rumus luas segitiga dalam geometri taksi

RUMUS LUAS SEGITIGA DALAM GEOMETRI TAKSI
Novianto dan Oki Neswan
SMA Negeri 1 Banawa Kabupaten Donggala Propinsi Sulawesi Tengah, Program
Studi Magister Pengajaran Matematika FMIPA- ITB
E-mail: [email protected], [email protected]
) dan (
)
ABSTRAK: Pada geometri taksi jarak antara dua titik (
(
) |
| |
| dan disebut sebagai jarak
didefinisikan sebagai
taksi. Pada tulisan ini dikembangkan pengertian jarak taksi antara titik dan garis,
serta hubungannya dengan jarak Euclid antara titik dan garis. Selanjutnya hubungan
di atas digunakan untuk menentukan luas segitiga dengan menggunakan jarak taksi.
Kata kunci: Jarak Euclid, jarak taksi, dan luas segitiga.
Taxicab
geometry
pertama
kali
diperkenalkan oleh seorang matematikawan Jerman yang bernama Herman
Minkowski. Ia ingin membuktikan dalam
kasus ini bahwa dalam menentukan jarak
terpendek dari satu tempat ke tempat
yang lain tidak selalu menggunakan sisi
miring. Cara terbaik untuk memikirkan
idenya adalah memikirkan sebuah taksi
pergi dari satu tempat ke tempat yang lain,
sehingga dinamakan Geometri Taksi
(Poore, 2006). Pada dasarnya geometri
taksi hampir sama dengan geometri
koordinat Euclid, dimana titik, dan garis
yang sama, serta ukuran sudut yang sama,
hanya saja fungsi jarak yang berbeda.
Jarak dalam geometri taksi didefinisikan
sebagai penjumlahan nilai mutlak jarak
vertikal dan nilai mutlak jarak horisontal
antara dua titik (Krause, 1986). Hal inilah
paling mendasar, yang membedakan jarak
pada geometri taksi dengan jarak dalam
bidang Euclid. Dalam geometri taksi jarak
di notasikan sebagai
sedangkan jarak
dalam bidang Euclid di notasikan sebagai
Misal diketahui dua buah titik
(
) dan (
) maka jarak antara
titik dan titik adalah
(
)
)
√(
(
)
dan
(
) |
| |
|
Dalam tulisan ini, diberikan bukti
lengkap jarak antara dua titik (hubungan
antara jarak Euclid dan jarak taksi), jarak
titik ke garis dan bukti berbeda untuk
menentukan luas segitiga dalam geometri
taksi.
JARAK
ANTARA
DUA
TITIK
(hubungan antara
dan )
Hubungan antara
dan
beserta sketsa
buktinya dapat di lihat dalam (Çolakoğlu
dan Kaya, 2008). Kami akan memberikan
bukti lengkap hubungan tersebut dalam
Teorema 1.
) dan (
)
Teorema 1. Jika (
dua titik yang berbeda, maka
(
)
(
) jika
1.
(
2.
√
)
(
| |
) jika
dengan
adalah
gradien.
Bukti : Pertama, asumsikan
Misalkan
Selanjutnya
(
886
)
√(
)
(
)
887, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
(
√
√
)
( )
| |
√
(
) | | | | | | | |
| |
Karena
akibatnya
(
)
(
)
Selanjutnya untuk bagian kedua asumsikan
| | Maka
dan misalkan
(
)
)
√(
)
√(
(
)
)
)
(
√(
)
√(
)
√(
(
√(
)
√(
)
)
√
(
)
)
√(
√
| |
Hubungan terakhir
diperoleh
karena
| |
√( )
Selanjutnya
bentuk
terakhir dapat dikalikan dengan bentuk
satu lainnya, yaitu
| |
| |
untuk memperoleh
(
|
|
|
√
|
|
|
|
|
|
√
√
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(
)
Karena pada umumnya √
| |, maka kita peroleh bahwa
(
).
(
| |
)
JARAK TITIK KE GARIS DALAM
GEOMETRI TAKSI
Untuk kasus jarak titik ke garis
dalam geometri taksi, berbeda dengan
jarak dalam Euclid. Jarak taksi, sangat
dipengaruhi oleh kemiringan garis atau
gradient garis. Adapun Lemma jarak titik
ke garis dapat di lihat dalam
(Kaya dkk, 2000) dan bukti lengkapnya
dapat di lihat dalam tesis (Novianto,
2013).
Dengan mengacu pada Teorema 1,
akan diberikan rumus jarak taksi antara
titik dan garis .
Definisi. Secara umum, jika
adalah
sebuah titik, dan
sebuah himpunan,
maka jarak taksi antara dan
adalah
jarak dari ke titik di yang terdekat ke
jika ada. Notasi untuk jarak taksi antara
).
titik , dan himpunan adalah (
Dengan demikian
(
)
(
)
Jika
√
)
|
|
|
| |
adalah sebuah garis Euclid
) sebuah titik,
dan (
maka
(
)
(|
|
|(
)
|)
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jarak
taksi antara titik dan garis adalah minimum
dari jarak vertikal dan jarak horisontal,
seperti yang di tuliskan dalam teorema
berikut.
