Logika Matematika

NASKAH BKS MATEMATIKA
KELAS X SEMESTER GENAP
LOGIKA MATEMATIKA
BROTO APRILIYANTO, S. Pd.
(SMA N 1 WURYANTORO)
MGMP MATEMATIKA SMA KAB. WONOGIRI
2011
BAB
31
LOGIKA MATEMATIKA
STANDAR KOMPETENSI:
4.
Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan
pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
KOMPETENSI DASAR :
4.1 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor
4.2 Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan
berkuantor yang diberikan
4.3 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk
dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah
TUJUAN PEMBELAJARAN :
Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa mampu :
1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor
2. Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor
3. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk
4. Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan majemuk
5. Memeriksa kesetaraan antara dua pernyataan majemuk
6. Membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk
7. Membuat pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk
8. Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika
9. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan
Dalam percakapan sehari-hari, kata logika berarti “menurut akal”. Sedangkan sebagai
istilah, logika berarti suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan
penalaran. Ketepatan penalaran adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat
dari bukti-bukti yang ada.
Manusia sebagai makhluk Tuhan yang memiliki tingkat intelegensi tertinggi memiliki akal
budi untuk berlogika secara spontan/kodrati. Namun manusia selalu berusaha
meningkatkan ketajaman logikanya dalam menyusun ilmu pengetahuan yang berdasar
hukum logika sehinga lahir logika ilmiah.
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan pada berbagai fakta dan pendapat
yang menuntut kemampuan untuk bisa menyimpulkannya. Misalkan diberikan pernyataan
berikut :
1. Jika remisi untuk para koruptor masih diberikan, maka kasus korupsi tetap merajalela.
2. Kesejahteraan rakyat sulit diwujudkan jika korupsi tetap merajalela.
3. Kesejahteraan rakyat terwujud.
Apa yang bisa kamu simpulkan? Bagaimana kamu menyimpulkannya? Logiskah cara kamu
menarik kesimpulan?
A. Penyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran
Logika adalah suatu metode atau teknikyang diciptakan untuk meneliti ketepatan
penalaran, sedangkan penalaran merupakan suatu bentuk pemikiran yang masuk akal.
Seseorang akan menggunakan kalimat dalam menyampaikan pemikiran atau gagasannya.
Kita menjumpai beberapa bentuk kalimat dalam kehidupan sehari-hari. Namun dalam
matematika hanya akan dipelajari kaliamat yang mengandung nilai kebenaran saja, yaitu :
kalimat tertutup (pernyataan), kalimat bukan pernyataan, dan kalimat terbuka.
1. Pernyataan
Perhatikan kalimat-kalimat berikut ! Mana yang merupakan pernyataan?
a. Delapan adalah bilangan genap.
b. Kerjakan soal-soal berikut!
c. Siapa nama gadis cantik itu?
d. Wuryantoro terletak di kabupaten Sukoharjo.
Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak berlaku sebaliknya. Pernyataan adalah
suatu kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, sehingga tidak dapat bernilai
benar dan salah sekaligus. Berdasarkan kalimat-kalimat di atas, maka yang merupakan
pernyataan adalah kalimat a dan d.
Agar bisa menentukan benar atau salahnya, mak kalimat –kalimat tersebut harus
mampu menerangkan sesuatu (deklaratif). Jika suatu kalimat belum bisa ditentukan benar
atau salahnya maka dikatakan sebagai kalimat terbuka yang masih mengandung variabel.
Suatu kaliamt terbuka bisa menjadi pernyataan jika setelah variabelnya diganti mampu
memberikan suatu keterangan benar atau salah.
Dalam menarik suatu kesimpulan dari beberapa pernyataan,dalam menentukan nilai
kebenaran harus memakai dasar empiris atau nonempiris.
a. Dasar Empiris, yaitu benar atau salahnya didasarkan pada fakta yang dapat dijumpai
dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh :
1) Ayam merupakan hewan menyusui.
(merupakan pernyataan salah)
2) Manchester United adalah juara Liga Inggris tahun 2011.
(merupakan pernyataan benar)
b. Dasar Nonempiris, yaitu menentukan benar atau salahnya suatu pernyataan
berdasarkan penelitian, perhitungan, atau bukti dalam matematika.
Contoh :
1) 4log 9 = 2log 3.
(merupakan pernyataan benar)
2) Persamaan kuadrat x2 – 6x + 9 = 0 memiliki 2 akar real berlainan.
(merupakan pernyataan salah)
Nilai kebenaran hanya ada 2, yaitu benar atau salah. Nilai benar biasanya dinotasikan
dengan B atau T atau 1, sedangkan nilai salah dinotasikan dengan S atau F atau 0. Suatu
pernyataan dalam logika lazimnya dilambangkan dengan huruf kecil, misalkan : p, q, r, a,
b, dan lain-lain.
2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat variabel dan jika variabelnya diganti
dengan suatu konstanta akan menghasilkan suatu pernyataan. Variabel atau peubah adalah
atau lambang yang digunakan untuk mewakii anggota sembarang dari suatu semesta
pembicaraan. Sedangkan konstanta adalah anggota tertentu dari semesta pembicaraan.
Salah satu cara untuk mengetahu nilai kebenaran suatu pernyataan adalah menggantikan
variabel dengan konstanta.
Contoh : Persamaan x + 2 = 5, x 𝜖 R dinamakan kalimat terbuka karena mengandung
variabel yaitu x sehingga belum diketahui nilai kebenarannya.
Jika x = 1, maka x + 2 =5 menjadi 1 + 2 = 5 (salah)
Jika x = 2, maka x + 2 =5 menjadi 2 + 2 = 5 (salah)
Jika x = 3, maka x + 2 =5 menjadi 3 + 2 = 5 (benar)
Dalam pembahasan selanjutnya kita juga akan menjumpai kalimat terbuka yang
mengandung lebih dari 1 variabel.
Contoh : a.
x–y=4
; x,y 𝜖 R
b. x + 2y – 3z = 6
; x,y,z 𝜖 R
3. Negasi (Ingkaran)
Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkarannya dinotasikan sebagai ~p (dibaca :
negasi p). Apabila pernyataan p bernilai benar, maka ~p bernilai salah begitu pula
sebaliknya. Tabel kebenaran dari ingkaran adalag sebagai berikut :
p
~p
B
S
S
B
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut :
a. Bagus sedang belajar Matematika.
b. Semua manusia akan mati.
Pernyataan-pernyataan di atas dapat dibentuk menjadi pernyataan-pernyataan baru
yang merupakan ingkaran atau negasinya dengan menambahkan kata “tidak”, “bukan” atau
sejenis lainnya yang sesuai menurut tata bahasa yang benar.
Negasi dari pernyataan-pernyataan di atas adalah :
a. Bagus tidak sedang belajar Matematika.
b. Ada manusia yang tetap hidup.
Contoh :
a.
p : Ana memakai jaket warna pink.
~p : Ana tidak memakai jaket warna pink.
b.
q : 2 + 3 = 5 (B)
~q : 2 + 3 ≠ 5 (B)
c.
r : 1 + 2 ≥ 0 (B)
~r : 1 + 2 < 0 (S)
LATIHAN 1
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan tepat!
1. Manakah yang merupakan pernyataan dan mana yang bukan? Beri alasanmu!
a. Siapa gerangan nama orang itu?
b. Muhammad Nazaruddin tertangkap di Kolombia.
c. Lakukan segera!
d. Westlife berasal dari negara Skotlandia.
