan salah)
p  q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan
benar)
4. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung
“.......jika dan hanya jika............” dan dilambangkan  .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p  q yang dibaca p jika
dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.
Tabel kebenarannya :
P
Q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimplikasi akan
bernilai benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama.
Contoh :
p : 3 + 10 =14
(pernyataan salah)
q : Persegi adalah segitiga
(pernyataan salah)
p  q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga
(pernyataan salah)
11 | L o g i k a M a t e m a t i k a
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari implikasi p  q dapat dibentuk implikasi baru :
1. q  p disebut konvers dari
implikasi semula
2. ~ p  ~ q disebut invers dari
implikasi semula
3. ~ q  ~ p disebut kontraposisi
dari implikasi semula
Contoh :
p : Tia penyanyi
q : Tia seniman
Implikasi p  q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman
Konvers q  p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi
Invers ~ p  ~ q : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman
Kontraposisi ~ q  ~ p : Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi
E. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk
itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah 
Contoh : Buktikan bahwa: p  q  (p  q)  (q  p)
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut
P
Q
p  q
pq
qp
(p  q)  (q  p)
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B
ekuivalen
12 | L o g i k a M a t e m a t i k a
F. Negasi dari Pernyataan Majemuk
1. ~ (p  q)  ~ p v ~ q
 ~p  ~q
2. ~ (p v q)
3. ~ (p  q) 
p  ~q
4. ~ (p  q)  (p  ~ q) v (q  ~ p)
Contoh :
1.
Negasi dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2  8 atau adik
tidak naik kelas.
2.
Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia
tidak pandai.
G. Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.
Contoh :
Buktikan dengan tabel kebenaran (p  ~q)  ~(p  q)
Q
~q
p  ~q
pq
~(p  q)
(p  ~q)  ~(p  q)
B
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
13 | L o g i k a M a t e m a t i k a
H. Penarikan Kesimpulan
Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan
penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan
yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi.
Contoh
Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas
Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang
Premis 3 : Adik rajin belajar
Konklusi : Ibu senang
Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan
nilai kebenaran premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar pula.
Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu :
1.
Modus Ponens
Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut :
Premis 1 : p
Premis 2 : p
q
Konklusi : q
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :
P
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Pada tabel kebenaran tersebut, premis-premis yang bernilai benar
diberi tanda, ternyata mendapatkan konklusi yang diberi tanda juga benar,
sehingga penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens
dikatakan sah atau valid.
14 | L o g i k a M a t e m a t i k a
2.
Modus Tollens
Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb :
Premis 1 : p  q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~ p
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut
P
Q
~p
~q
pq
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
Berdasarkan tabel tersebut, penarikan kesimpulan dengan metode modus
tollens dikatakan sah.
3.
Silogisme
Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb :
Premis 1 : p  q
Premis 2 : q  r
Konklusi : p  r
Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :
P
q
R
pq
qr
pr
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
15 | L o g i k a M a t e m a t i k a
Pada tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode
silogisme dikatakan sah atau valid.
Contoh :
Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :
1. Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat
Premis 2 : Ibu sakit
Konklusinya : Ibu minum obat
2. Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak
Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak
Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak
3. Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik
Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik
Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik
I. Aplikasi Logika Matematika dalam Kehidupan Sehari-hari
Belajar logika berarti kita belajar berpikir atau bernalar yang
merupakan kegiatan akal manusia dengan mana pengetahuan yang kita terima
melalui panca indera diolah dan ditujukan untuk mencapai suatu kebenaran.
Dengan berpikir kita belajar menilai sesuatu sehingga dapat disimpulkan
manfaat belajar logika adalah kita memanifestasikan pikiran sehingga mampu
mempertimbangkan, merenungkan, menganalisis, menunjukkan alasanalasan,
membuktikan
sesuatu,
menggolong-golongkan,
membanding-
bandingkan, menarik kesimpulan, meneliti suatu jalan pikiran, mencari
kausalitasnya, membahas secara relitas dan lain-lain. Manfaat mempelajari
logika, agar dapat berpikir lebih nalar, kritis, tepat, runtut atau konsisten, dan
benar.
16 | L o g i k a M a t e m a t i k a
Ada beberapa alasan yang dapat dikemukakan E. Sumaryono (dari
buku Dasar-dasar logika) :
1.
Studi Logika mendidik kita berpikir jernih dan kritis
2.