Teorema 2. Jika
sebuah
(
)
garis, dengan
dan
adalah sebuah titik, maka
(
)
)(
{ (
)}
Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 888
)
{|(
| |(
(
Dengan
proyeksi vertikal titik
(
)
|}
)
merupakan
ke garis
dan
) merupakan proyeksi horisontal
titik
ke garis
Untuk
membuktikan
teorema
tersebut di butuhkan beberapa lemma
sebagai
berikut.
Asumsikan
kasus
nontrivial
Maka
(
) |(
)
|
( )
(
)
(
|
)|
(
|
)
|
( )
Dengan mensubtitusi ( ) pada ( ),
diperoleh
(
) | | (
)
Lemma berikut merupakan akibat langsung
dari hubungan di atas.
Lemma 1. Misalkan
adalah sebuah garis dan
(
) adalah sebuah titik, maka
(
) jika | |
(
)
(
)
(
(
)
(
)
) jika | |
jika
Berdasarkan Lemma 1, akan di
) ke garis
selidiki jarak titik (
dengan menyelidiki beberapa kasus.
Kasus 1. Jika | |
Kasus 2. Jika | |
Kasus 3. Jika | |
Dari masing-masing kasus tersebut akan
) berada di atas garis,
di selidiki titik (
dan di bawah garis
. Penyelidikan hanya di batasi pada
| |
dan untuk kasus yang lain telah
di buktikan secara lengkap dan dapat di
lihat dalam tesis (Novianto, 2013).
Misalkan
adalah sebuah
) adalah sebuah titik
garis dan (
berada diatas garis.
| |
Pilih sebarang titik ( ) pada garis
(
)
Subkasus 1.
Maka
|
| |(
)
|. Karena
maka
. Akibatnya,
(
) |
| |(
)
|
(
) (
(
))
(
)) (
)
(
((
(
(
)
)
)
(
))
(
)
889, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Subkasus
| |
2.
Karena
maka
)
(
|
(
)
|
|
|
|
|
|
|
(
(
)
)|
|
(
(
)
)
Jadi
(
)
(
)
Subkasus 3. Dengan cara serupa, jika
maka
(
)
. Akibatnya,
|
(
|
)
(
(
|(
((
)
)
|
)
))
Subkasus 1.
Akibatnya,
(
)
maka
(
)
(
)
Subkasus 2.
Asumsi
(
memberikan
((
)
)
)
)
)
((
((
)
maka
(
)
Akibatnya,
) ((
(
(
)
(
(
(
))
)
((
(
)
)
(
)
Maka, secara umum,
(
)
(
)
Selanjutnya hubungan ini akan di buktikan
) berada
untuk kasus jika titik (
dibawah garis
Subkasus 3.
Akibatnya,
(
)
(
)
(
)
)
))
)
maka
(
)
(
)
(
)
Maka , dapat disimpulkan bahwa
untuk tiap titik
pada garis
dengan
gradient
berlaku
(
)
(
)
Akibatnya,
(
)
(
)
Dengan cara serupa, dapat di buktikan
bahwa untuk
berlaku
(
)
(
)
Dengan demikian, jika | |
maka
(
) sama dengan jarak horizontal
ke garis
Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 890
Lemma 2. Jika
| |
, dan (
(
)
(
dengan
) sebuah titik, maka
)
|(
)
|
Untuk kasus | |
dengan cara
serupa dapat dibuktikan bahwa jarak untuk
untuk tiap titik
pada garis
dengan
gradient
berlaku
(
)
(
)
Maka,
(
)
(
)
| |
Lemma Jika
(
)
(
)
(
) |
|
Untuk kasus | |
sebagai akibat dari
kedua lemma di atas, diperoleh
| |
Lemma 4. Jika
(
)
(
)
(
)
(
)
Karena persamaan garis ⃡ adalah
(
) maka koordinat
(
titik
(
dan
)))
((
) Jadi, jarak
( ⃡ ) adalah
(
{|
|
|
(
)
)
|
}
| |
Selanjutnya akan ditentukan hubungan
jarak di Euclid dan jarak taksi dengan
menggunakan perbandingan trigonometri
pada segitiga siku-siku.
RUMUS LUAS SEGITIGA DALAM
GEOMETRI TAKSI
Luas segitiga dalam geometri taksi
pengaruhi oleh jarak, dan gradient sisi alas.
Dalam (Kaya, 2006) dijelaskan tentang
proposisi dan bukti luas segitiga dalam
geometri taksi. Kami dengan menggunakan hubungan pada Teorema 2 memberikan bukti dengan cara berbeda dalam
menentukan luas segitiga dalam geometri
taksi. Misal
dengan titik
(
) (
) dan (
) Setiap
segitiga memiliki sisi yang tidak vertikal.