2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.
a. Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 3600.
b. Grafik fungsi f(x) = –x2 + 4 menghadap ke bawah.
c. Liverpool adalah klub sepakbola yang mendapat julukan The Red Devils.
d. Dahlan Iskan pernah menjabat sebagai Dirut Pertamina.
3. Tentukan nilai x agar kalimat terbuka berikut bernilai benar.
a. x bilangan prima antara 10 sampai 20
1 2− 𝑥
b. 3 =(
x
4.
5.
)
3
c. log x = –3
d. x2 – 2x – 8 = 0
Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut!
a. 3(2 + 4) = 18
b. Yeni berdoa sebelum makan.
c. 5 > 4
d. 2 ≤ 2log 4
Tentukan beberapa nilai x agar kalimat terbuka berikut bernilai salah.
a. x bilangan prima antara 10 sampai 20
2
1 2− 𝑥
b.
3 =(
c.
d.
2
x
)
3
log x = –3
x2 – 2x – 8 = 0
UJI DIRI ...
Jika p bernilai benar, maka bagaimana nilai
kebenaran dari ~(~p) ? Jelakan!
B. Disjungsi dan Konjungsi
Dalam mempelajari logika matematika kita akan sering bertemu dengan pernyataan
majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung tertentu. Diantaranya adalah disjungsi
dan konjungsi.
1. Disjungsi
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau” serta
disimbolkan dengan “⋁”.Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p ⋁ q dibaca “p
atau q”. Pernyataan p ⋁ q disebut sebagai pernyataan disjungtif dan masing-masing p serta
q disebut komponen. Konjungsi mempunyai sifat simetrik, artinya pernyataan p ⋁ q
ekuivalen dengan pernyataan q ⋁ p. Misalnya kita akan menyusun konjungsi dari
pernyataan berikut :
p : ada pensil
q : ada bolpoint
Disjungsi dari kedua pernyataan di atas adalah p ⋁ q : Ada pensil atau ada bolpoint.
Selanjutnya nilai kebenaran dari disjungsi tersebut dapat kita lihat sebagai berikut :
a) Ada pensil atau ada bolpoint, maka bisa digunakan untuk menulis. (Benar)
b) Ada pensil atau tidak ada bolpoint, maka bisa digunakan untuk menulis (Benar)
c) Tidak ada pensil atau ada bolpoint, maka bisa digunakan untuk menulis (Benar)
d) Tidak ada pensil atau tidak ada bolpoint, tidak bisa digunakan untuk menulis (Salah)
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa suatu konjungsi bernilai benar jika kedua
pernyataan juga bernilai benar. Hal ini bisa digambarkan dalam tabel kebenaran berikut :
p
q
p⋁ q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Contoh :
p
: David Beckham seorang pesepakbola ... (B)
q
: David Beckham berasal dari Inggris ... (B)
p ⋁q : David Beckham seorang pesepakbola atau berasal dari Inggris ... (B)
p
: David Beckham seorang pesepakbola ... (B)
q
: David Beckham berasal dari Indonesia ... (S)
p ⋁ q : David Beckham seorang pesepakbola atau berasal dari Indonesia ... (B)
p
: David Beckham seorang petinju... (S)
q
: David Beckham berasal dari Inggris ... (B)
p ⋁ q : David Beckham seorang petinju atau berasal dari Inggris ... (B)
p
: David Beckham seorang petinju... (S)
q
: David Beckham berasal dari Indonesia ... (S)
p ⋁ q : David Beckham seorang petinju atau berasal dari Indonesia ... (S)
Contoh :
Diketahui : p(x) : x + 2 < 6 sedangkan q(x) : x – 2 > 0. Tentukan nilai x ∈ Bilangan
Asli sedemikian hingga nilai kebenaran konjungsi p(x) ⋁ q(x) berikut adalah benar!
Jawab :
p(x) : x + 2 < 7 bernilai benar untuk x anggota himpunan {1, 2, 3, 4}
q(x) : x – 2 > 0 bernilai benar untuk x anggota himpunan {3, 4, 5, 6, … }
Jadi, p(x) ⋁ q(x) bernilai benar untuk x anggota himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, … }
Ingkaran dari konjungsi ~( p ⋁ q) adalah ~p ⋀ ~q. Hal ini dapat dibuktikan pada
tabel berikut :
p
q
~p
~q
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
p⋁q
B
B
B
S
~( p ⋁ q)
S
S
S
B
~p ⋀~q
S
S
S
B
Jadi, terbukti bahwa :
~( p ⋁ q) ≡ ~p ⋀~q
Contoh :
Tentukan ingkaran dari konjungsi berikut !
a. Tika anak yang cantik atau pintar.
b. Guru Matematika saya orangnya baik hati atau tidak sombong.
Jawab :
a. Tika anak yang tidak cantik dan tidak pintar.
b. Guru Matematika saya orangnya tidak baik hati dan sombong.
2. Konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan” serta
disimbolkan dengan “⋀”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p ⋀ q dibaca “p
dan q”. Pernyataan p ⋀ q disebut sebagai pernyataan konjungtif dan masing-masing p serta
q disebut komponen. Kata penghubung “dan” sering diartikan “kemudian, lalu, meskipun,
tetapi”. Konjungsi mempunyai sifat simetrik, artinya p ⋀ q ekuivalen dengan q ⋀ p. Misalnya
kita akan menyusun konjungsi dari pernyataan berikut :
p : ada kompor
q : tersedia gas
Konjungsi dari kedua pernyataan di atas adalah p ⋀ q : Ada kompor dan tersedia gas.
Selanjutnya nilai kebenaran dari konjungsi tersebut dapat kita lihat sebagai berikut :
a) Ada kompor dan tersedia gas, maka digunakan untuk memasak. (Benar)
b) Ada kompor tetapi tidak tersedia gas, tidak bisa digunakan untuk memasak. (Salah)
c) Tidak ada kompor tetapi tersedia gas, tidak bisa digunakan untuk memasak. (Salah)
d) Tidak ada kompor juga tidak tersedia gas, tidak bisa digunakan untuk memasak. (Salah)
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa suatu konjungsi bernilai benar jika kedua
pernyataan juga bernilai benar. Hal ini bisa digambarkan dalam tabel kebenaran berikut :
p
q
p⋀q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Nilai kebenaran dari pernyataan p biasanya dilambangkan dengan 𝜏(p) dibaca “tau p”.
Jika 𝜏(p) = S dan 𝜏(q) = S , maka 𝜏(p ⋀ q) = S.
Contoh :
p
: David Beckham seorang pesepakbola ... (B)
q
: David Beckham berasal dari Inggris ... (B)
p ⋀ q : David Beckham seorang pesepakbola dan berasal dari Inggris ... (B)
p
: David Beckham seorang pesepakbola ... (B)
q
: David Beckham berasal dari Indonesia ... (S)
p ⋀ q : David Beckham seorang pesepakbola dan berasal dari Indonesia ... (S)
p
: David Beckham seorang petinju... (S)
q
: David Beckham berasal dari Inggris ... (B)
p ⋀ q : David Beckham seorang petinju dan berasal dari Inggris ... (S)
p
: David Beckham seorang petinju... (S)
q
: David Beckham berasal dari Indonesia ... (S)
p ⋀ q : David Beckham seorang petinju dan berasal dari Indonesia ... (S)
INGAT !!
Kata yang membentuk konjungsi : dan, serta, kemudian,
lalu, tetapi, namun, padahal, sambil, meskipun, walaupun.