Logika memungkinkan kita melaksanakan disiplin intelektual yang
diperlukan dalam menyimpulkan atau menarik kesimpulan.
3.
Logika membantu kita menginterpretasikan fakta dan pendapat orang
lain secara memadai.
4.
Logika melatih kita tentang teknik-teknik menetapkan asumsi dan
implikasi.
5.
Logika membantu kita mendeteksi penalaran-penalaran yang keliru
dan tidak jelas.
6.
Logika memancing pemikiran-pemikiran ilmiah dan reflektif.
Logika Matematika erat kaitanya dalam kehidupan sehari-hari. Seperti
contoh berikut :
Disebuah sekolah menengah atas ada peraturan yang menyebutkan
bahwa siswa putra tidak boleh berambut panjang dan mewarnai rambut. Jika
dilihat sekilas tidak ada yang salah dengan peraturan tersebut. Tapi jika
dilihat dari segi Logika Matematika maka peraturan tersebut perlu ditinjau
lebih lanjut. Kata hubung dan akan bernilai benar jika perntaan pertama
bernilai benar dan pernyataan kedua juga bernilai benar. Jika kita lihat
peraturan tadi maka siswa laki-laki boleh memanjangkan rambutnya asalkan
tidak
mewarnai
rambutnya
atau
mewarnai
rambutnya
tapi
tidak
memanjangkan rambutnya.
17 | L o g i k a M a t e m a t i k a
Kita adalah apa yang kita kerjakan
berulang-ulang. Karena itu,
keunggulan bukanlah suatu
perbuatan, melainkan sebuah
kebiasaan.
~ Aristoteles ~
18 | L o g i k a M a t e m a t i k a
LATIHAN SOAL
1.
Diketahui premis – premis
(1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung
(2) Ibu tidak memakai payung
Penarikan kesimpulan yang sah dari premis – premis tersebut adalah…
2.
A.
Hari tidak hujan
B.
Hari hujan
C.
Ibu memakai payung
D.
Hari hujan dan Ibu memakai payung
E.
Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung
Diberikan premis sebagai berikut :
Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.
Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah:
3.
A.
Harga BBM tidak naik.
B.
Jika harga bahan pokok naik, maka ada orang tidak senang.
C.
Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang.
D.
Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik.
E.
Harga BBM naik dan ada orang
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi
Premis 2 : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola
Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah ….
A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton sepak bola
B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola
C. Hari hujan dan saya nonton sepak bola
D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari tidak hujan
E. Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi saya nonton sepak bola
19 | L o g i k a M a t e m a t i k a
4.
Negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar
dengan rajin.” adalah…
5.
A.
Ada ujian sekolah dan semua siswa tidak belajar dengan rajin
B.
Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin
C.
Ada ujian sekolah dan ada siswa yang belajar dengan rajin
D.
Tidak ada ujian sekolah dan semua siswa belajar dengan rajin
E.
Tidak ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin
Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
a)
Hari ini Jakarta banjir.
b) Kambing bisa terbang.
c)
Didi anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.
6.
Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:
a)
p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b) p : Semua jenis burung bisa terbang.
c)
7.
p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.
Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”
adalah....
A.
Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
B.
Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
C.
Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
D.
Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.
E.
Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.
(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)
8.
Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan
pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):
a)
p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir
b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi
20 | L o g i k a M a t e m a t i k a
c)
p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.
9.
Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:
p : Hari ini Jakarta hujan lebat.
q : Hari ini aliran listrik putus.
Nyatakan dengan kata-kata:
a)
p∧q
b) p ∧ ~q
c)
~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q
10.
Diberikan data:
Pernyataan p bernilai salah
Pernyataan q bernilai benar
Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:
a)
p∧q
b) p ∧ ~q
c)
~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q
11.
Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan
operasi disjungsi (ATAU):
a)
p : Ibu memasak ayam goreng
q : Ibu membeli soto babat di pasar
b) p : Pak Bambang mengajar matematika
q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris
12.
Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut:
p
q
B S
Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:
a)
p∨q
21 | L o g i k a M a t e m a t i k a
b) p ∨ ~q
c)
13.
~p ∨ q
Negasi
dari
pernyataan
"
Matematika
tidak
mengasyikkan
atau
membosankan" adalah...
A.
Matematika mengasyikkan atau membosankan
B.
Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
C.
Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
D.
Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
E.
Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
(Soal UN Matematika 2008)
14.
Tentukan negasi dari pernyataan:
a)
Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
15.