Jadi, dapat diasumsikan bahwa
. Maka persamaan garis ⃡ dengan
gradient
adalah
(
)
(
)
Pandang
misal
Maka diperoleh
(
)
(
)
(
)
(
)
Dengan cara serupa, pandang
Maka diperoleh
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
Dari ( ) dan ( ) diperoleh hubungan
{
} ( ⃡ )
( ⃡ )
Selanjutnya dengan mensubtitusi jarak
( ⃡ ) pada ( ) dan ( ) diperoleh
(
)
dan
(
)
(
|
)
|
| |
|
(
)
|
Akibatnya,
( ⃡ )
{
|
(
)
| |
|
891, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
(
)
}
( )
̅̅̅̅
Asumsikan
merupakan alas dari
dengan demikian
(
)
√
(
)
diperoleh rumus luas
geometri taksi adalah
(
(
| |
|
(
|
(
))
|
| |
)
|})
, maka
PENGGUNAAN RUMUS HERON
DALAM GEOMETRI TAKSI
Untuk penggunaan rumus Heron
dalam geometri taksi dapat di lihat dalam
(Kaya dan Çolakoğlu, 2003). Selanjutnya
dalam tulisan ini, dibuktikan penggunaan
rumus Heron dengan cara yang berbeda
dengan menggunakan Teorema 1. Misal di
ketahui
dengan
titik
(
) (
) dan (
) Misal̅̅̅̅
̅̅̅̅
kan gradient garis
dan ̅̅̅̅
dengan
̅̅̅̅
dan misalkan sisi segitiga
̅̅̅̅
, dan ̅̅̅̅
{
(
)
( )
| |
Selanjutnya dengan mensubtitusi ( ) dan
( ) pada rumus
√
dalam
Asumsikan ̅̅̅̅ sejajar dengan sumbu-
Maka
(
Akibatnya,
)
(
)
√
|
|
√
| |
dan setengah keliling segitiga adalah
√
√
|
|
|
Dengan demikian luas
(
)
(
dan setengah keliling segitiga
bidang Euclid adalah
dalam
(
√
(
(
|
|
√
|
|
)
)
)
)
|
Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 892
Dengan cara serupa jika sisi segitiga
tidak sejajar dengan sumbu koordinat,
maka
√
√
|
|
|
|
√
|
|
(
dengan setengah keliling segitiga adalah
√
|
|
|
Akibatnya luas
√
(
(
√
(
(
|
|
)
)
)
)
adalah,
(
√
(
|
|
|
|
|
√
(
| |
|
|
)
)
KESIMPULAN
Konsep jarak dalam geometri taksi
sangatlah berbeda dengan konsep jarak
dalam geometri Euclid.
Jika
sebuah garis dengan
) adalah sebuah titik,
dan (
maka jarak taksi antara titik dan garis
adalah
(
)
)(
{ (
)}
(
)
| |(
|
|
(
)
|})
Selanjutnya untuk penggunaan rumus
Heron dalam geometri taksi, jika di ketahui
̅̅̅̅
dengan sisi ̅̅̅̅
dan
̅̅̅̅
, dan setengah keliling dari segitiga
dalam bidang Euclid adalah
dan gradient garis adalah
dengan
dengan
√
)
|}
dan
√
|
|
|
|
)
)
)
)
√
| |
adalah
maka luas
(
√
(
(
√
(
)
{|(
{
)) (
| |
√
√
|
Berdasarkan jarak taksi antara titik dan
garis, diperoleh hubungan dalam menentukan rumus luas dalam geometri taksi.
Diberikan
dengan
(
) (
) dan
(
)
Maka luas
adalah
(
√
(
|
|
|
|
|
|
)
)
DAFTAR RUJUKAN
Çolakoğlu, H.B. dan Kaya, R. 2008.
Taxicab Versions of the Pythagorean Theorem ΠME Journal,
Volume 12,No.9, pp535-539.
Krause, F. E. 1986. Taxicab Geometry.
Dover Publications, New York.
Kaya, R.V., AkÇa, Z., G ̈ naltili, İ., dan
̈ zcan, M. 2000. General Equation
for Taxicab Conics and Their
Classification, Mitt.Math.Ges Hamburg 19,135-148.
893, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Kaya, R. 2006. Area Formula for Taxicab
Triangles, ΠME Journal,Volume 12
No. 4, pp 219-220.
Novianto. 2013. Luas Segitiga Dalam
Geometri Taksi. (Tesis akan di
terbitkan). Bandung: Program studi
magister pengajaran matematika
FMIPA-ITB.
Ӧzcan, M. dan Kaya, R. 2003. Area of
Triangle in Terms of the Taxicab
Distance,
Missouri
J
of
Math.Sci.,Vol.15,178-185.
Poore, K.L. 2006. Taxicab Geometry,
Tesis
Master,
University
of
Nebraska-Lincoln.