Contoh :
Diketahui : p(x) : x + 2 < 6 sedangkan q(x) : x – 2 > 0. Tentukan nilai x ∈ Bilangan
Asli sedemikian hingga nilai kebenaran konjungsi p(x) ⋀ q(x) berikut adalah benar!
Jawab :
p(x) : x + 2 < 7 bernilai benar untuk x anggota himpunan {1, 2, 3, 4}
q(x) : x – 2 > 0 bernilai benar untuk x anggota himpunan {3, 4, 5, 6, … }
Jadi, p(x) ⋀ q(x) bernilai benar untuk x anggota himpunan {3, 4}
Ingkaran dari konjungsi ~( p ⋀ q) adalah ~p ⋁~q. Hal ini dapat dibuktikan pada
tabel berikut :
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
~p
S
S
B
B
Jadi, terbukti bahwa :
~q
S
B
S
B
p⋀q
B
S
S
S
~( p ⋀ q)
S
B
B
B
~p ⋁~q
S
B
B
B
~( p ⋀ q) ≡ ~p ⋁~q
Contoh :
Tentukan ingkaran dari konjungsi berikut !
a. Tika anak yang cantik dan pintar.
b. Guru Matematika saya orangnya baik hati dan tidak sombong.
Jawab :
a. Tika anak yang tidak cantik atau tidak pintar.
b. Guru Matematika saya orangnya tidak baik hati atau sombong.
LATIHAN 2
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan tepat!
1. Tentukan disjungsi masing-masing pernyataan p ⋁ q berikut besera nilai kebenarannya!
a. p : 2 adalah bilangan prima
q : 3 adalah faktor dari 8
b. p : 3 < 5
q : 2log 4 = 8
c. p : Sudut yang sehadap jumlahnya 1800.
q : Sudut dalam berseberangan besarnya sama.
d. p : Dublin adalah ibukota negara Skotlandia.
q : Kepala pemerintahan negara Inggris adalah presiden.
2. Tentukan konjungsi masing-masing pernyataan p⋀q berikut besera nilai kebenarannya!
a. m : 3972 adalah bilangan genap
n : 3 adalah faktor dari 243
b. m : 2 ≤ 5
n : 2log 4 =
3.
1
6
c. m : Sudut yang sehadap besarnya sama.
n : Sudut luar berseberangan jumlahnya 1800.
d. m : Seniman Michael Angelo berasal dari Italia.
n : Oryza sativa adalah nama latin dari padi.
Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut!
a. |−5| = 5 atau 39 adalah bilangan prima.
b. |𝑥| ≥ 0 dan x2 < 0, untuk x ∈ R.
c. Sekarang atau tidak kau lakukan selamanya.
d. Timnas Indonesia kalah melawan Bahrain meskipun diperkuat Cristian Gonzales.
4.
5.
Tentukan nilai x yang memenuhi agar pernyataan majemuk berikut bernilai benar!
a. 4x = 8 atau 2x + 3 = 11
b. x2 – x – 12 = 0 dan x2 – 16 = 0.
c. 2log x = 3 atau 2x < 10, x ∈ Asli
d. 2log x = 3 dan 2log x = 4
Buatlah tabel kebenaran untuk masing-masing pernyataan majemuk berikut!
a. ~( p ⋀ q) ⋁ r
b. ( p ⋀ ~q) ⋁ r
c. (~p ⋀ q) ⋁ ( p ⋀ ~q)
d. p ⋁ (~q ⋀ r)
C. Implikasi dan Biimplikasi
Selain disjungsi dan konjungsi, dalam mempelajari logika matematika kita akan sering
bertemu dengan pernyataan majemuk yang menunjukkan hubungan sebab akibat
(kausalitas). Diantaranya adalah implikasi dan biimplikasi.
1. Implikasi
Implikasi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ..., maka ...”
atau “jika ..., ...”, atau “ ... jika ...”. serta disimbolkan dengan “⇒”. Dua pernyataan p dan
q yang dinyatakan dalam p ⇒ q dibaca “jika p, maka q”. Pernyataan p ⇒ q disebut sebagai
implikasi atau kondisional atau pernyataan bersyarat. Pernyataan p disebut antiseden atau
sebab sedangkan q disebut konsekuen atau akibat. Pernyataan q syarat perlu bagi p dan p
syarat cukup bagi q.
Implikasi mempunyai sifat asimetrik, artinya p ⇒ q ≠ p ⇒ q. Misalnya kita akan
menyusun implikasi dari pernyataan berikut :
p : Maya lulus ujian
q : Ayah Maya membelikan mobil
Implikasi dari kedua pernyataan di atas adalah “Jika Maya lulus ujian, maka ayah Maya
membelikan mobil”. Dalam hal ini, Maya lulus ujian merupakan syarat agar ayahnya
membelikan mobil.
Tabel kebenaran dari implikas adalah sebagai berikut :
p
q
p⇒q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Berdasarkan tabel di atas , suatu implikasi bernilai salah jika antiseden bernilai benar
sedangkan konsekuen bernilai salah. Dengan demikia untuk menentukan nilai x pada
implikasi p(x) ⇒ q, perlu diperhatikan pernyataan q.
 Jika q bernilai benar, implikasi p(x) ⇒ q selalu bernilai benar untuk setiap nilai x.
 Jika q bernilai salah, implikasi p(x) ⇒ q selalu bernilai benar untuk x yang salah dan
bernilai salah untuk x yang benar.
Contoh :
1) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p ⇒ q berikut!
p : Grafik f(x) = 2x2 – 4x – 7 membuka ke atas.
q : 2log 3 = 3log 2
Jawab :
𝜏(p) = B dan 𝜏(q) = S
Jadi, 𝜏(p ⇒ q) = S
2) Tentukan nilai x agar pernyataan majemuk p ⇒ q berikut berniai benar!
p : x2 – 3x – 4 = 0
q : 23 = 6
Jawab :
Diketahui dan 𝜏(q) = S, agar 𝜏(p ⇒ q) = B, maka 𝜏(p) = S
Persamaan kuadrat x2 – 3x – 4 = 0 dipenuhi oleh x = 4 atau x = –1
Jadi, 𝜏(p ⇒ q) = B untuk x ≠ –1 dan x ≠ 4.
PERLU KAMU TAHU ...
Tanda ≡ dibaca ekuivalen atau setara yang mengandung
arti sama dengan.
Beberapa implikasi khusus, diantaranya :
a. Tautologi (implikasi logis)
Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu benar untuk setiap nilai kebenaran di
komponen-komponennya.
Contoh :
p
q
p⋀q (p⋀q) ⇒q
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
Berdasarkan tabel kebenaran di atas tampak bahwa, (p⋀q) ⇒q adalah suatu tautologi.
b. Kontradiksi
Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai
kebenaran dari komponen-komponennya.
Contoh :
p
q ~q p⋀~q q⋀ (p⋀~q)
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
S
S
S
B
S
S
Berdasarkan tabel kebenaran di atas tampak bahwa, q⋀ (p⋀~q)adalah suatu kontradiksi.
Sedangkan negasi dari implikasi p⇒q adalah
menggunakan tabel kebenaran berikut.
p
q ~q p⇒q
~( p⇒q)
p⋀~q
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
S
Berdasarkan tabel di atas tampak bahwa :
p⋀~q.
Kita
bisa
membuktikannya
~( p⇒q) ≡ p⋀~q
Contoh :
Tentukan negasi dari implikasi berikut!
a. Jika nilainya bagus, Sahid akan mendapatkan hadiah.
b. Aku bahagia jika kau di sampingku.
