BILANGAN KOMPLEKS

MATEMATIKA TEKNIK 2
3 SKS
TEKNIK ELEKTRO
1
BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Sistem bilangan real ℝ tidak dapat menyelesaikan
persamaan x2 +1=0. Untuk menyelesaikan persamaan
tersebut dibutuhkan bilangan jenis baru. Bilangan jenis
baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan
kompleks.
2
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi
Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang
huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy
menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x
dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z.
Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks
z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
3
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks
z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika
x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah
dan hasil kali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
4
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan
imajiner.
5
Sifat-sifat bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi
penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk bidang
(field) kompleks. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada
bidang bilangan kompleks z1, z2 dan z3 adalah sebagai
berikut:
1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2 = z2+z1 dan z1•z2 = z2•z1 (sifat komutatif)
3. (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat asosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distributif)
5. Ada 0=0+i0 ∈ℂ , sehingga z+0 = z (0 elemen netral
penjumlahan)
6
6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1 = z (1 elemen netral
perkalian)
7. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada –z = –x–iy
sehingga z+(–z) = 0
8. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada z-1 = 1/z, sehingga
z•z-1 = 1.
Tugas:
Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definisi yang
telah diberikan.
7
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
Buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
z1
Tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan z
2
8
Kompleks Sekawan (Konjugat)
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis z , didefinisikan sebagai
z = (x,–y) = x – iy.
Contoh:
Sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan
dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam
himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat
berikut:
9
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1. z  z
2. z  z  2 Re(z)
3. z  z  2 Im(z)
2
2




z

z

Re(
z
)

Im(
z
)
4.
10
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1. z1  z2  z1  z2
2. z1  z2  z1  z2
3. z1  z2  z1  z2
z
z
4.  1   1 , dengan z2≠0.
 z2 
z2
11
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),
merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat
digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius
sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x
diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi
sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama
bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal
(0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga
bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai
vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan
bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
12
Im
 z(x, y)
z
O
Bidang Argan
Re
13
Im
z1  z2
z1
z2
O
Re
14
Im
z2
z1
Re
O
 z2
z1  z2
15
Tugas :
 z2 = 5 – i.
Diketahui z1 = 2 + 3i dan
Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand):
z1, z2, z1+ z2, z1- z2, z1, z2, z1  z2, z1  z2
16
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus
dari z, ditulis z = x+iy =
x2  y2
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua
bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah
(x1  x2 )2  (y1  y2 )2
17
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.
18
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
z  Re(z)2  Im(z)2
2.
zz
2
2
3.
z  zz
4.
z  Re(z)  Re(z)
5.
z  Im(z)  Im(z)
19
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
z1  z2  z1  z2
2.
z1 z1

z2 z2
3.
z1  z2  z1  z2
4.
z1  z2  z1  z2
5.
z1  z2  z1  z2
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy,
kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !
20
1. Bukti:
z1  z2  z1  z2
z1  z2  (x1  iy1)  (x2  iy2)
 (x1x2  y1y2)  i(x1y2  x2y1)
 (x1x2  y1y2 )2  (x1y2  x2y1)2
 x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x12y22  x22y12  2x1x2y1y2
 (x12  y12 )  (x22  y22 )
 (x12  y12 )  (x22  y22 )
 z1  z2
 z1  z2  z1  z2
21
2. Bukti:
z1
x1  iy1 x2  iy2


z2 x2  iy2 x2  iy2

x1x 2  y1y 2 x 2y1  x1y 2
i 2
2
2
x2  y2
x 2  y 22
2
2
 x1x 2  y1y 2   x 2y1  x1y 2 
   2

  2
2 
2 
 x2  y2   x2  y2 
x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x22y12  x12y22  2x1x2y1y2

(x22  y22 )2
(x12  y12 )  (x22  y22 )

(x22  y22 )  (x22  y22 )
x12  y12
z1


terbukti.
2
2
z
2
x2  y2
22
3. Bukti:
z1  z2  z1  z2
0  (x1y2  x2y1)2
0  x12y22  x22y12  2x1x2y1y2
2x1x2y1y2  x12y22  x22y12
x12x22  y12y22  2x1x2y1y2  x12x22  y12y22  x12y22  x22y12
(x1x2  y1y2 )2  (x12  y12 )(x22  y22 )
2(x1x2  y1y2 )  2 (x12  y12 )(x22  y22 )
x12  2x1x2  x22  y12  2y1y2  y22 
x12  y12  2 (x12  y12 )(x22  y22 )  x22  y22
2
2
(x1  x2 )  (y1  y2 ) 

x12
 y12 
x12  y12 
(x1  x2 )2  (y1  y2 )2 
z1  z2  z1  z2

2
2
2
x2  y2
x22  y22
terbukti
23
4. Bukti:
z1  z2  z1  z2
z1  z1  z2  z2
 z1  z2  z2
z1  z2  z1  z2
 z1  z2  z1  z2
24
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).
Im
z  (x, y)  (r, )
z r

O
Re
25
Adapun hubungan antara keduanya, (x, y) dan (r, )
adalah :
x = r cos , y = r sin,
sehingga  = arc tan
 y 
x
 adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
r  x2  y2  z
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis .
dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  - i sin ).
26
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos  + i sin ), sudut  disebut
argument dari z, ditulis arg z. Sudut  dengan 0  < 2 atau - < 
  disebut argument utama dari z, ditulis  = Arg z. Pembatasan
untuk sudut  tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i
sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.
27
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) =
r(cos  + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z
dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan
sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos  + i sin , dengan
menggunakan deret MacLaurin untuk cos  , sin  dan et
dengan mengganti t = i.
28
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk
polar dan eksponen !
Jawab :
z = 1 + i, r = 2 , tan  = 1, sehingga  = 45⁰= 41 
Jadi z =
1
2 (cos 4  + i sin 41 ) =
2 cos 41  =
2

i
4
e
29
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
30
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
31
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh
rumus perkalian z1
z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos  + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n).
. . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos  + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.
32
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
z1 r1(cos 1  i sin 1)

berikut:
z2 r2(cos 2  i sin 2 )
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
z1 r1
diperoleh : z  r [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]
2
2
Dari rumus di atas diperoleh:
z1
arg
 1-2 = arg z1 – arg z2.
z2
33
Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ),
maka:
Untuk:
1  1cos()  i sin()
z r
1 
1
zn rncos n  i sin n
.
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
1  1 cos(n)  i sin(n)
zn rn
.......2
34
Dari 1 dan 2 diperoleh:
zn  rn cos(n)  i sin(n)
Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
35
Contoh:
Hitunglah :

3  i
6
Jawab :
Misalkan z  3  i,
maka
r  z  3 1 2
tan    1
3
karena z di kuadran IV, maka dipilih   30o

jadi
3  i  2 cos 30o  i sin 30o

3  i
6


 26 cos 180o  i sin 180o

 26(1  0)
 26
36
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis z 
1
wn.
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh:
n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan
n= +2k , k bulat.
Akibatnya  
1
rn
dan
    2k
n
Jadi . . .
37
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
1
  2k
n
)
r [cos(
  2k)],
+
i
sin
(
n
n
k bulat dan n bilangan asli.
z=
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang
memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0    2k < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn
n
sebagai akar ke-n dari z.
38
Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan     2k
.
Jadi z = 3[cos(   2k )+i sin(   2k )]
4
4
4
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
39
Latihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z
dan
b. z  z
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. z 2+ z1.z2 = 2Re(z1. z 2)
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
40
7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6
b. z + i = z – i
c. 1 < z – i < 3
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0
41