Diberikan pernyataan:
p : Tahun ini kemarau panjang.
q : Tahun ini hasil padi meningkat.
Nyatakan dengan kata-kata:
a)
p→q
b) ~p → ~q
c)
16.
p → ~q
Tentukan ingkaran dari pernyataan:
"Jika cuaca cerah maka maka Amir bermain sepakbola"
17.
Perhatikan pernyataan berikut:
"Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung"
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!
18.
Kontraposisi dari "Jika semua warga negara membayar pajak maka
pembangunan berjalan lancar" adalah....
A.
jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang
tidak membayar pajak
22 | L o g i k a M a t e m a t i k a
B.
jika tidak semua warga negara membayar pajak maka pembangunan
tidak berjalan lancar
C.
jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak
berjalan lancar
D.
jika pembangunan berjalan lancar maka tidak semua warga negara
membayar pajak
E.
jika pembangunan tidak berjalan lancar maka semua warga negara tidak
membayar pajak
(Soal Ebtanas 1995)
19.
Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
Premis 2 : Budi rajin berolahraga.
20.
Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika hari cerah maka Budi bermain bola.
Premis 2 : Budi tidak bermain bola.
21.
Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ayah.
Premis 2 : Jika Budi disayang ayah maka ia disayang ibu.
22.
Diketahui pernyataan :
1.
Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
2.
Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
3.
Ani tidak memakai payung.
Kesimpulan yang sah adalah...
A.
Hari panas.
B.
Hari tidak panas.
C.
Ani memakai topi.
D.
Hari panas dan Ani memakai topi.
E.
Hari tidak panas dan Ani memakai topi.
23 | L o g i k a M a t e m a t i k a
Daripada mengutuk kegelapan lebih
baik ambil sebatang lilin untuk
dinyalakan. daripada menyalahkan
keadaan lebih baik melakukan sesuatu
untuk memperbaiki keadaan.
~ Pepatah Bijak Cina ~
24 | L o g i k a M a t e m a t i k a
PEMBAHASAN
1. Jawab : A
Pembahasan
p = hari hujan
q = ibu memakai payung
premis 1 : p →q
premis 2 : ~q
(modus tolens)
Kesimpulan : ~p
~p = hari tidak hujan
2. Jawab : E
Pembahasan
p = harga BBM naik
q = harga bahan pokok naik
r = semua orang tidak senang
premis 1 : p→q
premis 2 : q → r
(modus silogisme)
Kesimpulan: p →r
ingkaran (p → r) = ~(p → r) = p ᴧ ~r
p ∧ ~r = Harga BBM naik dan ada orang senang
3. Jawaban : B
Pembahasan
p = hari ini hujan
q = saya tidak pergi
r = saya nonton sepak bola
premis 1 : p → q
premis 2 : q → r
(modus silogisme)
Kesimpulan: p → r
Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola
25 | L o g i k a M a t e m a t i k a
4. Jawaban : B
Pembahasan :
p = ada ujian sekolah
q = semua siswa belajar dengan rajin
~(p → q) = p ᴧ ~q
p ᴧ ~q = ada ujian di sekolah dan ada / terdapat / beberapa siswa tidak belajar
dengan rajin
5. Pembahasan :
a)
Tidak benar bahwa hari ini Jakarta banjir.
b) Tidak benar bahwa kambing bisa terbang.
c)
Tidak benar bahwa Didi anak bodoh
d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada
hari Rabu.
Atau boleh juga dengan format berikut:
a)
Hari ini Jakarta tidak banjir.
b) Kambing tidak bisa terbang.
c)
Didi bukan anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu.
6. Pembahasan :
Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata
"Beberapa" atau "Ada" seperti berikut:
a)
~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.
b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang
c)
~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.
7. Jawaban B
Pembahasan :
p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap
~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap
26 | L o g i k a M a t e m a t i k a
8. Pembahasan :
a)
p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir
p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir
b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi
p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi
c)
p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.
p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas
Kata "dan" bisa diganti dengan "tetapi", "walaupun", "meskipun" selaraskan
dengan pernyataan.
9. Pembahasan :
a)
Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik putus
b) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
c)
Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik putus
d) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus
10. Pembahasan :
Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :
p
q
p∧q
B B B
B S
S
S
B S
S
S
S
Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.
Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:
p q
~p ~q p ∧ q p ∧ ~q ~p ∧ q ~p ∧ ~q
S B B
S
S
S
B
S
27 | L o g i k a M a t e m a t i k a
Dari tabel di atas
a)
p ∧ q bernilai salah
b) p ∧ ~q bernilai salah
c)
~p ∧ q bernilai benar
d) ~p ∧ ~q bernilai salah
11. Pembahasan :
a)
p : Ibu memasak ayam goreng
q : Ibu membeli soto babat di pasar
p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.
b) p : Pak Bambang mengajar matematika
q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris
p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris
12. Pembahasan :
Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:
.
p
q
p∨q
1 B B B
2 B S
B
3 S
B B
4 S
S
S
Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal
dibalikkan saja B jadi S, S jadi B
p
q ~p ~q
B S S
a)
B
p∨q
p bernilai B, q bernilai S
Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)
b) p ∨ ~q
p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q)
Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)
28 | L o g i k a M a t e m a t i k a
c)
~p ∨ q
~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S
Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)
13. Pembahasan :
Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil
de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
p : Matematika tidak mengasyikkan
q : Matematika membosankan
Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan
Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q
Sehingga
~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
14. Pembahasan :
Ingkaran (negasi) dari konjungsi.
a)
Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
Ingat: ~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
Ingat: ~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Hari ini mendung atau Budi tidak membawa payung
29 | L o g i k a M a t e m a t i k a
15. Pembahasan :
Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:
a)
p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkat
b) ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak
meningkat.
c)
p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak
meningkat.
16. Pembahasan :
Ingkaran dari sebuah implikasi p → q adalah p dan ~q
~(p → q) ≅ p ∧ ~ q
sehingga ingkaran dari pernyataan di atas adalah "Cuaca cerah dan Amir
tidak bermain sepakbola"
17. Pembahasan :
Dari implikasi p → q
p : Cuaca mendung
q : Charli membawa payung
Konversnya adalah q → p
yaitu "Jika Charli membawa payung maka cuaca mendung"
Inversnya adalah ~p → ~q
yaitu "Jika cuaca tidak mendung maka Charli tidak membawa payung"
Kontraposisinya adalah ~q → ~p
yaitu "Jika Charli tidak membawa payung maka cuaca tidak mendung"
18. Pembahasan :
p : semua warga negara membayar pajak
q : pembangunan berjalan lancar
Konversnya adalah ~q → ~p yaitu "Jika pembangunan tidak berjalan lancar
maka ada warga negara yang tidak membayar pajak"
30 | L o g i k a M a t e m a t i k a
19. Pembahasan :
Modus Ponens
p→q
p
∴q
Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
p
q
Budi rajin berolahraga
p
Kesimpulan adalah q : Badan Budi sehat
20. Pembahasan :
p : Hari cerah
q : Budi bermain bola
Penarikan kesimpulan dengan prinsip Modus Tollens
p→q
~q
∴ ~p
Sehingga kesimpulannya adalah " Hari tidak cerah "
21. Pembahasan :
Penarikan kesimpulan dengan prinsip silogisme
p→q
q→r
∴p→r
Sehingga kesimpulannya adalah " Jika Budi rajin belajar maka ia disayang
ibu"
22. Pembahasan
Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
Premis (3) Ani tidak memakai payung.
31 | L o g i k a M a t e m a t i k a
p : Hari panas
q : Ani memakai topi
r : Ani memakai payung
Selesaikan terlebih dahulu premis (1) dan (2) kemudian digabungkan dengan
premis (3)
Dari premis (1) dan (2)
Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
p→q
~q ∨ r
Ingat bentuk berikut:
~q ∨ r ekivalen dengan q → r
sehingga bentuk di atas menjadi :
p→q
q→r
∴p→r
(Silogisme)
Dari sini gabungkan dengan premis ketiga:
p→ r
~r
∴ ~p
(Modus Tollens)
Kesimpulan akhirnya adalah ~p yaitu "Hari tidak panas"
32 | L o g i k a M a t e m a t i k a
Petunjuk menggunakan Quiz Makker
1. Masukan CD
2. Buka folder Quis Logika Matematika, lalu pilih
3. Masukka Fassword : ganbatte78  pilih OK
4. Pilih Continue dan ikuti peraturan yang ada
5. Kerjakan soal dengan baik dan benar ^_^ (Good Luck)
33 | L o g i k a M a t e m a t i k a
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta : PT.
Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta :
Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA,
Semarang : CV. Jabbaar Setia.
34 | L o g i k a M a t e m a t i k a