Jawab :
a. Nilainya bagus dan Sahid tidak mendapat hadiah.
b. Pernyataan :” Aku bahagia jika kau di sampingku” ekuivalen dengan “Jika kau di
sampingku, maka aku bahagia”.
Negasinya : Aku bahagia meskipun kau tidak di sampingku.
2. Biimplikasi
Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan dengan kata
“...jika dan hanya jika ...” serta disimbolkan dengan “⇔”. Dua pernyataan p dan q yang
dinyatakan dalam p ⇔ q dibaca “p jika dan hanya jika q”. Biimplikasi disebut sebagai
implikasi dua arah. Pernyataan q syarat perlu bagi dan syarat cukup bagi p, begitu pula
sebaliknya.
Pernyataan p ⇔ q juga bisa dibaca “Jika p, maka q dan jika q, maka p” . Hal ini dapat
ditunjukkan dalam tabel kebenaran sebagai berikut.
p
q p⇔q p⇒q
q⇒p
(p⇒q) ⋀( q⇒p)
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B
Berdasarkan tabel di atas tampak bahwa :
p⇔q ≡ (p⇒q) ⋀ ( q⇒p)
Untuk menentukan nilai kebenaran x pada biimplikasi p(x)⇔q perlu diperhatikan nilai
kebenaran q.
1) Jika q bernilai benar, maka p(x)⇔q bernilai :
a) benar jika p(x) bernilai benar,
b) salah jika p(x) bernilai salah.
2) Jika q bernilai salah, maka p(x)⇔q bernilai :
a) benar jika p(x) bernilai salah,
b) salah jika p(x) bernilai benar.
Contoh :
1. Tentukan nilai x agar biimplikasi p(x)⇔q berikut bernilai benar!
p : x2 = 4
q:2+3=4
jawab :
Karena 𝜏(q) = S, agar p(x)⇔q bernilai benar, maka 𝜏(p(x)) = S.
Jadi, x ≠ 2 dan x ≠ –2
2. Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi p(x)⇔q(x) berikut!
p(x) : x2 = 4
q(x) : x = 2log 4
Jawab :
p(x) : x2 = 4 dipenuhi oleh x = 2 atau x = –2, himpunan penyelesaiannya P = {−2, 2}
q(x) : x = 2log 4 dipenuhi oleh x = 2, himpunan penyelesaiannya Q = { 2}
Karena P ≠ Q, maka 𝜏(p(x)⇔q(x)) = S.
Sedangkan negasi dari biimplikasi dapat ditentukan sebagai berikut :
~ (p⇔q) ≡ ~((p⇒q) ⋀ ( q⇒p))
≡ ~(p⇒q) ⋁ ~(q⇒p)
≡ (p ⋀~q) ⋁ (q ⋀~p)
Jadi, diperoleh bahwa
~ (p⇔q) ≡ (p ⋀~q) ⋁ (q ⋀~p)
Contoh :
Tentukan negasi dari biimplikasi “Aku bahagia jika dan hanya jika aku kaya”.
Jawab :
Pernyataan “Aku bahagia jika dan hanya jika aku kaya” juga dapat diartikan sebagai “Jika
aku bahagia maka aku kaya dan jika aku kaya maka aku bahagia” , sehingga negasinya
adalah : Aku bahagia meskipun aku tidak kaya atau aku kaya tetapi aku tidak bahagia
UJI DIRI
Buktikan bahwa ~ (p⇔q) ≡ (p ⋀~q) ⋁ (q ⋀~p)
menggunakan tabel kebenaran!
LATIHAN 3
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan tepat!
1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut.
a. Jika 24 = 42, maka pada ∆ ABC siku-siku di A berlaku a2 = b2 + c2.
b. Grafik f(x) = x2 + 2x + 4 menyinggung sumbu X jika ax ay = ax+y.
c. Jika 2 x 3 = 5, maka Sea Games 2011 diselenggarakan di Jakarta.
d. Seoul ibukota China jika Hayam Wuruk adalah raja kerajaan Sriwijaya.
e. (x2 = 4) ⇒ (2x = 4)
2.
Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi berikut.
a. 24 = 42 jika dan hanya jika pada ∆ ABC siku-siku di A berlaku b2 = a2 + c2.
b. Grafik f(x) = x2 + 2x + 1 menyinggung sumbu X jika dan hanya jika ax ay = ax+y.
c. 2 x 3 = 5 jika dan hanya jika Piala Dunia 2014 diselenggarakan di Uruguay.
d. Hayam Wuruk adalah raja kerajaan Singosari jika dan hanya jika Ken Arok adalah
raja kerajaan Sriwijaya.
e. ( |𝑥| < 2 ) ⇔ (x2 – 4 < 0)
3.
Tentukan negasi dari implikasi berikut.
a. Jika di benar, maka saya yang salah.
b. Aku akan sedih dan kecewa jika kau menghianatiku
c. Jika x bilangan genap, maka x2 juga bilangan genap.
d. A ∪ B = B jika A ⊂ B
Tentukan negasi dari biimplikasi berikut.
a. Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika gradiennya sama.
b. Aku bahagia jika dan hanya jika aku tidak bersedih.
c. David Cameroon adalah presiden Perancis jika dan hanya jika Nicholas Sarkozy
adalah PM Inggris.
d. A = B jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A
Tentukan nilai x agar pernyataan majemuk berikut benar.
a. (2log x = 2) ⇒ (23 = 9)
4.
5.
b.
c.
d.
2
(5𝑥 + 3𝑥 = 1) ⇔ (√2 adalah bilangan Irrasional)
(James Milner adalah penemu mesin uap) ⇒ (3x = 81)
(Kecepatan benda berbanding lurus dengan jarak tempuhnya) ⇔ (x2 – 8 = 0)
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Berdasarkan implikasi p ⇒ q, kita membentuk pernyataan majemuk baru, yaitu :
konvers, invers, dan kontraposisi.
1. Konvers
: dirumuskan sebagai q ⇒ p
2. Invers
: dirumuskan sebagai ~p ⇒ ~q
3. Kontraposisi
: dirumuskan sebagai ~q ⇒ ~p
Nilai kebenaran dari konvers, invers, dan kontraposisi dapat ditentukan sebagai berikut.
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
~p
S
S
B
B
~q
S
B
S
B
p⇒q
B
S
B
B
q⇒p
B
B
S
B
~p ⇒ ~q
B
B
S
B
~q ⇒ ~p
B
S
B
B
sama
Berdasarkan tabel kebenaran di atas tampak bahwa :
a. Nilai kebenaran dari p ⇒ q sama dengan ~q ⇒ ~p sehingga implikasi ekuivalen dengan
kontraposisinya.
p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
b.
Nilai kebenaran dari q ⇒ p sama dengan ~p ⇒~q sehingga konvers ekuivalen dengan
inversnya.
q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q
Hubungan nilai kebenaran dari konvers, invers, dan kontraposisi dapat digambarkan pada
skema berikut .
konvers
p⇒q
invers
q⇒p
kontraposisi
~p⇒~q
invers
~q⇒~p
konvers
Contoh :
1. Diketahui implikasi : Jika harga BBM naik, maka harga sembako juga naik. Tentukan
konvers, invers, dan konraposisinya!
Jawab :
 Konvers
: Jika harga sembako naik, maka harga BBM juga naik.
 Invers
: Jika harga BBM tidak naik, maka harga sembako juga tidak naik.
 Kontraposisi : Jika harga sembako tidak naik, maka harga BBM juga tidak naik.
2. Diketahui implikasi : (p ⋁ q) ⇒ r. Tentukan konvers, invers, dan konraposisinya!
Jawab :
 Konvers
: r ⇒ (p ⋁ q)
 Invers
: ~(p ⋁ q) ⇒ ~r ≡ ~p ⋀ ~q ⇒ ~r
 Kontraposisi : ~r ⇒ ~(p ⋁ q) ≡ ~r ⇒ ~p ⋀ ~q
Sedangkan negasi dari konvers, invers, dan kontraposisi adalah sebagai berikut.
~(q ⇒ p) ≡ q ⋀ ~p
~(~p ⇒ ~q) ≡ ~p ⋀ q
~(~q ⇒ ~p) ≡ ~q ⋀ p
Contoh :
Tentukan konvers, invers, kontraposisi, serta masing-masing ingkarannya dari implikasi :
Jika tersenyum, maka kamu terlihat cantik.
Jawab :
 Konvers
: Jika kamu terlihat cantik, maka kamu tersenyum.
Ingkarannya
: Kamu terlihat cantik meskipun tidak tersenyum.
 Invers
: Jika kamu tidak tersenyum ,maka kamu tidak terlihat cantik.
Ingkarannya
: Kamu tidak tersenyum tetapi terlihat cantik.
 Kontraposisi
: Jika kamu tidak terlihat cantik, maka kamu tidak tersenyum.
Ingkarannya
: Kamu tidak terlihat cantik meskipun tersenyum.
LATIHAN 4
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan tepat!
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
a. Jika ayam bertelur, maka kambing makan rumput.
b. Lita menggambar jika hatinya sedih.
c. Jika a < 0, maka grafik f(x) = ax2 + bx + c menghadap ke bawah.
d. a2 bilangan ganjil jika a tidak habis dibagi 2.
2. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
a. p ⇒ ~q
b. (q ⋁ r) ⇒ ~p
c. (p ⋀ q) ⇒ (~q ⋀ r)
d. (p ⋀ ~q) ⇒ (q ⋁ ~r)
3. Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi berikut.
a. Jika kamu pergi, maka aku tidak akan kembali.
b. Kelas terasa sepi jika Ibnu tidak masuk.
c. Jika sapi berkaki dua, maka ayam beranak.
d. Siswa akan bersikap santun jika guru mampu memberikan teladan yang baik.
4.
5.
Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi berikut.
a. ~p ⇒ q
b. (q ⋁ ~r) ⇒ p
c. (~p ⋀ q) ⇒ (~q ⋀ r)
d. (~p ⋀ q) ⇒ (~q ⋁ r)
Tentukan konvers, invers, kontraposisi, serta masing-masing ingkarannya dari implikasi:
Indonesia akan mencapai kemakmuran jika pendidikan maju dan korupsi diberantas.
E.
Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang melibatkan kata yang menyatakan
banyaknya anggota semesta pembicaraan untuk mewakili suatu keadaan. Ada 2 kata yang
digunakan, yaitu : semua dan beberapa. Kata semua atau setiap merupakan kuantor
universal (umum), sedangkan kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial
(khusus).
1. Kuantor Universal
Kuantor universal dilambangkan dengan “∀” yang dibaca “untuk semua” atau “untuk
setiap”. Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan diberi kuantor universal, maka akan
menjadi suatu pernyataan berikut :
(∀x) , p(x)
Bentuk (∀x) , p(x) merupakan kalimat deklaratif atau pernyataan yang mempunyai nilai
benar atau salah. Kuantor “semua” merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan
bahwa setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu.
Contoh :
1) Tuliskan kalimat berikut dalam bentu simbol.
“Untuk semua bilangan genap, maka kuadratnya juga bilangan genap”
Jawab :
Misal G = Himpunan bilangan genap, maka dituliskan : (∀x, x ∈ G) , x2 ∈ G .
2) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor
a. (∀x, x ∈ R) (2x ∈ R )
b. (∀x, x ∈ R) (2x + 4 = 0)
Jawab :
a. (∀x, x ∈ R) (2x ∈ R ) mengandung arti untuk semua x bilangan Real, maka 2x juga
merupakan anggota bilangan Real. Jadi jelas bahwa pernyataan ini benar.
b. (∀x, x ∈ R) (2x + 4 = 0) mengandung arti bahwa untuk semua bilangan x berlaku
2x + 4 = 0. Pernyataan ini salah, karena ada beberapa bilangan yang tidak
memenuhi, misalnya x = 1. Tampak bahwa 2.1 + 4 = 6 ≠ 0.
2. Kuantor Eksistensial
Kuantor eksistensial dilambangkan dengan “∃” yang dibaca “ada” atau “beberapa”.
Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan diberi kuantor eksistensial, maka akan menjadi
suatu pernyataan berikut :
(∃x) , p(x)
Bentuk (∃x) , p(x) merupakan kalimat deklaratif atau pernyataan yang mempunyai nilai
benar atau salah. Kuantor “beberapa” merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan
bahwa terdapat sekurang-kurangnya satu x yang memenuhi p.
Contoh :
1) Tuliskan kalimat berikut dalam bentu simbol.
“Ada bilangan genap yang merupakan bilangan prima. Jawab :
Misal G = himpunan bilangan genap, dan P = himpunan bilangan prima,
maka dituliskan : (∃x, x ∈ G) , x ∈ P .
2)
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor
a. (∃x, x ∈ R) (x2 < 0)
b. (∃x, x ∈ R) (2x + 4 = 0)
Jawab :
Jawab :
a. (∃x, x ∈ R) (2x ∈ R ) mengandung arti ada x bilangan Real sehingga x2 bernilai
negatif.(Mengingkari bahwa setiap bilangan kuadrat adalah posif. Mengapa?)
Jadi jelas bahwa pernyataan ini salah.
b. (∃x, x ∈ R) (2x + 4 = 0) mengandung arti bahwa untuk semua bilangan x berlaku
2x + 4 = 0. Pernyataan ini benar, karena ada bilangan yang memenuhi, yaitu untuk
x = –2. Tampak bahwa 2.(–2) + 4 = 0.
Ekspresi ∀(dari huruf A dibalik) berasal
dari ucapan bahasa Inggris, “for all x holds
true that”, sedangkan ekspresi ∃(dari huruf
E dibalik) berasal dari ucapan bahasa
Inggris, “there exist an x cuch that”
Ingkaran dari pernyataan berkuantor dapat ditentukan sebagai berikut.
a. Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan
eksistensial, dinotasikan :
PERLU
KAMU
TAHU
berkuantor
~(∀x, p(x)) ≡ (∃x,~ p(x))
p(x)
b.
Dibaca ingkaran dari “untuk semua x berlaku p(x) adalah ada x yang bukan p(x)”.
Contoh :
1. Tentukan ingkaran dari : “Semua mamalia berkaki empat”.
Jawab :
Ingkarannya : “Ada mamalia yang tidak berkaki empat”
2. Tentukan ingkaran dan nilai kebenaran dari :“ (∀x, x ∈ Bilangan Genap) , (x habis
dibagi 2)”.
Jawab :
Ingkarannya :“ (∃x, x∈ Bilangan Genap) , (x tidak habis dibagi 2)”.
Ingkaran tesebut salah, karena semua bilangan genap habis dibagi 2.
Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor
universal, dinotasikan :
~(∃x, p(x)) ≡ (∀x,~ p(x))
p(x)
Dibaca ingkaran dari “Ada x berlaku p(x) adalah semua x bukan p(x)”.
Contoh :
1. Tentukan ingkaran dari : “Beberapa anggota banggar DPR diperiksa KPK”.
Jawab :
Ingkarannya : “Semua anggota banggar DPR tidak diperiksa KPK”
2. Tentukan ingkaran dan nilai kebenaran dari :“( ~(∃x, x ∈ R), 2x + 1 = 9”.
Jawab :
Ingkarannya : “(∀x, x ∈ R), 2x + 1 ≠ 9”.
Ingkaran tersebut salah, karena terdapat nilai x yang memenuhi yaitu x = 4.
TOKOH KITA
John Venn (1834-1923) menambahkan penggunaan
diagram dan himpunan untuk menjelaskan himpunan
semesta pembicaraan dalam mempelajari logika.
LATIHAN 5
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan tepat!
1. Ubahlah pernyataan berkuantor berikut ke bentuk simbolik.
a. Ada bilangan Real yang kuadratnya bernilai negatif.
b. Untuk semua bilangan ganjil, maka kudratnya juga ganjil
c. Untuk setiap bilangan prima yang lebih dari 2 adalah ganjil.
d. Ada bilangan genap yang tidak habis dibagi.
e. Untuk semua bilangan bulat, maka hasil perkaliannya juga bilangan bulat.
2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor berikut.
a. Ada bilangan prima yang ganjil.
b. Semua bilangan asli adalah bilangan bulat.
c. Beberapa tumbuhan tidak berbunga.
d. Semua negara di Eropa menganut sistem pemerintahan monarki.
e. Setidaknya ada satu bilangan Real yang memenuhi 4x + 1 = 7.
3. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor berikut.
a. (∃x, x∈ R), (x2 + 2x – 3 = 0)
b. (∀x, x∈ R), (2x < 3x)
c. (∃ x,y∈ R), (x2 – y2 < 0)
d. (∀ x,y ∈ R), (
4.
5.
F.
𝑥
𝑦
∈ R)
e. (∃x, x∈ R), (x – 1)2 < 0
Tentukan negasi pernyataan berkuantor berikut.
a. Beberapa relasi adalah fungsi.
b. Semua binatang bidup di darat.
c. Ada negara yang belum menjadi anggota PBB.
d. Setiap anak yang malas belajar pasti nilainya jelek.
e. Setidaknya ada satu orang yang tidak mau mengikuti aturan ini.
Tentukan negasi pernyataan berkuantor berikut.
a. (∃x, x∈ R), (x2 + 2x + 4 = 0)
b. (∀x, x∈ R), (2x < 3x)
c. (∃ x,y∈ R), (x2 – y2 > 0)
𝑥
d.
(∀ x,y ∈ R), (
e.
(∃x, x∈ R), (x + 1)2 < 0
𝑦
∈ R)
Penarikan Kesimpulan
Salah satu tujuan mempelajari logika matematika adalah mencari metode atau cara
untuk mengambil keputusan atau menarik kesimpulan dari beberapa pernyataan.
Pernyataan-pernyataan yang digunakan sebagai dasar disebut premis, sedangkan
pernyataan baru yang dihasilkan disebut kesimpulan atau konklusi. Validitas atau
keabsahan suatu argumen dapat dapat dibuktikan jika argumen tersebut merupakan
tautologi. Metode sederhana yang bisa digunakan untuk membuktikannya adalah dengan
tabel kebenaran.
Pola penarikan kesimpulan dapat disajikan dengan bentuk berikut :
premis 1
premis 1
premis n
∴ konklusi
INGAT ..!!
Contoh :
Tanda “ ∴ ” dibaca 𝒋𝒂𝒅𝒊.
Seldiki keabsahan penarikan kesimpulan berikut.
premis 1 : Elisa anak yang cerdas dan terampil.
premis 2 : Elisa anak yang terampil.
Jadi, Elisa anak yang terampil.
Pernyataan di atas dapat dibuat pola sebagai berikut:
premis 1 : p ⋀ q
premis 2 : p
konklusi : q
Penarikan kesimpulan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel kebenaran berikut.
p
q
p⋀q
(p ⋀ q) ⋀ p
((p ⋀ q) ⋀ p) ⇒ q
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
S
S
B
S
S
S
S
B
Karena ((p ⋀ q) ⋀ p) ⇒ q merupakan tautologi, berarti penarikan kesimpulan tersebut sah.
Beberapa pola penarikan kesimpulan adalah sebagai berikut :
1. Modus Ponens
Bentuk argumen modus ponens adalah sebagai berikut ;
premis 1 : p ⇒ q
premis 2 : p
konklusi : ∴ q
Validitas modus ponens dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran bahwa ((p ⇒ q) ⋀ p) ⇒ q
adalah tautologi sebagai berikut.
p
q
p⇒q
(p ⇒ q) ⋀ p ((p ⇒ q) ⋀ p) ⇒ q
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
Pada tabel diatas tampak bahwa pada kolom terakhir semua nilai kebenarannya adalah
benar, sehingga terbukti bahwa ((p ⇒ q) ⋀ p) ⇒ q adalah tautologi.
Contoh :
Premis 1 : Jika Ela menjadi juara kelas, ia mendapat hadiah sepatu.
Premis 2 : Ela menjadi juara kelas.
Konklusi : Jadi, Ela mendapat hadiah sepatu.
2. Modus Tolens
Bentuk argumen modus ponens adalah sebagai berikut ;
premis 1 : p ⇒ q
premis 2 : ~q
konklusi : ∴ ~p
Validitas modus tolens dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran bahwa ((p ⇒q) ⋀~q) ⇒ ~p
adalah tautologi sebagai berikut.
p
q
~p ~q
p⇒q
(p ⇒ q) ⋀ ⋀~q
((p ⇒ q) ⋀ p) ⇒ ~p
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
Pada tabel di atas tampak bahwa pada kolom terakhir semua nilai kebenarannya adalah
benar, sehingga terbukti bahwa ((p ⇒ q) ⋀ p) ⇒ ~p adalah tautologi.
Contoh :
Premis 1 : Jika Leny terlambat masuk hari ini, ia mendapat hukuman dari gurunya.
Premis 2 : Leny tidak mendapat hukuman dari gurunya.
Konklusi : Jadi, Leny tidak terlambat masuk hari ini.
3. Silogisme
Bentuk argumen modus ponens adalah sebagai berikut ;
premis 1 : p ⇒ q
premis 2 : q ⇒ r
konklusi : ∴ p ⇒ r
Validitas modus tolens dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran bahwa
((p⇒q)⋀(q⇒r) ⇒( p⇒r)) adalah tautologi sebagai berikut.
p q r p⇒q q⇒r p⇒r
(p⇒q) ⋀(q⇒r)
((p⇒q)⋀(q⇒r) ⇒( p⇒r))
B B B
B
B
B
B
B
B B S
B
S
S
S
B
B S B
S
B
B
S
B
B S S
S
B
S
S
B
S B B
B
B
B
B
B
S B S
B
S
B
S
B
S S B
B
B
B
B
B
S S S
B
B
B
B
B
Pada tabel di atas tampak bahwa pada kolom terakhir semua nilai kebenarannya adalah
benar, sehingga terbukti bahwa ((p⇒q)⋀(q⇒r) ⇒( p⇒r)) adalah tautologi.
Contoh :
Premis 1 : Jika pendidikan gratis, maka anak Indonesia menjadi cerdas.
Premis 2 : Jika anak Indonesia cerdas, maka negara maju.
Konklusi : Jika pendidikan gratis, maka negara maju.
LATIHAN 6
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan tepat!
1. Tentukan argumen mana yang valid? Berikan alasanmu!
a. Premis 1 : Jika 3 bilangan genap, maka 3 habis dibagi 2.
Premis 2 : 3 tidak habis dibagi 2.
Konklusi : 3 bukan bilangan genap.
b. Premis 1 : Jika PQ = QR = PQ, PQR segitiga sama sisi.
Premis 2 : Segitiga PQR sama sisi
Konklusi : PQ = QR = PQ
c. Premis 1: Jika udara panas, Ema minum es jeruk.
Premis 2 : Ema tidak minum es jeruk.
Konklusi : Udara tidak panas.
2. Buktikan argumen berikut sah!
a. ~q ⇒ ~p
r ⇒ ~q
∴ p ⇒ ~r
b. p ⇒ q
q ⋁ ~r
∴ ~r
3. Tunjukkan bahwa argumen berikut tidak sah!
a. p ⇒ q
q⇒r
∴ ~p ⇒ ~r
b. p ⇒ q
~p
∴ ~q
4.
5.
1.
2.
3.
4.
Tentukan konklusinya!
a. Premis 1 : Jika Ria memiliki mobil, maka ia bahagia.
Premis 2 : Ria tidak bahagia.
b. Premis 1 : Jika x bilangan genap, maka 3x bilangan genap.
Premis 2 : Besok hari libur jika 3x bilangan genap.
c. Premis 1 : Ibu ke pasar membeli buah atau sayuran.
Premis 2 : Ibu tidak membeli buah.
d. Premis 1 : Jika Pak Guru tidak datang, maka siswa merasa sedih.
Premis 2 : Jika siswa sedih, maka kantin menjadi ramai.
Premis 3 : Udara terasa panas jika kantin ramai.
Tentukan konklusinya!
a. Premis 1 : p ⇒ (q ⋁ ~r)
Premis 2 : (~q ⋀ r)
b. Premis 1 : p ⋁ ~q
Premis 2 : q
c. Premis 1 : p ⇒ ~q
Premis 2 : r ⇒ q
d. Premis 1 : p ⇒ q
Premis 2 : q ⇒ r
Premis 3 : ~r
RANGKUMAN MATERI
Tabel kebenaran dari disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi
p
q
p⋁ q
p⋀q
p⇒q
p⇔q
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
S
S
B
B
Tabel
p
B
B
S
S
kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi.
q ~p
~q
p⇒q
q⇒p
~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p
B
S
S
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
Pernyataan Berkuantor
a. Kuantor universal : (∀x) , p(x)
b. Kuantor eksistensial : (∃x) , p(x)
Penarikan Kesimpulan
a. Modus Ponens
premis 1 : p ⇒ q
premis 2 : p
konklusi : ∴ q
b. Modus Tolens
premis 1 : p ⇒ q
premis 2 : ~q
konklusi : ∴ ~p
c. Silogisme
premis 1 : p ⇒ q
premis 2 : q ⇒ r
konklusi : ∴ p ⇒ r
UJI KOMPETENSI SISWA
A. Pilihan Ganda
Berilah tanda silang pada huruf A, B, C, D, atau E di depan jawaban yang tepat!
1. Perhatikan kalimat-kalimat berikut!
a. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola.
b. Indah adalah anak yang rajin.
c. Cristiano Ronaldo berasal dari Brazil.
d. Kabupaten Wonogiri terdiri dari 25 kecamatan.
Berdasarkan kalimat-kalimat di atas, yang merupakan pernyataan adalah ....
A. a dan b
B. c dan d
C. a, b, dan c
D. a, c, dan d
E. a, b, c, dan d
2. Agar kalimat terbuka 2x + 3 = 9 bernilai benar, maka nilai x adalah ....
A. x = 3
B. x = 3 atau x = –3
C. x ≠ 3
D. x ∈ R
E. tidak ada nilai x yang memenuhi
3. Nilai kebenaran dari ~p ⋀ q adalah ....
A. BSSS
B. SBBB
C. SBSS
D. SSBS
E. SSSB
4. Nilai kebenaran dari p ⋀ ~(q ⋁ r) adalah ....
A. BSSB
B. SSSS
C. SSSB
D. SBBS
E. SBSS
5. Ingkaran dari pernyataan “Rohmat tetap masuk sekolah meskipun sedang sakit.”
adalah ....
A. Rohmat tidak masuk sekolah karena sedang sakit.
B. Rohmat tidak masuk sekolah atau ia tidak sakit.
C. Rohmat tidak masuk sekolah meskipun tidak sakit.
D. Rohmat sakit tetapi masuk sekolah.
E. Rohmat masuk sekolah atau ia tidak sakit
6. Ingkaran dari p ⋁ ~q adalah ....
A. ~p ⋁ q
B. ~p ⋀ q
C. ~p ⋁ ~q
D. ~p ⋀ ~q
E. p ⋀ q
7. Ingkaran dari “Anggraeni sedih jika Dewi pergi” adalah ....
A. Kamu pergi tetapi Dewi tidak sedih.
B. Anggraeni sedih jika Dewi tidak pergi
C. Anggraeni tidak sedih jika Dewi pergi.
D. Anggraeni sedih meskipun Dewi tidak pergi.
E. Anggraeni tidak sedih atau Dewi tidak pergi.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Ingkaran dari pernyataan : p ⇒ (q ⋀ r) adalah ....
A. ~p ⇒ (~q ⋀ ~r)
D. ~p ⇒ (q ⋀ r)
B. p ⋀ (~q ⋁ ~r)
E. ~p ⋀ (~q ⋁ ~r)
C. p ⋀ (~q ⋀ r)
Pernyataan yang setara dengan ~p ⇒ (~q ⋀ ~r) adalah ....
A. p ⇒ (q ⋀ r)
B. (q ⋀ r) ⇒ p
C. (q ⋀ r) ⇒ ~p
D. (q ⋁ r) ⇒ p
E. (q ⋁ r) ⇒ ~p
Konvers dari pernyataan “ Jika 7 bilangan ganjil, maka 7 bilangan prima” adalah ....
A. Jika 7 bukan bilangan prima, maka 7 bukan bilangan ganjil.
B. Jika 7 bilangan prima, maka 7 bilangan ganjil.
C. Jika 7 bukan bilangan ganjil, maka 7 bukan bilangan prima.
D. Jika 7 bukan bilangan prima, maka 7 bilangan ganjil.
E. Jika 7 bilangan ganjil, maka 7 bukan bilangan prima.
Pernyataan yang senilai dengan “Jika fungsi kuadrat, maka grafiknya berupa parabola”
adalah ....
A. Fungsi kuadrat dan grafiknya bukan parabola.
B. Fungsi bukan kuadrat atau grafiknya bukan parabola.
C. Jika grafiknya bukan parabola, maka bukan fungsi kuadrat.
D. Jika bukan fungsi kuadrat, maka grafiknya tidak parabola.
E. Jika grafiknya parabola, maka fungsi kuadrat.
Pasangan pernyataan p dan q yang memenuhi p ⇔ q benar untuk x ∈ R adalah ....
A. p : x bilangan ganjil
q : 2x + 1 bilangan genap
B. p : x bilangan negatif
q : 2x + 1 bilangan negatif
C. p : x bilangan ganjil
q : 2x bilangan genap
D. p : x bilangan positif
q : 2x + 1 bilangan positif
E. Tidak ada jawaban yang benar
Syarat agar (p ⇔ q) bernilai benar adalah ....
A. p benar dan q salah
D. p salah dan q benar
B. p salah dan q salah
E. p dan q bernilai sama
C. p benar dan q salah
Negasi dari ~p ⇔ q adalah ....
A. (~p ⋀ q) ⋁ (~q ⋀ p)
B. (~p ⋀ ~q) ⋁ (q ⋀ p)
C. (~p ⋁ ~q) ⋀ (q ⋁ p)
D. (q ⋀ ~p) ⋁ ~q
E. ~p ⇒ (~q ⋁ ~r)
Pernyataan di bawah ini yang bernilai benar adalah ....
A. (∀x, x∈ R), x5 > 0
B. (∀ x, y ∈ R), y–x ∈ R
C. (∀ x, y ∈ R),
𝑥
𝑦
∈Z
D. (∃x, x∈ R), (2x + 1)2 < 0
E. (∃ x, y ∈ R), x2 + y2 = 1
16. Negasi dari pernyataan “Semua rakyat Indonesia menginginkan pemerintahan yang
bersih dan berwibawa.” adalah ....
A. Ada rakyat indonesia yang menginginkan pemerintahan yang bersih dan berwibawa.
B. Ada rakyat indonesia yang menginginkan pemerintahan yang bersih tetapi tidak
berwibawa.
C. Ada rakyat indonesia yang tidak menginginkan pemerintahan yang bersih dan
berwibawa.
D. Beberapa rakyat Indonesia menginginkan pemerintahan yang tidak bersih tetapi
berwibawa.
E. Tidak semua rakyat Indonesia menginginkan pemerintahan yang bersih dan
berwibawa.
17. Perhatikan pola penarikan kesimpulan berikut.
a. p ⇒ ~q
c. p ⇒ ~q
q
~q ⇒ ~r
∴ ~p
∴ r ⇒ ~p
b. ~p ⇒ q
d. ~p ⇒ q
p
r ⇒ ~q
∴ ~q
∴r⇒p
Pola penarikan kesimpulan yang sah adalah ...
A. a dan c
B. a, c, dan d
C. a dan b
D. a, b, dan c
E. a dan d
18. Perhatikan premis-premis berikut.
Premis 1 : p ⋁ ~q
Premis 2 : q
Penarikan kesimpulan dari premis-premis di atas di atas adalah ....
A. ~p
B. P
C. ~q
D. p ⋀ ~q
E. p ⇒ q
19. Perhatikan premis-premis berikut.
Premis 1 : Grace terlihat cantik dan cerdas jika membacakan berita.
Premis 2 : Grace tidak terlihat cantik dan cerdas.
Penarikan kesimpulan dari premis-premis di atas di atas adalah ....
A. Grace membacakan berita.
B. Grace tidak membacakan berita.
C. Grace membacakan berita cantik dan cerdas
D. Grace terlihat cantik dan cerdas meskipun tidak membacakan berita.
E. Grace memang terlihat cantik dan cerdas
20. Perhatikan premis-premis berikut.
Premis 1 : Jika hatiku sedih, aku tidak akan berangkat ke Medan.
Premis 2 : Acara ini gagal jika aku tidak berangkat ke Medan.
Negasi dari penarikan kesimpulan premis-premis di atas di atas adalah ....
A. Jika hatiku sedih, maka acara ini gagal.
B. Jika hatiku gembira, maka acara ini berhasil.
C. Hatiku sedih meskipun acara ini berhasil.
D. Hatiku gembira dan acara ini berhasil.
E. Hatiku gembira meskipun acara ini gagal.
B. Essay
Jawablah soal-soal berikut dengan jelas dan tepat!
1. Apa perbedaan antara kalimat tebuka dan pernyataan? Berikan contohnya masingmasing 2!
2.
Jika p(x) : x2 – 9 = 0, x ∈ R dan q : (–3)
2
3
= 3, tentukan nila x sehingga p(x) ∧ q
bernilai salah!
3. Diketahui : (p(x) : x2 – 4 ≥ 0, x ∈ R atau q(x) : x2 – 3x + 2 = 0, x ∈ R). Tentukan nilai
kebenarannya jika :
a. x = –2
b. x = –1
c. x = 0
d. x = 2
4. Buatlah tabel kebenaran dari ~[p ∧ (q ⟹ ~p)] !
5. Tentukan negasi dari pernyataan berikut :
a. Dia terlihat cantik meskipun tidak berias.
b. Indonesia akan tenteram jika kasus korupsi terselesaikan.
c. X log 8 > 3 ⟺ x2 – 2x + 1 = 0
6. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari :” Jika Thailand berada di benua
Amerika, maka 17 adalah bilangan genap” !
7. Jika x, y ∈ R, tentukan nilai kebenarannya (beri alasan)!
a. (∃ x)(x2 – 6x + 8 = 0)
b. (∃ x)(x2 + 9 < 0)
c. (∀ x) (∃ y)( x2 + 2y ≤ 0)
8. Diketahui :
Premis 1 : (p ∧ ~q) ⟹ r
Premis 2 : ~r
Tentukan kesimpulan yang sah berdasarkan kedua premis di atas!
9. Diketahui :
Premis 1 : Ayah minum teh panas jika udara dingin.
Premis 2 : Jika ayah minum teh panas, maka ibu membuat nasi goreng.
Premis 3 : Cindy senang jika ibu membuat nasi goreng.
Tentukan kesimpulan yang sah berdasarkan ketiga premis di atas!
10. Diketahui :
Premis 1 : Adam sangat senang jika ibu menggoreng ikan.
Premis 2 : Adam tidak senang.
Tentukan negasi dari penarikan kesimpulan yang sah kedua premis di atas!
REMIDIASI
Isilah titik-titik berikut dengan tepat!
1. Nilai kebenaran dari p ⋀~q adalah ....
2. Negasi dari ~p ⋁ q adalah ....
3. Nilai kebenaran dari p ⟹ ~q adalah ....
4. Negasi dari ~p ⟺ q adalah ....
5. Invers dari (p ⋁ q) ⟹ ~r adalah ....
6. Pernyataan yang ekuivalen dengan p ⟹ (q ⋀ r) adalah ....
7. Negasi dari (∃ x)(x2 – 2 < 0) adalah ....
8. Nilai kebenaran dari : (∀ x)(x2 – 6x + 8 = 0)
9. Premis 1 : p ⟹ ~q
Premis 2 : q
Konklusinya adalah ....
10. Premis 1 : Banjir melanda jika hutan gundul.
Premis 2 : hutan gundul
Konklusinya adalah ....
PENGAYAAN
Selain modus ponens, modus tolens, dan silogisme, sebenarnya masiah ada beberapa pola
penarikan kesimpulan yang lain. Carilah pola penarikan kesimpulan tersebut beseta
penjelasan dan contohnya! Konsultasikan hasilnya dengan gurumu!
PENILAIAN
NO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
KOMPETENSI YANG DIUJI
Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Ingkaran
Disjungsi dan Konjungsi
Implikasi dan Biimplikasi
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Pernyataan Berkuantor
Penarikan Kesimpulan
Uji Komprehensif
Remidiasi/Pengayaan
Nilai Akhir
PARAF
GURU
SISWA
HARI, TGL
NILAI
KETERANGAN